Betão Armado e Pré esforçado

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Betão Armado e Pré-esforçado 
 
 
 Fundamentos de betão pré-esforçado 
 
 
 
 
 
 
 
série ESTRUTURAS 
álvaro santos 
joão guerra martins 1ª edição / 2006 
 
 
Apresentação 
Este texto resulta, genericamente, o repositório da Monografia da Eng.º Álvaro Santos. 
Pretende, contudo, o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer à 
especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ainda mais ao que se julga pertinente e 
alargar-se ao que se pensa omitido. 
Embora o texto tenha sido revisto, esta versão não é considerada definitiva, sendo de supor a 
existência de erros e imprecisões. Conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os 
contributos técnicos que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem. 
 
João Guerra Martins 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
I 
Sumário 
Este trabalho tem por objectivo principal apresentar os fundamentos do betão pré-esforçado, 
presente em enumeras obras por todo o mundo. 
Procura-se uma abordagem, tão actual quanto possível, do pré-esforço por pós-tensão com 
aderência, seu dimensionamento e execução em vigas pré-esforçadas. 
Porque apenas se vão abordar os seus princípios básicos o texto será limitado à sua mecânica 
em estruturas isostáticas, situação de emprego que vigorou, de qualquer modo e mesmo para 
pontes e viadutos, até aos anos 60 e 70. Contudo, será de salientar que o seu uso limitado a 
estruturas isostáticas esteve fortemente relacionado com a ausência de meios computacionais 
de cálculo, que tornassem acessível um estudo fiável e conclusivo para condições de 
hiperestaticidade. 
 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
II 
Índice Geral 
SUMÁRIO ..............................................................................................................................................................I 
ÍNDICE GERAL.................................................................................................................................................. II 
ÍNDICE DE FIGURAS....................................................................................................................................... IV 
ÍNDICE DE QUADROS..................................................................................................................................VIII 
INTRODUÇÃO..................................................................................................................................................... 1 
1. PRÉ-ESFORÇO APLICADO AO BETÃO.................................................................................................... 4 
1.1. CONCEITO DE PRÉ-ESFORÇO......................................................................................................................... 4 
1.2. BREVE REFERÊNCIA HISTÓRICA.................................................................................................................... 7 
1.3. ALGUMAS OBRAS COM PRÉ-ESFORÇO........................................................................................................... 8 
1.4. PARTICULARIDADES DO BETÃO PRÉ-ESFORÇADO EM RELAÇÃO AO BETÃO ARMADO ................................ 12 
1.5. PRINCÍPIOS DO PRÉ-ESFORÇO. .................................................................................................................... 16 
1.6. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO..................................................................................................... 17 
1.7. FUNCIONAMENTO ESTRUTURAL DO BETÃO PRÉ-ESFORÇADO...................................................................... 21 
1.8. TRAÇADO DOS CABOS................................................................................................................................. 26 
1.8.1. Fundamento físico do traçado dos cabos .......................................................................................... 26 
1.8.2. Influência de aspectos construtivos no traçado dos cabos ................................................................ 30 
1.8.3. Método das cargas equivalentes........................................................................................................ 31 
2. MATERIAIS E EQUIPAMENTO DE PRÉ-ESFORÇO............................................................................. 33 
2.1. BETÃO........................................................................................................................................................ 35 
2.2. AÇO DE PRÉ-ESFORÇO ................................................................................................................................ 36 
2.3. PRINCIPAIS PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS AÇOS..................................................................................... 38 
2.4. CORROSÃO DOS AÇOS DE PRÉ-ESFORÇO ..................................................................................................... 39 
2.5. BAINHAS .................................................................................................................................................... 40 
2.6. CALDA DE CIMENTO PARA A INJECÇÃO....................................................................................................... 41 
2.7. EQUIPAMENTOS DE APLICAÇÃO DE PRÉ-ESFORÇO ...................................................................................... 42 
3. PERDAS DE TENSÃO................................................................................................................................... 43 
3.1. PERDAS INICIAIS DE PRÉ-ESFORÇO.............................................................................................................. 45 
3.2. PERDAS INSTANTÂNEAS DE PRÉ-ESFORÇO .................................................................................................. 46 
3.2.2. Perdas por atrito ............................................................................................................................... 48 
3.2.3. Perdas por reentrada de cabos.......................................................................................................... 50 
3.3. PERDAS DIFERIDAS..................................................................................................................................... 52 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
III 
3.3.1. Fluência............................................................................................................................................. 52 
3.3.2. Retracção........................................................................................................................................... 53 
3.3.3. Relaxação do aço............................................................................................................................... 53 
3.4. PROCESSO SIMPLIFICADO PARA O CASO DE FASES ÚNICAS DE OPERAÇÃO................................................... 55 
3.5. DETERMINAÇÃO DO ALONGAMENTO TEÓRICO DOS CABOS ......................................................................... 56 
4. ANÁLISE DE SECÇÕES............................................................................................................................... 59 
4.1. HIPÓTESES BÁSICAS................................................................................................................................... 59 
4.2. ANÁLISE ELÁSTICA EM FASE NÃO FENDILHADA.......................................................................................... 60 
4.3. ANÁLISE ELÁSTICA EM FASE FENDILHADA ................................................................................................ 61 
4.4. Resistência última da secção em análise não linear. ........................................................................... 63 
5. DIMENSIONAMENTO DO PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS ISOSTÁTICAS............................................ 65 
5.1. EQUAÇÕES LIMITES DE TENSÃO................................................................................................................. 66 
5.2. DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ...................................................................................... 70 
5.3. DIAGRAMA DE MAGNEL............................................................................................................................. 71 
5.4. FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO MÍNIMA .............................................................................................................. 73 
5.6. FUSO LIMITE .............................................................................................................................................. 76 
5.7. DIMENSIONAMENTO DA RESISTÊNCIA ÚLTIMA .......................................................................................... 78 
5.8. ESCOLHA DO NÚMERO DE CABOS .............................................................................................................. 78 
5.9. ESCOLHA DA SECÇÃO................................................................................................................................. 78 
5.10. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS................................................................................................................... 79 
6. ESTADOS-LIMITES ÚLTIMOS.................................................................................................................. 82 
6.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO ......................................................................................................... 82 
6.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO ................................................................................. 90 
6.3. RESUMO DOS PASSOS DE DIMENSIONAMENTO ............................................................................................ 93 
CONCLUSÃO ..................................................................................................................................................... 96 
BIBLIOGRAFIA................................................................................................................................................. 99 
ANEXO A – LÉXICO (NÃO REVISTO) ....................................................................................................... 100 
ARMADURA DE PRÉ-ESFORÇO ......................................................................................................................... 101 
 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
IV 
Índice de Figuras 
Figura 1.1 - Introdução de um estado prévio de tensões numa fila de livros ou num conjunto de blocos [1]............................. 4 
Figura 1.2 A - Sistema de construção em avanços sucessivos [1]. ............................................................................................. 6 
Figura 1.2 B - Sistema de construção por pré-fabricação [1]. .................................................................................................... 6 
Figura 1.3 - Utilização de tirantes em estruturas de contenção de maciços terrosos ou rochosos. a) Muro vertical com tirantes 
pré-esforçados. B) Tirantes pré-esforçados com placas individuais de apoio. c) Tirantes pré-esforçados, ancorados no maciço 
de fundação, usados como ancoragem de uma barragem [1] ..................................................................................................... 9 
Figura 1.4 - Ponte pré-esforçada com cabos de estabilidade da estrutura (Portugal) [6]. ........................................................... 9 
Figura 1.5 - Edifício com lajes pré-esforçadas (Hong Kong) [6]. ............................................................................................ 10 
Figura 1.6 - Interior de uma viga caixão pré-esforçada, cabos de pós-tensão externos (Suiça) [6]. ......................................... 10 
Figura 1.7 - Pré-esforço em 30.000m2 de laje térrea (Chile) [6]............................................................................................... 10 
Figura 1.8 - Supressão de 70% dos pilares e aumento da extensão de 6.30m para 12.60m (Espanha) [6]. .............................. 11 
Figura 1.9 - Instalação de ancoragens de 900 escoras à terra provisórias, até de funcionamento 2.200KN e 2.400 m2 dos 
painéis de betão pulverizados para a retenção de níveis superiores da rocha e das argilas do maciço terroso (Austrália) [6].. 11 
Figura 1.10 - Ponte pré-esforçada com uma extensão de 120m de comprimento e uma altura de 15m, primeira no mundo 
(Coreia do Sul) [6].................................................................................................................................................................... 11 
Figura 1.11 - Estrutura Pré-esforçada, Museu nacional Arte Contemporânea (Brasil)............................................................. 12 
Figura 1.12 - Reservatório de água em Betão Pré-esforçado (em Naples, Florida, USA) e silo............................................... 12 
Figura 1.13 - Exemplo de uma secção flectida, com armadura convencional [a] e com armadura pré-esforçada [b]. Para a 
mesma tensão (σc) a viga pré-esforçada apresenta uma resistência em serviço aproximadamente igual ao dobro da viga de 
betão armado [1]. ..................................................................................................................................................................... 13 
Figura 1.14 - Sistema de Pré-tensão [3] ................................................................................................................................... 18 
Figura 1.15 - Esquema de uma viga pós-tensionada, com aderência da VSL [6]. .................................................................... 19 
Figura 1.16 - Pormenor da ancoragem/bainha e o tracção dos cabos (aplicação do pré-esforço) [6]. ...................................... 19 
Figura 1.16.A - Pormenor da ancoragem/bainha e o tracção dos cabos (aplicação do pré-esforço) [6]. .................................. 20 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
V 
Figura 1.17 - Tensões devidas ao pré-esforço centrado e o peso próprio a meio vão............................................................... 23 
Figura 1.18 - Convenção de sinais [4]...................................................................................................................................... 24 
Figura 1.19 - Tensões devido ao pré-esforço com excentricidade e ao peso próprio a meio vão [4]........................................ 24 
Figura 1.20 - Efeito do pré-esforçado aplicado por um cabo curvo [2] .................................................................................... 25 
Figura 1.21 - Variação das tensões numa viga simplesmente apoiada [1]................................................................................ 26 
Figura 1.22 - Efeito do pré-esforço centrado numa viga simplesmente apoiada sujeita a um carregamento uniforme [1]....... 27 
Figura 1.23 - Distribuição de tensões na secção em função do ponto de aplicação da força de pré-esforço: a) P aplicado no 
eixo neutro da secção; b) P aplicado fora do eixo neutro e dentro do perímetro do núcleo central de inércia; c) P aplicado no 
perímetro do núcleo central; d) P aplicado fora do núcleo central de inércia [1]. .................................................................... 28 
