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Elementos de Matema´tica
Nu´meros complexos - Atividades dida´ticas de 2007
Versa˜o compilada no dia 24 de Agosto de 2007.
Departamento de Matema´tica - UEL
Prof. Ulysses Sodre´: ulysses(a)uel(pt)br
Matema´tica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais usados em nossas aulas
na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e na˜o espero que elas venham
a substituir qualquer livro sobre o assunto. Sugiro que o leitor pesquise na
Internet para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘Para a liberdade Cristo nos libertou; permanecei, pois, firmes e
na˜o vos dobreis novamente a um jogo de escravida˜o... Porque vo´s, irma˜os,
fostes chamados a` liberdade. Mas na˜o useis da liberdade para dar ocasia˜o a`
carne, antes pelo amor servi-vos uns aos outros. Pois toda a lei se cumpre
numa so´ palavra, a saber: Amara´s ao teu pro´ximo como a ti mesmo. Se
vo´s, pore´m, vos mordeis e devorais uns aos outros, vede na˜o vos consumais
uns aos outros. Digo, pore´m: Andai pelo Esp´ırito, e na˜o haveis de cumprir
a cobic¸a da carne. Porque a carne luta contra o Esp´ırito, e o Esp´ırito contra
a carne; e estes se opo˜em um ao outro, para que na˜o fac¸ais o que quereis.
Mas, se sois guiados pelo Esp´ırito, na˜o estais debaixo da lei. Ora, as obras
da carne sa˜o manifestas, as quais sa˜o: a prostituic¸a˜o, a impureza, a lasc´ıvia,
a idolatria, a feitic¸aria, as inimizades, as contendas, os ciu´mes, as iras, as
facc¸o˜es, as dissenso˜es, os partidos, as invejas, as bebedices, as orgias, e
coisas semelhantes a estas, contra as quais vos previno, como ja´ antes vos
preveni, que os que tais coisas praticam na˜o herdara˜o o reino de Deus. Mas
o fruto do Esp´ırito e´: o amor, o gozo, a paz, a longanimidade, a benignidade,
a bondade, a fidelidade, a mansida˜o, o dom´ınio pro´prio; contra estas coisas
na˜o ha´ lei. E os que sa˜o de Cristo Jesus crucificaram a carne com as suas
paixo˜es e concupisceˆncias. Se vivemos pelo Esp´ırito, andemos tambe´m pelo
Esp´ırito. Na˜o nos tornemos vangloriosos, provocando-nos uns aos outros,
invejando-nos uns aos outros.’ A B´ıblia Sagrada, Carta aos Ga´latas, Cap. 5
CONTEU´DO ii
Conteu´do
1 Introduc¸a˜o aos nu´meros complexos 1
2 Definic¸a˜o de nu´mero complexo 1
3 Elementos complexos especiais 2
4 Operac¸o˜es ba´sicas com nu´meros complexos 3
5 Poteˆncias e curiosidade sobre a unidade imagina´ria 3
6 O inverso de um nu´mero complexo 4
7 Diferenc¸a e divisa˜o de nu´meros complexos 5
8 Representac¸a˜o geome´trica de um nu´mero complexo 6
9 Mo´dulo e argumento de um nu´mero complexo 6
10 Forma polar e o produto de complexos na forma polar 7
11 Poteˆncia de um nu´mero complexo na forma polar 7
12 Raiz quarta de um complexo na forma polar 8
13 Raiz n-e´sima de um nu´mero complexo 9
14 Nu´mero complexo como uma matriz anti-sime´trica 12
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 1 Introduc¸a˜o aos nu´meros complexos 1
1 Introduc¸a˜o aos nu´meros complexos
Na resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o alge´brica, um fator fundamental e´ o conjunto
universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluc¸o˜es.
