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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Plana – AP1 – Gabarito Questa˜o 1 [2 pts]: Na figura temos AE = BE = CE = CD. Considere que m(AB̂D) = α e m(BĈA) = β, determine o valor da raza˜o m(α) m(β) . Justifique suas respostas. Soluc¸a˜o: Como CE = CD,o triaˆngulo CDE e´ iso´sceles de base DE, temos m(CÊD) = 180◦ − 20◦ 2 = 160◦ 2 = 80◦ Mas BE = CE, enta˜o m(CB̂E) = β. Como CÊD e´ aˆngulo externo do triaˆngulo BCE 2β = 80◦ ⇒ β = 40◦ (1) Mas AE = BE. De maneira ana´loga temos que o aˆngulo BÊC e´ aˆngulo externo do triaˆngulo ABE. m(CÊB) = 180◦ − 80◦ = 100◦, enta˜o 2α = 100◦ ⇒ α = 50◦ (2) De (1) e (2) vem m(α) m(β) = 50◦ 40◦ = 5 4 Obs: Para encontrar (2) pode-se usar que m(BÊA) = m(CÊD), pois sa˜o opostos pelo ve´rtice. Enta˜o 2α + 80◦ = 180◦ ⇒ α = 50◦. Questa˜o 2 [2 pts]: Na figura o ponto O e´ o centro da circunfereˆncia que passa pelos pontos A, B, C, D e E. Sabendo que o diaˆmetro AB e a corda CD sa˜o perpendiculares e que m(BĈE) = 35◦, determine o valor, em graus, da medida do aˆngulo DÂE. Justifique suas respostas. Geometria Plana – Gabarito AP1 2 Soluc¸a˜o: Do enunciado temos o aˆngulo inscrito m(BĈE) = 35◦, enta˜o temos a medida do arco m( _ EB) = 2 ∙m(BĈE) = 2 ∙ 35◦ = 70◦. E do aˆngulo central vem m(EÔB) = m( _ EB) = 70◦. Do aˆngulos opostos pelo ve´rtice vem m(AÔC) = m(EÔB) = 70◦. Da´ı m( _ AC) = 70◦. Como o diaˆmetro AB e a corda CD sa˜o perpendiculares, enta˜o m( _ AD) = m( _ AC) = 70◦. Logo m( _ AD) + m( _ DE) + m( _ EB) = 180◦ ⇒ m( _ DE) = 180◦ − 70◦ − 70◦ = 40◦. Portanto m(DÂE) = m( _ DE) 2 = 40◦ 2 = 20◦. Outra soluc¸a˜o: Como OC = OB sa˜o raios da circunfereˆncia, o triaˆngulo COB e´ iso´sceles. Do enunciado vem m(BĈE) = 35◦, enta˜o m(CB̂O) = 35◦. De maneira ana´loga ΔAOE e´ iso´sceles. Note que EÔB e´ aˆngulo externo dos triaˆngulos COB e AOE, logo m(OÂE) = 35◦. Temos que m(AÊC) = m(AD̂C) = m( _ AC) 2 = 70◦ 2 = 35◦ No triaˆngulo retaˆngulo APD, denote m(DÂE) = x, da soma dos aˆngulos internos vem: x + 35◦ + 90◦ + 35◦ = 180◦ ⇒ x = 180◦ − 160◦ = 20◦ Questa˜o 3 [2 pts]: Verifique se as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas. a) Se em um quadrila´tero ABCD, BC = CD e m(BÂC) = m(DÂC), enta˜o os triaˆngulos ABC e ADC sa˜o congruentes. b) Se uma altura de um triaˆngulo e´ congruente a uma altura de outro triaˆngulo, enta˜o os triaˆngulos sa˜o congruentes. Soluc¸a˜o: a) A afirmac¸a˜o e´ FALSA. Veja na figura o quadrila´tero ABCD, onde BC = CD e m(BÂC) = m(DÂC). Mas os triaˆngulos ABC e ADC na˜o sa˜o congruentes, pois AD e AB na˜o tem mesma medida. A congrueˆncia dos triaˆngulos ABC e ADC seria verdadeira se a condic¸a˜o AB = AD e m(BÂC) = m(DÂC) e AC e´ o lado comum, crite´rio LAL. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Geometria Plana – Gabarito AP1 3 b) A afirmac¸a˜o e´ FALSA. Na figura os triaˆngulos ABC e DEF tem uma altura congruente, no entanto o triaˆngulo ABC e´ obtusaˆngulo e o triaˆngulo DEF e´ retaˆngulo. Portanto na˜o sa˜o congruentes. Questa˜o 4 [2 pts]: Um pol´ıgono convexo e´ elegante quando ele pode ser decomposto em triaˆngulos equila´teros, quadrados ou ambos, todos com lados de mesmo comprimento. Abaixo ilustramos al- guns exemplos de pol´ıgonos elegantes, indicando para cada um deles uma decomposic¸a˜o e o nu´mero de lados. a) Desenhe um pol´ıgono elegante de oito lados, indicando uma decomposic¸a˜o. Justifique sua resposta. b) Quais sa˜o as poss´ıveis medidas dos aˆngulos interno de um pol´ıgono elegante ? Justifique sua resposta. Soluc¸a˜o: a) Um exemplo de pol´ıgono convexo elegante de oito lados, com decomposic¸a˜o de 6 triaˆngulos equila´teros e 2 quadrados. b) Como um pol´ıgono elegante e´ convexo e e´ formado colocando lado a lado quadrados e triaˆngulos equila´teros, seus aˆngulos sa˜o a soma das parcelas iguais a 60◦ ou 90◦ que sa˜o menores que 180◦. Os valores poss´ıveis sa˜o: 60◦, 90◦, 120◦ = 60◦ + 60◦ e 150◦ = 60◦ + 90◦. Observe que: 3 ∙ 60◦ = 180◦(treˆs pontos colineares) e 2 ∙ 60◦ + 90◦ = 210◦ > 180◦. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Geometria Plana – Gabarito AP1 4 Questa˜o 5 [2 pts]: No trape´zio ABCD,com AB//CD, o aˆngulo BÂD mede 82◦ e o aˆngulo AB̂C mede 74◦. Suponha que existe P sobre o lado CD, tal que AD + DP = PC + CB = AB. Sejam E e F pertencente a reta ←→ CD e sa˜o tais que DE = DA e CB = CF . a) Determine os aˆngulos dos triaˆngulos DEA e BCF . Justifique sua resposta. b) Quanto mede o aˆngulo AP̂B? Justifique sua resposta. Soluc¸a˜o: Denote m(DÂE) = a e m(FB̂C) = b a) Como DE = DA e CB = CF , os triaˆngulos DEA e BCF sa˜o iso´sceles. E m(DÊA) = m(DÂE) e m(CF̂B) = m(FB̂C). Como AB//CD e dos aˆngulos alternos internos vem: m(BÂD) = m(ED̂A) = 82◦ e m(AB̂C) = m(BĈF ) = 74◦ Enta˜o 2a + 82◦ = 180◦ ⇒ a = 180 ◦ − 82◦ 2 = 98◦ 2 = 49◦ e 2b + 74◦ = 180◦ ⇒ b = 180 ◦ − 74◦ 2 = 106◦ 2 = 53◦. Portanto os aˆngulos do triaˆngulo EDA sa˜o 82◦, 49◦ e 49◦, e do triaˆngulo BCF sa˜o 74◦, 53◦ e 53◦. b) Como DE = DA, CB = CF e AD + DP = PC + CB = AB, enta˜o EP = PF = AB. E como EP//AB e PF//AB, temos que ABPE e ABFP sa˜o paralelogramos. Enta˜o m(AÊP ) = m(AB̂P ) = 49◦ e m(PF̂B) = m(PÂB) = 53◦ Logo a medida do aˆngulo AP̂B e´ : m(AP̂B) = 180◦ − 53◦ − 49◦ = 180◦ − 102◦ = 78◦ Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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