Apostila DESENHO GEOMÉTRICO

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d
e
se
n
h
o
g
e
o
m
é
tr
ic
o
Eber Nunes Ferreira
xA
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
1
2
3
4
5
6
7
8
910
11
0123456789101112
1-INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
1.1 - INTRODUÇÃO
1.2 -ELEMENTOS FUNDAMENTAIS
A Geometria é a ciência que tem por objetivo o estudo rigoroso do espaço e das figuras que nele
podem conceber. Baseia-se em:
aqueles que não se definem, mediante os quais podem ser definidos todos os
outros. Ex.: o ponto
proposições admitidas sem demonstrações. Ex.: há infinitos pontos em uma reta.
proposições que necessitam de demomonstrações. Ex: a soma do quadrado dos catetos
é igual ao quadrado da hipotenusa (Terema de Pitágoras).
O ponto resulta da interseção de duas linhas, sendo indicado com letras maiúsculas ou números:A, B,
C, ... 1, 2, 3, ... e representados da seguinte forma:
-
-
-
conceitos primitivos:
postulados:
teoremas:
Ponto
Linha
Conceituação: a linha pode ser comparada a uma série de pontos que se sucedem no espaço, tão
próximos que se confundem num traço contíguo, unidimensional. Assim, podemos concebê-la como
o conjunto das posições de um ponto móvel, podendo se apresentar com a forma:
As retas podem ser classificadas conforme a posição absoluta em que se encontra, e quanto às
posições relativas.
PosiçãoAbsoluta Posições Relativas (retas coplanares)
linha reta linha poligonal linha mista linha curva
reta segmento de reta semi-reta
A PBr r
Linha Reta
Quando um ponto se desloca no espaço sem nunca mudar de direção, ele dá origem a uma linha reta,
sendo esta, infinita e ilimitada nos dois sentidos.
horizontal
vertical
inclinada
a b
a
b
a
b
a
b
A 1
01
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
02
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
2.2 - : é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois pontos dados.Mediatriz
2 - LUGARES GEOMÉTRICOS
Conceito:
Lugar Geométrico de pontos é o lugar do plano onde todos os pontos nele situados gozam de uma
mesma propriedade.
Existem vários lugares geométricos, no entanto, cinco são considerados os mais importantes. São
eles: circunferência, mediatriz, bissetriz, paralela e arco-capaz.
2.1 - : é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado.Circunferência
Plano
O plano pode ser considerado como o conjunto das posições de uma linha reta móvel, que se desloca
paralelamente a si mêsma em uma única direção. É designado por letras minúsculas do alfabeto grego.
É representado da seguinte forma.
� = alfa � = beta � = gama
22
OO
11
33
… …
A1=1B AP=PB
1
1
2
… …
P
P
2
A
A
B
B
2.3 - : é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de uma reta dada.Paralela
x
y'
1
1'
2
2'
3
3'
4
4'
5
5'
A
d
d
B C D E
y
x
1 2 3 4 5
A B C D E
y
d
x
1 2 3 4 5
A B C D E
y
d= distância
Q'
A B C BISSETRIZ
B
IS
S
E
T
R
IZ
O
1
1'
2
2'
3
3'
d
d x
x
y
y
A B CO
1
1'
2
2'
3
3'
d
dx
y
BISSETRIZ
2.4 - : é o lugar gemétrico dos pontos eqüidistantes de duas retas concorrentes, ou o lugar
geométrico dos pontos eqüidistantes dos lados de um ângulo dado.
Bissetriz
2.5 - é o lugar gemétrico dos pontos de onde segmentos dados, são vistos segundo
ângulos dados.
Arco-capaz:
Esta é uma propriedade observada entre a circunferência e sua corda.
(Corda é o segmento que une dois pontos distintos da circunferência)
180º
A
O
B
COR
DA
Q
A
O
B
COR
DA
Q'
A
O
B
COR
DA
P
A
O
B
COR
DA
P'
A
O
B
COR
DA
P"
A
O
B
P
P'
P"
COR
DA
Lembre-se que a maior corda de uma circunferência é o seu diâmetro. O valor do arco-capaz quando
a corda passa pelo centro é de 90º e neste caso, os ângulos e são congruentes (iguais).� �
A A
O
O
B B
CORDA = DIÂMETRO
Q
Q
180º
90º
A
O
B
COR
DA
P'
03
desenho geométricodesenho geométrico
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2.6 - .
Os exercícios que se seguem de 01 a 09 são apresentados já resolvidos e acompanhados do método
construtivo. O aluno deverá repetir cada exercício assimilando e raciocinando os procedimentos
utilizados. Os exercícios de 10 a 17 são apresentados apenas com o enunciado e o aluno deverá
valer-se dos conhecimentos adquiridos. (Os exercícos resolvidos nem sempre se apresentam com as
medidas reais).
- Determine a mediatriz dos pontos e . Lembre-se : a mediatriz determina o ponto médio do
segmento definido pelos pontos e .
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
A B
A B
ER01
Construção: A AB
B
1 2
Centro em , com abertura qualquer do compasso maior que a metade de , descreve-se um arco acima e outro abaixo do
segmento dado. Centro em , com a mesma abertura repete-se a operação anterior. Os arcos se cruzarãos aos pares determinando os
pontos e , que ligados determinarão a mediatriz pedida.
Obs.: a abertura maior que a metade, pode ser maior que o próprio segmento. Vale salientar que quanto mais distantes ficarem os pontos 1 e
2, maior será a precisão.
ER02 - Levantar uma perpendicular ao meio do segmento (mediatriz AB) situado sobre a reta .AB x
Construção: ABDeterminar a mediatriz de .
ER03 - Por um ponto situado fora da reta , levantar a reta perpendicular à .P x y x
PROCESSO I - Centro em , abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos e sobre (prolongue-o se
necessário).Agora determine a mediatriz de e obtenha .
Construção: P 1 2 x
12 y
1
2
A B A B
A B
x
A B
1
2
x
y
P
1 2
x
2
P
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x
y
1
2
a
3
P P
x
PROCESSO II - Determina-se arbitrariamente o ponto sobre a reta . Centro em , abertura , descreve-se um arco
determinando o ponto sobre . Centro em , abertura descreve-se outro arco que interceptará o primeiro no ponto . Uni-se a e
obtém-se a perpendicular pedida.
Construção: 1 x 1 1P
2 1x 2 2P 3 3 P
ER04 - Por um ponto , situado na reta , levantar a reta perpendicular à .P x y x
Construção: P 1 2 x y
12
Centro em , abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos e sobre . Obtenha determinando a
mediatriz de .
ER05 - Pelo ponto , situado na extremidade da reta , levantar a reta perpendicular à . (Nos
processos referentes a este exercício, não é previsto o prolongamento da reta
P x y x
PROCESSO I - Tomando como extremidade o ponto , abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que 120º)
determinando o ponto sobre . Com mesma abertura, centro em , determina-se , em seguida, centro em e determina-se , ambos
sobre o arco inicial.Agora, basta encontrar a mediatriz dos pontos e e teremos solucionado o exercício. Pelo fato do ponto , pertencer à
mediatriz, basta determinar o ponto . Obs.: a abertura inicial é qualquer, mas depois de estabelecida, não poderá ser alterada dentro do
exercício.
Construção: P
1 x 1 2 2 3
2 3 P
4
y
x
P
1 2
3
x
P
x
1
23
4
P P
x
y
y
1 2
P x P
x
PROCESSO II - Tomando como extremidade o ponto , abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que 60º)
determinando o ponto sobre . Com mesma abertura, centro em , determina-se sobre o arco. Une-se a prolongando-o,
determinando assim a reta auxiliar . Com a mesma abertura, à partir de determina-se sobre a. O ponto ligado ao ponto
determinará a perpendicular pedida.
Construção: P
1 x 1 2 1 2
a 2 3 3 P
y
05
desenho geométricodesenho geométrico
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Px
y
1
2
a
P
O
x
PROCESSO III - De um ponto qualquer, fora da reta dada, com abertura , descreve-se um arco (maior que 180°)
determinando o ponto sobre . Une-se a prolongando-o, Determina-seassim, a reta auxiliar que encontrará o ponto sobre o arco. O
ponto ligado ao ponto determinará a perpendicular pedida.
Construção: O PO
1 x 1 O a 2
2 P y
PROCESSO IV - Este processo baseia-se no fato de que todo triângulo de lados 3u, 4u e 5u, é um triângulo retângulo. Sobre
uma reta auxiliar e com o auxílio do compasso ou com o uso da régua graduada, marca-se 5 módulos quaisquer, mas que sejamiguais entre
si . Centro em , abertura igual a 3 módulos, descreve-se um arco determinando o ponco sobre . Centro novamente em , abertura igual
a módulos e descreve-se um segundo arco. Centro em , abertura igual a módulos e descreve-se um arco que interceptará o anterior
determinando o ponto . Une-se a e obtém-se a perpendicular desejada.
Construção:
P 1 x P
4 1 5
2 P 2 y
x
y
1
2
3u
u u u u u
4u
5u
P
P x
x
y
1
a b
P
A
A1 = AP BP' = B1
B
P'
P
x
ER06 - Por um ponto , situado fora da reta , traçar uma reta paralela a .P x y x
PROCESSO I - Por , passe uma reta qualquer, que corte no ponto . Centro em , abertura e determina-se sobre
o ponto . Pelo ponto , passe uma reta qualquer, que corte no ponto . Centro em abertura e determina-se sobre o ponto .