Por exemplo, se estamos trabalhando no conjunto dos nu´meros racionais, a
equac¸a˜o 2x + 7 = 0, tera´ uma u´nica soluc¸a˜o dada por x = −72 . assim, o
conjunto soluc¸a˜o sera´:
S = {7
2
}
mas, se estamos procurando por um nu´mero inteiro como resposta, o conjunto
soluc¸a˜o sera´ o conjunto vazio, isto e´:
S = ∅ = {}
Analogamente, ao tentar obter o conjunto soluc¸a˜o para a equac¸a˜o x2+1 = 0
sobre o conjunto dos nu´meros reais, obteremos como resposta o conjunto
vazio, isto e´:
S = Ø = {}
o que significa que na˜o existe um nu´mero real que elevado ao quadrado seja
igual a −1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equac¸a˜o pelos me´todos
comuns, obteremos:
x = i =
√−1
Unidade imagina´ria: A expressa˜o acima parece na˜o ter significado pra´tico e
foi por esta raza˜o que este nu´mero foi denominado imagina´rio, mas o simples
fato de substituir
√−1 pela letra i (unidade imagina´ria) e realizar operac¸o˜es
como se estes nu´meros fossem polinoˆmios, faz com que uma se´rie de situac¸o˜es
tanto na Matema´tica como na vida, tenham sentido pra´tico de grande utilidade
e isto nos leva ao estudo dos nu´meros complexos.
2 Definic¸a˜o de nu´mero complexo
Um nu´mero complexo e´ um nu´mero que pode ser escrito na forma z = a+ bi
onde a e b sa˜o nu´meros reais e i e´ a unidade imagina´ria. O nu´mero real a e´
a parte real do nu´mero complexo z e o nu´mero real b e´ a parte imagina´ria do
nu´mero complexo z, denotadas por: a = Re(z) e b = Im(z).
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 3 Elementos complexos especiais 2
Exemplos de nu´meros complexos sa˜o apresentados na tabela.
Nu´mero complexo Parte real Parte imagina´ria
2+3i 2 3
2-3i 2 -3
2 2 0
3i 0 3
-3i 0 -3
0 0 0
Notac¸o˜es: O conjunto dos nu´meros complexos e´ denotado pela letra C e o
conjunto dos nu´meros reais pela letra R. Como todo nu´mero real x pode ser
escrito como o nu´mero complexo z = x+0i, assumiremos que o conjunto dos
nu´meros reais esta´ contido no conjunto dos nu´meros complexos.
3 Elementos complexos especiais
1. Igualdade de nu´meros complexos: Definimos a igualdade entre os
nu´meros complexos z = a+ bi e w = c+ di, escrevendo
z = w se, e somente se, a = c e b = d
Exemplo: Os nu´meros complexos z = 2 + yi e w = c + 3i sa˜o iguais,
pois c = 2 e y = 3.
2. Oposto de um nu´mero complexo: O oposto do nu´mero complexo
z = a+ bi e´ o nu´mero complexo denotado por −z = −(a+ bi), isto e´:
−z = oposto(a+ bi) = (−a) + (−b)i
Exemplo: O oposto de z = −2 + 3i e´ o nu´mero complexo −z = 2− 3i.
3. Conjugado de um nu´mero complexo: O nu´mero complexo conjugado
de z = a+ bi e´ o nu´mero complexo denotado por z = a− bi, isto e´:
z = conjugado(a+ bi) = a+ (−b)i = a− bi
Exemplo: O conjugado de z = 2− 3i e´ o nu´mero complexo z = 2 + 3i.
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 4 Operac¸o˜es ba´sicas com nu´meros complexos 3
4 Operac¸o˜es ba´sicas com nu´meros complexos
Dados os nu´meros complexos z = a+bi e w = c+di, definimos duas operac¸o˜es
fundamentais, adic¸a˜o e produto, agindo sobre eles, da seguinte forma:
z + w = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
z · w = (a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i
Observac¸a˜o: Estas operac¸o˜es lembram as operac¸o˜es com expresso˜es polino-
miais, pois a adic¸a˜o e´ realizada da forma:
(a+ bx) + (c+ dx) = (a+ c) + (b+ d)x
e o produto e´ realizado na forma:
a + bx
c + dx X
ac + bcx
adx + bdx2
ac + (ad+ bc)x + bdx2
bastando substituir x2 por −1.
