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GUIA DE ESTUDO CÁLCULO I

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GUIA DE ESTUDO
(Cálculo I)
“Sala de Aula Invertida
aulas: 01,02, 03 e 04
Prof. Carnevale
Ano: 2016
�
LIMITES
( Noção de Limite
Seja a função 
, definida para todo x ( IR e x ( 1.
Então 
 ( f(x) = 2x + 1.
	x
	y = 2x + 1
	
	0,9
	2,8
	( x ( 1 = (0,1 ( f(x) ( 3 = (0,2
	0,99
	2,98
	( x ( 1 = (0,01 ( f(x) ( 3 = (0,02
	0,999
	2,998
	( x ( 1 = (0,001 ( f(x) ( 3 = (0,002
	 1
	3
	
	1,1
	3,2
	( x ( 1 = 0,1 ( f(x) ( 3 = 0,2
	1,01
	3,02
	( x ( 1 = 0,01 ( f(x) ( 3 = 0,02
	1,001
	3,002
	( x ( 1 = 0,001 ( f(x) ( 3 = 0,002
Observe que:
Observe que podemos tomar f(x) tão próximo de 3 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1.
Atenção:
Tomemos um ( (delta) (( ( 0) e ( (épsilon) (( ( 0) suficientemente pequenos.
Tal que 0 ( | x ( 1 | ( ( ( | f(x) ( 3 | ( (.
Note que:
0 ( | x ( 1 | ( (	( (( ( x ( 1 ( ( 
		( 1 ( ( ( x ( 1+ ( e x ( 1
e
| f(x) ( 3 | ( (	( (( ( f(x) ( 3 ( ( 
		( 3 ( ( ( f(x) ( 3 + (
Então dizemos que o limite de f(x), para x tendendo a 1, é 3. Isto é:
	
( Definição de Limite
Seja I um intervalo aberto, onde a ( I. Se f(x) é uma função definida para x ( I ( {a}, dizemos que:
	
( 
Exemplo:
Seja 
,
calcule 
.
Resolução:
	x
	y = x + 2
	
	0
	2
	
	1
	3
	
	 2
	4
	( x = 2 ( y = 6
.
(	Exercício Resolvido:
Usando a definição demonstre que 
.
- Solução:
Devemos mostrar que, para qualquer 
, existe 
 tal que:
Notemos que
Assim, se escolhermos 
, teremos:
De fato se
 ( 
 ( 
 (
( 
 ( 
( Limites Laterais
Considere a função f(x) real de variáveis reais definida pelo gráfico:
.
.
Atenção:
Se 
, então dizemos que 
(	Exercício Resolvido:
Seja 
, responda:
a)	Faça um esboço do gráfico de f(x).
- Solução:
Lembrando que:
Então:
Isto é:
b)	lim f(x), se existir, caso não exista justifique sua resposta.
- Solução:
Temos:
e
Considerando que 
, concluímos que não existe 
.
Exercícios
01.	Faça um esboço do gráfico de cada função e calcule os limites indicados. Caso o limite não exista, especificar a razão:
	a)	
		(i) 
	(ii) 
	(iii) 
	b)	
		(i) 
	(ii) 
	(iii) 
	c)	
		(i) 
	(ii) 
	(iii) 
	d)	
		(i) 
	(ii) 
	(iii) 
02.	Nos exercícios a seguir é dada a função f. Calcule os limites indicados se existirem.
	a)	
 definida em IR – {(1}.
		(i) 
	(ii) 
	(iii) 
	b)	
 definida em IR – {1}.
		(i) 
	(ii) 
	(iii) 
	c)	
 definida em IR – {2}.
		(i) 
	(ii) 
	(iii) 
03.	Dada a função f definida por
	
	
	Determine a ( IR para que exista 
.
04.	Dada a função f definida por
	
	
	Determine a ( IR para que exista 
.
( Propriedades dos Limite
1ª propriedade:
Limite de uma constante:
F:	IR ( IR
	x ( f(x) = c ( c ( IR
- Demonstração:
(( ( 0, (( ( 0 / 0 ( |x ( a| ( ( ( |f(x) ( c| ( (
É verdadeiro, pois:
| f(x) ( c | = | c ( c | = 0 ( (
2ª propriedade:
Se c ( IR e 
 então:
- Demonstração:
Se c = 0,	
Se c ( 0,	(( ( 0, (( ( 0 / 0 ( |x ( a| ( ( (
		( | c ( f(x) ( c ( L | ( (
		(( ( 0 / 0 ( |x ( a| ( ( (
		( 
		(( ( 0 / 0 ( |x ( a| ( ( (
		( 
Obs.	As outras propriedades não serão demonstradas.
3ª propriedade:
4ª propriedade:
5ª propriedade:
Exercício Resolvido:
Obs. 1:	Quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se aproxima de 1/2 e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x) se aproxima de zero.
Obs. 2:	
 não existe.
	