Com a união dos pontos e , obtém-se a reta pedida.
Construção: P a x A A AP a
1 1 b x B B B1 b P’
P P’ y
06
desenho geométricodesenho geométrico
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xx
y
A
1 2
BP P
1P = 12 13 = 2P
x
y
12
3P
P
x
PROCESSO II - Centro em , abertura qualquer, descreve-se um arco determinando em . Centro em , mesma abertura e
determina-se sobre o ponto (arco P2). Centro em , abertura , determina-se sobre o primeiro arco o ponto . Com a união dos pontos
e , obtém-se a reta pedida.
Construção: P 1 x 1
x 2 1 2P 3
3 P y
ER07 - Traçar uma reta paralela à reta dada .y x
Construção: P x A B
x A 1 B
2 1 2 y
Centro em (ponto qualquer sobre ), abertura qualquer, descreve-se uma semi-circunferência determinando e sobre
. Centro em , com a mesma abertura, determina-se sobre o arco, o ponto . Centro em , mesma abertura, determina-se sobre o arco o
ponto . Com a união dos pontos e , obtém-se a reta pedida.
ER08 - Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ângulo dado (bissetriz).
Construção: O 1 2 1
2
3 O 3
Centro em , abertura qualquer, determina-se sobre os lados do ângulo, os pontos e . Centro em , abertura qualquer,
traça-se um arco de circunferência. Centro em , mesma abertura, e traça-se um outro arco que concorrerá com o anterior, determinando o
ponto . Unindo os pontos e , obtém-se a bissetriz pedida.
1
2
3
O
O
O
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desenho geométricodesenho geométrico
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ER09 - Determine a bissetriz do ângulo dado, sem recorrer ao vértice.
Construção: A B C D
1 A B 2 C D 1
2
Traçe uma reta auxiliar qualquer cortando os lados do ângulo dado, obtendo os ângulos auxiliares , , e . Encontre o
ponto com o cruzamento das bissetrizes dos ângulos e , e o ponto com as bissetrizes dos ângulos e . Com a união dos pontos e
, obtém-se a bissetriz pedida.
EP01 - Dados os pontos , , e , encontre o ponto que seja equidistante dos pontos e e dos
pontos e .
1 2 3 4 P 1 2
3 4
EP02 - Construa uma circunferência cujo centro pertença a reta e que contenha os pontos e .x R S
x
S
R
B
A
C
D
1
2
2
1
3
4
EP03 - Construa uma circunferência de raio = 2cm e que contenha os pontos e .R S
S
R
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
EP04 - Encontre sobre a reta os pontos e distantes da reta .x 1 2 2 cm y
EP05 - Encontre o ponto sabendo-se que o mesmo encontra-se equidistante dos lados não
paralelos do trapézio e distante 2,5 cm da base maior. Quantos pontos solucionam este
K
ABCD
x
y
B
C
D
A
EP06 - Construa uma circunferência que tangencie os lados em cada triângulo dado.ABC
B
C
A
EP07 - Construa o triângulo sabendo que o lado = 4 cm, é paralelo a reta x.ABC BC
B
A
x
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desenho geométricodesenho geométrico
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3 - DIVISÃO DE SEGMENTOS
TEOREMA DE TALES
Um feixe de retas paralelas determina em duas ou mais transversais quaisquer, segmentos
proporcionais.
Considerando o feixe de retas paralelas ( , , , e ),
cortado pelas retas transversais e , temos na reta , segmentos iguais de
medida , e na reta , segmentos iguais de medida .
equidistantes v x y w z
s t s
a t b
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
s//s'
s
s'
a
a
a
a
b
b
b
b
v
x
y
w
z
s t
a
b
c
d
s t
y
z
x
3.1- DIVISÃO DE SEGMENTOS
Exemplo de divisão do segmento AB em partes iguais. Considerar n = 4.n
PROCESSO: Por A passe um reta
auxiliar determinando um ângulo qualquer com o
segmento . Transporte este ângulo para o ponto B
determinando a reta paralela a reta .
Com o uso do compasso ou de uma régua graduada,
marque sobre e , módulos iguais. Ao unirmos os
pontos dos módulos, formando retas paralelas, o
segmento é dividido em partes iguais.
Contrução:
s
AB
s' s
s s' n
AB n
A
B
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3.2- DIVISÃO SIMULTÂNEA DE SEGMENTOS
Dividir os segmentos AB, CD e EF em n partes iguasis. Considerar n= 5
0 1 2 3 4 5
A B
C D
E F
A B
C D
E F
P
E F
P
PRIMEIRO PASSO
SEGUNDO PASSO TERCEIROPASSO
Contrução:
n
n
Sobre uma reta auxiliar qualquer ,
com o uso do compasso ou de uma régua
graduada, marque módulos iguais.
- Contrua um triângulo equilátero tendo por lado
um dos segmentos a serem diivididos,
preferencialmente o maior.
Centro em P com abertura AB, transporta-se o
segmento para o triângulo. Repete-se esta
operação para todos os demais segmentos a
serem divididos incluisve o segmento formado
pelos módulos.
Ao unirmos os pontos dos módulos ao ponto P
todos os segmentos são divididos em partes
iguais .simultaneamente
A B
C D
E F
P
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
3.3- DIVISÃODESEGMENTOSEMPARTESPROPORCIONAIS
ER10 - Dividir os segmentosAB proporcional aos lados do Triângulo XYZ.
A B
x
X
y
Yz
Z
BA
x
x'
y
y'
z
z'
PROCESSO I Contrução: A
r
r A
y z x
B
x s
y
AB
y z x.
: Por , passe uma
reta auxiliar formando um ângulo qualquer com
o segmento dado. Sobre , a partir de ,
transporte os lados , e com o uso do
compasso. Una o ponto a extremidade do lado
determinando a reta . Pelas extremidades de
cada segmento transportado, passe uma reta
paralela a . O encontro de cada reta paralela
com o , divide o segmento em partes
proporcionais a , e
PROCESSO II : Aplicar o mesmo raciocínio
utilizado o segundo processo de divisão em
partes iguais.
OBSERVAÇÃO AB x y z
x ' y' z'
AB
: Com a divisão do segmento em partes proporcionais aos lados , e , do
triângulo, podemos construir um outro triângulo de lados , e proporcional a ao primeiro e
cujo perímetro é igual ao segmento . Assim sendo, podemos contruir várias figuras
proporcionais as outras conhecendo-se o seu perímetro.
60º
60º 60º
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4 - ÂNGULOS
Considere, inicialmente três pontos , e distintos não-colineares sobre uma superfície plana. Ao
definirmos duas semi retas e , também definiremos duas regiões que elas limitam no plano. A
reunião das semi-retas com qualquer uma das duas regiões por elas limitadas no plano é denominada
.
A B C
AB AC
ÂNGULO
Portanto, ângulo é a reunião das semi-retas com a região por eles delimitada. Quando os lados do
ângulo forem coincidentes, teremos a formação dos ângulos: de e .volta inteira nulo
Quando os lados do ângulo forem semi-retasopostas,ou seja, os pontos , e forem distintos
colineares, a reunião das duas, resulta em uma única reta. Assim teremos a formação dos ângulos
denominados de ou .
A B C
rasos de meia volta
Uma figura é denominada se, para quaisquer dois pontos distintos a ela pertencentes, todos
os pontos do segmento a ela também pertencerem.
convexa
A
A
lado
lado
lado
lado
ÂNGULO CÔNCAVOÂNGULO CONVEXO
A
Alados opostos lados opostos
ÂNGULO RASO OU
DE MEIA VOLTA
ÂNGULO RASO OU
DE MEIA VOLTA
A lados coincidentes
ÂNGULO NULO
A
lados coincidentes
ÂNGULO DE VOLTA INTEIRA
A
B
C
ângulo
A
B
C
A
B
C
ângulo
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4.1 - ELEMENTOS DE UM ÂNGULO
Vértice do Ângulo : é o ponto comum às semi-retas.
Lados : são as próprias semi-retas.
AberturaAngular : é a unidade de medida do ângulo.
RegiãoAngular : é a porção compreendida ou delimitada pelos lados.
4.2- MEDIDAS DAABERTURAANGULAR
A abertura angular pode ser expressa em graus, grados e radianos, onde o maior ângulo que se
obtém ao nível do desenho geométrico é o de 360° , 400 gr ou 2prd, ou seja, um ângulo de volta inteira.
No entanto utilizaremos durante o curso, o grau, como unidade de medida.
NOTAÇÃO : Para indicarmos que um ângulo, tem uma determinada abertura, escrevemos das
seguintes maneiras:
B C = 45° ou = 45°
Atente para o fato de que dois ou mais ângulos que possuem medidas iguais são chamados
.
 Â
ângulos
congruentes
4.3 - REGIÃO INTERNAE PONTO INTERIOR (PONTO INTERNO)
Excluíndo os lados de um ângulo, obtemos as seguintes regiões:
- região interna do ângulo convexo
- e a região interna do ângulo côncavo.