Exemplos:
1. Se z = 2+3i e w = 4− 6i, enta˜o z+w = (2+ 3i) + (4− 6i) = 6− 3i.
2. Se z = 2 + 3i e w = 4− 6i, enta˜o z.w = (2 + 3i).(4− 6i) = −4 + 0i.
5 Poteˆncias e curiosidade sobre a unidade imagina´ria
Poteˆncias de i: Ao tomar i =
√−1, temos uma sequ¨eˆncia de valores muito
simples para as poteˆncias de i:
Poteˆncia i i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9
Valor i −1 −i 1 i −1 −i 1 i
Pela tabela acima observamos que as poteˆncia de i cujos expoentes sa˜o
mu´ltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda poteˆncia de i pode ter
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 6 O inverso de um nu´mero complexo 4
o expoente decomposto em um mu´ltiplo de 4 mais um resto que podera´ ser
0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer poteˆncia
de i, apenas conhecendo o resto da divisa˜o do expoente por 4.
Exerc´ıcio: Calcular os valores dos nu´meros complexos: i402, i4033 e i1998. Como
exemplo: i402 = i400.i2 = 1.(−1) = −1.
Curiosidade geome´trica sobre i: Ao pensar um nu´mero complexo z = a+bi
como um vetor z = (a, b) no plano cartesiano, a multiplicac¸a˜o de um nu´mero
complexo z =a+ bi pela unidade imagina´ria i, resulta em um outro nu´mero
complexo w = −b+ ai, que forma um aˆngulo reto (90 graus) com o nu´mero
complexo z = a+ bi dado.
Exerc´ıcio: Tomar um nu´mero complexo z = a + bi, multiplicar por i para
obter z1 = i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2 = i.z1.
Continue multiplicando os resultados obtidos por i ate´ ficar cansado ou enta˜o
use a inteligeˆncia para descobrir algum fato geome´trico significativo neste
contexto. Apo´s constatar que voceˆ e´ inteligente, fac¸a um desenho no plano
cartesiano contendo os resultados das multiplicac¸o˜es.
6 O inverso de um nu´mero complexo
Dado o nu´mero complexo z = a+bi 6= 0 (a 6= 0 ou b 6= 0) definimos o inverso
de z como o nu´mero z−1 = u+ iv, tal que
z.z−1 = 1
O produto de z pelo seu inverso z−1 deve ser igual a 1, isto e´:
(a+ bi).(u+ iv) = (au− bv) + (av + bu)i = 1 = 1 + 0.i
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 7 Diferenc¸a e divisa˜o de nu´meros complexos 5
o que nos leva a um sistema com duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas:
au− bv = 1
bu+ av = 0
Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramer e possui uma u´nica
soluc¸a˜o (pois a 6= 0 ou b 6= 0), fornecendo:
u =
a
a2 + b2
, v =
b
a2 + b2
assim, o inverso do nu´mero complexo z = a+ bi e´:
z−1 =
a
a2 + b2
− b
a2 + b2
i
Calculando o inverso de um nu´mero complexo: Para obter o inverso de
um nu´mero complexo, por exemplo, o inverso de z = 5 + 12i, deve-se:
1. Escrever o inverso desejado na forma de uma frac¸a˜o.
z−1 =
1
5 + 12i
2. Multiplicar o numerador e o denominador da frac¸a˜o pelo conjugado de z.
z−1 =
1
5 + 12i
5− 12i
5− 12i
3. Realizar as operac¸o˜es indicadas, lembrando que i2 = −1, simplificar os
nu´meros complexos pela reduc¸a˜o dos termos semelhantes, para obter
z−1 =
1
5 + 12i
=
1
5 + 12i
5− 12i
5− 12i =
5− 12i
169
=
5
169
− 12
169
i
7 Diferenc¸a e divisa˜o de nu´meros complexos
Diferenc¸a de nu´meros complexos: A diferenc¸a entre os nu´meros complexos
z = a + bi e w = c + di e´ o nu´mero complexo obtido pela soma entre z e
−w, isto e´, z − w = z + (−w).