Figura 1.24 - Perfil dos cabos e do diagrama flector (peça hiperestática) [1, adaptado]........................................................... 29 
Figura 1.25 - Demonstração gráfica e matemática de MP = P×e [1] ......................................................................................... 29 
Figura 1.26 - Tipos de pré-esforço utilizados em vigas simplesmente apoiadas: 1) cabo rectilíneoancorado nas faces laterais 
da viga; 2) cabo parabólico ancorado nas faces laterais da viga; 3) ancoragens activas nas faces laterais da viga; 4) cabo 
parabólico ancorado na face superior da viga; 5) ancoragem activa, na face superior da viga [1] ........................................... 31 
Figura 1.27 - Equilíbrio de uma força concentrada através de um traçado composto por dois troços recto [4]........................ 32 
Figura 1.28 - Equilíbrio de uma força uniformemente distribuída através de um traçado composto por um cabo parabólico [4].
................................................................................................................................................................................................. 33 
Figura 1.29 - Tipos de cabos de pré-esforço utilizados em vigas continuas: a) Viga continua de dois tramos; b) viga continua 
de três tramos; 1) cabo parabólico ancorado nas faces laterais da viga; 2) Cabo parabólico ancorado na face superior da viga; 
3) cabo parabólico ancorado dentro da viga através de uma ancoragem passiva; 4) cabo parabólico, com uma extremidade 
ancorado na face inferior (pormenor de difícil execução); 5) ancoragem activa na face lateral; 6) ancoragem activa na face 
superior; 7) ancoragem passiva na face lateral; 8) ancoragem activa na face inferior. Os eixos dos cabos são geralmente 
projectados como associações de parábolas e trechos rectilíneos [Pfeil, 1984, segundo referência 1 da bibliografia]............. 34 
Figura 2.1 - Diagrama característico de vários tipos de aço [2, 4, 15]...................................................................................... 38 
Figura 2.2 - Pormenor de uma bainha [1]................................................................................................................................. 41 
Figura 2.1 - Diagrama de limites de tensão/extensão [3].......................................................................................................... 45 
Figura 2.2 - Ângulo de desvio [3] ............................................................................................................................................ 50 
Figura 2.3 - Perda de carga devida a reentrada de cabos [3] .................................................................................................... 51 
Figura 2.4. Variação do valor da relaxação com a tensão instalada [3] .................................................................................... 54 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
VI 
Figura 2.5 - Variação da força de pré-esforço ao longo de uma peça após perdas por atrito [3] .............................................. 57 
Figura 2.6 - Perdas de tensão no sistema de pós-tensão com aderência [3].............................................................................. 57 
Figura 2.7 - Perdas de tensão no sistema de pré-tensão [3] ...................................................................................................... 58 
Figura 4.1 - Nomenclatura para a secção [4] ............................................................................................................................ 60 
Figura 4.2 - Secção em fase fendilhada [4] .............................................................................................................................. 61 
Figura 4.2 - Momento ao nível das armaduras [4].................................................................................................................... 63 
Figura 4.5 - Diagrama rectangular correspondente ao diagrama parábola-rectângulo.............................................................. 64 
Figura 5.1 Convenções aplicadas ............................................................................................................................................. 66 
Figura 5.2.- Representação gráfica dos limites de tensões [4].................................................................................................. 67 
Figura 5.3 - Variação das tensões em secção de momentos positivos e excentricidade máxima da armadura de pré-esforço [4].
................................................................................................................................................................................................. 68 
Figura 5.4 - Diagrama de Magnel [4, adaptado]...................................................................................................................... 73 
Figura 5.5 - Determinação gráfica do pré-esforço mínimo e excentricidade máxima.[4]......................................................... 74 
Figura 5.6 - Excentricidade admissível [4] ............................................................................................................................... 75 
Figura 5.7 - Pré-esforço mínimo para eA > eadm [4] ............................................................................................................... 75 
Figura 5.8 - Fuso limite numa viga simplesmente apoiada [4] ................................................................................................. 77 
Figura 5.12 - Exemplos de secções pré-esforçadas [2]............................................................................................................. 80 
Figura 6.1 - Diagrama de Estado Limite Ultimo de Flexão [3] ................................................................................................ 83 
Figura 6.2 - Diagrama Tensões Extensões [3].......................................................................................................................... 84 
Figura 6.3 - 1ª iteração para Estado limite ultimo de flexão [4] ............................................................................................... 85 
Figura 6.4 - Diagramas para Estado limite ultimo de flexão, tipo A e B [4] ............................................................................ 86 
Figura 6.5 - Determinação da linha neutra (xu), por interpolação [3] ....................................................................................... 86 
Figura 6.6 - Diagrama Estado Limite Ultimo. Método Geral [3] ............................................................................................. 87 
Figura 6.7 - Diagrama Estado Limite Ultimo. Método Simplificado [4].................................................................................. 88 
Figura 6.8 - Definição da secção equivalente ........................................................................................................................... 89 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
VII 
Figura 6.9 - Estado Limite último de esforço transverso [2] .................................................................................................... 90 
Figura 6.10 - Momento de descompressão [3] ......................................................................................................................... 91 
Figura 5.11 - Vectores de forças............................................................................................................................................... 92 
Figura 6.12 - Definição das larguras da alma, bω, e da bainha Ø [4] ........................................................................................ 93 
Figura 6.13 - Fluxograma de dimensionamento de peça em betão pré-esforçado [4]............................................................... 95 
 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
VIII 
Índice de Quadros 
Quadro I.1. - Relações entre resistência e o preço unitário dos materiais utilizados em betão armado (BA) e betão pré-
esforçado (BP) [1]. ................................................................................................................................................................... 14 
Quadro 2.1-Valores máximos do pré-esforço na origem [11]. ................................................................................................ 45 
Quadro 2.2- Coeficientes de atrito em curva e recta................................................................................................................. 49 
Quadro 4.1 - Equações fundamentais em análise elástica para Fase Fendilhada [2, 4]. ........................................................... 62 
Quadro 6.1 - Largura das almas ............................................................................................................................................... 93 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
1 
Introdução 
O pré-esforço continua hoje, muito embora, como uma solução pouco usada na actividade da 
construção civil, vicissitude em que também cai a pré-fabricação (com excepção das vigotas 
pré-esforçadas para pavimentos, profusamente usadas no Norte do país). Por razões de vária 
ordem, hipoteticamente também relacionada com opções de projecto arquitectónico e de 
estabilidade, as empresas de construção não tem usufruído de uma eventual redução dos 
custos e de um aumento da produtividade para diversas situações de solução estrutural. Sendo 
certo que não se quer com isto insinuar que o betão armado devia ser liminarmente 
substituído pelo betão pré-esforçado, a verdade é que mesmo para edifícios o seu emprego 
pode ser competitivo, designadamente em áreas comerciais, industriais e de parqueamento. 
Tendo em conta a diversidade e a complexidade das situações de trabalho, estes 
conhecimentos têm de ser adaptados ao projecto a que diz respeito. Constituem, no entanto, 
orientações e pontos de chamada de atenção, necessários para desenvolver uma boa 
integração das medidas de pré-esforço na concepção dos projectos da especialidade. Não 
dispensam o recurso a conhecimentos mais aprofundados, especialmente no caso de se estar 
em presença de projectos mais específicos, nem a consulta da regulamentação aplicável. 
A política de produtividade nas empresas é muito importante e surge no sentido de procurar 
realizar os trabalhos de pré-esforço com qualidade e alto rendimento para todos os 
intervenientes, porque estamos convencidos que só com qualidade de vida se conseguirá 
qualidade no trabalho. Com a escassez de obras que se tem feito sentir nos últimos tempos e 
com os reduzidos prazos para a sua execução, quando surgem, de facto só com organização se 
poderá atingir o objectivo a aumentar os índices de produtividade e procurando sempre obter 
máximo rendimento. 
Em termos da organização deste texto, no primeiro capítulo vai ser dada especial atenção ao 
conceito de Pré-esforço. Torna-se necessário referir vários aspectos importantes, como por 
exemplo, as suas aplicações, técnicas e legislação indispensável para se cumprir durante à 
execução do mesmo. Nesta linha de pensamento, faz-se uma súmula das operações que estão 
directamente envolvidas na construção deste tipo de estruturas, ilustrando conjuntamente 
quais os equipamentos que intrinsecamente estão relacionados com o pré-esforço de 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
2 
estruturas isostáticas, mais especificamente vigas pré-esforçadas, em cada uma das fases de 
execução. 
Uma vez enquadrados na essência do tema escolhido, é feita, no segundo capitulo uma 
análise detalhada dos materiais e equipamentos utilizados em estruturas de betão pré-
esforçado. 
No terceiro capítulo, são apresentados os tipos de perdas de tensão no pré-esforço, sendo 
também indicado o processo comum do cálculo dessas perdas ao longo de uma peça, tais 
como perdas instantâneas e perdas diferidas. 
O quarto capítulo é apresentado a análise de secções, neste capítulo são estudados apenas os 
casos do Betão pré - tensionado e pós - tensionado com aderência, enunciando as hipóteses 
básicas de análise: Analise Linear Elástica em fase não Fendilhada; Analise Linear Elástica em 
fase Fendilhada e por último, a Analise Não Linear, Resistência Ultima de Secção. 
O quinto capitulo retrata os aspectos mais importantes do dimensionamento de vigas 
isostáticas de betão pré-esforçado de forma resumida todos os passos do dimensionamento. O 
objectivo do dimensionamento consiste em garantir que os limites de tensões vão ser 
cumpridos, as peças apresentam características de resistência e de durabilidade adequadas. 
No sexto capítulo, são apresentados os Estados Limites Últimos, intrinsecamente conjugados 
no dimensionamento das estruturas. È efectuada analise ao Estado Limite Ultimo de Flexão 
com base em um quatro métodos: Método Geral Iterativo; Método Geral; Método 
Simplificado; Método Simplificado para secções em T. Neste capítulo a verificação de 
segurança ainda abrange o Estado Limite Último de Esforço Transverso. 
Por ultimo o sétimo capitulo, apresenta as Zonas de Elementos Sujeitas a Forças 
Concentradas, a zona de ancoragem a estudar, corresponde à parte do elemento (viga) situada 
entre a face de aplicação da carga localizada e a secção a partir da qual (princípio de Saint 
Venant) se desenvolve uma distribuição linear de tensões característica das peças lineares. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
3 
Finalmente, em prol dos conhecimentos adquiridos, são apresentadas as principais conclusões 
decorrentes dos capítulos antecedentes, realçando-se as principais problemáticas associadas à 
concepção e analise deste tipo de estruturas e pré-esforço em estruturas isostáticas. 
Refira-se que é indispensável para a compreensão do conteúdo deste trabalho que o leitor já 
tenha sólidos conhecimentos prévios em Betão Armado, pois a sua elaboração parte desse 
princípio. 
Diga-se, ainda, que o Anexo A dispõe de um pequeno léxico dos termos mais usados neste 
trabalho, que poderá ser consultado em caso de desconhecimento ou dúvida no significado de 
algum termo aqui utilizado. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
4 
1. Pré-esforço aplicado ao betão 
Neste capítulo vai ser dada especial atenção ao conceito de pré-esforço, já que se torna 
necessário referir vários aspectos importantes, como por exemplo, as suas aplicações, técnicas 
e legislação indispensável para se cumprir durante a concepção e execução do mesmo. 
Devido à sua natureza muito fragmentada, o sector da construção não investe suficientemente 
na formação, na pesquisa e na comercialização. As pequenas empresas são muitas vezes mal 
geridas e algumas delas não possuem as competências técnicas necessárias. Um número 
muito grande de pequenas e médias empresas não tem conhecimento de causa e por isso não 
usufrui das enumeras vantagens desta técnica. 
1.1. Conceito de Pré-esforço. 
“Pré-esforço é um artifício que consiste em introduzir, numa estrutura, um estado prévio de 
tensões, de modo a melhorar a sua resistência ou comportamento, sob acção de diversas 
condições de carga”, citando Pfeil, 1984 [1]. 
Um exemplo muito simples e bastante significativo de pré-esforço é, por exemplo, a situação 
em que uma pessoa carrega um conjunto de livros de uma fila horizontal (fig. 1.1). Para que 
os livros sejam levantados sem caírem, é necessária a aplicação de uma força horizontal que 
os comprima uns contra os outros, produzindo assim forças de atrito capazes de superar o 
peso próprio do conjunto. 
 