 e 
 
Obs. 3:	
 ( 
	
	
	
	
Exemplos
01.	Sendo 
, determine:
	a) f(1) = _______	b) 
_______
	c) 
 _______	d) 
 _______
02.	Dado 
. Calcule:
	a) f(1) = _______	b) 
_______
	c) 
 _______	d) 
 _______
03.	Dado 
. Determine:
	a) f(0) + f(1) = _______	b)
_______
	c) 
 _______	d) 
 _______
	e) 
 _______	f) 
 _______
	g) 
 _______
Exercícios
01.	Mostrar que o 
.
	Obs.: Definição
02.	Calcule os limites:
	a) 
 _______
	b) 
 _______
	c) 
 _______
03.	Calcule os limites:
	a) 
 _______
	b) 
 _______
	c) 
 _______
04.	Sendo f(x) = x2, calcule 
.
( Continuidade de funções
		Seja f(x) uma função real definida no domínio D.
	I.	f(x) é contínua no ponto a ( D ( 
.
	II.	f(x) é uma função contínua em D s.s.s. f(x) for contínua para todos os valores de a ( D.
Exemplos
01.	Sendo 
, mostre que f(x) é contínua.
02.	
 tem algum ponto de descontinuidade.
03.	Dado	f :	R ( R
				x ( y = 
 para que valores de k, f(x) é contínua em x = 1 ?
( Limites Fundamentais
	( Limite Trigonométrico
	a)	Se 
, temos
		sen x ( x ( tg x ( ( sen x )
	b)	Se x ( 4º Q, 
		sen x ( x ( tg x ( ( sen x )
		Obs.: sen x ( 0
	Então para 
 e x ( 0 temos
	Como 
 e 
, concluímos que 
 então 
Exemplos
01.	Calcule os limites:
	a) 
 _______
	b) 
 _______
	c) 
 _______
	d) 
 _______
	e) 
 _______
	( Limite Exponencial
	Seja 
 ( D = R – [(1, 0]
	
	
Exercícios
01.	Calcule os limites:
	a) 
 _______
	b) 
 _______
DERIVADA
( Derivada como taxa de variação
	( Introdução
Um móvel percorre um espaço em função do tempo, definido pela equação S(t) = 2t + 4.
Taxa de variação é a rapidez com que “S” cresce ou decresce quando o tempo aumenta de uma unidade.
T.V. = 2 m/s = 
 (velocidade = coeficiente angular da função).
T.V. = 2 m/s ( Taxa de Variação.
	( Conclusão
Dada a função y = ax + b ( a = T.V.
onde 
( T.V. = a é também chamada de derivada da função.
Notamos que T.V. é constante = a.
T.V. = a.
Se diminuirmos o intervalo (t ao máximo, isto é fazendo com que t1 tenda para t0 , a reta secante tenderá a uma reta tangente no ponto t0, onde (t = t1 ( t0, se t1 ( t0 ( (t ( 0.
Então a velocidade média tenderá a uma velocidade instantânea no ponto t0.
Isto é 
 (velocidade instantânea no ponto t0).
Como 
 (coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto t0).
Ainda
 (taxa de variação no ponto t0), que é denominada de 
Derivada da Função no ponto t0 .
Indicada por:
Sendo (t = t1 ( t0 ( t1 = t0 + (t.
= 
.
De um modo geral dada uma função f(x) contínua um intervalo D.
Exemplos
01.	Sendo S(t) = 3t2, determine:
	a) A derivada da função no ponto t.
	b)	A taxa de variação no ponto t = 2 seg.
	c)	A velocidade da partícula no ponto t = 2 seg.
	d)	A derivada da função no ponto t = 2.
	e)	O ângulo definido pela reta tangente a curva no ponto 
 seg.
02.	Dado f(x) = x2 ( 5, calcule a equação da reta tangente a curva no ponto x = 2.
03.	Calcule as derivadasusando a fórmula geral.
	a) y = f(x) = k	( 
 = __________
	b) y = f(x) = x	( 
 = __________
�
( Regras de Derivação - Obs.: Demonstre todas as regras.
01.	f(x) = u(x) + v(x) ( f ’ (x) = u’ (x) + v’ (x)
02.	f(x) = k.u(x) ( f ’ (x) = k.u’ (x)
03.	y = f(x) = u(x) ( v(x) ( f ’ (x) = u’ (x) ( v(x) + u(x) ( v’ (x)
04.	
 ( 
05.	f(x) = xn ( f(x) = n.xn ( 1
	