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 8 Representac¸a˜o geome´trica de um nu´mero complexo 6
Exemplo: A diferenc¸a entre os complexos z = 2 + 3i e w = 5 + 12i e´ igual a
z − w = (2 + 3i) + (−5− 12i) = (2− 5) + (3− 12)i = −3− 9i.
Divisa˜o de nu´meros complexos: A divisa˜o entre os nu´meros complexos
z = a+ bi e w = c+ di (w 6= 0) e´ definida como o nu´mero complexo obtido
pelo produto entre z e w−1, isto e´, z/w = z.w−1.
Exemplo: Dividimos o complexo z = 2+ 3i por w = 5+ 12i, multiplicando o
numerador e o denominador da frac¸a˜o z/w pelo conjugado de w:
z
w
=
2 + 3i
5 + 12i
=
(2 + 3i)(5− 12i)
(5 + 12i)(5− 12i) =
46− 9i
169
=
46
169
− 9
169
i
8 Representac¸a˜o geome´trica de um nu´mero complexo
Um complexo da forma z = a+bi, pode ser representado no plano cartesiano,
como um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a
parte real do nu´mero complexo a no eixo OX e a ordenada b como a parte
imagina´ria do nu´mero complexo z no eixo OY, sendo que o nu´mero complexo
0 = 0 + 0i e´ representado pela pro´pria origem (0, 0) do sistema.
9 Mo´dulo e argumento de um nu´mero complexo
Mo´dulo de um nu´mero complexo: No gra´fico anterior existe um triaˆngulo
retaˆngulo cuja medida da hipotenusa e´ a distaˆncia da origem 0 ao nu´mero
complexo z, denotada pela letra grega ρ nos livros, mas aqui denotada por r,
o cateto horizontal corresponde a` parte real a do nu´mero complexo e o cateto
vertical corresponde a` parte imagina´ria b do nu´mero complexo z.
Se z = a + bi e´ um nu´mero complexo, enta˜o r =
√
a2 + b2 e´ a medida da
hipotenusa, isto e´, o mo´dulo do nu´mero complexo z, denotado por |z|:
|z| =
√
a2 + b2
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 10 Forma polar e o produto de complexos na forma polar 7
Argumento de um nu´mero complexo: O aˆngulo θ formado pelo segmento
OZ e o eixo OX, e´ denominado o argumento do nu´mero complexo z. Pelas
definic¸o˜es da trigonometria circular temos as treˆs relac¸o˜es:
cos(θ) =
a
r
, sin(θ) =
b
r
, tan(θ) =
b
a
Sugerimos que use o cosseno ou o seno do aˆngulo para definir o argumento,
uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.
10 Forma polar e o produto de complexos na forma polar
Forma polar de um nu´mero complexo: Com duas relac¸o˜es trigonome´tricas
apresentadas antes, podemos escrever:
z = a+ bi = r cos(θ) + ri sin(θ) = r[cos(θ) + i sin(θ)]
e esta u´ltima e´ a forma polar do nu´mero complexo z.
Produto de complexos na forma polar: Sejam os nu´meros complexos:
z = r[cos(m) + i sin(m)]
w = s[cos(n) + i sin(n)]
onde r = |z| e m e´ o argumentos de z e s = |w| e n e´ o argumentos de w.
Realizando o produto entre os nu´meros z e w e usando as relac¸o˜es
cos(m+ n) = cos(m) cos(n)− sin(m) sin(n)
sin(m+ n) = sin(m) cos(n) + sin(n) cos(m)
podemos escrever o produto na forma:
z · w = rs[cos(m+ n) + i sin(m+ n)]
11 Poteˆncia de um nu´mero complexo na forma polar
Com o produto de nu´meros complexos na forma polar, obtemos a poteˆncia de
ordem k do nu´mero complexo z = r[cos(m) + i sin(m)] como
zk = rk[cos(km) + i sin(km)]
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 12 Raiz quarta de um complexo na forma polar 8
Exemplo: Seja o complexo z = 1 + i, tal que |z| = √2 e o argumento e´
m = pi/4 (45 graus). Para elevar este nu´mero a` poteˆncia 16, basta escrever:
z16 = 28[cos(4pi) + i sin(4pi)] = 256
12 Raiz quarta de um complexo na forma polar
Como extrair a raiz quarta de um nu´mero complexo? Um ponto fundamental
que valoriza a existeˆncia dos nu´meros complexos e´ podermos extrair a raiz
de ordem 4 de um nu´mero complexo, mesmo que ele seja um nu´mero real
negativo, o que significa resolver uma equac¸a˜o alge´brica do quarto grau.