Figura 1.1 - Introdução de um estado prévio de tensões numa fila de livros ou num conjunto de blocos [1] 
Igual situação se pode pôr num conjunto de blocos que se pretenda fixar (fig. 1.1). 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
5 
A aplicação da desta força normal pode ser entendida como uma forma de pré-esforçar um 
conjunto de elementos estruturais, no caso uma fila de livros, com o objectivo de se criar 
tensões prévias contráriasaquelas que podem inviabilizar ou prejudicar a operação ou o uso 
desejado [1]. 
Um barril é também um exemplo de estrutura pré-esforçada. O barril é composto por gomos 
de madeira apertados por aros metálicos. A compressão produzida pelos aros opõe-se as 
tensões causadas pela pressão interna do líquido dentro do barril, que geram tracções nessas 
aduelas. 
Contudo, neste caso não se trata apenas da prévia tensão de compressão, aplicada nos aros, 
contrariar a tensões de tracção que o impulso do líquido lhes vai induzir, pois estes aros 
metálicos podiam ter o seu material em repouso (tensão quase nula) até que a solicitação da 
pressão hidrostática do fluido tende-se a abrir dos gomos e lhes mobilizasse a sua resistência. 
Na verdade, o mais importante será não deixar o líquido refluir entre os gomos, pelo que os 
mesmos devem permanecer justos antes e depois da solicitação do fluido, ou seja: as tensões 
nos aros devem ser sempre de compressão, mesmo já antes da acção solicitante. 
Se a questão fosse apenas a resistência, e o equilíbrio directo de forças, tal pré-compressão 
não seria necessária, bastando que as aduelas tivessem a resistência mecânica suficiente 
aquando do enchimento do barril. Aqui trata-se de não permitir qualquer folga entre os 
gomos, assim, por semelhança, se o material de fabrico fosse betão armado esse propósito 
dificilmente seria conseguido, dada provável de abertura de fendas (ainda que pequenas) por 
ausência de pré-compressão (as armaduras passivas - varões correntes - só começariam a 
trabalhar quando o liquido estabelecesse uma solicitação, sucedendo que com a sua natural 
deformação, conjunta com a do betão, este último rapidamente fissuraria, dada a sua fraca 
resistência à tracção). 
Pelo exposto se conclui da conveniência do uso de betão pré-esforçado numa situação destas, 
pois o betão estaria em compressão antecipada à solicitação, e se as tensões de tracção 
solicitantes não ultrapassassem estas de compressão prévia, o betão nunca poderia fissurar 
(por insuficiência de resistência à tracção, apenas haveria que acautelar que a compressão 
inicial não seria superior à da resistência do betão à compressão, esmagando-o). Óbvio será 
que no caso de armazenamento de material granular este problema não tem a mesma 
premência. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
6 
A situação atrás traduzida tem algumas semelhanças com a construção de pontes por avanços 
sucessivos, designadamente até ao fecho da mesma (fig. 1.2 A), sendo certo que a presença do 
pré-esforço também visa permitir a redução do peso próprio e o aproveitamento optimizados 
da resistência dos materiais (betão e aço). 
 
Figura 1.2 A - Sistema de construção em avanços sucessivos [1]. 
Também, e ainda no que pontes trata, idêntica situação se coloca num sistema de construção 
pré-fabricada (fig. 1.2 B). 
 
