Grupo de Pointcarè

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O GRUPO DE POINCARÉ
JACKELINE CONRADO - EDUARDO HOEFEL (ORIENTADOR)
1. Introdução
Na Física clássica, as mudanças de referenciais são dadas pelas transformações de Galileu.
Essas transformações definem isometrias no espaço euclidiano de dimensão 3. Por outro
lado, na Teoria da Relatividade Restrita de Einstein, as mudanças de referenciais são
dadas por transformações que não são isometrias euclidianas. Estudamos o Espaçotempo
de Minkowski, i.e., o espaço vetorial real de dimensão 4 munido da métrica de Lorentz.
Com esta métrica, as mudanças de referenciais dadas pela Teoria da Relatividade Restrita
de Einstein são isometrias. Um tipo importante de tal transformação são os chamados
boosts no Espaçotempo. Mostramos que o conjunto formado pelas matrizes b-ortócronas
e próprias associadas à transformações b-ortogonais é um grupo de Lie. Exploramos o
colchete de Lie de Matrizes em conjunto com a exponencial de matrizes para obter infor-
mações sobre este grupo. Um dos principais fatos demonstrado neste trabalho é o teorema
segundo o qual todo elemento do grupo de Lie SO+(3, 1) é gerado precisamente pelos
boosts no Espaçotempo de Minkowski e pelas rotações no Espaço Euclidiano, ou seja, este
teorema determina a estrutura do Grupo de Lorentz. Utilizamos o fato de que, a menos
de translações, toda isometria fixa a origem, e portanto é linear. Além disso, a menos de
reflexões, toda isometria linear é própria e b-ortócrona. Desta forma, obtemos que a es-
trutura do Grupo de Poincaré é basicamente compreendida através da estrutura do grupo
de Lorentz. Concluimos este trabalho dando uma interpretação geométrica para boosts no
Espaçotempo através da Relatividade da Simultaneidade.
2. O Grupo de Poincaré
O Espaçotempo de Minkowski consiste do espaço vetorial real de dimensão 4 munido
de uma forma bilinear b não genederada de índice 1. Em relação a uma base ortonormal,
esta forma é dada por:
b(x, y) = x1y1 + x2y2 + x3y3 − x4y4 ∀x, y ∈ R4.
Tal espaço será denotado por R3,1. Uma transformação linear L : R3,1 → R3,1 é chamada
tranformação b-ortogonal de Lorentz se b(Lx,Ly) = b(x, y), ∀x, y ∈ R3,1.
Neste trabalho tomamos uma base b-ortonormal fixada, vamos identificar as transfor-
mções b-ortogonais com suas matrizes associadas Λ = [Λab ]{a,b=1,2,3,4}.
Definição 2.1. Seja Λ a matriz associada à uma transformação b-ortogonal de Lorentz.
• Dizemos que Λ é b-ortócrona se Λ44 ≥ 1 e b-anortócrona se Λ44 ≤ −1
• Dizemos que Λ é própria se det Λ = 1 e imprópria se det Λ = −1
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O conjunto formado por todas as transformações b-ortogonais, cujas suas matrizes asso-
ciadas são próprias e b-ortócronas é um grupo com a operação de composição de funções. O
conjunto dessas matrizes é um grupo com a operação de multiplicação de matrizes. Como
esses grupos são isomorfos, ambos serão chamados de Grupo de Lorentz e denotados
por SO+(3, 1). Estudaremos o grupo SO+(3, 1), usando um pouco da Teoria de Lie.
Definição 2.2. Sejam U ⊂ Rm, V ⊂ Rn abertos.
• Uma aplicação f : U → V chama-se um difeomorfismo entre U e V quando é
uma bijeção diferenciável, cuja inversa g = f−1 : V → U também é diferenciável.
Definição 2.3. Seja p um ponto da superfícieM, de dimensão m e classe Ck em Rn. O
espaço vetorial tangente aM no ponto p é um subespaço vetorial TpM⊂ Rn que pode
ser visto sob dois aspectos:
• TpM é o conjunto dos vetores-velocidade v = λ′(0) dos caminhos diferenciáveis
λ : (−�, �)→M, tais que λ(0) = p
• TpM = ϕ′(x0).Rm é a imagem da derivada ϕ′(x0) : Rm → Rn, onde ϕ : V0 → V é
uma parametrização emM, com ϕ(x0) = p.
Teorema 2.4. Seja c ∈ Rn um valor regular da aplicação f : U → Rn de classe Ck no
aberto U ⊂ Rm+n. A imagem inversa M = f−1(c) = {x ∈ U ; f(x) = c} é uma superfície
de classe Ck e dimensão m em Rm+n. O espaço vetorial tangente TpM, em cada ponto
p ∈M, é o núcleo da derivada f ′(p) : Rm+n → Rn.