Por exemplo, para extrair a raiz quarta do nu´mero −16, devemos obter as
quatro ra´ızes da equac¸a˜o alge´brica x4 + 16 = 0.
Antes de apresentar o processo para obter a raiz quarta de um nu´mero com-
plexo w, devemos conhecer r = |w| e o argumento t de w, o que permite
escrever o nu´mero complexo w na forma polar:
w = r[cos(t) + i sin(t)]
Primeiro vamos construir um desenho mostrando este nu´mero complexo w em
um c´ırculo de raio r e observar o argumento t, dado pelo aˆngulo entre o eixo
OX e o nu´mero complexo w.
O passo seguinte e´ obter um outro nu´mero complexo z(1) cujo mo´dulo e´ a
raiz quarta de r e cujo argumento e´ 14 de t.
Este nu´mero complexo e´ a primeira das quatro ra´ızes complexas procuradas.
z(1) = 4
√
r [cos(t/4) + i sin(t/4)]
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 13 Raiz n-e´sima de um nu´mero complexo 9
As outras ra´ızes sa˜o:
z(2) = i z(1)
z(3) = i z(2)
z(4) = i z(3)
Todas as quatro ra´ızes aparecem no gra´fico, mas observamos que este processo
para obter as quatro ra´ızes do nu´mero complexo w ficou facilitado em virtude
da propriedade geome´trica que o nu´mero complexo i multiplicado por outro
nu´mero complexo, roda este u´ltimo de pi/2 radianos e outro fato interessante e´
que todas as quatro ra´ızes de w esta˜o localizadas sobre a mesma circunfereˆncia
e os aˆngulos formados entre duas ra´ızes consecutivas e´ de 90 graus.
Se os quatro nu´meros complexos forem ligados, aparecera´ um quadrado rodado
de t/4 radianos em relac¸a˜o ao eixo OX.
13 Raiz n-e´sima de um nu´mero complexo
Existe uma important´ıssima relac¸a˜o atribu´ıda a Euler:
eit = cos(t) + i sin(t)
que e´ verdadeira para todo argumento t real ou complexo. A constante e tem
o valor aproximado 2, 71828... Para facilitar a escrita usamos com frequ¨encia:
exp(it) = cos(t) +i sin(t)
Relac¸a˜o nota´vel: A partir da relac¸a˜o de Euler, e´ poss´ıvel construir uma
relac¸a˜o nota´vel com os mais importantes sinais e constantes da Matema´tica:
ei · pi + 1 = 0
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 13 Raiz n-e´sima de um nu´mero complexo 10
Voltemos agora a` expressa˜o de exp(it). Se multiplicarmos o nu´mero eit por
um nu´mero complexo z, o resultado sera´ um outro nu´mero complexo com o
mesmo mo´dulo rodado de t radianos em relac¸a˜o ao nu´mero complexo z.
Exemplo: O produto do complexo z por exp(ipi/8) = cos(pi/8) + i sin(pi/8),
gera um nu´mero complexo z(1) que forma com o eixo OX um aˆngulo de pi/8
radianos, no sentido anti-hora´rio.
Agora resolveremos a equac¸a˜o xn = w, onde n e´ um nu´mero natural e w e´
um nu´mero complexo dado.
Como antes, podemos escrever o nu´mero complexo w = r[cos(t) + i sin(t)] e
usar a relac¸a˜o de Euler, para obter:
w = reit
Para extrair a raiz n-e´sima, constru´ımos a primeira raiz que e´ dada pelo nu´mero
complexo
z(1) = n
√
re2ipi/n
Todas as outras n − 1 ra´ızes sera˜o obtidas pela multiplicac¸a˜o recursiva dada
por:
z(k) = z(k − 1) e2ipi/n
onde k varia de 2 ate´ n.
