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GUIA DE ESTUDO (Cálculo I) “Sala de Aula Invertida aulas: 01,02, 03 e 04 Prof. Carnevale Ano: 2016 � LIMITES ( Noção de Limite Seja a função , definida para todo x ( IR e x ( 1. Então ( f(x) = 2x + 1. x y = 2x + 1 0,9 2,8 ( x ( 1 = (0,1 ( f(x) ( 3 = (0,2 0,99 2,98 ( x ( 1 = (0,01 ( f(x) ( 3 = (0,02 0,999 2,998 ( x ( 1 = (0,001 ( f(x) ( 3 = (0,002 1 3 1,1 3,2 ( x ( 1 = 0,1 ( f(x) ( 3 = 0,2 1,01 3,02 ( x ( 1 = 0,01 ( f(x) ( 3 = 0,02 1,001 3,002 ( x ( 1 = 0,001 ( f(x) ( 3 = 0,002 Observe que: Observe que podemos tomar f(x) tão próximo de 3 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. Atenção: Tomemos um ( (delta) (( ( 0) e ( (épsilon) (( ( 0) suficientemente pequenos. Tal que 0 ( | x ( 1 | ( ( ( | f(x) ( 3 | ( (. Note que: 0 ( | x ( 1 | ( ( ( (( ( x ( 1 ( ( ( 1 ( ( ( x ( 1+ ( e x ( 1 e | f(x) ( 3 | ( ( ( (( ( f(x) ( 3 ( ( ( 3 ( ( ( f(x) ( 3 + ( Então dizemos que o limite de f(x), para x tendendo a 1, é 3. Isto é: ( Definição de Limite Seja I um intervalo aberto, onde a ( I. Se f(x) é uma função definida para x ( I ( {a}, dizemos que: ( Exemplo: Seja , calcule . Resolução: x y = x + 2 0 2 1 3 2 4 ( x = 2 ( y = 6 . ( Exercício Resolvido: Usando a definição demonstre que . - Solução: Devemos mostrar que, para qualquer , existe tal que: Notemos que Assim, se escolhermos , teremos: De fato se ( ( ( ( ( ( Limites Laterais Considere a função f(x) real de variáveis reais definida pelo gráfico: . . Atenção: Se , então dizemos que ( Exercício Resolvido: Seja , responda: a) Faça um esboço do gráfico de f(x). - Solução: Lembrando que: Então: Isto é: b) lim f(x), se existir, caso não exista justifique sua resposta. - Solução: Temos: e Considerando que , concluímos que não existe . Exercícios 01. Faça um esboço do gráfico de cada função e calcule os limites indicados. Caso o limite não exista, especificar a razão: a) (i) (ii) (iii) b) (i) (ii) (iii) c) (i) (ii) (iii) d) (i) (ii) (iii) 02. Nos exercícios a seguir é dada a função f. Calcule os limites indicados se existirem. a) definida em IR – {(1}. (i) (ii) (iii) b) definida em IR – {1}. (i) (ii) (iii) c) definida em IR – {2}. (i) (ii) (iii) 03. Dada a função f definida por Determine a ( IR para que exista . 04. Dada a função f definida por Determine a ( IR para que exista . ( Propriedades dos Limite 1ª propriedade: Limite de uma constante: F: IR ( IR x ( f(x) = c ( c ( IR - Demonstração: (( ( 0, (( ( 0 / 0 ( |x ( a| ( ( ( |f(x) ( c| ( ( É verdadeiro, pois: | f(x) ( c | = | c ( c | = 0 ( ( 2ª propriedade: Se c ( IR e então: - Demonstração: Se c = 0, Se c ( 0, (( ( 0, (( ( 0 / 0 ( |x ( a| ( ( ( ( | c ( f(x) ( c ( L | ( ( (( ( 0 / 0 ( |x ( a| ( ( ( ( (( ( 0 / 0 ( |x ( a| ( ( ( ( Obs. As outras propriedades não serão demonstradas. 3ª propriedade: 4ª propriedade: 5ª propriedade: Exercício Resolvido: Obs. 1: Quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se aproxima de 1/2 e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x) se aproxima de zero. Obs. 2: não existe. e Obs. 3: ( Exemplos 01. Sendo , determine: a) f(1) = _______ b) _______ c) _______ d) _______ 02. Dado . Calcule: a) f(1) = _______ b) _______ c) _______ d) _______ 03. Dado . Determine: a) f(0) + f(1) = _______ b) _______ c) _______ d) _______ e) _______ f) _______ g) _______ Exercícios 01. Mostrar que o . Obs.: Definição 02. Calcule os limites: a) _______ b) _______ c) _______ 03. Calcule os limites: a) _______ b) _______ c) _______ 04. Sendo f(x) = x2, calcule . ( Continuidade de funções Seja f(x) uma função real definida no domínio D. I. f(x) é contínua no ponto a ( D ( . II. f(x) é uma função contínua em D s.s.s. f(x) for contínua para todos os valores de a ( D. Exemplos 01. Sendo , mostre que f(x) é contínua. 