Seja SO+(n− 1, 1) o grupo b-ortogonal formado pelas matrizes Λ ∈M(n×n), tais que
ΛT ηΛ = η. Usamos o teorema (2.4) para mostrar que o conjunto SO+(n − 1, 1) é uma
superfície de classe C∞ e dimensão n(n− 1)/2 em Rn2 . Identificamos M(n×n) por Rn2 e
S(Rn) com Rn(n−1)/2. Em particular, para SO+(3, 1) o grupo b-ortogonal formado pelas
matrizes Λ ∈M(4×4), tais que ΛT ηΛ = η é uma superfície de classe C∞ e dimensão 6 em
R16. Logo o espaço vetorial tangente a SO+(3, 1) no ponto I4 também possuirá dimensão
6.
Definição 2.5. Dado um grupo G munido de uma operação ∗. Dizemos que G é um
grupo de lie se G for uma superfície e a operação ∗ for diferenciável.
Segue-se que o grupo SO+(3, 1) é um grupo de lie. O espaço tangente ao grupo SO+(3, 1)
na identidade será denotado por o(3, 1). Obtemos pelo teorema a seguir que as matrizes
da forma eX com X ∈ o(3, 1), estão em SO+(3, 1).
Teorema 2.6. Para quaisquer matrizes X,Y ∈ o(3, 1):
(1) [X,Y ] = XY − Y X ∈ o(3, 1).
(2) Se [X,Y ] = 0 então eX+Y = eX · eY .
(3) Se X ∈ o(3, 1) então eX ∈ SO+(3, 1).
Determinamos a estrutura do grupo SO+(3, 1) pelo do seguinte teorema:
Teorema 2.7. Seja Λ = [Λab]{a,b=1,2,3,4} a matriz associada a uma tranformação b-
ortogonal de Lorentz L. Se Λ pertence a SO+(3, 1) então existe um número real θ e
duas rotações R1 e R2 no espaço euclidiano tais que Λ = R1L(θ)R2.
O GRUPO DE POINCARÉ 3
Portanto, o grupo de Lorentz é gerado pelas rotações e pelos boosts no Espaçotempo de
Minkoswski.
O Grupo de Poincaré é o grupo de todas as isometrias no espaçotempo de Minkowski.
Em outras palavras, é o grupo de todos os difeomorfismos f : R3,1 → R3,1 tais que:
b(u, v) = b(f ′p(u), f
′
p(v)) ∀p ∈ R4 ∀u, v ∈ TpR4
Teorema 2.8. Toda isometria ψ : R3,1 → R3,1 que fixa a origem é linear.
Podemos considerar que, a menos de translações, toda isometria fixa a origem, e portanto
é linear e, a menos de reflexões, sua matriz associada é própria e b-ortócrona. A partir
disso, obtemos que a estrutura do Grupo de Poincaré é basicamente compreendida através
da estrutura do grupo de Lorentz.
3. Interpretação Física
A teoria da relatividade restrita baseia-se em dois postulados que Einstein menciona
explicitamente no artigo de 1905:
Postulado 1 As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.
Postulado 2 A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c qualquer que seja o
movimento da fonte.
Como consequência dos postulados temos a Relatividade da Simultaneidade segundo
a qual: Dois eventos que são simultâneos em um referencial não são simultanêos em outro
referencial que esteja se movendo em relação ao primeiro.
3.1. Transformação de Lorentz. As novas transformações devem ser compatíveis com
os postulados de Einstein, mas de tal forma que se reduzam às equações clássicas para
v << c. A transformação de Lorentz será dada por
(1) xˆ1 = γ(x1 − vt), xˆ2 = x2, xˆ3 = x3, tˆ = γ(t− vx
1
c2
).
Teorema 3.1. A transformação de Lorentz vista em (1) é b- ortogonal no Espaçotempo
de Minkowski.
A matriz da transformação de Lorentz descrita pela equação 1 em relação à base b-
ortonormal {e1, e2, e3, e4} é um boost no Espaçotempo de Minkoswki. Uma das inter-
pretações físicas dos boost no Espaçotempo de Minkowski pode ser dada em termos da
Relatividade da Simultaneidade descrita anteriormente.
Referências
[1] Naber, Gregory L. The Geometry of Minkowski Spacetime - An Introduction to the Mathematics of
Special Theory of Relativity Dover Publications, Inc. Mineola, New York, 2003.
[2] Tipler, Paul A., Llewellyn, Ralph A.; tradução e revisão técnica Biasi, Ronaldo S. Física Moderna
LTC, Rio de Janeijo, 2010.
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