Um ponto é considerado , quando pertecer à região interna do ângulo.ponto interior
A
lado
Abertura Angular
Região Angular
Vértice
lado
0° 0gr
100gr
200gr
300gr
400gr
90°
270°
360° 180° �rd
�rd
�rd
�rd
�rd
   Â
0° 90° 180° 360°
ÂNGULO NULO ÂNGULO DE VOLTA INTEIRAÂNGULO RETO ÂNGULO RASO
A P
P
P
AA A
ÂNGULO CÔNCAVO PONTO INTERIORÂNGULO CONVEXO
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4.4 - ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um mesmo lado comum.
AÔB e BÔC
AÔB e AÔC
são ângulos consecutivos
são ângulos consecutivos
ângulos não consecutivos
4.5 - ÂNGULOSADJACENTES
Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando não possem ponto interior comum
ângulos consecutivos
O
O
O'
O
A
B
C
O
A
P B
C
O
P
A
B
C
O
P
A B
D
C
A
B C
� �+ = 90º
�
�
O DO'O
A
B
C
� �+ = 90º
�
�
OA
B
C
� �+ = 180º
�� ��
� �+ = 180º
OA DO
B C
��� � ���
����	�
���
são ângulos consecutivos
, pois não possuem ponto interior
comum, ou seja, o ponto P quando pertence a
região interna de AÔB, não pertence a região
interna de BÔC e vice-versa.
Se consideramos os ângulos eles
serão classificados como ângulos consecutivos
, pois possuem ponto (P) interior
comum, ou seja o ponto P pertence a região
interna dos dois ângulos.
��� � ���
�� ����	�
���
Se consideramos os ângulos eles
serão classificados como ângulos
,(possuem mesmo vértice, porém
não possuem lado comum), e ,
pois possuem um ponto (P) interior comum (o
ponto P pertence a região interna dos dois
ângulos).
��� � ���
��
	�
��	������
�� ����	�
���
4.6 - ÂNGULOS COMPLEMENTARES E SUPLEMENTARES
Dois ângulos são complementares, quando a soma de suas aberturas angulares é igual a um ângulo
reto (90°).
Dois ângulos são suplementares, quando a soma de suas aberturas angulares (medidas) é igual a
um ângulo raso (180°).
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desenho geométricodesenho geométrico
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Analise os ângulos abaixo e classifique-os conforme o exemplo.
BÔC e AÔC
AÔB e AÔC ............................................................
AÔC e BÔD ............................................................
AÔB e CÔD ............................................................
ângulos consecutivos não adjacentes complemtares
A
B
C
30° 30°
30°
O
D
4.7 - TRANSPORTE GEOMÉTRICO DE ÂNGULOS
Os ângulos obtidos com o auxílio do compasso necessitam que o mesmo seja apontado
corretamente, para a obtenção de contruções geométricas com uma precisão adequada.
ER11 - Dado um âgulo , pede-se transportá-lo geometricamente para a semi-reta Or.
75º
V O O O
1 1' 1' 1'
2 2' 2'
COM ABERTURA QUALQUER E
CENTRO EM V DESCREVE-SE
UM ARCO QUE CORTA OS LADOS
DO ÂNGULO DADO EM 1 E 2.
COM A MESMA ABERTURA E
CENTRO EM O DESCREVE-SE
UM ARCO QUE CORTA A
SEMI-RETA EM 1'.
COM A ABERTURA 12 E
A PARTIR DE 1' MARCA-SE 2'
COM A UNIÃO DE O2'
OBTÉM-SE O ÂNGULO
DESEJADO.
V O
r
�
� �
Exemplo de construções Técnicas
180°
170°
160
°
15
0°
14
0°
30º
16
desenho geométricodesenho geométrico
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4.8 - ADIÇÃO DE ÂNGULOS
ER12 - Dados os âgulos e , pede-se somá-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.
4.9 - SUBTRAÇÃO DE ÂNGULOS
ER13 - Dados os âgulos e , pede-se subtraí-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.
Utilizando o transporte de ângulos podemos aplicar este conhecimento para adição e subtração
geométrica de ângulos.
V
2'
�
O
�
1'
O
1
2
�
V
2'
3'
�
V
�
1'
V
1'
O V
�
VV
2'
2'
3' �
�
�
�
�
1' 1'
VO
1
2
�
1'
Com a abertura 12 e centro em 1'
determina-se o ponto 2'.
V
2'
3'
�
O
�
1'
O
2
3
�
O
�
V
2'
3'
�
1'
O
2
3
�
Com a abertura 23 e centro
novamente em 1'' determina-se o
ponto 3'.
O ângulo procurado é a diferença
entre e Portanto basta tornar
os ângulos e em ângulos
consecutivos não adjacentes
� �
� �
.
17
desenho geométricodesenho geométrico
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EXERCÍCIOS
EP06 - Efetue graficamente as operações com os ângulos abaixo.
4.10 - CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS
ER14 - Construção do ângulo de 45º através da divisão do ângulo de 90º
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1 e 3.
Com a mesma abertura centros
em 1 e 3 e determina-se 2.
O2 divide o ângulo de 90º em 2
ângulos de 45º.
ER15 - Construção do ângulo de 30º através da divisão do ângulo de 90º em 3 partes iguais.
Centro em O com abertura Com igual abertura, centros
em 1 e 4 e determina-se 2 e 3.
O2 e 03 dividem o ângulo de
90º em 3 ângulos de 30º.
Observe ao dividir um ângulo reto em 3 partes iguais obtém-se também um ângulo de 30º e outro de 60º
O O O V
�
� �
O O O V
�
� �
O
1
4
30º
30º
30º
3
2
O
1
4
3
2
O
1
4
O
1
2
45º
O
1
O
1
3 23 3
18
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER16 - Construção do ângulo de 60º
O
1
60º
O
1
2
O
1
2
O
30º
2
O
2
O
1 1 1
ER17 - Construção do ângulo de 30º
ER18 - Construção do ângulo de 15º
ER19 - Construção do ângulo de 75º
O
15º
2
1
O
30º
2
1
O
2
1
O
15º
2
1
75º
O
15º
2
1
75º
O
30º
2
1
60º
Com igual abertura, centro em 1
determina-se 2.
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
O2 define o ângulo 1O2 de 60º
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
Com igual abertura, centro em 1
determina-se 2.
O2 define o ângulo de 30º
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1. Com igual abertura, centro em 1
determina-se 2. O2 define o
ângulo de 30º
Construa a bissetriz d o ângulo
de 30º e obtenha um ângulo de
15º.
Repita a operação do exercício 3.
Construa a bissetriz d o ângulo
de 30º e obtenhaum ângulo de
15º.
A somatória de 60º e 15º produz
o ângulo desejado.
19
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER21 - Dividir um ângulo dado em um número par de partes iguais.
O
1
O
1
O
1
ER20 - Construção do ângulo de 120º
1
60º
2
60º
3
O
1
2
3
O
1
O
120º
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
Com igual abertura, centro em 1
determina-se 2. Centro em 2
O ângulo 1O3 mede 120º.
Determina-se a bissetriz do
ângulo dado.
Assim ele foi dividido em duas
vezes.
E m s e g u i d a t r a ç a m - s e
sucessivas bissetrizes.
ER22 - Dividir um ângulo dado não reto em três iguais.
- Com centro em O, traça-se uma circunferência
auxiliar de raio qualquer, determinando os pontos A e
B.
- Traça-se a mediatriz do ânguloAÔB determinando o
ponto 1 sobre a circunferência.
- A partir do ponto 1, transporta-se com o auxílio do
compasso, a medida do raio determinando o ponto 2
sobre a bissetriz.
- Prolonga-se os lados do ângulo dado,
determinando os ponto 3 e 4 sobre a circunferência.
- Unindo os pontos 3 e 2 e também os pontos 4 e 2
obtem-se os pontos 5 e 6 respectivamente.
- Unindo os pontos O5 e O6, dividimos o ângulo dado
em 3 partes iguais.
O
1/3
O
A
B
1 2
3
4
r r
5
6
1/3
1/3
20
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
5 - CONSTRUÇÃO DE ARCO-CAPAZ CONHECENDO-SE A CORDA
Qualquer segmento cujas extremidades forem tocadas por uma circunferència, torna-se uma corda
da circunferência, e passa a definir dois arcos de circunferência distintos .
Qualquer ponto sobre um dos arcos, quando unido as extremidades da corda, determinará um
ângulo constante. Esta propriedade comum destes pontos, definine o lugar geométrico
denominado, . (ver pág. 3)
Vejamos a seguir os procedimentos para obtenção do arco-capaz quando nos é fornecido a corda e o
ângulo desejado. Lembre-se que toda mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência.
Pelo vértice do ângulo dado, levante uma perpendicular em relação a um dos lados. Em ambos os
casos, o ângulo auxiliar é a diferença entre o ângulo dado e o ângulo reto. (o maior menos o menor)
P
arco-capaz
Obtenção geométrica do ângulo auxiliar.
�
�
Lembre-se que esta é uma propriedade observada entre a circunferência e sua corda.
(Corda é o segmento que une dois pontos distintos da circunferência)
O
A B
r
PARA ÂNGULOS AGUDOS
90º
PARA ÂNGULOS OBTUSOS
O
A B
r
A
O
B
CORDA
A B A
O
B
CORDA
P
A
O
B
CORDA
P
21
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
A - Linha Poligonal: é a linha formada
pela sucessão de segmentos
consecutivos não colineares.
B - Polígono: é a região do plano
limitada por uma linha poligonal
fechada.
