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Unidades e vetores • Agosto 2014
Lista 01 - Unidades e vetores
Fabio Oliveira
Instituto Federal Sul-rio-grandense
fabio.oliveira@passofundo.ifsul.edu.br
1 Unidades
01 - Em um certo hipódromo da Inglaterra,
um páreo foi disputado em uma distância de
4,0 furlongs. Qual é a distância da corrida em
(a) varas e (b) cadeias? (1 furlong = 201,168 m,
1 vara = 5,0292 m e 1 cadeia = 20,117 m.)
02 - A Terra tem a forma aproximada de
uma esfera com 6, 37× 106m de raio. Deter-
mine (a) a circunferência da Terra em quilômet-
ros, (b) a área da superfície da Terra em
quilômetros quadrados e (c) o volume da
Terra em quilômetros cúbicos.
03 - A Antártica é aproximadamente semi-
circular, com um raio de 2000km. A espes-
sura média da cobertura de gelo é de 3000m.
Quantos centímetros cúbicos de gelo contém a
Antártica? (Ignore a curvatura da Terra.)
04 - Os engenheiros hidráulicos dos Estados
Unidos usam frequentemente, como unidades
de volume de água, o acre-pé, definido como
um volume de água suficiente para cobrir 1
acre de terra até uma profundidade de 1 pé.
Uma forte tempestade despejou 2,0 polegadas
de chuva em 30 minutos em uma cidade com
uma área de 26km2. Que volume de água, em
acres-pé, caiu sobre a cidade?
05 - Em um centímetro cúbico de uma nu-
vem cúmulo típica existem de 50 a 500 gotas
d’água, com um raio típico de 10µm. Para essa
faixa de valores, determine os valores mín-
imo e máximo, respectivamente, das seguintes
grandezas: (a) número de metros cúbicos de
água numa núvem cúmulo cilíndrica com 3km
de altura e 1km de raio; (b) número de gar-
rafas de um litro que podem ser enchidas com
essa quantidade de água; (c) a massa da água
contida nessa núvem, sabendo que a massa
específica da água é de 1000kg/m3.
06 - Como a rotação da Terra esta gradual-
mente se tornando mais lenta, a duração de
cada dia esta aumentando: o dia no fim de
1,0 século é 1, 0ms mais longo do que o dia
no início do século. Em 20 séculos, qual é a
soma dos aumentos diários no tempo (isto é, a
soma do ganho do primeiro dia com o ganho
no segundo dia, etc.)?
07 - O ouro, que tem uma massa de 19, 32g
para cada centímetro cúbico de volume, é o
metal mais maleável e pode ser prensado até
uma folha fina ou estirado até um longo fio.
(a) Se uma amostra de ouro, com uma massa
de 27, 63g, for prensada até formar uma folha
de espessura igual a 1, 000µm, qual será a área
desta folha? Se em vez disso o ouro fosse
estirado até formar um fio cilíndrico de raio
igual a 2, 500µm, qual seria o comprimento do
fio?
08 - Um antigo manuscrito revela que um
proprietário de terras no tempo do Rei Artur
possuía 3,00 acres de terra cultivada mais uma
área para criação de gado de 25,0 perchas por
4,00 perchas. Qual era a área total (a) na antiga
unidade de roods e (b) na unidade mais mod-
erna de metros quadrados? Aqui, 1 acre é uma
área de 40 perchas por 4 perchas, 1 rood é uma
área de 40 perchas por 1 percha, e 1 percha =
16,5 pés.
09 - Os grãos de areia fina das praias da Cal-
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Unidades e vetores • Agosto 2014
ifórnia têm o formato aproximado de esferas
com um raio médio de 50µm e são feitas de
dióxido de silício. Um cubo sólido de dióxido
de silício com um volume de 1, 00m3 tem uma
massa de 2500kg. Que massa de grãos de areia
teria uma área superficial total (a área total de
todas as esferas individuais) igual à área da
superfície de um cubo de 1, 00m de lado?
10 - Uma corda é um volume de madeira
de corte correspondente a uma pilha de 8 pés
de comprimento, 4 pés de largura e 4 pés de
altura. Quantas cordas há em 1m3?