02. tem algum ponto de descontinuidade. 03. Dado f : R ( R x ( y = para que valores de k, f(x) é contínua em x = 1 ? ( Limites Fundamentais ( Limite Trigonométrico a) Se , temos sen x ( x ( tg x ( ( sen x ) b) Se x ( 4º Q, sen x ( x ( tg x ( ( sen x ) Obs.: sen x ( 0 Então para e x ( 0 temos Como e , concluímos que então Exemplos 01. Calcule os limites: a) _______ b) _______ c) _______ d) _______ e) _______ ( Limite Exponencial Seja ( D = R – [(1, 0] Exercícios 01. Calcule os limites: a) _______ b) _______ DERIVADA ( Derivada como taxa de variação ( Introdução Um móvel percorre um espaço em função do tempo, definido pela equação S(t) = 2t + 4. Taxa de variação é a rapidez com que “S” cresce ou decresce quando o tempo aumenta de uma unidade. T.V. = 2 m/s = (velocidade = coeficiente angular da função). T.V. = 2 m/s ( Taxa de Variação. ( Conclusão Dada a função y = ax + b ( a = T.V. onde ( T.V. = a é também chamada de derivada da função. Notamos que T.V. é constante = a. T.V. = a. Se diminuirmos o intervalo (t ao máximo, isto é fazendo com que t1 tenda para t0 , a reta secante tenderá a uma reta tangente no ponto t0, onde (t = t1 ( t0, se t1 ( t0 ( (t ( 0. Então a velocidade média tenderá a uma velocidade instantânea no ponto t0. Isto é (velocidade instantânea no ponto t0). Como (coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto t0). Ainda (taxa de variação no ponto t0), que é denominada de Derivada da Função no ponto t0 . Indicada por: Sendo (t = t1 ( t0 ( t1 = t0 + (t. = . De um modo geral dada uma função f(x) contínua um intervalo D. Exemplos 01. Sendo S(t) = 3t2, determine: a) A derivada da função no ponto t. b) A taxa de variação no ponto t = 2 seg. c) A velocidade da partícula no ponto t = 2 seg. d) A derivada da função no ponto t = 2. e) O ângulo definido pela reta tangente a curva no ponto seg. 02. Dado f(x) = x2 ( 5, calcule a equação da reta tangente a curva no ponto x = 2. 03. Calcule as derivadasusando a fórmula geral. a) y = f(x) = k ( = __________ b) y = f(x) = x ( = __________ � ( Regras de Derivação - Obs.: Demonstre todas as regras. 01. f(x) = u(x) + v(x) ( f ’ (x) = u’ (x) + v’ (x) 02. f(x) = k.u(x) ( f ’ (x) = k.u’ (x) 03. y = f(x) = u(x) ( v(x) ( f ’ (x) = u’ (x) ( v(x) + u(x) ( v’ (x) 04. ( 05. f(x) = xn ( f(x) = n.xn ( 1 = 06. f(x) = n x ( ( (x ( 0 ( ( ( ( 07. f(x) = log a x ( 08. ( Regra da cadeia ) Derivada da Função Composta f(x) = v( u(x) ) ( f ’ (x) = v ’ ( v(x) ) ( u ’ (x) Tomando u ( x + (x ) ( u(x) = ( u ( x + (x ) = + u(x) (x ( 0 ( ( 0 Substituindo f ’ (x) = v ’ ( u(x) ) ( u ’ (x) � Exemplos Calcule as derivadas: a) f(x) = (5x3 ( 2)10 ( f ’ (x) = ______________ c) ( f ’ (x) = ______________ b) f(x) = n(2x2 ( 3) ( f ’ (x) = ____________ d) ( f ’ (x) = _____________ � 09. f(x) = ax ( f ’ (x) = ax n a. y = ax ( log a y = x Derivando: ( y’ = y n a ( y’ = at n a Exemplos a) f(x) = 3x ( f ’ (x) = _________________ b) ( f ’ (x) = _________________ 10. f(x) = sen x ( f ’ (x) = cos x Obs.: sen a ( sen b = . . 