B
B
C D
C
E
E
F
G
A
A
D
F
ConvexoCôncavo
Quando uma parte de um
segmento unindo dois
pontos internos situa-se
fora da área poligonal.
Regular Irregular
B
D
C
E
A
B
D
C
E
A
B
D
C
Ângulos Internos
A
Ângulos Externos
Diagonal
Lado
Vértice
E
A
p
ó
te
m
a
6 - POLÍGONOS
A. Conceitos
2. Elementos
O segmento que une o centro do
polígono regular ao ponto médio
de um dos lados é denominado
de apótema, e corresponde ao
raio da circunferência inscrita no
polígono.
3. Classificação
a) Conforme a posição dos dados: b) Conforme a dimensão dos lados:
c) Quanto ao número de lados:
N° de lados Polígono
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
13 Tridecágono
14 Tetradecágono
15 Pentadecágono
16 Hexadecágono
17 Heptadecágono
18 Octodocágono
19 Eneadecágono
20 Icoságono
N° de lados Polígono N° de lados Polígono
22
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
7 -TRIÂNGULO
7.1 - Conceito:
O Triângulo é o polígono convexo de três lados e três ângulos.
7.2 - Classificação:
a - Conforme a dimensão dos lados:
b - Conforme a natureza de seus ângulos internos:
7.3 - Elementos :
Lados : Segmentos de retas ou curvas que
formam o triângulo.
Vértices : são os pontos de cruzamento dos
lados.
Ângulos : são formados pelos lados do
triângulo.
7.4 - Cevianas Notáveis
Definição de Ceviana : é todo segmento que
tem uma extremidade num vértice qualquer de
um triângulo e a outra num ponto qualquer da
reta suporte do lado oposto a esse vértice
(denominado pé da ceviana).
Reta suporte de um segmento, ou,
simplesmente, suporte de um segmento, é a
reta na qual esse segmento está contido.
São três as cevianas notáveis: altura, bissetriz
interna e mediana.
O nome ceviana foi dado a esses segmentos
como uma homenagem ao matemático italiano
Giovanni Ceva.
Equilátero
Possui os lados iguais Possui dois lados iguais Possui os lados desiguais
Isósceles Escaleno
Retângulo
Possui um ângulo reto Possui ângulos agudos Possui um ângulo obtuso
Acutângulo Obtusângulo
A
lado
ângulo
vértice
B
x
CP1 P2 P3 P4
hsm
23
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Altura: é a perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento. Esta é a
única ceviana que pode ser externa (no triângulo obtusângulo), ou mesmo coincidir com um lado (no
triângulo retângulo).
B C
A
B C
A
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc hb hc
ha
Ha
Hc Hb
ha
hc
hb
Mediana : é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. (Ceviana que tem uma
extremidade no ponto médio de um lado).
B C
A
B C
A
B C
A
ma
Ma
mb
mc
Mb
Mc
B C
A
sa
Sa
sc
Sb Sc
B C
A
B C
A
 / 2  / 2
sb
Bissetriz Interna : é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e
congruentes.
7.5 - (Pontos Notáveis)Centros Geométricos
Ortocentro (H) : é o ponto de encontro das alturas de um triângulo ou das retas suportes das
alturas.
Utlilize o Arco-capaz de 90º (semi-
circunferência) para determinar os pés
de duas alturas, o que é suficiente para
encontrar o Ortocentro.
B C
A
B C
A
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc hb hc
ha
Ha
Hc
Hb
ha
hc
hb
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc
Ma
24
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Baricentro (G) : é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo sendo o seu Centro de
Gravidade.
Incentro (I) : é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, o qual equidista
dos lados e é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Observe que para determinar o raio da
circunferência inscrita, faz-se necessário a determinação de um ponto de tangência, que é obtido
traçando-se uma perpendicular pelo incentro em direção a um dos lados.
Ex-incentro (E) : é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos externos do triângulo. Observe
que para determinar o raio da circunferência ex-inscrita, faz-se necessário a determinação de um
ponto de tangência, que é obtido traçando-se uma perpendicular pelo ex-incentro em direção ao
prolongamento de um dos lados .
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
B C
A
sa
Sa
sc
Sc Sb
sb
B C
A
I
I
T1
T2
T3
B C
A
E1
E2
E3
B C
A
E2
T3
T1
T2
B C
A
E1
E2
E3
sa
scsb I
25
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Circuncentro (O) : é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo, o qual equidista
dos três vértices e é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
No triângulo o
Circuncentro é um ponto
interno.
Acutângulo No triângulo o
Circuncentro sempre é um
ponto externo.
Obtusângulo No triânguloo
Circuncentro sempre será o
ponto médio da hipotenusa.
Retângulo
B C
A
O
rc
B C
A
O
rc
B C
A
O
rc
7.6 - NOMENCLATURA
a , b e c - medidas dos lados BC, AC e AB,
respectivamente.
(alfa) , (beta) e (gama) - medidas dos ângulos Â,
B e C.
r - raio da circunferência inscrita.
r - raio da circunferência circunscrita.
h , h e h - medidas das alturas traçadas dos
vérticesA, B e C respectivamente.
H , H e H - pés das alturas h , h e h .
m , m e m - medidas das medianas traçadas dos
verticesA, B e C respectivamente.
M , M e M - pés das medianas m , m e m
s , s e s - medidas das bissetrizes traçadas dos
verticesA, B e C respectivamente.
S , S e S - pés das bissetrizes traçadas dos verticesA
, B e C respectivamente.
� � �
i
c
a b c
a b c a b c
a b c
a b c a b c
a b c
a b c
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
B C
A
sa
Sa
sc
Sc Sb
sb
B C
A
a
b
c
rc
r i
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb
hc
B C
A
E1
E2
E3
sa
sc
sb
I90º
90º
90º
m n
26
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
7.7- PROPRIEDADES DAS MEDIANAS E BARICENTRO
O segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo e de medida igual a
metade do terceiro lado.
M M AB. M M =AB/2
M M AC. M M =AC/2
M M BC. M M = BC/2
M M M ABC .
a b a b
a c a c
b c b c
a b c
é paralelo ao lado
é paralelo ao lado
é paralelo ao lado
O triângulo é semelhante ao triângulo
O Baricentro (centro de gravidade do triângulo) divide cada mediana em dois segmentos, onde
o segmento que contém o vértice é o dobro do outro.
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
Paralelogramo
(lado paralelo 2 A 2)
7.8- RELATIVAS ÀS BISSETRIZES
O triângulo tem três bissetrizes internas e seis
bissetrizes externas.As noves bissetrizes encontram-se,
de três em três,em quatro pontos: , e . O ponto
" " é denominado .
- Os pontos , e são ; são os
centros das três circunferências ex-inscritas.
- Duas bissetrizes, uma interna e outra externa, com
origens no mesmo vértice são perpendiculares entre si.
- O triângulo é órtico do triângulo .
- A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina
sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos
outros dois lados.
ABC
E E E
I INCENTRO
E E E EX-ICENTROS
ABC E E E
� � �
� � �
� � �
7.9 - RELATIVA AS ALTURAS
O triângulo é denominado triângulo órtico.
As bissetrizes do triângulo órtico são alturas do triângulo .
Ha Hb Hc
ABC
27
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
X Y
Z
r
y x
z
A B
C
r
ab
c
a
b
c
A B
C
ab
c
45º 60º
c
x = y = z
ER23 - Construir um triângulo equilátero XYZ conhecendo-se o lado.
CONSTRUÇÃO
- Sobre uma reta suporte r, traça-se .
- Com abertura igual ao lado do triângulo, centro
em , descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em , com a mesma abertura, descreve-
se outro arco que interceptará o primeiro em .
- A união dos pontos , e determina o
triângulo desejado.
XY
X
Y
Z
X Y Z
ER24. Construir um triângulo escaleno ABC conhecendo-se os três lados.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se
sobre ela.
- Centro em , raio , descreve-se um arco
auxiliar.
- Centro em , raio , descreve-se outro arco,
interceptando o primeiro em .
- A união dos pontos , e determina o
triângulo desejado.
AB
A AC
B BC
C
A B C
ER25. Construir um triângulo conhecendo-se o lado c e os ângulos e .ABC A B
A = 45º B = 60º
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se
sobre ela.
- Em constroi-se um ângulo de 45º
- Em constroi-se um ângulo de 60º
- O prolongamento dos lados dos ângulos
determinam o ponto .
- A união dos pontos , e determina o
triângulo desejado.
AB
A
B
C
A B C
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
A
C
B
a
a'b' b
c
r
r'
hc
C'
hc
28
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER26 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e o ângulo entre eles.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
sobre - EmAconstroi-se o ângulo dado
- Sobre o prolongamento do lado deste ângulo
transporta-seAC.
- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado.
ER27 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e a altura relativa a um deles.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
(lado c) sobre ela.
- Traça-se r’// r. distantes a medida de hc. (Após
marcar sobre uma perpendicular auxiliar, a
altura hn, utilize um processo geométrico para
traçar r’// r ).
- Centro emA, com abertura igual ao lado btraça-
se um arco que interceptará r' em C e C'.
-- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado. (ABC' também é resposta ao
exercício)
ER28 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e a mediana relativa a um deles.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
sobre ela.
- Traça-se a mediatriz deAB determinando Mc.
