Somas-de-Riemann-e-integração-numérica_

Prévia do material em texto

Somas de Riemann e Integração Numérica 
 
 
 
Cálculo 2– Prof. Aline Paliga 
Introdução 
1.1 Áreas e distâncias 
1.2 Integral Definida 
 
 
 
 
Problemas de tangente 
 e de velocidade 
Derivada 
Problemas de área e distância 
Integral Definida 
1.1 Áreas e distâncias 
 O PROBLEMA DA ÁREA 
 
    , ,0S x y a x b y f x    
Achar a área de uma região S que está sob a curva y=f(x) de a até 
b. Isto significa que S está limitada pelo gráfico de uma função 
contínua f (onde ), as retas verticais x=a e x=b e o eixo x. 
Qual o significado da palavra área? 
( ) 0f x 
 EXEMPLO 1 
 
No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com 
lados curvos. 
Uma ideia similar à que usamos para definir uma tangente, 
aproximando a inclinação da reta tangente por inclinações de retas 
secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Aqui 
aproximaremos a região S por retângulos e então tomamos o limite 
das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número 
de retângulos. 
 
 
Use retângulos para estimar a área sob a 
parábola abaixo: 
 
 
Suponha que S seja dividida em quatro 
 faixas . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos aproximar cada faixa por um 
retângulo de base igual à largura da faixa 
 e altura igual ao lado direito da faixa. 
 
 
1 2 3 4, , S S S e S
Alturas são valores da função nas extremidades direitas dos 
subintervalos: 
 
Subintervalo Altura 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
1 1
0,
4 4
1 1 1
,
4 2 2
   
   
   
   
   
   
 
2
2
1 3 3
,
2 4 4
3
,1 1
4
   
   
   
 
 
 
 
2 2 2
2
4
1 1 1 1 1 3 1 15
. . . . 1 0,46875
4 4 4 2 4 4 4 32
R
     
          
     
0,46878A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2
4
1 1 1 1 1 1 3 7
. 0 . . . 0,21875
4 4 4 4 2 4 4 32
L
     
          
     
0,21875 0,46878A 
 
 
 
 
 
 
 
 0,2734375 0,3984375A 
8 80,2734375 0,3984375L R 
0,3333335A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dos valores da tabela parece que aproxima-se de à 
medida que aumentamos n. Vamos confirmar isso: 
 
EXEMPLO 2: 
Para a região S do Exemplo , mostre que a soma das áreas dos 
retângulos aproximantes superiores tende a , isto é: 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
1
lim
3
n
n
R


2 2 2 2
1 1 1 2 1 3 1
...n
n
R
n n n n n n n n
       
           
       
1/ 3
1/ 3
nR
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 2 2 22
1 1
. 1 2 3 ... n
n n
    
 2 2 2 23
1
1 2 3 ... n
n
    
Utilizamos aqui a fórmula para a soma dos quadrados dos n 
primeiros números inteiros positivos (demonstrada no Apêndice E 
do Stewart): 
 
 
 
  2 2 2 2 1 2 11 2 3 ...
6
n n n
n
 
    
     
3 2
1 2 1 1 2 11
6 6
n
n n n n n
R
n n
   
 
  
2
1 2 1 1 1 2 1
lim lim lim
6 6
n
n n n
n n n n
R
n n n  
     
    
  
1 1 1 1 1
lim 1 2 .1.2
6 6 3n n n
  
      
  
 
 
 
 
 
 
 
 
1
lim lim
3
n n
n n
A R L
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos usar regiões S mais gerais que a do Exemplo 
Começamos por subdividir S em n faixas como na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
A largura do intervalo [a,b] é b-a; assim, a largura de cada uma das 
faixas é: 
 
Essas faixas dividem o intervalo [a,b] em n subintervalos: 
 
 
 
b a
x
n

 
       0 1 1 2 2 3 1, , , , , ,..., ,n nx x x x x x x x
1 2.e
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde As extremidades direitas dos subintervalos são: 
 
 
 
 
 
1
2
3
2
3
...
x a x
x a x
x a x
  
  
  
     1 2 ...n nR f x x f x x f x x      
0 .nx a e x b 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO: 
 
A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f 
é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes: 
 
 
 
 
     1 2lim lim ...n n
n n
A R f x x f x x f x x
 
         
     0 1 1lim lim ...n n
n n
A L f x x f x x f x x
 
         
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos tomar a altura do i-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer 
número no i-ésimo subintervalo 
 
     * * *1 2lim ... n
n
A f x x f x x f x x

        
Pontos amostrais 
*
ix 1[ , ].i ix x
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a notação de somatória (sigma): 
 
 
       1 2
1
...
n
i n
i
f x x f x x f x x f x x

       
 
 
 
1
1
1
*
1
lim
lim
lim
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
A f x x
A f x x
A f x x







 
 
 



 
 
 
 
 
 
 
 
 O PROBLEMA DA DISTÂNCIA 
 Estimar a distância percorrida por um carro durante um intervalo 
de tempo de segundos. 
 