Exemplo: Para obter a primeira raiz da equac¸a˜o x8 = −64, observamos a
posic¸a˜o do nu´mero complexo w = −64 + 0i, constatando que o seu mo´dulo
e´ igual a 64 e o argumento e´ igual a pi radianos (180 graus).
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 13 Raiz n-e´sima de um nu´mero complexo 11
A raiz oitava de 64 e´ igual a 2 e o argumento da primeira raiz e´ pi/8, enta˜o
z(1) pode ser escrita na forma polar:
z(1) = 2eipi/8 = 2[cos(pi/8) + i sin(pi/8)] =
√
2(1 + i)
Obtemos as outras ra´ızes pela multiplicac¸a˜o pelo nu´mero complexo:
e2ipi/8 = 2[cos(pi/4) + i sin(pi/4)] =
√
2
2
(1 + i)
Assim:
z(1) =
√
2
2
(1 + i) z(5) = z(4)
√
2
2
(1 + i)
z(2) = z(1)
√
2
2
(1 + i) z(6) = z(5)
√
2
2
(1 + i)
z(3) = z(2)
√
2
2
(1 + i) z(7) = z(6)
√
2
2
(1 + i)
z(4) = z(3)
√
2
2
(1 + i) z(8) = z(7)
√
2
2
(1 + i)
Exerc´ıcio: No plano cartesiano, construir os 8 nu´meros complexos e ligue todas
as ra´ızes consecutivas para obter um octo´gono regular rodado de pi/8 radianos
em relac¸a˜o ao eixo OX. Tente comparar este me´todo com outros que voceˆ
conhece e realize exerc´ıcios para observar como aconteceu o aprendizado.
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 14 Nu´mero complexo como uma matriz anti-sime´trica 12
14 Nu´mero complexo como uma matriz anti-sime´trica
E´ interessante estudar um nu´mero complexo da forma z = a+ bi quando ele
e´ tratado como uma matriz quadrada anti-sime´trica 2 × 2 de nu´meros reais
da forma:
z =
(
a −b
b a
)
As propriedades dos nu´meros complexos sa˜o obtidas com as correspondentes
operac¸o˜es matriciais, transformando as caracter´ısticas geome´tricas dos nu´meros
complexos em algo simples.
Exemplo: Consideremos os nu´meros complexos z = a + bi e w = c + di nas
formas matriciais:
z =
(
a −b
b a
)
e w =
(
c −d
d c
)
1. Para somar nu´meros complexos basta somar as respectivas matrizes:
z+w =
(
a −b
b a
)
+
(
c −d
d c
)
=
(
a+ c −(b+ d)
b+ d a+ c
)
= (a+c)+(b+d)i
2. Para multiplicar nu´meros complexos basta multiplicar as respectivas ma-
trizes:
z·w =
(
a −b
b a
)(
c −d
d c
)
=
(
ac−bd −(ad+bc)
ad+bc ac−bd
)
= (ac−bd)+(ad+bc)i
3. O conjugado do nu´mero complexo z e´ a transposta da respectiva matriz.
4. O inverso de um nu´mero complexo z 6= θ e´ a inversa da respectiva matriz.
5. O nu´mero complexo θ = 0 + 0i e´ representado pela matriz nula.
6. O nu´mero complexo 1 = 1 + 0i e´ representado pela matriz identidade.
7. A associatividade e a comutatividade de nu´meros complexos corresponde
respectivamente a` associatividade e comutatividade das respectivas ma-
trizes.
Nu´meros complexos - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
	Introdução aos números complexos
	Definição de número complexo
	Elementos complexos especiais
	Operações básicas com números complexos
	Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária
	O inverso de um número complexo
	Diferença e divisão de números complexos
	Representação geométrica de um número complexo
	Módulo e argumento de um número complexo
	Forma polar e o produto de complexos na forma polar
	Potência de um número complexo na forma polar
	Raiz quarta de um complexo na forma polar
	Raiz n-ésima de um número complexo
	Número complexo como uma matriz anti-simétrica