- Centro em Mc, raio mc, descreve-se um arco
auxiliar.
- Centro emA, raioAC (lado b), descreve-se outro
arco que interceptará o primeiro no ponto C.
- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado.
C
ab
cA B
c
b
hc
c
b
b
mc
c
r
A B
C
a
c/2 Mc
mc
b
c/2
29
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER29 - Construir um triângulo isósceles ABC, conhecendo-se a base e o raio da circunferência inscrita.
ER30 - Construir um triângulo isósceles ABC, conhecendo-se a base e o ângulo oposto a ela.
ER31 - Construir um triângulo qualquerABC, conhecendo-se um lado, a altura a ele relativa e o raio da
circunferência circunscrita.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-seAB sobre ela.
- Traça-se a mediatriz deAB, determinando T.
- Sobre a mediatriz, transporta-se o raio TO.
- Centro em O, descreve-se a cirncunferência inscrita.
- Centro em A, raio AT e determina-se o ponto 1 na
cirncunferência inscrita.
- Centro em B, raio AT e determina-se o ponto 2 na
cirncunferência inscrita.
- O prolongamento do segmento A1 e B2, encontram-se no
ponto C.
-Aunião dos pontosA, B e C determina o triângulo desejado.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-seAB sobre ela.
- Por uma das extremidades da base constroi-se o ângulo C
dado.
- Dividi-se o suplemento do ângulo ao meio (bissetriz) obtendo o
ângulo da base
-Transporta-se este ângulo para a outra extremidade que
interceptará a bissetriz no ponto C .
-Aunião dos pontosA, B e C determina o triângulo desejado.
CONSTRUÇÃO
- Com o raio dado traça-se a circunferência.
- Sobre a circunferência, marca-se o pontoAarbitrariamente.
- Centro emA, com aberturaAB, transporta-se a baseAB.
- Prolonga-seAB determinando a reta auxiliar r.
- Por um ponto qualquer de r levanta-se uma perpendicular
marcando sobre a mesma o valor de hc determinando o ponto 1.
- Pelo ponto 1 traça-se r'// r, determinando os pontos C e C'.
-Aunião dos pontosA, B e C determina o triângulo desejado.
C
A B
r
T
1 2
O
A B
T O
A B
r
C
B
issetriz
do
S
uplem
ento
de
c
raio
A B
hc
A B
C' C
r
r'ra
io
O
1
hc
b
a
c
b
a
ha
b
a
b
a
b
a
ma
ha
a
EP07 - , ea b c EP08 - , ea b ha EP09 - , ea b alfa
EP10 - , ea b gama EP11 - , ea b ma EP12 - , ea ha ma
�
ma
EP13 - , ea ha beta EP14 - , ea ha alfa EP15 - , ea ma beta
ha
a
ha
a
ma
a
ma
a a a
EP16 - , ea ma alfa EP17 - , ea beta gama EP18 - , ea beta alfa
b
a
mb
b
mb
a
EP19 - , ea bmb EP20 - , eb alfa mb EP21 - , ea mb mc
mcmb
30
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Observando a notação abaixo, construa os triângulos pedidos de acordo com as informações
fornecidas. É de fundamental importância, fazer um esboço de um triângulo genérico para cada
exercíco, pois somente assim é que você conseguirá a indentificação dos lugares geométricos a
serem utilizados na construção dos mesmos.
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
B C
A
sa
Sa
sc
Sc Sb
sb
B C
A
a
b
c
rc
r i
ALFA
BETA GAMA
G I
G
�
� �
�
�
�
�
��
�
�
� �
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
31
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1 2
3 4
EP22 - , ea ma mb EP23 - , ea hb beta EP24 - , ea hb b
ma
a
hb
a
hb
a
�
mb b
hb
a
hb
a
hb
a
EP25 - , ea hb c EP26 - , ea hb alfa EP27 - , ea hb ma
mac
hb
a
hb
a
hb
a
EP28 - , ea hb ha EP29 - , ea hb hc EP30 - , ea hb mb
mbha hc
�
EP31 - Determine o Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro dos triângulos 1,2,3 e 4
respectivamente.
B
A
B
D
C
4 Ângulos Internos
A
8 Ângulos Externos
Diagonais
Lado
Vértice
D
C
B
A
D
C
32
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Quadrilátero é todo polígono de quatro lados. Todo quadrilátero tem: quatro ângulos internos, oito
ângulos externos, quatro vértices e duas diagonais.
Os quadriláteros são designados por letras maiúsculas ou números, colocados nos vértices, em
qualquer sentido, obedecendo a ordem dada. Desta forma os vértices consecutivos limitam os lados e
os não consecutivos, as diagonais.
8 - QUADRILÁTERO
8.1 - Conceitos
8.2 -Classificação
Os quadriláteros se classificam em:
TRAPÉZIOS - Todo Quadrilátero que possui dois
lados paralelos.
PARALELOGRAMOS - Todo Quadrilátero que
possui lados paralelos dois a dois.
RETÂNGULO - Todo Quadrilátero que possui
quatro ângulos retos.
LOSANGO - Todo Quadrilátero que possui quatro
lados iguais
QUADRADO - É o conjunto interseção entre o
conjunto dos retângulos e o cojunto dos losangos.
(possuem quatro ângulos retos e quatro lados
iguais).
TRAPÉZIOS - Os trapézios propriamente ditos, possuem dois lados paralelos (bases) e dois
lados não paralelos. A distância entre as bases é chamada de altura do trapézio . Podem ser
classificados quanto a natureza de seus ângulos da seguinte forma:
�
�
�
�
�
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�
	
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�
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����
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	�������
��������
���������
Os lados não paralelos dos trapézios, quando prolongados geram triângulos de mesmo nome. (retângulo, isósceles e escaleno)
triângulo
escaleno
triângulo
isósceles
triângulo
retângulo
- Possui dois ângulos retos, um agudo e um obtuso. - Possui os ângulos das bases com os lados iguais entre si.
Os lados não paralelos são congruentes
TRAPÉZIO ISÓSCELES
Base Maior
Base Menor
TRAPÉZIO RETÂNGULO
Possui um lado não paralelo perpendicular às bases
Base Maior
Base Menor
Possui os lados e os ângulos desiguais
TRAPÉZIO ESCALENO
Base Maior
Base Menor
33
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
PARALELOGRAMO
Propriamente dito
RETÂNGULO
LOSANGO
QUADRADO
BA
D C
BA
D C
BA
D C
B
A
D
C
B
A
D
C
90º 90º
90º 90º
BA
D C
BA
D C
BA
D C
90º 90º
90º 90º
BA
D C
BA
D C
A
P
Ó
T
E
M
A
BA
D C
BA
D C
90º
90º
90º
90º
B
A
D
C
Os quatro lados são iguais e
paralelos dois a dois Os quatro
ângulos são retos.
Os lados opostos são iguais e
paralelos dois a dois.
Os ângulos opostos são iguais,
e os ângulo consecutivos são
suplementares.
As diagonais são diferentes,
oblíquas entre si e se cortam ao
meio.
Os lados opostos são iguais e
paralelos dois a dois.
As diagonais são iguais,
oblíquas entre si e se cortam ao
meio.
Os quatro ângulos são retos.
Os quatro lados são iguais e
paralelos dois a dois.
As diagonais são diferentes,
perpendiculares entre si e se
cortam ao meio.
Os ângulos internos opostos são
iguais, e os ângulo consecutivos
são suplementares
O apótema corresponde a
metade do lado e é o raio da
circunferência inscrita.
As diagonais são iguais,
perpendiculares entre si e se
cortam ao meio.
90º
90º
90º
90º
A
C
B
D
O
A
C
B
D
r
s
34
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ER32 - Construir um quadrado ABCD, sabendo-se que o lado mede 38 mm.
CONSTRUÇÃO
- Traçam-se a retas auxiliares r e s perpendiculares entre si, no pontoA.
- Centro em A, com abertura igual ao lado, e determinam-se os pontos B e D
sobre as perpendiculares.
- Com a mesma abertura, centro em B e descreve-se um arco.
- Repete-se a operação com centro em D e o cruzamento dos arcos
determinam o ponto C.
- Une-seA,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
ER33 - Construir um retânguloABCD sabendo-se que os lados medem respectivamente 4,5 e 2,1 cm.
CONSTRUÇÃO
- Traçam-se a retas auxiliares r e s perpendiculares entre si, no pontoA.
- Centro em A, com abertura igual ao lado maior, e determina-se o ponto B
sobre r.
- Centro em A, com abertura igual ao lado menor, e determina-se o ponto D
sobre s.
-Centro em B, aberturaAD, descreve-se um arco.
- Centro em D, abertura AB, descreve-se outro arco que interceptará o arco
anterior no ponto C.
- Une-seA,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
ER34 - Construir um retângulo ABCD conhecendo-se um o lado AB = 6,3 cm e sua semi-diagonal que
mede 4,0 cm.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se uma circunferência de centro O, com raio igual a semi-diagonal.
- Determina-se arbitrariamente o pontoAsobre a circunfência.
- Centro emA, aberturaAB, determina-se o ponto B sobre a ciecunferência.
- O prolongamento deAO detemina o ponto C na circunferência.
- O prolongamento de BO detemina o ponto D na circunferência.