Figura 1.2 B - Sistema de construção por pré-fabricação [1]. 
Pode-se citar, ainda, o caso de uma roda de bicicleta como uma estrutura tensionada. O aro 
externo é ligado a um anel interno por meios de fios de aço sob tensão. As tensões de tracção 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
7 
previamente aplicadas aos raios garantem a estabilidade do aro externo, que fica em 
compressão tangencial, verificada a resistência do material e os fenómenos de encurvadura. 
A palavra pré-esforço (prestressing em inglês, précontrainte em francês) é, deste modo, a 
intenção de criar um estado permanente de tensões em estruturas, e materiais de construção, 
de forma a melhorar o seu comportamento em serviço e aumentar a sua capacidade de 
resistência, as cargas sobre elas aplicadas [1]. Diríamos, complementarmente, e tendo em 
conta o caminhar dos tempos, que se poderá tornar uma forma alternativa ao betão armado, 
mesmo em estruturas relativamente correntes, dado superior desempenho mecânico e o 
abaixamento progressivo do custo de aço de pré-esforço. 
1.2. Breve referência histórica. 
O desenvolvimento do betão armado e pré-esforçado deu-se a partir da criação do cimento 
Portland, na Inglaterra, em 1824. Nos anos que se seguiram, os franceses e os alemães 
também começaram a produzir cimento e a criar as várias formas de melhorar a capacidade de 
esforço do betão. Foi em 1877 que o americano Hyat reconheceu claramente o efeito da 
aderência entre o betão e a armadura. Após vários ensaios com construções de betão, passou-
se a colocar a armadura apenas do lado traccionado das peças [1]. 
A primeira intensão de pré-tensionar o betão foi anunciada em 1886, por P. H. Jackson, de 
São Francisco (EUA). No final do século XIX seguiram-se várias patentes de métodos de pré-
esforço e ensaios, sem êxito, pois o pré-esforço perdia-se devido a retracção e fluência do 
betão, desconhecidas naquela época. Só por volta de 1912, Koeman e Mörsch reconheceram 
que o efeito de um pré-esforço reduzido era perdido no decorrer do tempo, devido à retracção 
e deformação lenta do betão [1]. 
Em 1919, K.Wettein fabricou, na Alemanha, painéis de concreto pré-esforçado com cordas de 
aço para piano (cordas de alta resistência). Tal facto foi associado ao desenvolvimento de aços 
de alta resistência (1923), quando R. H. Dill, dos EUA, reconheceu que se deveriam usar fios 
de alta resistência sob elevadas tensões para superar as perdas de pré-esforço [1]. 
Em 1928 é foi apresentado e patenteado o primeiro trabalho consistente de pré-esforço pelo 
engenheiro francês Eugène Freyssinet, tornando-se o pré-esforço uma realidade. A Freyssinet 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
8 
se deve os grandes desenvolvimentos no domínio da concepção das ancoragens e do sistema 
dos macacos hidráulicos de aplicação do pré-esforço, sendo ainda referir que lhe é também 
atribuída a aplicação da técnica de vibração mecânica do betão (que antes era aplicado a 
maço). Foi ainda Freyssinet que utilizou pela primeira vez o pré-esforço por aderência (sem 
ancoragens nas extremidades), mas foi E. Hoyer (Alemanha) que primeiro desenvolveu este 
processo em aplicações práticas [1]. 
A aplicação mais generalizada do betão pré-esforçado não foi possível até ao 
desenvolvimento de processos fiáveis e económicos de tracção e ancoragem das armaduras. 
Contribuíram, decisivamente, para o desenvolvimento de novas técnicas de pré-esforço, 
Freyssinet (França) e G. Magnel (Bélgica). 
Em Portugal a primeira ponte realizada em betão pré-esforçado foi a nova ponte da Vala 
Nova, na E.N. 118, entre Benavente e Salvaterra de Magos, construída em 1953-1954. Trata-
se de uma estrutura formada por três tramos isostáticos simplesmente apoiados com vãos de 
33.80m. 
Devido ao grande desenvolvimento das aplicações do betão pré-esforçado foi também 
acompanhado pela criação das primeiras Associações neste domínio: 
⇒ FIP - Fédération de la Précontrainte, de origem europeia; 
⇒ PCI - Prestressed Concrete Institute, criado em 1954 nos EUA. 
 Hoje o betão armado pré-esforçado apresenta crescentes e numerosas aplicações em pontes, 
edifícios, coberturas, reservatórios e silos, ancoragens (no solo e em rocha), estacas, condutas, 
barragens e túneis. 
1.3. Algumas obras com Pré-esforço 
O pré-esforço de betão pode ser usado em diversas aplicações, sendo mesmo quase infinitas, 
dado que é sempre possível inventar um modo diferente de utilizar o pré-esforço, como se viu 
em 1.1. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
9 
Vale ainda a pena citar as estruturas de grande porte, tais como plataformas marítimas 
(offshore) de exploração de petróleo ou gás, invólucros de protecção de centrais atómicas, etc. 
É comum, também, a utilização de tirantes de ancoragem pré-esforçados em obras de terra, 
tais como estruturas de contenção lateral de solos e barragens. 
 
Figura 1.3- Utilização de tirantes em estruturas de contenção de maciços terrosos ou rochosos. a) Muro vertical 
com tirantes pré-esforçados. B) Tirantes pré-esforçados com placas individuais de apoio. c) Tirantes pré-
esforçados, ancorados no maciço de fundação, usados como ancoragem de uma barragem [1] . 
 
Figura 1.4 - Ponte pré-esforçada com cabos de estabilidade da estrutura (Portugal) [6]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
10 
 
Figura 1.5 - Edifício com lajes pré-esforçadas (Hong Kong) [6]. 
 
Figura 1.6 - Interior de uma viga caixão pré-esforçada, cabos de pós-tensão externos (Suiça) [6]. 
 
Figura 1.7 - Pré-esforço em 30.000m2 de laje térrea (Chile) [6]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
11 
 
Figura 1.8 - Supressão de 70% dos pilares e aumento da extensão de 6.30m para 12.60m (Espanha) [6]. 
 
Figura 1.9 - Instalação de ancoragens de 900 escoras à terra provisórias, até de funcionamento 2.200KN e 2.400 
m2 dos painéis de betão pulverizados para a retenção de níveis superiores da rocha e das argilas do maciço 
terroso (Austrália) [6]. 
 
Figura 1.10 - Ponte pré-esforçada com uma extensão de 120m de comprimento e uma altura de 15m, primeira no 
mundo (Coreia do Sul) [6]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
12 
 
Figura 1.11 - Estrutura Pré-esforçada, Museu nacional Arte Contemporânea (Brasil). 
 
 
Figura 1.12 - Reservatório de água em Betão Pré-esforçado (em Naples, Florida, USA) e silo. 
1.4. Particularidades do Betão Pré-esforçado em relação ao Betão Armado 
O betão tem boa resistência à compressão e baixa resistência à tracção. A resistência à 
tracção, cerca de 10% da resistência à compressão, além de pequena é imprecisa, pois o 
material comporta-se de forma aleatória quando traccionado. 
Quando o betão não é bem executado, a retracção acentuada pode provocar fissuras na região 
traccionada da peça, eliminando completamente a resistência à tracção, mesmo antes de 
actuar qualquer solicitação. Devido à sua natureza incerta, a resistência à tracção do betão é 
geralmente desprezada nos cálculos. O artifício do pré-esforço consiste em introduzir esforços 
prévios na peça de betão, que reduzam ou anulem as tensões de tracção provocadas pelas 
solicitações em serviço. Nestas condições, a fissuração deixa de ser um factor determinante no 
dimensionamento da peça [1, 3]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
13 
A Figura 1.13. (a) representa uma secção de betão armado, com a tensão no bordo superior da 
peça com um valor de σc e variação linear ao longo da sua altura, até . O momento-flector em 
serviço na secção vale: 
2158,088,036,0
2
1 bddbdBraçoAreaBraçoForçaM ccc σσσ =×××××=××=×= 
A Figura I.13. (b) representa a mesma secção com armadura pré-esforçada. Sob acção da 
força de pré-esforço, e do momento devido às cargas, pode-se chegar ao diagrama de tensões 
mostrado nessa figura, com o valor σc no bordo superior igual ao da Figura I.13. (a). Neste 
caso, consegue-se que o diagrama se estenda até á fibra mais inferior, fixando-se aqui o eixo 
neutro, para que não exista tracção nesta fibra (pois poderiam aparecer fissurações) e o 
momento-flector de serviço na secção vale: 
233,0
3
2
2
1 bddbhM cc σσ ≅××≅ 
Verifica-se que, para a mesma secção de betão, é possível dobrar o momento resistente 
utilizando o pré-esforço. Assim, pode-se concluir que, usando betões pré-esforçados com 
resistências características, fck, iguais ao dobro dos valores usuais em betão armado, é possível 
obter secções pré-esforçadas capazes de resistir a momentos flectores em serviço quatro vezes 
maiores que as suas similares em betão armado. 
 