 
 
 
Distância = velocidade x tempo 
 
(7,5 5) (9,4 5) (10,6 5) (12,8 5) (14,2 5) (13,9 5) 342m           
(9,4 5) (10,6 5) (12,8 5) (14,2 5) (12,5 5) 367m         
1
1 1
lim ( ) lim ( )
n n
i i
n n
i i
d f t t f t t
 
 
    
30
1.2 A integral definida 
DEFINIÇÃO: 
 
Se f é uma função contínua definida em a≤x≤b, dividimos o intervalo 
[a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais . 
Sejam as extremidades desses 
subintervalos, escolhemos os pontos amostrais nesses 
subintervalos, de forma que esteja no i-ésimo subintervalo 
Então a integral definida de f de a a b é 
 
 
 
desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável 
em [a,b] 
       * * * *1 2
1
lim lim ...
n
i n
n n
i
A f x x f x x f x x f x x
 

          
 *
1
( ) lim
nb
i
a n
i
f x dx f x x


 
( ) /x b a n  
* * *
1 2, ,... nx x x
0 1 2( ), , ,... ( )nx a x x x b 
*
ix 1[ , ].i ix x
 
 
 
 
 
 
 
 

( )f x
Sinal de integral introduzido por Leibniz 
 *
1
n
i
i
f x x


Integrando 
,a b
Limites de integração, inferior e superior 
Soma de Riemann 
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f r dr   
“Uma mente criativa, 
ativa e 
verdadeiramente 
matemática, e de uma 
originalidade 
gloriosamente fértil” 
Gauss 
1826 1866
 
 
 
 
 
 
 
 
Se f(x)≥0 
 *
1
n
i
i
f x x


A soma de Riemann é a soma de 
áreas de retângulos 
( )
b
a
f x dx
A integral é a área sob a curva y=f(x) 
de a até b 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se f(x)assumir valores positivos e negativos: 
A soma de Riemann é a 
soma das áreas dos 
retângulos rosas menos 
os azuis 
1 2( )
b
a
f x dx A A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO DE INTEGRAIS 
 Para trabalhar com somas precisamos de três fórmulas para as somas de 
potências de inteiros positivos: 
1
( 1)
2
n
i
n n
i



 2
1
( 1) 2 1
6
n
i
n n n
i

 

2
3
1
( 1)
2
n
i
n n
i

 
  
 

1
n
i
c nc


1 1
n n
i i
i i
ca c a
 
 
1 1 1
( )
n n n
i i i ii i i
a b a b
  
    
1 1 1
( )
n n n
i i i i
i i i
a b a b
  
    
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3: 
A. Calcule a soma de Riemann para tomando como 
pontos amostrais as extremidades direitas e a=0, b=3 e n=6 
B. Calcule 
RESOLUÇÃO: 
A. Com n=6, o comprimento de intervalo é 
 
 
As extremidades direitas são: 
 
Logo a soma de Riemann é: 
 
 
 
3
3
0
( 6 )x x dx
3 0 1
6 2
b a
x
n
 
   
 
6
6
1
i
i
R f x x

 
3( ) 6f x x x 
1 2 3 4 5 60,5, 1, 1,5, 2, 2,5 3.x x x x x e x     
 
 
 
 
 
 
 
 
           6 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0R f x f x f x f x f x f x           
 
1
2,875 5 5,625 4 0,625 9
2
      
3,9375 
3b a
x
n n

  
   
3
3
0
1 1
3 3
6 lim lim
n n
i
n n
i i
i
x x dx f x x f
n n  
 
     
 
 
3
3
1
3 27 18
lim
n
n
i
i i
n n n 
 
  
 

3
1
3 3 3
lim 6
n
n
i
i i
n n n 
    
     
     

B. Com n subintervalos, temos: 
 
 
 Assim, e em geral . 
Utilizando as extremidades direitas, podemos usar a equação: 
0 1 2 30, 3/ , 6 / , 9 /x x n x n x n   3 /ix i n
2
81 1 1
lim 1 27 1
4n n n
    
       
     
81 27
27 6,75
4 4
     
   
2
4 2
1 181 54
lim
2 2n
n n n n
n n
    
   
   
3
4 2
1 1
81 54
lim
n n
n
i i
i i
n n  
 
  
 
 
3
3
1
3 27 18
lim
n
n
i
i i
n n n 
 
  
 

 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA: 
 
 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
5. 
 
( )
b
a
cdx c b a 
 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx    
( ) ( )
b b
a a
cf x dx c f x dx 
 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx    
( ) ( ) ( )
c b b
a c a
f x dx f x dx f x dx   
( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx  
( ) 0
b
a
f x dx 
Se b<a: 
 
Se a=b: 
 
 PROPRIEDADE 1: 
 
 
 
 
 
 PROPRIEDADE 2: 
 
( )
b
a
cdx c b a 
 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx    
 PROPRIEDADE 5: 
 
( ) ( ) ( )
c b b
a c a
f x dx f x dx f x dx   
PROPRIEDADE 8: 
PROPRIEDADES COMPARATIVAS DA INTEGRAL: 
 
6. 
 
7. 
 
8. 
 
 
 
( ) 0
b
a
f x dx 
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx 
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a   
Se f(x)≥0 para a≤x≤b, então 
Se f(x)≥g(x) para a≤x≤b, então 
Se m≤f(x)≤M para a≤x≤b, então