- Une-seA,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
ER35 - Construir um losangoABCD sabendo-se que o lado mede 2,8 cm e a sua diagonalAC = 5,2 cm.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e sobre ela transporta-se a diagonalAC.
- Centro emA, abertura igual ao lado, descreve-se um arco
- Repete-se a mesma operção com centro em C e os cruzamentos dos arcos
determinam os pontos B e D.
- Une-seA,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
A
B
r
D
C
A
C
B
D
r
s
35
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER36 - Construir um losango ABCD conhecendo-se suas diagonais. Dados: AC = 55 mm ; BD = 30
mm.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta auxiliar r e transporta-se a diagonalAC sobre ela.
- Traça-se a mediatriz deAC determinando o ponto O.
- Centro em O, com abertura igual a metade da diagonal BD, e
determinam-se os pontos B e D sobre a mediatriz.
- Une-seA,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
Obs. demonstre geometricamente a divisão do segmento BD.
ER37 - Construir um paralelogramoABCD conhecendo-se baseAB, o ângulo  e a altura. Dados:AB =
45 mm; h = 27 mm ; Â = 75° (No paralelogramo o ângulo interno de um vértice é igual ao ângulo
externo do vértice consecutivo)
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-seAB sobre ela.
- EmAconstrói-se o ângulo dado.
- Em B constrói-se o mesmo ângulo paralelo ao primeiro.
- Constroi-se r // r' distantes 27mm. (Levante uma perpendicular
auxiliar para esta operação)
- A interseção de r' com os ângulos construídos determinam os
pontos C e D.
- Une-seA,B,C e D e tem-se o paralelogramo desejado.
ER38 - Construir um trapézioisóscelesABCD conhecendo-se as duas bases e a altura. Dados:AB = 7
cm ; CD = 3,4 cm ; h = 2,8 cm.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-seAB sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB e sobre ela transporta-se h
determinando O.
- Por O traça-se r’// r.
- Centro em O, abertura iguall a metade de CD, determina-se C e
D sobre r’.
- Une-seA,B,C e D e tem-se o trapézio desejado..
ER39 - Construir um trapézio retângulo ABCD conhecendo-se a base maior, um lado e uma diagonal
cujos valores são respectivamente:AB = 4,8 cm ; BC = 3,2 cm ;AC =2,5 cm.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e sobre ela transporta-seAB.
- Centro emAraioAC descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em B, raio BC descreve-se outro arco que interceptará o
primeiro no ponto C.
- Levanta-se uma perpendicular a r pelo pontoA.
- Traça-se o arco-capaz de 90° (semi-circunferência) tomandoAC
por diâmetro.
- A intereção do arco com a perpendicular que passa em A,
determina o ponto D.
- Une-seA,B,C e D e tem-se o trapézio desejado.
A
B
r
D
CO
A
C
B
D
r
O
Arco-capaz de 90°
A
C
B
D
r
r'
h
O
A
C
B
D
r
r'
h
75° 75°
EP32 -
EP33 -
Construir um quadriláteroABCD conhecendo-se:AB = 47 mm; BC = 26 mm; B = 120° ; CD = 49 mm;AD =
31 mm.
Determine o segmento de reta AB concorrente em r e s respectivamente de tal forma que o ponto M seja
o Ponto Médio do segmento.
M
r
s
EP34 -
EP35 -
EP36 -
EP37 -
EP38 -
EP39 -
EP40 -
EP41 -
EP42 -
Construa um trapézio MNOP retângulo sabendo-se que MN = 6,4 cm, MO = 4,0 cm e NO = 3,4 cm.
Construir um paralelogramoABCD conhecendo-se:AB = 5 cm, diagonalAC = 5/3 deAB e  = 60°.
. Pede-se um losangoABCD conhecendo-se o ladoAB = 2,5 cm e a semidiagonalAE = 1,5 cm.
Num trapézio, as bases medem 70 mm e 35 mm, um lado não paralelo, 40 mm, e o ângulo formado pela
base maior e o lado não paralelo é 60°.Pede-se o quadrilátero.
Construir um trapézio conhecendo-se as duas bases e as duas diagonais. Dados: basesAD = 3,0 e BC =
4,0, diagonaisAC = 5,6 e BD = 5,3 (ud cm).
Construa um retânguloABCD, cuja diagonal mede 5,0 cm, e forma um ângulo de 30° com o lado.
Construa um quadrado cuja semi-diagonal mede 28 mm.
Construir um paralelogramo KLMN sendo dadas as suas diagonais KM = 7,3 cm e LN = 3,2 cm e o ângulo
formado por elas é de 75°.
Construir um quadrado cujo perímetro é igual ao do triângulo dado.
EP43 -
EP44 -
EP45 -
Construir um quadrilátero ABCD sabendo que AB mede 6 cm e a diagonal BD que mede 6,7 cm, forma
com o ladoAD 60°. O lado BC mede 3 cm e forma com CD ângulo de 45°.
Construir um losango conhecendo-se o seu lado e um de seus ângulos.AB = 4cm; Â = 45°.
Construir um paralelogramo conhecendo-se dois lados e a altura.AB = 60mm; BC = 29mm e h = 18mm.
36
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
A
B C
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
37
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
9 - CIRCUNFERÊNCIA E CIRCULO
9.1 - Conceito:
9.2 - Elementos:
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano, equidistantes de um ponto
dado, denominado centro, situado no mesmo plano.
A porção deste plano limitada pela circunferência denomina-se CÍRCULO. Daí podemos
concluir que a circunferência é o contorno do círculo, sendo aquela uma linha e este uma
superfície plana, uma área.
ARCO - A intersecção da circunferência com um ângulo central qualquer (de vértice O), é
denominado arco da circunferência.(AB)
CORDA - É que une dois pontos distintos de uma circunferência.(CD)
DIÂMETRO - É toda corda que passa pelo centro. Um diâmetro é equivalentea dois raios, um
situado no prolongamento do outro. (d)
FLECHA - É o do raio que une o ponto médio da corda a um ponto da circunferência (f)
NORMAL - É a perpendicular à tangente em um ponto da circunferência. (n)
RAIO - Qualquer com uma extremidade na circunferência e outra em seu centro. (r)
SECANTE - É a que possui dois pontos comuns à circunferência. (s)
TANGENTE - É a que possui um só ponto comum à circunferência. (t)
segmento
segmento
segmento
reta
reta
9.3 - Ângulos da circunferência
A circunferência pode apresentar os seguintes ângulos principais; ângulo central, ângulo
inscrito; ângulo circunscrito e ângulo segmento.
Tem o vértice no centro da
circunferência e os lados são
raios
f
s
d O
r
n
t A
B
DC
o o o
Ângulo
Central
Ângulo
Inscrito
o
Ângulo
Circunscrito Ângulo
Segmento
Tem o vértice sobre a
circunferência e os lados são
cordas.
Tem o vértice fora da
circunferência e os lados são
tangentes.
Um dos lados é uma corda e
o outro é uma tangente.
38
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Semicírculo Setor Coroa Circular
Segmento Circular Zona Circular Trapézio Circular
É a superfície limitada por uma
semicircunferência.
É a superfície compreendida entre o arco
e os dois raios que formam um ângulo
central.
É a porção do círculo compreendida
entre duas circunferências concentricas.
9.4 - Elementos do Círculo
O círculo é uma porção do plano limitada por uma circunferência. O círculo pode ser dividido
em porções.
É a superfície limitada por uma corda e
seu arco correspondente.
É a superfície compreendida entre duas
cordas paralelas.
É a porção da coroa c i rcu lar
compreendida por dois raios.
FAÇA OS EXERCÍCIOS A SEGUIR.
EP46 - Construir uma coroa circular
sabendo-se que o diâmetro maior mede
3.5cm e o diâmetro menor mede 3/5 do
maior.
EP47 - Construir um setor circular de uma
circunferência cujo ângulo central é igual a
40º.
39
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
EP48 - Construir uma zona circular
sabendo-se que sua maior corda é também
a maior corda da circunferência e cuja
medida é igual a 4,5 cm. A corda menor é
igual a 3/4 da maior.
EP49 - Contruir um segmento circular
conhecendo-se a flecha = 1cm. Raio da
circunferência é igual a 27mm.
EP50 - Dado o ângulo segmento abaixo pede-se determinar a circunferência e evidenciar o arco
correspodente.
9.5 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA
Atenção: Todos os processos a seguir, necessitam da localização exata do Centro da
Circunferência. Quando a circunferência for apresentada sem o centro, você deverá determiná-lo.
A
B
Lembre-se que a mediatriz de uma corda da Circunferência
passa obrigatoriamente pelo centro da mesma, portanto,
basta determinar duas cordas distintas e suas respectivas
mediatrizes. O centro será o cruzamento das mediatrizes.
1 2
3
o
40
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER40 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 2, 4, 8, ...
ER41 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 3, 6, 12, ...
r
1
2
3
4
5
6
OU
= rL�
L�
ER42 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 5, 10, ...
1
A B
C M
1
A B
C M
1
2
3
4
5
A B
C M
1
3
5 7
6
A B
C M
2
4 8
9
10
10x
5x
L�
L��
L�
L��
1
A B
C
M
1
A B
2
3
4 5
6
7
L�
L�
ER43 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 7, 14, 28, ...
41
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER44 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 9, 18, 36, ...