Figura 1.13 - Exemplo de uma secção flectida, com armadura convencional [a] e com armadura pré-esforçada 
[b]. Para a mesma tensão (σc) a viga pré-esforçada apresenta uma resistência em serviço aproximadamente igual 
ao dobro da viga de betão armado [1]. 
Do ponto de vista económico, o betão pré-esforçado possui características que podem ser 
determinantes numa analise de custo global, quando comparando com o betão armado. As 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
14 
resistências de betão pré-esforçado, são duas a três vezes maiores que as utilizadas em betão 
armado. Os aços utilizados nos cabos de pré-esforço têm resistência três a cinco vezes 
superiores às dos aços usuais de betão armado. 
Os aumentos percentuais de preço podem ser muito inferiores aos acréscimos de resistência 
obtidos, tanto para o betão como para o aço. O Quadro I.1. apresenta um exemplo 
comparativo de relações de resistência e preços unitários para betão armado (BA) e betão pré-
esforçado (BP) [Pfeil (1983), segundo referência 1 da bibliografia]. 
De referir que este quadro tem já mais de 2 décadas, sendo hoje a diferença de preço entre o 
aço corrente e o de pré-esforço significativamente menor. 
Quadro I.1. - Relações entre resistência e o preço unitário dos materiais utilizados em betão armado (BA) 
e betão pré-esforçado (BP) [1]. 
 
O pré-esforço das armaduras em estruturas de betão proporciona uma série de vantagens [1], 
como por exemplo: 
⇒ Permite projectar secções mais esbeltas do que no betão armado convencional, sobretudo 
se o comportamento em serviço é um factor predominante, uma vez que toda a secção de 
Parâmetros comparativos BA BP BP/BA 
Resistência media (MPa) 20 40 2,0 
Preço m3 de betão --- --- 1,3 
Tensão média de dimensionamento do aço (MPa) 250 1250 5,0 
Relação do preço por unidade de peso entre aços --- --- 2,0 a 3,0 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
15 
betão pode trabalhar à compressão. Assim, normalmente as peças de betão pré-esforçado 
possuem menor peso próprio, em relação as peças equivalentes de betão armado, o que 
viabiliza economicamente o projecto de estruturas de grandes vãos. 
⇒ Permite controlar a deformação elástica e limita-la a valores menores que os que seriam 
obtidos para estruturas similares em aço ou betão armado 
⇒ Proporciona melhores condições de durabilidade, pois anula totalmente, ou quase 
totalmente, as tensões de tracção, principais responsáveis pela fissuração. As armaduras 
ficam mais protegidas. 
⇒ Permite que a estrutura se recomponha após a actuação de uma sobrecarga eventual não 
prevista. Cessada a causa, as fissuras abertas, fecham-se devido a acção da força do pré-
esforço. 
⇒ A estrutura normalmente possui maior resistência à fadiga, pois a variação de tensão no 
aço, proveniente de cargas moveis, é muito pequena quando comparada com o valor da 
sua resistência característica. 
A operação de pré-esforço funciona como uma verdadeira prova de carga, pois as tensões 
introduzidas nessa fase são muito maiores que as correspondentes à situação da peça em 
serviço. A estrutura é testada antes de entrar em operação, propriamente dita. 
Em contrapartida, podem ser relacionadas algumas desvantagens do betão pré-esforçado: 
⇒ O betão de maior resistência exige melhor controle de execução. 
⇒ Os aços de alta resistência exigem cuidados especiais de protecção contra a corrosão. 
⇒ A colocação dos cabos de pré-esforço deve ser feita com a maior precisão de modo a 
garantir as posições admitidas nos cálculos. Como a força de pré-esforço possui, em geral, 
um valor muito alto, um pequeno desvio do cabo da posição de projecto pode produzir 
esforços não previstos, levando ao comportamento inadequado da peça e mesmo até ao 
colapso. 
⇒ As operações de pré-esforço exigem equipamento e pessoal especializados, com o 
controle permanente e dos esforços aplicados e dos alongamentos dos cabos. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
16 
⇒ De um modo geral, as construções pré-esforçadas exigem atenção e controle superiores 
aos necessários para o betão armado. 
1.5. Princípiosdo Pré-esforço. 
Três diferentes conceitos [2] podem ser utilizados para explicar e analisar o comportamento 
básico do betão pré-esforçado. 
Pré-esforçar para transformar o betão num material elástico 
O betão, que é fraco em tracção e forte em compressão, é comprimido (por varões de alta 
resistência) para que o betão frágil possa ser submetido a tensões de tracção. Se não houver 
tensões de tracção no betão, não existirão fendas e toda a secção de betão é activa 
comportando-se como um material elástico. Sob este ponto de vista o betão está sujeito a dois 
sistemas de forças: 
⇒ Pré-esforço interno; 
⇒ Acções exteriores. 
Em que as tensões de tracção devidas às acções exteriores são contrabalançadas pelas tensões 
de compressão devidas ao pré-esforço. 
Pré-esforçar para combinar aço de alta resistência com o betão 
O betão pré-esforçado é encarado, de forma idêntica ao betão armado, como uma combinação 
de dois materiais: aço e betão. Também aqui o aço a receber as tracções e o betão a receber as 
compressões, em geral. 
Para tirar partido do aço de alta resistência é necessário submetê-lo a grandes deformações. 
Por isso, se simplesmente este aço fosse colocado no betão como armadura passiva, o betão 
envolvente sofreria enorme fendilhação antes que se desenvolvesse as tensões a que a 
armadura resiste. Assim sendo, é necessário esticar previamente o aço de alta resistência e 
ancorá-lo contra o betão de forma a desenvolver um efeito favorável nos dois materiais 
(compressão no betão e tracção no aço) antes de aplicar as cargas exteriores. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
17 
Pré-esforçar para alcançar a carga equivalente 
Segundo este conceito o pré-esforço é, basicamente, interpretado como uma tentativa para 
equilibrar as cargas actuantes sobre o elemento. No projecto de uma estrutura pré-esforçada o 
efeito do pré-esforço é visto como uma carga equivalente às acções permanentes, de tal forma 
que os elementos sujeitos à flexão (lajes, vigas) não ficarão sujeitos ao momento-flector para 
um dado carregamento (acções permanentes e/ou acções quase-permanentes). 
1.6. Técnicas e sistemas de pré-esforço. 
A presente monografia retrata a técnica de pós-tensão com aderência, ainda que se faça uma 
breve referencia a outras tecnologias de pré-esforço. As principais técnicas [1] de pré-esforço 
nas estruturas de betão podem classificar-se em: 
 
 
 
Pré-tensão 
As armaduras (normalmente são usados fios) são tensionadas antes da colocação do betão, 
fig. 1.14 a), sendo a transferência realizada por aderência, quando o betão adquire a necessária 
resistência, fig. 1.14 b), e se libertam as armaduras das ancoragens iniciais, fig. 1.14 c). 
Envolve, em geral, grandes perdas de pré-esforço, porque a transferência do pré-esforço se faz 
usualmente para um betão com poucos dias de cura. Este processo é característico da 
produção fabril de elementos pré-fabricados. 
Pós-tensão 
As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência necessária, sendo a 
transferência garantida nas ancoragens existentes nas extremidades da peça de betão (sendo 
esta uma zona sensível da peça de betão, sujeita a um possível esmagamento, devido as 
elevadas compressões). 
Betão Pré-esforçado 
Pré-tensão 
Pós-tensão 
Com aderência 
Sem aderência 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
18 
Sapata 
de 
reacção
Ancoragem Armaduras 
pré-tracionadas
 
Figura 1.14 - Sistema de Pré-tensão [3] 
A sequência da pós-tensão, essencialmente, é a seguinte: 
⇒ 1º - Execução da estrutura com as armaduras passivas, betonagem e cura (incluindo a 
colocação das bainhas dos cabos); 
⇒ 2º - Inserção dos cabos e seu traccionamento (aplicação do pré-esforço); 
⇒ 3º - Montagem dos aparelhos de ancoragem com transmissão do pré-esforço por fixação 
dos cabos nas cunhas. 
No sistema de pós-tensão distinguem-se os sistemas com e sem aderência: 
⇒ No betão pós-tensionado com aderência, os cabos de pré-esforço ficam aderentes à secção 
de betão mediante a injecção de calda de cimento nas bainhas, após ganhar presa. 
⇒ No betão pós-tensionado sem aderência, na construção definitiva, as armaduras mantêm-
se desligadas da peça de betão, uma vez que continuam a poder deslizar no interior da 
bainha, normalmente usa-se um tipo de graxa que reduz o atrito, para melhor protecção 
das armaduras. O betão pós-tensionado é característico da aplicação in-situ, em 
construções de médio e grande vão. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
19 
 
Figura 1.15 - Esquema de uma viga pós-tensionada, com aderência da VSL [6]. 
Os sistemas de pré-esforço estão patenteados, sendo diversas as designações comerciais, 
muito embora actualmente sejam pequenas as diferenças entre as várias marcas. A opção por 
um dado sistema é, em geral, função dos custos e do apoio técnico prestado pelas respectivas 
empresas. 
 