 = 
	
	
	
	
06.	f(x) = n x	(	
	
	
	
 ( (x ( 0 ( ( ( (
	
	
07.	f(x) = log a x ( 
08.	( Regra da cadeia ) Derivada da Função Composta
	f(x) = v( u(x) ) ( f ’ (x) = v ’ ( v(x) ) ( u ’ (x)
	
 
	
 
	
 
	Tomando u ( x + (x ) ( u(x) =  ( u ( x + (x ) =  + u(x)
	(x ( 0 (  ( 0
	Substituindo
	
 
	f ’ (x) = v ’ ( u(x) ) ( u ’ (x) 
�
Exemplos
Calcule as derivadas:
a) f(x) = (5x3 ( 2)10 ( f ’ (x) = ______________	c) 
 ( f ’ (x) = ______________
b) f(x) = n(2x2 ( 3) ( f ’ (x) = ____________	d) 
 ( f ’ (x) = _____________
�
09.	f(x) = ax ( f ’ (x) = ax n a.
	y = ax ( log a y = x
	Derivando: 
 ( y’ = y n a ( y’ = at n a
Exemplos
a) f(x) = 3x ( f ’ (x) = _________________	b) 
 ( f ’ (x) = _________________
10.	f(x) = sen x ( f ’ (x) = cos x
	
 
	
 
	Obs.: sen a ( sen b = 
	
 .
	
.
11. 	f(x) = cos x ( f ’ (x) = (sen x
	
 
	
 
	Obs.: cos a ( cos b = 
	
 .
	
.
	f ’ (x) = (sen x
Exemplos
a) f(x) = sen (3x2 + 1) ( f ’ (x) = _____________	d) f(x) = cos (4x5 ( x) ( f ’ (x) = ______________
b) 
 ( f ’ (x) = ______________	e) f(x) = 2x4 ( cos (3x2 ( 4) ( f ’ (x) = _____________
c) f(x) = (5x2) ( cos x ( f ’ (x) = ______________	f) f(x) = log 3 x2 ( cos 2x2 ( f ’ (x) = _____________
12.	f(x) = tg x ( f ’ (x) = sec2 x
13.	f(x) = cotg x ( f ’ (x) = (cossec2 x
14.	f(x) = sec x ( f ’ (x) = sec x ( tg x
15.	f(x) = cossec x ( f ’ (x) = (cossec x ( cotg x
16.	f(x) = arc sen x ( f ’ (x) = 
	y = arc sen x ( x = sen y Derivando: 1 = y ’ ( cos y ( 
 
	Como: sen2 y + cos2 y = 1 ( 
 .
			( 
.
17.	f(x) = arc cos x ( f ’ (x) = 
18.	f(x) = arc tg x ( f ’ (x) = 
	y = arc tg x ( x = tg y Derivando: 1 = y ’ ( sec2 y ( 
 
	Como: sec2 y = 1 + tg2 y ( sec2 y = 1 + x2 .
				( 
.
19.	f(x) = arc cotg x ( f ’ (x) = 
20.	f(x) = arc sec x ( f ’ (x) = 
	y = arc sec x ( sec y = x Derivando: y ’ sec y ( tg y = 1 ( 
 
	Obs.: tg2 y + 1 = sec2 y ( 
 .
				( 
.
21.	f(x) = arc cossec x ( f ’ (x) = 
�
Exercícios
01.	Derive as funções:
	a)	y = sen x ( cos x	y’ = ____________
	b)	y = sen5 3x	y’ = ____________
	c)	
	y’ = ____________
	d)	y = sec7 3x	y’ = ____________
	e)	
	y’ = ____________
	f)	
	y’ = ____________
	g)	y = arc cos (x2 ( 1)	y’ = ____________
	h)	y = log (2x + x2)	y’ = ____________
	i)	
	y’ = ____________
	j)	
	y’ = ____________
	l)	y = xx	y’ = ____________
	m)	y = e(x ( cos x2	y’ = ____________
02.	Derive:
y = 0
y = 10
y = (8
y = 
y = 0,8
y = 
y = 
y = 2x
y = 
y = (0,1x
y = 
y = 
y = x2
y = 1 ( 2x ( 0,8x2
y = 
S = 0,1 t10
( = (0,3 (3
y = 
( x n 4 + 6
y = 
y = 
S = 2 t3 ( 5 t2 + 4t ( 3
(g, v0, S0 ( ctes)
y = (3x ( 1) (2x + 5)
y = 
S = 
S = n t
y = log2 x
y = n (4x2 + 7)
y = n 5 x
y = 
S = 
y = x2 n x2
S = et
y = e(x
S = e2t
y = 
S = 
y = 
y = 
y = 5x
y = 74x
S = 
( = 32(
z = 
y = sen x
f(t) = sen t
y = sen (x2 + 2x)
f(x) = 3 sen 2x
( = 
z = sen (2y2 + 3y)
y = cos x
S = cos t
y = cos (x2 + 2x)
f(t) = 7 cos 5t
( = 
y = tg x
S = tg 3t
y = tg (x2 + 2x)
f(t) = 5 tg 2t
( = 
y = (x + n x)3
y = (x2 ( 4)3 n x
y = x2 ex (x + 1)5
y = (ex n x)3
y = ex (x0,1 ( 2x0,6)
y = sen x + cos x
y = sen x ( cos x
y = sec x
y = cossec x
y = x ( sen x ( cos x
03.	Escrever os exercícios anteriores da forma:
	
