F129 apostila 6. Teoria dos erros

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R. Urbano e V. Rodrigues
Introduc¸a˜o
Suponha que em um dado experimento no´s medimos os paraˆmetros x, y, ..., z n vezes. Ou seja,
x1, y1, ..., z1
x2, y2, ..., z2
...
...
xn, yn, ..., zn
medidas
Como discutido anteriormente, na˜o e´ poss´ıvel saber qual o valor ”verdadeiro” ou ”absoluto”destes
paraˆmetros devido aos erros experimentais, instrumentais e estat´ısticos inerentes ao experi-
mento. No entanto, sabemos que os valores me´dios x, y, ..., z sa˜o aqueles que melhor se
aproximam do valor ”verdadeiro”, dentro de uma faixa de confianc¸a dada por σx, σy, ..., σz:
x =
1
n
n∑
i=1
xi σ
2
x =
1
n
n∑
i=1
(xi − x)2
y =
1
n
n∑
i=1
yi σ
2
y =
1
n
n∑
i=1
(yi − y)2 (1)
...
...
z =
1
n
n∑
i=1
zi σ
2
y =
1
n
n∑
i=1
(yi − y)2
Mas como devemos encontrar o valor que se aproxima do ”verdadeiro”, e a sua faixa de confia-
bilidade, quando o parmetro que estamos interessados na˜o puder ser medido diretamente, mas
sim atrave´s de um modelo matema´tico? Por exemplo, quando queremos obter uma velocidade
baseados em medidas diretas de distaˆncia e do tempo.
Vamos enta˜o supor que queremos encontrar um parmetro gene´rico w em func¸a˜o de x, y, ..., z:
w = w(x, y, ..., z) (2)
Uma opc¸a˜o seria calcular todos os wi para todos os conjuntos xi, yi, ..., zi de medidas e em
seguida, calcular a me´dia w e σ2w
w1 = w(x1, y1, ..., z1)
w2 = w(x2, y2, ..., z2)
...
...
wn = w(xn, yn, ..., zn)
medidas
w =
1
n
n∑
i=1
wi σ
2
w =
1
n
n∑
i=1
(wi − w)2 (3)
Como devemos calcular todos os valores de wi, esta operac¸a˜o pode ser bastante trabalhosa,
principalmente para um grande nu´mero de medidas.
1
Uma pergunta que podemos fazer e´ se podemos obter w diretamennte da me´dia dos paraˆmetros
medidos no experimento:
w = w(x, y, ..., z)? (4)
Para responder esta pergunta, vamos considerar a expansa˜o do valor de wi em se´ries de poteˆncias
dos desvios em torno dos valores me´dios de x, y, ..., z:
wi = w(x, y, ..., z) +
+
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
(
∂w
∂z
)
(zi − z) + (5)
+
1
2
(
∂2w
∂x2
)
(xi − x)2 + 1
2
(
∂2w
∂y2
)
(yi − y)2 + ...+ 1
2
(
∂2w
∂z2
)
(zi − z)2 +
+ ...
Se a func¸a˜o w varia lentamente (func¸a˜o monotoˆnica), a primeira aproximac¸a˜o, podemos consi-
derar que os termos superiores a segunda ordem sa˜o despres´ıveis, ou seja:
1
2
(
∂2w
∂x2
)
(xi − x)2 ∼ 0 (6)
Calculando o valor me´dio de w usando os valores de wi obtidos na expansa˜o (5) teremos:
w =
1
n
n∑
i=1
wi
=
1
n
[
n∑
i=1
w(x, y, ..., z)+ (7)
+
n∑
i=1
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
n∑
i=1
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
n∑
i=1
(
∂w
∂z
)
(zi − z)
]
Rearranjando os termos da equac¸a˜o (7):
w =
1
n
[
n∑
i=1
w(x, y, ..., z)+ (8)
+
(
∂w
∂x
) n∑
i=1
(xi − x) +
(
∂w
∂y
) n∑
i=1
(yi − y) + ...+
(
∂w
∂z
) n∑
i=1
(zi − z)
]
Nesta expressa˜o os termos a` direita da igualdade sa˜o nulos, com excec¸a˜o do primeiro, pois:
1
n
n∑
i=1
(xi − x) = 1
n
n∑
i=1
xi − 1
n
n∑
i=1
x = x− 1
n
nx = 0 (9)
Desta forma, em primeira aproximac¸a˜o, w pode ser obtido usando os valores me´dios de x, y, ..., z:
w = w(x, y, ..., z) (10)
2
Agora, vamos usar o mesmo racioc´ınio para calcular o desvio padra˜o de w:
σ2w =
1
n
n∑
i=1
(wi − w)2 (11)
Usando wi obtido em (5) ate´ primeira ordem teremos:
(wi − w)2 = [w(x, y, ..., z)+ (12)
+
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
(
∂w
∂z
)
(zi − z) +
− w]2 =
=
(
∂w
∂x
)2
(xi − x)2 +
(
∂w
∂y
)2
(yi − y)2 + ...+
+ 2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂y
)
(xi − x)(yi − y) + 2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂z
)
(xi − x)(zi − z) +
+ ...
Entretanto,
2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂y
) n∑
i=1
(xi − x)(yi − y) = 0 (13)
Por isso, podemos ignorar os termos cruzados na expressa˜o (12) e escrever σ2w como:
σ2w =
1
n

(
∂w
∂x
)2 n∑
i=1
(xi − x)2︸ ︷︷ ︸
nσ2x
+
(
∂w
∂y
)2 n∑
i=1
(yi − y)2︸ ︷︷ ︸
nσ2y
+...
 (14)
Desta forma, podemos calcular σ2w a partir das derivadas primeiras (derivadas parciais) da
func¸a˜o w e dos σ2 de cada valor medido:
σ2w =
(
∂w
∂x
)2
σ2x +
(
∂w
∂y
)2
σ2y + ...+
(
∂w
∂z
)2
σ2z (15)
A equac¸a˜o (15) e´ uma expressa˜o geral para o ca´lculo do erro propagado do paraˆmetro w.
No entanto, em F-129 devemos sempre considerar o erro total envolvido no problema ao inve´s
do desvio padra˜o σw. Portanto, deve-se utilizar a equac¸a˜o
∆2w =
(
∂w
∂x
)2
∆2x +
(
∂w
∂y
)2
∆2y + ...+
(
∂w
∂z
)2
∆2z (16)
onde ∆w e´ o erro total da varia´vel w devidamente propagado, e os ∆x, ∆y, ... , ∆z, sa˜o os
erros totais das varia´veis prima´rias x, y, ..., z.
Refereˆncia Bibliogra´fica:
Jose´ Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros (Editora Edgard Blu¨cher Ltda, Sa˜o
Paulo, 1992).
3
Exemplo: Ca´lculo da incerteza do volume de um cilindro:
V = piLR2 R σ2R
L σ2L
}
me´dias das medidas
Usando a expressa˜o (15) para encontrar σ2V :
σ2V =
(
∂V
∂R
)2
σ2R +
(
∂V
∂L
)2
σ2L
σ2V =
(
2pi L R
)2
σ2R +
(
pi R
2
)2
σ2L (17)
Podemos ainda dividir os dois lados da igualdade por V 2:(σV
V
)2
=
(
2pi L R
pi L R2
)2
σ2R +
(
pi R2
pi L R2
)2
σ2L (18)
(σV
V
)2
=
(
2σR
R
)2
+
(σL
L
)2
(19)
Ou ainda, em conformidade com F-129, escrever a expressa˜o final na forma:(
∆V
V
)2
=
(
2∆R
R
)2
+
(
∆L
L
)2
(20)
4