Figura 1.16 - Pormenor da ancoragem/bainha e o tracção dos cabos (aplicação do pré-esforço) [6]. 
Existem vários sistemas de pré-esforço por pós-tensão, sendo os mais comercializados na 
Europa: Freyssinet; VSL/Stronghold; Dividag; BBRV; CCL. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
20 
 
 
 
Figura 1.16.A - Pormenor da ancoragem/bainha e o tracção dos cabos (aplicação do pré-esforço) [6]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
21 
Ainda sobre este assunto será oportuno referir que [4]: 
⇒ Pré-tensão com ausência de aderência não faz sentido, embora teoricamente não a 
possamos excluir, também o uso de cabos com trajectórias outras que não rectas é 
complicado, embora o recurso a desviadores seja um processo. 
⇒ O pré-esforço não aderente poderá parecer menos seguro, dado que o rebentamento da 
ancoragem poderá determinar, mais facilemente, o colapso da estrutura. Contudo, no pré-
esforço não aderente há cabos complementares de segurança, podendo até existir bainhas 
em vazio para substituição em processo de manutenção; 
⇒ O pré-esforço por pós-tensão e aderente tem o problema da calda, que poderá não 
preencher com totalidade o vazio das bainhas (muito embora muitos avanços tenham sido 
efectuados); 
1.7. Funcionamento estrutural do betão pré-esforçado 
Basicamente, sob este ponto de vista, o betão está sujeito a dois sistemas de forças: pré-
esforço interno e acções exteriores. Em que as tensões de tracção devidas às acções exteriores 
são contrabalançadas pelas tensões de compressão devidas ao pré-esforço [3]. 
Consideremos uma viga de secção rectangular com um cabo localizado no seu eixo e sujeita a 
duas cargas (fig. 1.17): 
1. Uma exterior, uniformemente distribuída descendentemente no seu plano (q); 
2. Outra interna, por extensão do cabo e sua fixação as secções extremas (P). 
Na verdade, para se obter a força P o fio é esticado usando, por exemplo, um macaco, sendo 
em seguida seguro a umas placas metálicas rígidas, situadas nas extremidades da peça, este 
procedimento corresponde ao pré-esforço por pós-tensão. 
Seja P a força do pré-esforço que origina uma tensão de compressão uniforme no betão, com 
a excepção das secções nas extremidades, em que devido as cargas concentradas as tensões 
não são uniformes. Contudo, o princípio de St.Venant é tido para secções suficientemente 
afastadas das extremidades, vindo, para compressão negativa: 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
22 
cA
P−=σ 
Sendo M o momento numa secção da viga devido ao peso próprio e às cargas exteriores, a 
tensão numa fibra qualquer dessa secção devida a M será, em regime elástico: 
W
M
I
y ±=×Μ±=σ 
Com: 
P - valor da compressão dada pelo pré-esforço; 
y - distância da fibra ao Centro de Gravidadeda secção (que coincide com linha neutra em flexão pura); 
I - momento de inércia da secção; 
W - módulo de flexão (I/y). 
O sinal ± justifica-se pois se uma fibra extrema está em compressão a outra terá que estar em 
tracção. 
A tensão resultante pode ser obtida pelo princípio da sobreposição de efeitos, considerando 
que o comportamento da viga se mantém dentro do regime elástico, como se pode observar na 
Figura 1.17, pelo que: 
W
M
A
P
I
y
cc
±−=×Μ±Α
Ρ−=σ 
Quando o cabo é colocado excentricamente em relação ao centro de gravidade da secção, a 
peça de betão pré-esforçado é acrescida de novas tensões, como se pode observar na figura 
1.19, de acordo com a convenção de sinais da figura 1.18. 
De facto, actuando o cabo com uma excentricidade (e) a secção é solicitada pela força de 
compressão P de forma também excêntrica. Ora, esta excentricidade não é mais que um braço 
actuado por uma força, logo um mecanismo produtor de um momento, P×e. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
23 
eixo neutro
W - módulo de flexão
c
c
A - área de betão
e - excentricidade do cabo ao Cg da viga
I - inércia da seccção
c
P
A W
M
b
t
M
WA
P
c
PP
f = - + b
tf = - - 
W
M
(+)
b
W
M
(-)
t
c
(-)
P
A =
+
-
+-
A
y
y - distância da fibra em consideração ao Cg da secção
W =
I
y
y
e = 0
t
b
W =
I
y
W =
I
y
b
b
t
t
t - fibra superior de topo (top) b - fibra inferior de base (bottom)
q
q - carga uniformemente distribuida descendente
compressão
compressão
compressão
tracção
 
Figura 1.17 - Tensões devidas ao pré-esforço centrado e o peso próprio a meio vão. 
As tensões produzidas por este momento, P×e, são: 
W
e×Ρ=σ 
a distribuição de tensões resultantes é dado por: 
WW
e
c
c
Μ±×Ρ±Α
Ρ−=σ 
Quando os cabos são curvos (Figura 1.20), normalmente toma-se o equilíbrio da parte 
esquerda ou da parte direita em relação à secção em análise. Será de salientar que a resultante 
das compressões no betão, devidas apenas ao pré-esforço, é igual e de sinal contrário à força P 
do cabo, actuando com uma excentricidade (e). 
As tensões no betão devidas ao pré-esforço excêntrico também aqui são dadas por: 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
24 
W
e
c
.Ρ±Α
Ρ−=σ 
Sendo apenas de notar que o valor da excentricidade varia ao longo da peça e, como tal, 
também o momento induzido pelo pré-esforço em cada uma das suas secções. 
G
x
y (+)
 
Figura 1.18 - Convenção de sinais [4] 
eixo da peça
W - modulo de inercia c
c
A - área de betão
e - excentricidade
I - inercia seccção
c
P
A b
Pe
W W
M
b
t
M
WW
Pe
tA
P
c
PP
f = - - + b
tf = - + - 
W
M
(+)
b
W
M
(+)
tt
(+)
Pe
W
c
(-)
P
A
W
Pe
(-)
b
=
+
-
+
+
-+-
A
ye
y - distancia ao eixo neutro
W =
I
y
y
 
Figura 1.19 - Tensões devido ao pré-esforço com excentricidade e ao peso próprio a meio vão [4]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
25 
Conclui-se, assim, que as tensões no betão devidas ao pré-esforço são apenas dependentes da 
grandeza e localização de P na secção, ou seja, do seu valor e da sua excentricidade, 
independentemente do traçado do cabo ao longo da viga (isto em peças isostáticas). 
C o m p r e s s ã o N = Pe
P r é - e s f o r ç o P
A '
A
 
Figura 1.20 - Efeito do pré-esforçado aplicado por um cabo curvo [2] 
Por vezes, em função do valor do pré-esforço e da sua excentricidade para baixo do Centro de 
Gravidade da secção, a tensão σt (tensão no topo da secção) é positiva (tracção) e há perigo 
desta (em valor absoluto) ser maior que a tensão resistente do betão a tracção. 
Consequentemente, poderá provocar fendilhação na face superior da viga, sobretudo numa 
situação de pouca carga, como aquando da aplicação do pré-esforço, em que apenas a 
construção se encontra com a estrutura fabricada e, eventualmente, nem toda esta. 
Certo é que no caso da peça já se encontrar em serviço, em que toda a carga permanente e 
parte da sobrecarga já se encontra aplicada, é natural que a fendilhação principal seja na zona 
superior da viga, mas na zona dos apoios e não ao meio vão, motivada pelos momentos 
negativos. Contudo, tal asserção, embora genericamente válida, depende muito da situação de 
continuidade e rigidez dos apoios e do traçado do próprio cabo, obviamente. 
É de realçar o facto da transferência do pré-esforço se dar, em geral, quando o betão é novo, a 
que corresponde a uma resistência à tracção inferior àquela que terá quando for mais velho, 
ou seja, quando a estrutura entrar em serviço [4]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
26 
1.8. Traçado dos cabos 
O traçado dos cabos é de fundamental importância para a configuração final de esforços numa 
peça de betão pré-esforçado, diremos, mesmo, que será um dos maiores segredo do sucesso 
de uma estrutura pré-esforçada. 
Uma vez que o objectivo primário do pré-esforço numa peça é actuar em sentido oposto aos 
esforços produzidos pelo carregamento externo, o traçado dos cabos deve ser projectado em 
função das cargas actuantes na peça e posteriormente ajustado, de forma a satisfazer os 
requisitos peculiares construtivos de cada situação de projecto. 
1.8.1. Fundamento físico do traçado dos cabos 
Considere-se, por exemplo, uma viga simplesmente apoiada e submetida a um carregamento 
uniforme (figura 1.21). A introdução de um cabo rectilíneo na posição correspondente ao eixo 
neutro da viga, caracteriza o pré-esforço centrado, produzindo tensões uniformes de 
compressão ao longo de toda a viga. Da sobreposição dos efeitos do carregamento externo e 
do pré-esforço resulta a distribuição de tensões mostrada na figura 1.22 Na região dos apoios 
o momento-flector é praticamente nulo e, consequentemente, não produz tensões na secção, 
nem de tracção nem de compressão. 
Mmax
diagrama de momento flector
variação das tensões normais de tracção na 
fibra externa na face traccionada
t maxσ 
Figura 1.21 - Variação das tensões numa viga simplesmente apoiada [1]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
27 
O pré-esforço centrado produz tensões normais de compressão nessa região (Figura 1.22.a) e 
o betão fica, então, sujeito a tensões normais e de corte combinadas. Por outro lado, no centro 
do vão as tensões de compressão nas fibras comprimidas da viga, produzidas respectivamente 
pelo carregamento e pelo pré-esforço, somam-se aumentando a solicitação do betão nessa 
região (Figura 1.22.b). É possível melhorar a configuração de esforços na viga alternando o 
traçado do cabo de pré-esforço [1]. 
Ainda considerando um cabo de pré-esforço rectilíneo, pode-se perceber que deslocando a 
linha de actuação da força de pré-esforço do eixo neutro da viga, a distribuição de tensões 
numa secção genérica deixa de ser uniforme (Figura 1.23). 
a
+
=
configuração final 
das tensões
variação das tensões normais na fibra externa na face traccionada
b
configuração final das 
tensões
+
=
variação das tensões normais na fibra externa na face comprimida
σp
σc max
σ +p σc max
t max
σp
σp
σ
tensões normais de compressão produzidas 
pelo pré-esforço
tensões normais de tracção produzidas 
pelo carregamento externo
tensões normais de compressão produzidas 
pelo carregamento externo
tensões normais de compressão 
produzidas pelo pré-esforço
o acréscimo de compressões no centro 
pode ser prejudicial para o betão 
Figura 1.22 - Efeito do pré-esforço centrado numa viga simplesmente apoiada sujeita a um carregamento 
uniforme [1]. 
Na verdade, à medidaque a linha de actuação da força de pré-esforço se afasta do eixo neutro 
e se aproxima do perímetro do núcleo central de inércia da secção, as tensões de compressão, 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
28 
decorrentes do pré-esforço, aumentam numa das faces da viga e diminuem na outra (Figura 
1.23.b). Se a força de pré-esforço for aplicada fora do perímetro do núcleo central de inércia, 
as tensões sofrem uma mudança de sinal ao longo da secção, surgindo tensões de tracção na 
face mais distante da linha de actuação da força de pré-esforço (Figura 1.23.d). 
Pd
c P
P
P
b
a
diagramas 
de tensão
Nucleo 
central de 
inercia
 