11. f(x) = cos x ( f ’ (x) = (sen x Obs.: cos a ( cos b = . . f ’ (x) = (sen x Exemplos a) f(x) = sen (3x2 + 1) ( f ’ (x) = _____________ d) f(x) = cos (4x5 ( x) ( f ’ (x) = ______________ b) ( f ’ (x) = ______________ e) f(x) = 2x4 ( cos (3x2 ( 4) ( f ’ (x) = _____________ c) f(x) = (5x2) ( cos x ( f ’ (x) = ______________ f) f(x) = log 3 x2 ( cos 2x2 ( f ’ (x) = _____________ 12. f(x) = tg x ( f ’ (x) = sec2 x 13. f(x) = cotg x ( f ’ (x) = (cossec2 x 14. f(x) = sec x ( f ’ (x) = sec x ( tg x 15. f(x) = cossec x ( f ’ (x) = (cossec x ( cotg x 16. f(x) = arc sen x ( f ’ (x) = y = arc sen x ( x = sen y Derivando: 1 = y ’ ( cos y ( Como: sen2 y + cos2 y = 1 ( . ( . 17. f(x) = arc cos x ( f ’ (x) = 18. f(x) = arc tg x ( f ’ (x) = y = arc tg x ( x = tg y Derivando: 1 = y ’ ( sec2 y ( Como: sec2 y = 1 + tg2 y ( sec2 y = 1 + x2 . ( . 19. f(x) = arc cotg x ( f ’ (x) = 20. f(x) = arc sec x ( f ’ (x) = y = arc sec x ( sec y = x Derivando: y ’ sec y ( tg y = 1 ( Obs.: tg2 y + 1 = sec2 y ( . ( . 21. f(x) = arc cossec x ( f ’ (x) = � Exercícios 01. Derive as funções: a) y = sen x ( cos x y’ = ____________ b) y = sen5 3x y’ = ____________ c) y’ = ____________ d) y = sec7 3x y’ = ____________ e) y’ = ____________ f) y’ = ____________ g) y = arc cos (x2 ( 1) y’ = ____________ h) y = log (2x + x2) y’ = ____________ i) y’ = ____________ j) y’ = ____________ l) y = xx y’ = ____________ m) y = e(x ( cos x2 y’ = ____________ 02. Derive: y = 0 y = 10 y = (8 y = y = 0,8 y = y = y = 2x y = y = (0,1x y = y = y = x2 y = 1 ( 2x ( 0,8x2 y = S = 0,1 t10 ( = (0,3 (3 y = ( x n 4 + 6 y = y = S = 2 t3 ( 5 t2 + 4t ( 3 (g, v0, S0 ( ctes) y = (3x ( 1) (2x + 5) y = S = S = n t y = log2 x y = n (4x2 + 7) y = n 5 x y = S = y = x2 n x2 S = et y = e(x S = e2t y = S = y = y = y = 5x y = 74x S = ( = 32( z = y = sen x f(t) = sen t y = sen (x2 + 2x) f(x) = 3 sen 2x ( = z = sen (2y2 + 3y) y = cos x S = cos t y = cos (x2 + 2x) f(t) = 7 cos 5t ( = y = tg x S = tg 3t y = tg (x2 + 2x) f(t) = 5 tg 2t ( = y = (x + n x)3 y = (x2 ( 4)3 n x y = x2 ex (x + 1)5 y = (ex n x)3 y = ex (x0,1 ( 2x0,6) y = sen x + cos x y = sen x ( cos x y = sec x y = cossec x y = x ( sen x ( cos x 03. Escrever os exercícios anteriores da forma: ou ou ou ou 04. Escrever a diferencial dos mesmos exercícios. 05. Achar a equação da tangente à curva: a) y = sen x, na origem. b) y = tg x, no ponto onde . Exercícios Propostos 01. Calcule a derivada da função y = x2 ( 1 aplicando a definição de derivada. 02. Calcule as derivadas das seguintes funções: f(x) = x3 ( x2 + 3 R: f ’ (x) = 3x2 ( 2x y = ax4 ( bx R: y ’ = 4ax3 ( b y = R: y ’ = 2x2 f(x) = xa + 1 R: f ’(x) = (a + 1)xa y = R: y ’ = xm ( 1 y = R: y ’ = y = R: y ’ = f(x) = R: f’(x) = y = R: y ’ = xm f(x) = R: f ’(x) = y = R: y ’ = y = sen x2 R: y ’ = 2x cos x2 y = sen2 x R: y ’ = sen 2x y = cos (3x2 + x) R: y ’ = ((6x + 1) sen (3x2 + x) y = tg 2x R: y ’ = 2 sec2 2x y = R: y ’ = tg x ( sec2 x y = R: y ’ = y = 2 sen x R: y’ = cos x 2sen x n 2 y = e 2x R: y ’ = 2 ( e2x f(x) = n x4 R: f ’(x) = y = R: y ’ = y = loga x R: y ’ = y = log sen x R: y ’ = y = xx R: f(x) = R: f ’ (x) = y = R: y ’ = sec x y = (cos x)2 R: y ’ = (2 sen 2x y = R: y’ = 03. Calcule a derivada de 2ª ordem das funções: y = x4 ( 3x2 + 2x ( 1 R: y ’ = 4x3 ( 6x2 + 2 y = sen x ( cos x R: y ’ = cos x + sen x 04. Calcule o valor das derivadas das funções abaixo no ponto de abscissa x = (1. y = x5 ( 3x3 ( x ( 1 y = e(x + ex ( log e 05. Calcule o coeficiente angular das tangentes às curvas abaixo indicadas, no ponto de abscissa x = 2. y = x4 + x + 1 y = 06. Se f ’ (a) = (1, qual é a inclinação de curva representativa de y = f(x) no ponto de abscissa x = a ? 