Sequencias e Series

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DISCIPLINA: CÁLCULO A 
CONTEÚDO: SEQUÊNCIAS 
PROFESSORA: NEYVA ROMEIRO 
PERÍODO: 40 BIMESTRE 
 
SEQUÊNCIA 
Uma sequência é uma função f cujo domínio é o 
conjunto dos inteiros positivos e seu gráfico no 
plano xy é do tipo, ou ainda, sequência é um 
conjunto de pares ordenados do tipo ( ))(, nfn , 
como pode ser observado nas Figuras 1 e 2. 
 
 
Figura 1: Representação de uma sequência 
 
Figura 2: Representação de uma sequência 
 
Exemplo 1: 
a) { }KK ,,,,,,, 54321 naaaaaa descreve uma 
sequência infinita; 
b) { }naaaaaa ,,,,,, 54321 K descreve uma 
sequência finita. 
 
OBS: Sendo f uma sequência, os números do 
contradomínio são do tipo 
)(,),4(),3(),2(),1( nfffff K , ou ainda na 
kakf =)( , notação indicial, para cada inteiro 
positivo k . 
 
Exemplo 2: 
a) Se 
1
)(
+
=
n
n
nf , então 
2
1)1( =f , 
3
2)2( =f , 
4
3)3( =f , 
5
4)4( =f , K , então os 
termos da sequência finita pode ser representado 
por: 






+
=






+ 1
,,
7
6
,
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
1 n
n
n
n
K 
e consequentemente os termos da sequência 
infinita pode ser representado por: 






+
=






+
KK ,
1
,,
7
6
,
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
1 n
n
n
n
 
 
Exercício 1: Sendo 
12
)(
+
=
n
n
nf , encontre os 
termos da sequência infinita. 
 
Exercício 2: Sendo 
23
47 2
+
−
=
n
n
an , ache os 
quatro primeiros termos da sequência. 
 
Exercício 3: Ache os termos das sequências: 
a) 
n
nf 1)( = 
b) 






+
=
par for se ,
2
2
imparfor se ,1
)(
n
n
n
nf 
c) Observe os termos das sequências descritas em 
a) e b). 
d) Esboce os gráficos das sequências de a) e de 
b). Observando estes gráficos, o que você pode 
concluir sobre as sequências descritas em a) e 
b)? 
 
 
 
 2
Definição 1: Uma sequência { }na tem por limite 
L (ou converge para L) se para todo 0>ε existe 
um número positivo N tal que 
ε<− Lan sempre que Nn > 
ou Lan
n
=
∞→
lim 
Se tal número L não existe, a sequência não tem 
limite (ou diverge). 
 
Teorema 1: Se Lxf
x
=
∞→
)(lim e f estiver definida 
para todo inteiro positivo, então Lan
n
=
∞→
lim 
quando n for um inteiro positivo. 
 
Exemplo 3: 
a) A sequência 
n
nf 1)( = é convergente, pois , 
01lim)(lim ==
∞→∞→ x
xf
xx
 para todo 0>x , em 
particular o então 01lim =
∞→ xx
 para todo x inteiro 
positivo, consequentemente 
01lim)(lim ==
∞→∞→ n
nf
nn
. 
b) A sequência 






+
=
par for se ,
2
2
imparfor se ,1
)(
n
n
n
nf é 
divergente pois não há um número definido para 
a função )(xf , isto é: 
0
2
2lim =
+∞→ nx
 e 11lim =
∞→x
 
Assim, o )(lim xf
x ∞→
 não existe, portanto a série 
dada é divergente. 
 
Definição 2: Se uma sequência { }na tiver um 
limite, dizemos que ela é convergente, e na 
converge para o limite. Se a sequência não for 
convergente, ela será divergente. 
 
Propriedade 1: Se { }na e { }nb forem sequências 
convergentes e c for uma constante, então: 
i) n
n
n
n
acca
∞→∞→
= limlim 
ii) ( ) n
n
n
n
nn
n
baba
∞→∞→∞→
±=± limlimlim 
iii) ( ) ( )( )n
n
n
n
nn
n
baba
∞→∞→∞→
= limlimlim 
iv) 
n
n
n
n
n
n
n b
a
b
a
∞→
∞→
∞→
=
lim
lim
lim se 0lim ≠
∞→
n
n
b e todo .0≠nb 
Teorema 2 (Teorema do Confronto adaptado 
para sequências): Se nnn cba ≤≤ para onn ≥ e 
n
n
n
n
cLa
∞→∞→
== limlim então Lbn
n
=
∞→
lim . 
 
Teorema 3: Se 0lim =
∞→
n
n
a então 0lim =
∞→
n
n
a . 
 
A sequência { }nr é convergente se 11 ≤<− r e 
divergente para todos os outros valores de r. 