Figura 1.23 - Distribuição de tensões na secção em função do ponto de aplicação da força de pré-esforço: a) P 
aplicado no eixo neutro da secção; b) P aplicado fora do eixo neutro e dentro do perímetro do núcleo central de 
inércia; c) P aplicado no perímetro do núcleo central; d) P aplicado fora do núcleo central de inércia [1]. 
A situação é semelhante à da distribuição de tensões debaixo de uma sapata em função da 
colocação de um pilar sujeito a esforço de compressão isolado, muito embora não possam 
surgir tensões de tracção insuportáveis pelo solo. 
De um modo geral, o ideal é que as tensões de pré-esforço variem proporcionalmente às 
induzidas pelos esforços externos. Isso pode ser conseguido se o traçado dos cabos 
acompanhar o diagrama de momentos-flectores produzidos pelo carregamento externo (figura 
1.24). 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
29 
Traçado do cabo absorve a quase totalidade do 
momento provocado pela carga distribuida
Diagrama de momento flector 
provocado pela carga distribuida
Carga distribuida
 
Figura 1.24 - Perfil dos cabos e do diagrama flector (peça hiperestática) [1, adaptado] 
M = P.eM = F = 2P α = P.e L
4 4
L
momento devido a uma carga 
concentrada a meio vão4
F.L
diagrama de momento flector
para ângulos muito pequenos pode-se trocar o 
seno com a tangente
F = 2 Psen α = 2P αP
α
F
P
2e
LL/2
etgα = = = α
diagrama de momento flector
P.e
P PF
eα
L/2L/2
 
Figura 1.25 - Demonstração gráfica e matemática de MP = P×e [1] 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
30 
Com essa configuração, o pré-esforço actua na posição óptima para anular as tensões 
provocadas pela solicitação externa (e pelo peso próprio da peça) e, de forma associada, 
contra a fissuração do betão. 
Reparar que, propositadamente, na figura 1.24 o traçado do cabo não absorveu completamente 
a flexão provocada pela carga, isto porque tendo sempre que existir armadura passiva 
construtiva, será de a rentabilizarmos para ajudar à resistência mecânica necessária a fazer 
face à solicitação global (incluindo o peso próprio que aqui foi desprezado). 
Durante a definição do traçado dos cabos, o projectista deve sempre tentar trabalhar com as 
menores curvaturas possíveis, bem como o menor número de curvas possível, com o 
objectivo de minimizar as perdas por atrito devido a esses factores. 
Como se afirmou, num dado ponto da viga, o momento produzido pela força de pré-esforço P 
é MP = P×e, onde “e” é a excentricidade da força de pré-esforço no ponto considerado. A 
demonstração gráfica e matemática pode ser verificada na figura 1.25. 
1.8.2. Influência de aspectos construtivos no traçado dos cabos 
Além do efeito do carregamento outros factores influenciam o projecto do traçado dos cabos, 
como: 
⇒ A geometria da peça (ex: esbelteza da alma); 
⇒ Particularidades dos processos construtivos (ex: quando e onde se aplica o pré-esforço); 
⇒ Comportamento de estrutura (ex: alteração dos esforços internos e sua redistribuição na 
aplicação do pré-esforço). 
No caso de peças de betão com cabos pós-tensionados, dentro de bainhas flexíveis, o traçado 
dos cabos é definido propondo-se uma associação de tramos parabólicos e rectilíneos (figura 
1.26 e 1.27) [1]. Em vigas pré-esforçadas de grande porte, muitas vezes é necessário utilizar 
vários cabos para conseguir o pré-esforço necessário e, frequentemente, a área da face externa 
da viga não proporciona espaço necessário para a colocação das peças de ancoragem para 
todos os cabos. Quando essa situação ocorre, o traçado dos cabos é projectado de tal forma 
que alguns deles são ancorados na face superiores da viga e outros são ancorados na face 
inferior ou, ainda, nas faces laterais da peça (figura 1.26 e 1.27) [1]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
31 
1
2
5
4
3
 
Figura 1.26 - Tipos de pré-esforço utilizados em vigas simplesmente apoiadas: 1) cabo rectilíneo ancorado nas 
faces laterais da viga; 2) cabo parabólico ancorado nas faces laterais da viga; 3) ancoragens activas nas faces 
laterais da viga; 4) cabo parabólico ancorado na face superior da viga; 5) ancoragem activa, na face superior da 
viga [1] 
1.8.3. Método das cargas equivalentes 
Numa estrutura isostática o efeito do pré-esforço pode ser calculado, aproximadamente, 
através do conceito das cargas equivalentes. Este conceito é uma tentativa de equilibrar uma 
determinada quantidade de carga sobre a estrutura [3]. 
O método consiste em transformar o efeito do pré-esforço e considerar um carregamento 
externo equivalente a esse efeito. Para as estruturas isostáticas, este método não é 
especialmente indicado, sendo especialmente vantajoso para estruturas hiperestáticas, planas e 
espaciais [4]. 
Em projecto esta técnica pode ser adoptada como uma forma muito simples de obter uma 
ordem de grandeza do pré-esforço e, portanto, dos cabos requeridos, o que é fundamental para 
o dimensionamento da forma e proporções da secção [2]. 
Reparar que para ângulos Ø pequenos, 1cos ≈φ e, por conseguinte, PP ≈φcos . Assim, para 
a figura 1.27, as tensões a uma distancia x do apoio esquerdo, e até meio vão )2/( lx = , numa 
dada secção da viga, são dadas por: 
W
MM
A
P prim
c
++−=σ 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
32 
φtgxPePM prim −== . e φφ sin2
sin2
21
xPxPxFxRM ==== 
Onde Mprim é o momento devido ao pré-esforço e M é o momento devido às cargas exteriores. 
Também para ângulos pequenos φφ tg≈sin e as tensões numa dada secção, são dadas por: 
A
P
c −=σ 
Como se a peça estivesse sujeita a compressão simples. 
L/2L/2
V = 2Psinφ
P
F = V
Psinφ
Pcosφφφ
P c.g.
 