¼
1
3
4
5
6
2
11
10
7 8
9
12
13
L��
L��
1
A B
C
M
1
3
4
5
6
2 11
10
7
8
9
L��
L��
ER45 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 11, 22, 44, ...
1
3
4
5 6
2
7
8
9
L�
L�
O2
O3
O1
ER46 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 13, 26, 52, ...
ER47 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 15, 30, ...
1
3
4
5
6
2
7
8 9
10
11
12
13
14
15
L��
L��
42
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
PROCESSOS GERAISPARA DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
ER48 - Dividir uma circunferência em um número qualquer de partes iguais pelo método geral devido a
- Em uma circunferência de centro conhecido, dividi-se o diâmetro em partes (quantas se deseja dividir a
circunferência). Por exemplo em 7. Com a abertura igual ao diâmetro e com centro nas extremidades do
próprio diâmetro, traçam-se dois arcos que se cruzam em P.
- O prolongamento do segmento P2 determina o ponto A na própria circunferência.
- 0A é aproximadamente igual a uma das partes em que se quer dividir a circunferência.
- Com o auxílio do compasso transporta-se o arco 0A dividindo assim a circunferência em partes.
n
n
n
n
BION.
0
1
2
3
4
5
6
7
P
A L�
1
2
3
4
5
6
7
P'P
2
3
4 5
6
7
1
ER49 - Dividir uma circunferência em um número qualquer de partes iguais pelo método geral devido a
Em uma circunferência de centro conhecido, dividi-se o diâmetro em partes (quantas se deseja dividir a
circunferência). Por exemplo em 7. Com a abertura igual ao diâmetro e com centro nas extremidades do
próprio diâmetro, traçam-se dois arcos que se cruzam em P e P’.
- Os prolongamentos dos segmentos P2, P4 e P6 concorrem com a semi-circunferência, do lado contrário
ao ponto P, em pontos que dividem-na em partes aproximadamente iguais.
- Os prolongamentos dos segmentos P’2, P’4 e P’6 concorrem com a semi-circunferência, do lado contrário
ao ponto P’, em pontos que dividem-na em partes aproximadamente iguais.
Você também pode optar por ligar somente os pontos P e P’ aos números ímpares.
n
n
RINALDINI.
Polígonos - Exercícios
Construir um quadrado conhecendo-se seu apótema, OM = 20mm.
Construir um pentágono regular sabendo-se que o raio da circunferência inscrita mede 2,5 cm.
Construir um hexágono regular conhecendo-se seu apótema, OM = 18mm.
Construir um dudecágono inscrito em uma circunferência de raio = 4cm.
Construir um hexágono sabendo-se que o valor do lado mede 1,4cm.
EP51-
EP52-
EP53-
EP54-
EP55-
43
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
POLIGONAL DE DELAISTRE
Construir um eneágono, cujo lado AB mede 25mm (portanto, = 9)
Este processo permite a construção de polígonos conhecendo-se o lado.
ER50 - N
- Sobre a reta suporte , transporta-se .
- Com abertura do compasso igual a , traça-se a mediatriz de , determinando o ponto . (AB6 é um triângulo equilátero)
- Divide-se em seis partes iguais. (utilize preferencialmente, um segmento auxiliar congruente a AB, para não congestionar o
exercício)
- Sobre a mediatriz, à partir do ponto 6, transfere-se 1/6 de AB para baixo determinando-se os pontos , e .
- Sobre a mediatriz, à partir do ponto 6, transfere-se 1/6 de AB para cima determinando-se os pontos , , , ... e assim
sucessivamente até alcançar o número desejado que corresponda ao valor de .
- Neste momento você tem construída a escala poligonal de Delaistre.
- Centro em (neste exemplo ), raio , traça-se a circunferência pedida.
- Sobre a circunferência, à partir de e/ou , transfere-se , obtendo-se os vértices do polígono desejado.
CONSTRUÇÃO:
r AB
AB AB 6
AB
5 4 3
7 8 9
N
N N = 9 NA
A B AB
A B
Para qualquer valor de , o lado do
polígono deverá ser dividido em partes
N
6
A B
6
7
8
9
10
11
12
4
5
���
���
���
���
���
���
r
A B
6
7
8
9
10
11
12
5
���
���
���
���
���
���
C
D
E
F
G
H
I
R
A
IO
r
44
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
9.6 - RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Consiste em determinar um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento
de uma circunferência dada.
PROCESSO 1 (Não é muito preciso)
Dada circunferência, inscrever na mesma um triângulo equilátero e um quadrado. O comprimento da circunferência será a somatória
de duas vezes o lado do quadrado mais duas vezes o lado do triângulo.
ER51 -
C = 2 .(AB + DE)
PROCESSO 2
1 - Traçamos a circunferência de diâmetro e levantamos por uma perpendicular.
2 - Com centro em e raio traçamos o arco .
3 - Traçamos a mediatriz de e obtemos o ponto sobre a perpendicular.
4 - Marcamos = vezes o raio
5 - Unimos a e tomamos como metade do comprimento da circunferência. Portanto, . ) é igual ao comprimento da mesma.
ER52 -
AB B
B BO OC
BC D
DE 3
E A AE 2 (EA
PROCESSO 3
1 - Traçamos a circunferência de diâmetro e levantamos
2 - Divide-se em partes iguais.
3 - O comprimento da circunferência será o segmento cuja medida é 3 vezes o diâmetro mais 1/7 do diâmetro.
ER53 -
AB
AB 7
A
B
ED
O
A B
AB AB AB AB/7
Comprimento da Circunferência = 3AB + AB/7
O
A
B
E
DCO
A
B
E
DCO
A
M
B E
D
C
O
9.7 - RETIFICAÇÃO DE ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
Consiste em determinar um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento
do arco de uma circunferência dada.
PROCESSO PARA ARCOS MENORES OU IGUAL A 90ºER54 -
1- Traçamos o diâmetro e tomamos =
do raio da circunferência.
2 - Levantamos por umaperpendicular ao
diâmetro.
3 - Unimos ao ponto e obtemos na
perpendicular traçada. é aproximadamente
o comprimento do arco dado.
AC CD
3/4
A
D B E
AE
45
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
10 - TANGÊNCIA
10.1 - Conceito:
10.2 - Traçados:
Diz-se que uma reta é tangente a uma circunferência quando tem um só ponto comum com esta
circunferência ou seja, quando sua distância ao centro da mesma é igual ao raio. Assim, teremos
sempre a tangente perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.
TANGÊNCIA: operação que nos permite traçar tangentes. Eassim podemos traçar:
a - Retas tangentes a circunferências dadas.
b - Circunferências tangentes a retas dadas.
c - Circunferências tangentes entre si.
- Traçar uma tangente a uma circunferência dada, passando por um ponto T nela situado.ER55
- Traça-se a circunferência de centro , marcando nela um ponto qualquer .
- Une-se a , prolongando-o por .
- Traça-se perpendicular a , que será a tangente pedida.
O T
O T T
t OT
ER56 - De um ponto P situado fora de uma circunferência dada, traçar duas tangentes a ela. Dados: r
= 2 cm , OP = 5,4 cm.
- Una o ponto ao ponto e determine o ponto médio do segmento .
- Centro em e raio traça-se um arco auxiliar que cortará a circunferência em e , pontos de tangência.
- Une-se a , e a prolongando-os, e temos as tangentes pedidas.
P O M PO
M MO T T’
P T’ P T
O OM P
T
T'
P
O O
t
T T
O
A
M
r'
r
r''
B
O' r'r
r + r' = r''
1
2
C
D
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER57 - Traçar tangentes exteriores e comuns a duas circunferências sabendo-se que seus centros,
(OO’) distam 6,0 cm, e possuem os respectivos raios: r = 2,5 cm, r’= 1,2 cm.
- Sobre uma reta auxiliar , derterminam-se os centros e ’ distantes 6cm.
- Traçam-se as respectivas circunferências de raios e .
- Com centro em traça-se uma circunferência auxiliar de raio (obtido graficamente),
- Centro em , ponto médio de , traça-se um arco que irá cortar a circunferência auxiliar em e .
- Une-se a e a , prolongando-os e determinando e (pontos de tangência na circunferência ).
- Por traça-se uma paralela a e a , determinando e (pontos de Tangência na circunferência ).
- Unindo a , e a tem-se as tangentes pedidas.
x O O
r r’
O
M OO’ 1 2
O 1 O 2 A B O
O’ OA OB C D O’
A C B D
r’’ = r - r’
O
1 C
r'
A
B
2 D
O' r'
r
r - r' = r''
r
r''
xM
ER58 - Traçar tangentes interiores e comuns a duas circunferências de raios diferentes. Dados: r =
2,8, r’= 1,5 e OO’= 6,0 (centímetros).
- A construção é idêntica à anterior, mudando apenas o raio da circunferência auxiliar . O’C // O2 e O’D // OA.r” = r + r’
BA
O'
O
P
O
P
rr
O
T
T'
y'
x'
r
x
y
x
y
47
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER59 - Traçar uma circunferência de raio r= 15mm tangente aos lados de um ângulo dado.
- Traça-se e na distância (raio dado), determinando no cruzamento de com o ponto .
- Traça-se perpendicular e perpendicular
- Centro em e raio , traça-se a circunferência pedida.