 ou 
 ou 
 ou 
 ou 
04.	Escrever a diferencial dos mesmos exercícios.
05.	Achar a equação da tangente à curva:
	a)	y = sen x, na origem.
	b)	y = tg x, no ponto onde 
.
Exercícios Propostos
01.	Calcule a derivada da função y = x2 ( 1 aplicando a definição de derivada.
02.	Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x) = x3 ( x2 + 3	R: f ’ (x) = 3x2 ( 2x
y = ax4 ( bx	R: y ’ = 4ax3 ( b
y = 
	R: y ’ = 2x2
f(x) = xa + 1	R: f ’(x) = (a + 1)xa
y = 
	R: y ’ = xm ( 1
y = 
	R: y ’ = 
y = 
	R: y ’ = 
f(x) = 
	R: f’(x) = 
y = 
	R: y ’ = xm
f(x) = 
	R: f ’(x) = 
y = 
	R: y ’ = 
y = sen x2	R: y ’ = 2x cos x2
y = sen2 x	R: y ’ = sen 2x
y = cos (3x2 + x)	R: y ’ = ((6x + 1) sen (3x2 + x)
y = tg 2x	R: y ’ = 2 sec2 2x
y = 
	R: y ’ = tg x ( sec2 x
y = 
	R: y ’ = 
y = 2 sen x	R: y’ = cos x 2sen x n 2
y = e 2x	R: y ’ = 2 ( e2x
f(x) = n x4	R: f ’(x) = 
y = 
	R: y ’ = 
y = loga x	R: y ’ = 
y = log sen x	R: y ’ = 
y = xx		R: 
f(x) = 	
	R: f ’ (x) = 
y = 
	R: y ’ = sec x
y = (cos x)2	R: y ’ = (2 sen 2x
y = 
	R: y’ = 
03.	Calcule a derivada de 2ª ordem das funções:
y = x4 ( 3x2 + 2x ( 1	R: y ’ = 4x3 ( 6x2 + 2
y = sen x ( cos x	R: y ’ = cos x + sen x
04.	Calcule o valor das derivadas das funções abaixo no ponto de abscissa x = (1.
y = x5 ( 3x3 ( x ( 1
y = e(x + ex ( log e
05.	Calcule o coeficiente angular das tangentes às curvas abaixo indicadas, no ponto de abscissa x = 2.
y = x4 + x + 1
y = 
06.	Se f ’ (a) = (1, qual é a inclinação de curva representativa de y = f(x) no ponto de abscissa x = a ?
07.	Calcule a derivada da função y = e(x n x.
08.	Achar a equação da normal à curva y = x2 no ponto de abscissa x = 2.
09.	Sendo f(x) = sen2 2x, calcule f ’’ ((/4).
10.	Calcule a derivada de ordem n da função f(x) = n x.
11.	Calcule a derivada de 
.
12.	Calcular o valor da derivada de
	y = sen (x + 1) cos (x ( 1) no ponto x = 0.
13.	Em que ponto a tangente à curva y = x2 ( 1 é paralela à reta y = x/2 ?
Não existe
Limite de f(x) quando x tende para dois pela ESQUERDA.
Limite de f(x) quando x tende para dois pela DIREITA.
1
(1
sen
cos
sen x
x
tg x
x
y
x
e = 2,71828...
e
(1
t (seg)
S (m)
2
1
(1
(2
(
4
6
x
y
f(x2)
f(x1)
(
(
x1
x2
f(x)
(y
(x
t
t1
t0
(
S(t0)
S(t1)
(
S
S(t)
dy/dx
1
n ( 1
at
x
x
�PAGE �
	
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