Figura 1.27 - Equilíbrio de uma força concentrada através de um traçado composto por dois troços recto [4] 
Assim, a carga P = V equilibra o pré-esforço introduzido pelo traçado do cabo. A carga 
equivalente a um traçado do cabo é uma carga que só por si provoca um diagrama de 
momentos flectores de efeito igual ao cabo, que terá de ser, em proporção, determinado 
através da igualdade Mprim com M. 
Para um traçado parabólico do cabo (fig. 1.28) a carga equivalente será uma carga 
uniformemente distribuída, sendo, assim, o valor dessa mesma carga dado por: 
2
max8
L
Pe=ω 
Onde emax representa a excentricidade máxima a meio vão e “L” a distância entre apoios. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
33 
Deformada
Diagrama de momentos flectores
-Pe
+
-
M
M
+e
-e
L
ω
Psinφ=4Pe /L
Pcosφφ
P
c.g.
cabo parabólico
max
emax
 
Figura 1.28 - Equilíbrio de uma força uniformemente distribuída através de um traçado composto por um cabo 
parabólico [4]. 
A título de curiosidade e informação genérica serão apresentados seguidamente alguns 
exemplos de traçados de cabos em vigas hiperestáticas (fig.1.29). 
2. Materiais e equipamento de pré-esforço 
Este capítulo refere-se aos materiais e equipamentos utilizados em estruturas de betão pré-
esforçado. Para bem do sector da construção,e consequente aumento da qualidade das 
estruturas, todos os materiais usados devem ser devidamente homologados e com experiência 
de aplicação largamente verificada e reconhecida, pois a qualidade e segurança de uma 
estrutura de betão pré-esforçado passa pelos materiais e pela sua boa utilização, respeitando 
suas capacidades técnicas, disposições construtivas e legislação aplicável. De referir que estar 
homologado não significa que o material é bom ou adequado para todas as situações, apenas 
nos diz que o está na sua ficha técnica corresponde ao que realmente estamos a usar/comprar, 
independentemente dessas características serem boas ou más. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
34 
5
1
6
2
3
7
8
4
5
3
7
8
4
5
 
Figura 1.29 - Tipos de cabos de pré-esforço utilizados em vigas continuas: a) Viga continua de dois tramos; b) 
viga continua de três tramos; 1) cabo parabólico ancorado nas faces laterais da viga; 2) Cabo parabólico 
ancorado na face superior da viga; 3) cabo parabólico ancorado dentro da viga através de uma ancoragem 
passiva; 4) cabo parabólico, com uma extremidade ancorado na face inferior (pormenor de difícil execução); 5) 
ancoragem activa na face lateral; 6) ancoragem activa na face superior; 7) ancoragem passiva na face lateral; 8) 
ancoragem activa na face inferior. Os eixos dos cabos são geralmente projectados como associações de parábolas 
e trechos rectilíneos [Pfeil, 1984, segundo referência 1 da bibliografia]. 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
35 
2.1. Betão 
A construção de estruturas pré-esforçadas requer um controle de qualidade do betão muito 
rigoroso. Deve-se exigir a realização de ensaios prévios, o controle contínuo do cimento e dos 
inertes utilizados, bem como a fiscalização constante durante a elaboração do betão. 
Normalmente, os betões utilizados em peças pré-esforçadas possuem resistência superior 
àquelas das peças de betão armado. Para o betão pré-esforçado, o REBAP, segundo o Artigo 
13º, paragrafo 4º, não permite utilização de betões de classe inferior a B30, ou seja os betões 
B15, B20 e B25 não podem ser usados. As características gerais do betão estão indicadas no 
REBAP (artigos 12º a 20º) [15], muito embora a ENV206 seja a norma em vigor no que aos 
betões concerne. 
De uma forma simplista, podemos dizer que, normalmente, as resistências à compressão do 
betão (1) e (2) usado em estruturas tipo são: 
⇒ Moradias de betão armado: 16MPa < fck < 20Mpa 
⇒ Edifícios de betão armado: 20Mpa < fck < 25Mpa 
⇒ Pontões e estruturas especiais em betão armado: 30Mpa < fck < 35Mpa 
⇒ Pontes e estruturas em betão pré-esforçado: 35Mpa < fck < 40Mpa 
Nota: (1) - provetes cúbicos; (2) - provetes cilíndricos 
Factores que justificam resistências elevadas [1]: 
⇒ A introdução da força de pré-esforço pode causar solicitações prévias muito elevadas, 
frequentemente mais elevadas que as correspondentes a uma situação de serviço, inclusive 
junto aos pontos de amarração provocando elevadas compressões nas peças com sistemas 
das ancoragens; 
⇒ O emprego de betão e de aços de alta resistência permite a redução das dimensões das 
peças, diminuindo o seu peso próprio e, por conseguinte, viabilizando técnica e 
economicamente a execução de estruturas de grande vão; 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
36 
⇒ Os betões de alta resistência possuem, em geral, módulo de elasticidade mais elevado, o 
que diminui tanto as deformações imediatas como as que ocorrem ao longo do tempo. Isso 
reduz os efeitos da perda de pré-esforço oriundos da retracção e fluência do betão. 
Segundo o artigo 17º do REBAP, temos: 3 ,5,9 jCmCJ f=Ε 
E, de facto, através do anexo 1 vem: ( ) ( )
28,
, '
,
,
c
c
tccc
tt
tt Ε=
Ο
Ο Ο
ϕσε 
⇒ Nas peças pré-tensionadas (pré-esforço por aderência) a utilização de betões de alta 
resistência permite o desenvolvimento de maiores tensões de aderência. Esta conclusão é 
imediata se analisarem as equações do artigo 80.º do REBAP (ver também art. 16.º): 
fbd = 0.3 cdf ⇔ aderência normal (f cd em MPa) 
fbd = 2.25 fctd ⇔ alta aderência (f ctd em MPa) 
Além de boa resistência, é importante que o betão tenha boas características de compacidade e 
baixa permeabilidade, para que tenha protecção suficiente contra a corrosão das armaduras. 
Por outro lado, um bom recobrimento das armaduras garante uma boa aderência entre as 
mesmas e o betão, sendo que um betão de alta resistência (fck > 30Mpa), no local das tracções 
serve como protector à fixação mecânica. O recobrimento deve ser no mínimo igual a dois 
diâmetros (2Ø) do elemento a proteger. Estudos recentes, aconselham a que se aumente o 
recobrimento para quatro diâmetros (4Ø), pois garantem um melhor desempenho, 
estabilizando as tensões [1,4]. 
2.2. Aço de pré-esforço 
A variedade dos aços é, genericamente, ditada pela sua quantidade em percentagem de 
carbono, associada aos elementos de liga que contém e às suas quantidades relativas. Assim, 
os tipos de aço são, basicamente: 
⇒ O aço macio, cuja percentagem de carbono está entre 0.2% e o 0.3%; 
⇒ O aço duro, cujo teor de carbono vai até 1.5%; 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
37 
⇒ O ferro fundido, com percentagens acima desse valor. 
As propriedades das armaduras ordinárias são apresentadas no REBAP, nos Artigos 21º a 25º. 
O teor de carbono nas armaduras de pré-esforço varia de 0,7 a 0,9% [15]. 
Os aços usados no betão pré-esforçado caracterizam-se por elevada resistência e pela ausência 
de patamar de cedência. Tornam-se, proporcionalmente, sensivelmente mais económicos que 
os aços normalmente empregados na construção com betão armado, já que a sua resistência 
pode ser, aproximadamente, até três vezes maior. Os aços de alta resistência podem ser 
fornecidos também na forma de fios e cabos, evitando-se assim os problemas relacionados 
com as emendas da armadura em peças estruturais de grandes vãos. Na construção com betão 
armado, estado de tensão inicial nulo no aço, o emprego dos aços de alta resistência é 
desaconselhado, pois os alongamentos excessivos provocariam fendas muito abertas. Já no 
betão pré-esforçado este problema é evitado através do alongamento prévio da armadura [1], 
estado de tensão não nulo das armaduras. 
Segundo o REBAP, artigo 26º, os aços de pré-esforço são encontrados nas seguintes formas: 
⇒ Fios e associação de fios; 
⇒ Varões ou cordões e cordões paralelos (cabos em feixe); 
⇒ Associações de cordões dispostos em hélice em torno de um eixo horizontal comum 
(cabos ou cordões). 
A distinção entre fio e varão esta ligada a possibilidade de fornecimento em rolos e é feita 
habitualmente pelo diâmetro de 12 mm [15]. 
No betão pós-tensionado tem-se optado por usar 7 cordões de Ø 12,7 mm. O cordão de 7 
arames de Ø 15,4 mm é menos utilizado, apesar de apresentar grandes vantagens no que diz 
respeito ao alojamento dos cabos em peças cujas dimensões não podem ser aumentadas [1]. 
Quanto às modalidades de tratamento do aço de pré-esforço podem ser: 
⇒ Endurecimento a frio por trefilagem ou estiragem; 
⇒ Tratamentos térmicos; 
Fundamentos de betão pré-esforçado 
38 
⇒ Tratamentos mecânicos. 
Estes tipos diferentes de tratamento podem ser aplicados num mesmo aço, destinados a 
melhorar as suas características elásticas e reduzir as perdas de tensão por relaxação [1]. 
2.3. Principais propriedades mecânicas dos aços 
O módulo de elasticidade médio do aço é, aproximadamente, idêntico para todos os seus tipos 
e, em regra, invariável com o tratamento (Ep = Es = 200 GPa), para casos sem grande rigor. 
Muito embora, deverá ser baseado em determinações experimentais cuidadas, variando de 
fornecedor para de fornecedor (com variações entre 165 Gpa