07. Calcule a derivada da função y = e(x n x. 08. Achar a equação da normal à curva y = x2 no ponto de abscissa x = 2. 09. Sendo f(x) = sen2 2x, calcule f ’’ ((/4). 10. Calcule a derivada de ordem n da função f(x) = n x. 11. Calcule a derivada de . 12. Calcular o valor da derivada de y = sen (x + 1) cos (x ( 1) no ponto x = 0. 13. Em que ponto a tangente à curva y = x2 ( 1 é paralela à reta y = x/2 ? Não existe Limite de f(x) quando x tende para dois pela ESQUERDA. Limite de f(x) quando x tende para dois pela DIREITA. 1 (1 sen cos sen x x tg x x y x e = 2,71828... e (1 t (seg) S (m) 2 1 (1 (2 ( 4 6 x y f(x2) f(x1) ( ( x1 x2 f(x) (y (x t t1 t0 ( S(t0) S(t1) ( S S(t) dy/dx 1 n ( 1 at x x �PAGE � _1240217014.unknown _1471178374.unknown _1471766610.unknown _1471769161.unknown _1471769547.unknown _1471770748.unknown _1471774378.unknown _1471774704.unknown _1471774728.unknown _1471774532.unknown _1471773348.unknown _1471770472.unknown _1471770557.unknown _1471769812.unknown _1471769418.unknown _1471769473.unknown _1471769311.unknown _1471766720.unknown _1471769148.unknown _1471769157.unknown _1471769091.unknown _1471766706.unknown _1471766713.unknown _1471766651.unknown_1471179335.unknown _1471179559.unknown _1471179581.unknown _1471766534.unknown _1471179565.unknown _1471179355.unknown _1471179550.unknown _1471179346.unknown _1471179214.unknown _1471179244.unknown _1471179253.unknown _1471179230.unknown _1471178949.unknown _1471178981.unknown _1471179209.unknown _1471178914.unknown _1471178936.unknown _1471178481.unknown _1240669273.unknown _1471174802.unknown _1471177006.unknown _1471177592.unknown _1471178087.unknown _1471178223.unknown _1471177641.unknown _1471177246.unknown _1471177580.unknown _1471177073.unknown _1471175261.unknown _1471176208.unknown _1471176529.unknown _1471175294.unknown _1471175127.unknown _1471175166.unknown _1471175112.unknown _1240673157.unknown _1470069257.unknown _1471174213.unknown _1471174656.unknown _1471174703.unknown _1471174243.unknown _1471174070.unknown _1471174192.unknown _1470746133.unknown _1470068582.unknown _1470069048.unknown _1470069256.unknown _1470068937.unknown _1240673922.unknown _1240723312.unknown _1240724163.unknown _1469021876.unknown _1469882808.unknown _1240724798.unknown _1469021792.unknown _1240724457.unknown _1240723691.unknown _1240724134.unknown _1240724156.unknown _1240723745.unknown _1240723638.unknown _1240674271.unknown _1240674283.unknown _1240674354.unknown _1240674108.unknown _1240673745.unknown _1240673806.unknown _1240673903.unknown _1240673779.unknown _1240673271.unknown _1240673326.unknown _1240673411.unknown _1240673437.unknown _1240673312.unknown _1240673202.unknown _1240673237.unknown _1240673175.unknown _1240671262.unknown _1240671867.unknown _1240672536.unknown _1240672735.unknown _1240673098.unknown _1240672573.unknown _1240672505.unknown _1240672519.unknown _1240672468.unknown _1240671446.unknown _1240671608.unknown _1240671745.unknown _1240671509.unknown _1240671324.unknown _1240671365.unknown _1240671289.unknown _1240670526.unknown _1240670915.unknown _1240671082.unknown _1240671126.unknown _1240670944.unknown _1240670631.unknown _1240670750.unknown _1240670571.unknown _1240670177.unknown _1240670337.unknown _1240670408.unknown _1240670330.unknown _1240670142.unknown _1240670151.unknown _1240670125.unknown _1240656821.unknown _1240660173.unknown _1240660798.unknown _1240668682.unknown _1240668807.unknown _1240668891.unknown 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