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Prova Geometria Plana AP1 2016.1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP1 – Gabarito
Questa˜o 1 [2 pts]: Na figura temos AE = BE = CE = CD. Considere que m(AB̂D) = α e
m(BĈA) = β, determine o valor da raza˜o
m(α)
m(β)
. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Como CE = CD,o triaˆngulo CDE e´ iso´sceles de base DE, temos
m(CÊD) =
180◦ − 20◦
2
=
160◦
2
= 80◦
Mas BE = CE, enta˜o m(CB̂E) = β. Como CÊD e´ aˆngulo externo do triaˆngulo BCE
2β = 80◦ ⇒ β = 40◦ (1)
Mas AE = BE. De maneira ana´loga temos que o aˆngulo BÊC e´ aˆngulo externo do triaˆngulo ABE.
m(CÊB) = 180◦ − 80◦ = 100◦, enta˜o
2α = 100◦ ⇒ α = 50◦ (2)
De (1) e (2) vem
m(α)
m(β)
=
50◦
40◦
=
5
4
Obs: Para encontrar (2) pode-se usar que m(BÊA) = m(CÊD), pois sa˜o opostos pelo ve´rtice.
Enta˜o 2α + 80◦ = 180◦ ⇒ α = 50◦.
Questa˜o 2 [2 pts]: Na figura o ponto O e´ o centro da circunfereˆncia
que passa pelos pontos A, B, C, D e E. Sabendo que o diaˆmetro AB
e a corda CD sa˜o perpendiculares e que m(BĈE) = 35◦, determine
o valor, em graus, da medida do aˆngulo DÂE.
Justifique suas respostas.
Geometria Plana – Gabarito AP1 2
Soluc¸a˜o: Do enunciado temos o aˆngulo inscrito m(BĈE) = 35◦,
enta˜o temos a medida do arco m(
_
EB) = 2 ∙m(BĈE) = 2 ∙ 35◦ = 70◦.
E do aˆngulo central vem m(EÔB) = m(
_
EB) = 70◦.
Do aˆngulos opostos pelo ve´rtice vem m(AÔC) = m(EÔB) = 70◦.
Da´ı m(
_
AC) = 70◦. Como o diaˆmetro AB e a corda CD sa˜o
perpendiculares, enta˜o m(
_
AD) = m(
_
AC) = 70◦.
Logo m(
_
AD) + m(
_
DE) + m(
_
EB) = 180◦ ⇒ m(
_
DE) = 180◦ − 70◦ − 70◦ = 40◦.
Portanto m(DÂE) =
m(
_
DE)
2
=
40◦
2
= 20◦.
Outra soluc¸a˜o:
Como OC = OB sa˜o raios da circunfereˆncia, o triaˆngulo COB e´ iso´sceles. Do enunciado vem
m(BĈE) = 35◦, enta˜o m(CB̂O) = 35◦. De maneira ana´loga ΔAOE e´ iso´sceles. Note que EÔB
e´ aˆngulo externo dos triaˆngulos COB e AOE, logo m(OÂE) = 35◦. Temos que
m(AÊC) = m(AD̂C) =
m(
_
AC)
2
=
70◦
2
= 35◦
No triaˆngulo retaˆngulo APD, denote m(DÂE) = x, da soma dos aˆngulos internos vem:
x + 35◦ + 90◦ + 35◦ = 180◦ ⇒ x = 180◦ − 160◦ = 20◦
Questa˜o 3 [2 pts]: Verifique se as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
a) Se em um quadrila´tero ABCD, BC = CD e m(BÂC) = m(DÂC), enta˜o os triaˆngulos
ABC e ADC sa˜o congruentes.
b) Se uma altura de um triaˆngulo e´ congruente a uma altura de outro triaˆngulo, enta˜o os triaˆngulos
sa˜o congruentes.
Soluc¸a˜o:
a) A afirmac¸a˜o e´ FALSA. Veja na figura o quadrila´tero ABCD,
onde BC = CD e m(BÂC) = m(DÂC).