11 - Ao comprar comida para uma reunião
de políticos você encomendou erroneamente
ostras do pacífico sem casca de tamanho mé-
dio (um pint americano contém 8 a 12 dessas
ostras), em vez de ostras do atlântico sem casca
de tamanho médio (um pint americano contêm
26 a 38 dessas ostras). As ostras chegaram em
uma caixa de isopor cujas dimesões internas
são 1m× 12cm× 20cm, e um pint americano
equivale a 0, 4732 litros. Quantas ostras você
pediu a menos?
12 - Cada degrau de uma escada padrão
para interiores tem uma altura de 19cm e um
comprimento horizontal de 23cm. Pesquisas
sugerem que as escadas seriam mais seguras
na descida se o comprimento horizontal de
um degrau fosse de 28cm. Para uma escada
particular de altura total igual a 4, 57m, quanto
ela avançaria horizontalmente se tal mudança
fosse feita?
13 - Durante uma forte chuva, uma camada
da encosta de uma montanha medindo 2, 5km
horizontalmente, 0, 80km ao longo do declive
e 2, 0m de profundidade desliza em direção
a um vale. Suponha que a lama resultante
fique uniformemente distribuída sobre uma
superfície do vale medindo 0, 40km× 0, 40km e
que a massa de um metro cúbico de lama seja
1900kg. Qual é a massa da lama situada acima
de uma área de 4, 0m2 do piso do vale?
14 - Uma unidade de área frequentemente
usada na medição de áreas de terrenos é o
hectare, definido como 104m2. Uma mina de
carvão de escavação aberta consome 75 hectares
de terra, até uma profundidade de 26m, a cada
ano. Qual é o volume de terra removida por
ano em quilômetros cúbicos?
15 - Um cubo sólido de alumínio (densi-
dade 2, 7g/cm3) tem um volume de 0, 200cm3.
É conhecido que 27, 0g de alumínio contêm
6, 02 × 1023 átomos. Quantos átomos de
alumínio estão contidos no cubo?
16 - O maior diamante do mundo é o First
Star of Africa (Primeira Estrela da África) (mon-
tado no cetro real inglês e mantido na Torre
de Londres). Seu volume é igual a 1, 84pol3.
(a) Qual o seu volume em centímetros cúbicos?
(b) E em metros cúbicos?
17 - A lei de Newton da gravitação univeral
é representada por F = GMmr2 , onde F é a força
gravitacional, M e m são massas e r é uma dis-
tância. A força tem as unidades S.I. kg ·m/s2.
Quais são as unidades S.I. da constante de
proporcinalidade G?
18 - De acordo com o rótulo de um frasco
de molho para salada, o volume do conteúdo
é de 0, 473 litros (l). Usando a conversão
1l = 1000cm3, expesse esse volume em milímet-
ros cúbicos.
2 Vetores
19 - A componente x do vetor ~A é −25, 0m
e a componente y é +40, 0m. (a) Qual é o
módulo de ~A? (b) Qual é o ângulo entre a
orientação de ~A e o semi-eixo x positivo?
20 - Dois vetores são dados por~a = (4, 0i−
3, 0j + 1, 0k)m e ~b = (−1, 0i + 1, 0j + 4, 0k)m.
Em termos e vetores unitários, determine (a)
~a+~b, (b)~a−~b e (c) um terceiro vetor,~c, tal que
~a−~b+~c = 0.
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21 - Os vetores ~a e ~b da figura têm módu-
los iguais a 10m e os ângulos são θ1 = 30◦ e
θ2 = 105◦. Determine as componentes (a) x e
(b) y da soma vetorial~r dos dois vetores, (c) o
módulo de ~r e (d) o ângulo que ~r faz com o
semi-eixo positivo.
22 - Um explorador foi surpreendido por
uma nevasca (na qual a neve era tão espessa
que impedia a visão do horizonte) quando
retornava para a base de seu acampamento.
Para chegar à base a partir desse ponto, ele
deveria ter seguido para o norte por 5, 6km,
mas quando o tempo clareou, ele percebeu
que na realidade havia se deslocado 7, 8km 50◦
ao norte do leste. (a) Que distância e (b) em
que sentido ele deve deslocar-se agora para
retornar a base?