- e são os pontos de tangência.
x’ // x y’ // y r x’ y’ O
OT y OT’ x
O r
T T’
ER60 - Traçar uma circunferência que passe por um ponto P e que seja tangente a uma reta no ponto
M. P situa-se fora da reta.
O
x
y
M
P
M
P
- Pelo ponto levanta-se , perpendicular a reta dada.
- Traça-se , mediatriz de , determinando o ponto na perpendicular.
- Centro em e raio , traça-se a circunferência pedida.
M y
x MP O
O OM
ER61 - Traçar uma circunferência de raio r = l,5 cm, que seja tangente simultaneamente a uma reta x e
uma outra circunferência dada, de tal forma que o ponto P, seja o ponto de tangência entre as
circunferências.
- Une-se a , prolongando-o.
- Pelo ponto levanta-se um perpendicular a reta , determinando o ponto sobre a circunferência.
- Une-se a , prolongando-o até determinar sobre .
- Traça-se a mediatriz de que irá cruzar com o prolongamento de determinando ’.
- Centro em e raio , traça-se a circunferência pedida.
O P
O r A
A P B r
PB AP O
O’ O’P
48
desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER62 - Traçar duas circunferências de raio = 1 cm, que sejam tangente interior e exterior
respectivamente a uma circunferência , em um ponto P dado.
- Prolonga-se a união dos pontos e , determinando a reta .
- Centro em , abertura igual a 1cm, determina-se os potos e sobre .
- Centro , raio = 1 cm, traça-se a circunferência interna pedida.
- Centro , mesma abertura, traça-se a circunferência externa pedida.
O P r
P O’ O” r
O’
O”
O
O' O'' O PPr
ER63 - Traçar três circunferências tangentes entre si cujos raios são respectivamente: a = 2,3 cm, b =
1,3 cm c = 1,5 cm.
X Y
Z
a b
b
c
a
c
a b
b c
a c
- Construa um triângulo , cujos lados sejam iguais à soma dos
raios dados dois a dois, ou seja: ; e .
- Os vértices , e do triângulo são os centros das circunferências
tangentes entre si.
XYZ
XY = a + b YZ = b + c XZ = a + c
X Y Z
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
11 - CONCORDÂNCIA
Concordar duas linhas, de mesma espécie ou de espécies diferentes, é reunilas de tal
forma, que se possa passar de uma para a outra, sem ângulo, inflexão nem solução de
continuidade. Exemplos:
11.1 - Conceito.
O
O'
O
11.2 - Princípios.
Como veremos nos problemas que se seguirão, a concordância entre arcos de círculo e
retas, e entre arcos e arcos, se baseiam em dois princípios fundamentais:
O
S
r
R
1º - Seus centros e o ponto de
concordância estejam sobre uma mesma linha
reta.
2º - Sejam tangentes entre si no ponto de
concordância. Exemplo:
b - Para que dois arcos estejam em
concordância é necessário que:
�
�
�
a - Para que uma reta e um arco estejam
em concordância é necessário que:
1º - O centro do arco e o ponto de
concordância entre eles estejam sobre uma
mesma perpendicular.
2º - A reta seja tangente ao arco no ponto
de concordância. Exemplo:
O'
O D
E
C r
11.3 - Traçados.
ER64 - Concordar um segmento de retaAB, em B, com um arco de círcunferência de raio r = 20 mm.
- Levanta-se uma reta perpendicular pelo ponto .
- Sobre , a partir de , transporta-se o raio dado, determinando o centro .
-Centro em e raio = , traça-se o arco pedido.
s B
s B O
O OB r
A B
O
s
A B
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER65 - Concorde um arco de circunferência com a semi-reta Ax no ponto A, de tal forma que ele contenha um
ponto B qualquer, não pertencente a semi-reta.
O
x
A
B
A
B
x
O
x
y
G
F
y
G
F
x
- Por levanta-se uma reta perpendicular a .
- Traça-se a mediatriz de , determinando em .
- Centro em e raio , traça-se o arco pedido.
A r Ax
AB O r
O OA
ER66 - Concordar um arco de circunferência de raio = 15 mm com duas retas perpendiculares entre si.
- Com raio e centro no ponto de concorrência das perpendiculares, traça-se um arco auxiliar que determinará em e em .
- Centro em e , mesmo raio, determina-se .
- Centro em , mesmo raio, traça-se o arco , fazendo a concordância pedida.
r, 1 x 2 y
1 2 O
O 12
ER67 - Concordar um arco de circunferência de raio dado r = 1,5 cm, com duas retas que se cruzam a
120º.
- Traçam-se as retas e , formando um ângulo de 120°.
- Traçam-se e na distância (raio dado), as quais
se cruzam em .
- Por traçam-se perpendiculares às retas dadas,
determinando e ’, que serão os pontos de
concordância.
- Centro em , raio , descreve-se o arco ’, fazendo a
concordância pedida
x y
x’ // x y’ // y r
O
O
C C
O OC CC
O
r
r x'
y'
C
C'
x
y
A
O
A
C
x
y
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B B
A
B
O
A
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O'
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sr
x
y
A
B
O'
A
B
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
ER68 - Concordar duas semi-retas //, de origens diferentes e sentidos contrários, por meio de dois
arcos iguais. Sabendo-se que os pontos de concordância entre as semi-retas e os arcos não se
encontram no mesmo alinhamento.
- Por e tiram-se perpendiculares, e .
- Une-se a e determina-se , ponto médio de
- Determina-se mediatriz de que cortará em .
- Determina-se mediatriz de que cortará sr em .
- Cento em e , raio descreve-se os arcos das curvas pedidas
A B r s
A B M AB
AM r O’
MB O
O O’ OA
OBSERVAÇÃO:
- A união dos centros O e O’ passa obrigatoriamente pelo
ponto de concordância dos arcos, ponto M.
ER69 - Concordar dois segmentos paralelos de medidas diferentes por meio de duas curvas
concordantes e de mesmo sentido. (Também conhecido como arco aviajado).
- Pelos pontos e , traçam-se perpendiculares aos segmentos.
- Traçam-se as bissetrizes dos ângulos retos e , que se cruzarão no ponto .
- Por , traça-se uma reta paralela aos segmentos , determinando e sobre as perpendiculares.
- Centro em , raio , traça-se o arco .
- Centro em , raio = , e traça-se o arco .
A B
A B 1
1 O O’
O OB = O1 B1
O’ O’A O’1 A1
ER70 - Concordar duas retas convergentes/divergente por meio de dois arcos de circunferência
concordantes entre si e de mesmo sentido. Dados: Pontos de concordância: Ponto A sobre a reta x
Ponto C sobre a reta y.
- Pelas extremidades e de e , levantam-se as perpendiculares e .
- Centro em , raio qualquer, determina-se o ponto sobre .
- Centro em , mesma abertura, determina-se o ponto em .
- Traça-se a mediatriz de , que cortará a reta em .
- Une-se a prolongando-se.
- Centro em , raio , descreve-se um arco que encontrará o
prolongamento de no ponto (ponto de concordância entre os arcos).
- Centro em , raio , completa-se a concordância com o arco .
A B x y r s
A O r
B 1 s
O1 s O’
O’ O
O’ O’B
OO’ C
O OC = OA CA
OBSERVAÇÕES:
- Este mesmo processo é válido para as
extremidades divergentes (pontos R e S)
- Se no exercício anterior, a distância entre as
retas paralela for menor que a distância entre as
perpendiculares levantadas pelas extremidades
este processo também solucionará o exercício.
- Em todos estes casos, o primeiro centro
pertencerá a perpendicular levantada pela
extremidade mais avançada.
O
A
B
O'
O''
r
r'' - r
r'
r' + r''
O
A
B
O'
O''
r
r' + r''
r'' + r
r'
O
A
B
O'
O''
r
r' - r''
r'' - r
r'
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
Traçar um arco de circunferência de raio r”dado, concordante com duas circunferências de raios r e r’,
conhecidos. Dados r” =5,3 cm, r = 2,0 cm, r’= 1,0 cm e OO’= 6,2 cm.
ER71 - Concordância externa
- Traçam-se as circunferências dadas com centros e , distantes 6,2 cm.
- Centro em O, raio , descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em O’e raio , descreve-se outro arco que cortará o primeiro em .
- Une-se a e a , prolongando-os até cortarem as circunferências em e .
- Centro em , e raio = , traça-se o arco , que é a concordância pedida.
O O’
r”- r
r”- r’ O”
O” O O” O’ A B
O” O”A O”B AB
ER72 -
- O processo de construção é idêntico ao caso anterior.
- Modificando-se apenas o seguinte: O ponto é determinado pelo cruzamento dos arcos
de centros e raios e .
Concordância interna.
O”
O e O’ r” + r r” + r’
ER73 - Concordância .interna e externa
- O processo de construção é idêntico ao 1º caso, modificando-se
apenas o seguinte: ponto é determinado pelo cruzamento dos
arcos de centros e e raios
e
O O”
O O’
r” - r r” + r’.
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desenho geométricodesenho geométrico
EBER NUNES FERREIRA
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0 0 = 7,5mm1 2
0102 01 02
EP57 - EP58 -
EP59 - EP60 -
0 0 = Triângulo Equilátero de 10mm1 203
01
02
03
01
02
03
0 0 = Quadrado de 10mm1 20 03 4
01 02
0304
0102
03 04
EP61 - EP62 -
Diâmetro = 15 cm
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EP63 - EP64 -
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