Mas os triaˆngulos ABC e ADC na˜o sa˜o congruentes,
pois AD e AB na˜o tem mesma medida.
A congrueˆncia dos triaˆngulos ABC e ADC seria verdadeira
se a condic¸a˜o AB = AD e m(BÂC) = m(DÂC) e AC e´ o lado comum, crite´rio LAL.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AP1 3
b) A afirmac¸a˜o e´ FALSA.
Na figura os triaˆngulos ABC e DEF tem uma altura congruente, no entanto o triaˆngulo ABC e´
obtusaˆngulo e o triaˆngulo DEF e´ retaˆngulo. Portanto na˜o sa˜o congruentes.
Questa˜o 4 [2 pts]: Um pol´ıgono convexo e´ elegante quando ele pode ser decomposto em triaˆngulos
equila´teros, quadrados ou ambos, todos com lados de mesmo comprimento. Abaixo ilustramos al-
guns exemplos de pol´ıgonos elegantes, indicando para cada um deles uma decomposic¸a˜o e o nu´mero
de lados.
a) Desenhe um pol´ıgono elegante de oito lados, indicando uma decomposic¸a˜o. Justifique sua
resposta.
b) Quais sa˜o as poss´ıveis medidas dos aˆngulos interno de um pol´ıgono elegante ? Justifique sua
resposta.
Soluc¸a˜o:
a) Um exemplo de pol´ıgono convexo elegante de oito lados,
com decomposic¸a˜o de 6 triaˆngulos equila´teros e 2 quadrados.
b) Como um pol´ıgono elegante e´ convexo e e´ formado colocando lado a lado quadrados e triaˆngulos
equila´teros, seus aˆngulos sa˜o a soma das parcelas iguais a 60◦ ou 90◦ que sa˜o menores que 180◦.
Os valores poss´ıveis sa˜o: 60◦, 90◦, 120◦ = 60◦ + 60◦ e 150◦ = 60◦ + 90◦.
Observe que: 3 ∙ 60◦ = 180◦(treˆs pontos colineares) e 2 ∙ 60◦ + 90◦ = 210◦ > 180◦.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AP1 4
Questa˜o 5 [2 pts]: No trape´zio ABCD,com AB//CD, o aˆngulo BÂD mede 82◦ e o aˆngulo AB̂C
mede 74◦.
Suponha que existe P sobre o lado CD, tal que AD + DP = PC + CB = AB.
Sejam E e F pertencente a reta
←→
CD e sa˜o tais que DE = DA e CB = CF .
a) Determine os aˆngulos dos triaˆngulos DEA e BCF . Justifique sua resposta.
b) Quanto mede o aˆngulo AP̂B? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: Denote m(DÂE) = a e m(FB̂C) = b
a) Como DE = DA e CB = CF ,
os triaˆngulos DEA e BCF sa˜o iso´sceles. E
m(DÊA) = m(DÂE) e m(CF̂B) = m(FB̂C).
Como AB//CD e dos aˆngulos alternos internos vem:
m(BÂD) = m(ED̂A) = 82◦ e m(AB̂C) = m(BĈF ) = 74◦
Enta˜o 2a + 82◦ = 180◦ ⇒ a = 180
◦ − 82◦
2
=
98◦
2
= 49◦
e 2b + 74◦ = 180◦ ⇒ b = 180
◦ − 74◦
2
=
106◦
2
= 53◦.
Portanto os aˆngulos do triaˆngulo EDA sa˜o 82◦, 49◦ e 49◦, e do triaˆngulo BCF sa˜o 74◦, 53◦ e 53◦.
b) Como DE = DA, CB = CF e
AD + DP = PC + CB = AB,
enta˜o EP = PF = AB.
E como EP//AB e PF//AB, temos que ABPE e ABFP sa˜o paralelogramos.
Enta˜o m(AÊP ) = m(AB̂P ) = 49◦ e m(PF̂B) = m(PÂB) = 53◦
Logo a medida do aˆngulo AP̂B e´ :
m(AP̂B) = 180◦ − 53◦ − 49◦ = 180◦ − 102◦ = 78◦
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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