23 - Use a definição do produto escalar,
~a ·~b = abcosθ, e o fato de que ~a ·~b = axbx +
ayby + azbz para calcular o ângulo entre os
dois vetores dados por ~a = 3, 0i+ 3, 0j+ 3, 0k
e~b = 2, 0i+ 1, 0j+ 3, 0k.
24 - No produto ~F = q~v× ~B, tome q = 2,
~v = 2, 0i+ 4, 0j+ 6, 0k e ~F = 4, 0i− 20j+ 12k.
Qual é, em termos de vetores unitários, o vetor
~B, sabendo-se que Bx = By?
25 - Considere os seguintes deslocamen-
tos em metros: ~d1 = 4, 0i + 5, 0j− 6, 0k, ~d2 =
−1, 0i+ 2, 0j+ 3, 0k e ~d3 = 4, 0i+ 3, 0j+ 2, 0k.
(a) Qual é o vetor~r = ~d1 − ~d2 + ~d3? (b) Qual é
o ângulo entre~r e o sentido positivo do eixo z?
(c) Qual é a componente de ~d1 no sentido de
~d2? (d) Qual componente de ~d1 é perpendicu-
lar aosentido de ~d2 e está no plano definido
por ~d1 e ~d2?
26 - Considere os três vetores seguintes
em metros: ~d1 = −3, 0i + 3, 0j + 2, 0k, ~d2 =
−2, 0i− 4, 0j+ 2, 0k e ~d3 = 2, 0i+ 3, 0j+ 1, 0k. O
que resulta de (a) ~d1 · (~d2 + ~d3), (b) ~d1 · (~d2× ~d3)
e (c) ~d1 × [~d2 × (~d2 + ~d3)]?
27 - (a) Mostre que ~a · (~b×~a) é zero para
todos os vetores ~a e ~b. (b) Qual é o módulo
de ~a× (~b×~a) se existe um ângulo φ entre os
sentidos de~a e~b?
3 Respostas
01. (a) 160 varas, (b) 40 cadeias; 02. (a) 4, 00×
104km, (b) 5, 10× 108km2, (c) 1, 08× 1012km3;
03. 1, 9× 1022cm3; 04. 1, 1× 103acres-pé; 05. (a)
de 2, 0× 103m3 à 2, 0× 104m3, (b) de 2, 0× 106
à 2, 0 × 107 garrafas, (c) de 2 milhões à 20
milhões de quilogramas; 06. 7305s; 07. (a)
1, 430m2, (b) 7, 284× 104m; 08. (a) 14, 5roods,
(b) 1, 47× 104m2; 09. 0, 260kg; 10. 0,3 corda; 11.
de 700 à 1500 ostras; 12. 1, 2m; 13. 1, 9× 105kg;
14. 0, 020km3; 15. 1, 20× 1022 átomos; 16. (a)
30, 2cm3, (b) 3, 02× 10−5m3 17. N ·m2/kg2; 18.
473× 103mm3; 19. (a) 47, 2m, (b)122◦; 20. (a)
(3, 0i− 2, 0j+ 5, 0k)m, (b)(5, 0i− 4, 0j− 3, 0k)m,
(c) (−5, 0i + 4, 0j+ 3, 0k)m; 21. (a) rx = 1, 59,
(b)ry = 12, 07, (c) 12, 18m, (d) 82, 50◦; 22. (a)
5km, (b) 4, 3◦ ao sul do oeste; 23. 22◦; 24.
−3, 0i− 3, 0j− 4, 0k; 25. (a) 9, 0i+ 6, 0j− 7, 0k,
(b) 123◦, (c) −3, 2m, (d) 8, 2m; 26. (a) 3, 0m2,
(b) 52, 0m2,(c) −6, 0i + 14, 0j + 12, 0k; 27. (a)
Demonstração, (b) a2b sin φ.
References
[1] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER,
J.; Fundamentos de Física, volume 1, 8a
edição, LTC, Rio de Janeiro, 2009.
[2] TIPLER, P. A.; MOSCA, G.; Física para Ci-
entistas e Engenheiros, volume 1, 6a edição,
LTC, Rio de Janeiro, 2009.
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