=
<<
=
∞→ 1 se 1,
11- se ,0
lim
r
r
r
n
n
 
 
Exemplo 4: Use os resultados acima para 
determinar se a sequência 














−
n
6
56 converge 
ou diverge. Se converge, determine seu limite. 
Solução: Usando o resultado acima, onde 
0lim =
∞→
n
n
r , se 1<r , observa-se que r na 
sequência dada é 1833.0
6
5
<−≅−=r , 
portanto 0
6
56lim =





−
∞→
n
n
 e consequentemente 
a sequência é convergente e seu limite é zero. 
Tais resultados podem ser verificados 
graficamente (Figura 3) e por meio do cálculo 
do limite, como segue: 
Analisando o limite do modulo, pois se 
0lim =
∞→
n
n
a então 0lim =
∞→
n
n
a ,assim, 
n
n
n
n
n
n






=





−=





−
∞→∞→∞→ 6
56lim
6
56lim
6
56lim e 
considerando 
n
y 





=
6
5
 ⇒ 
n
y 





=
6
5lnln 
⇒ 





=
6
5lnln ny ⇒ ny 182.0ln −= , sendo 
que .182.0
6
5ln −≅





 Ou ainda, 
 3
⇒ ny ee 182.0ln −= ⇒ ney 182.0−= ou 
ne
y
182.0
1
= , e portanto .01limlim
182.0 ==
∞→∞→ nnn e
y 
Assim, 0
6
56lim =





∞→
n
n
 e consequentemente 
.0
6
56lim =





−
∞→
n
n
 
 
Figura 3: Gráfico da sequência 
n
nf 





−=
6
56)( 
 
Exercício 4: Use os resultados acima para 
determinar se a sequência converge ou diverge. 
Se converge, determine seu limite. Use um 
recurso gráfico para esboçar o gráficos de cada 
sequência. 
a) 






−
+
12
1
n
n
 
b) 






−
+
nn
n
2
2
3
12
 
c) 





 +
n
n 12
 
d) 






2
ln
n
n
 
e) 








−+ nn 1
1
2
 
f) 






n
e n
 
g) 






−
n
n)1(
 
h) { }n−1 
Definição 3: Uma sequência { }na é denominada 
crescente se 1+< nn aa para todo 1≥n , isto é 
L<<<< 4321 aaaa Uma sequência { }na é 
denominada decrescente se 1+> nn aa para todo 
1≥n , isto é L>>>> 4321 aaaa 
 
Definição 4: Uma sequência é dita monotônica 
(ou é monótona) se for crescente ou decrescente. 
 
Definição 5: Uma sequência { }na é limitada 
superiormente se existir um número M tal que 
Man ≤ para todo 1≥n . E é limitada 
inferiormente se existir um número m tal que 
nam ≤ para todo 1≥n . 
 
OBS: Se ela for limitada superior e 
inferiormente então { }na é uma sequência 
limitada. 
 
Exemplo 5: A sequência nnf =)( é monótona 
(pois é crescente), porém não é limitada (uma 
vez que não possui limitante superior). Ainda 
mais, a sequência não é convergente, pois 
+∞=
∞→
n
n
lim . Tais resultados também podem ser 
observados na Figura 4. 
 
 
Figura 4: Gráfico da sequência nnf =)( 
 
Toda sequência limitada, monotônica, é 
convergente 
 
OBS: Nem toda sequência convergente é limitada 
e monotônica. 
 
 4
 
 
Exemplo 6: A sequência 
n
nf
n)1()( −= é 
convergente, porém não é monotônica, como 
pode ser observado na Figura 5. 
 
 
Figura 5: Gráfico da sequência 
n
nf
n)1()( −= 
 
Exemplo 7: Investigue a sequência { }na , onde 
n
an
1
= .
 
Solução: 
 
n
an
1
= e 
1
1
1
+
=+
n
an 
nn
1
1
1
<
+
 pois 1+< nn para todo n inteiro 
positivo, logo a sequência { }na é decrescente, e 
portanto monotônica. 
Observa-se que 01lim =
∞→ nn
 e que os termos da 
sequência são: 





=






KK ,
1
,,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,11
nn
, 
portanto a sequência 






n
1
 é limitada 
superiormente por 1 e inferiormente por zero, 
sendo a sequência limitada, Figura 6. 
 
Figura 6: Gráfico da sequência 
n
nf 1)( = 
Exercício 5: Investigue a sequência { }na , onde 
a) 
1+
=
n
n
an .
 
 
b) 
n
a
n
n
1)1( +−
= .
 
 
Exercício 6: Verifique se a sequência é 
monotônica (decrescente ou decrescente) 
a) 






+
−
54
12
n
n
 
b) 






!
2
n
n
 
Exercício 7: Verifique se a sequência 






−
2
221
n
n
 
é convergente, se for calcule seu limite. 
 
 
SÉRIES INFINITAS 
Frequentemente escrevemos funções como 
polinômios infinitos 
LL ++++++=
−
nxxxx
x
321
1
1
 1 <x 
 
 5
 
Figura 1: Gráfico das funções 1, x+1 , 
21 xx ++ , K , ∑
∞
=1n
nx para 1 <x . 
Assim, podemos avaliar o polinômio 
x−1
1
 como 
uma soma infinita de constantes, a qual 
chamaremos de série infinita. 
 
SÉRIES E SOMAS PARCIAIS 
Uma soma finita de números reais sempre produz 
um real, mas uma soma infinita de números reais 
é algo completamente diferente. Essa é a razão 
pela qual precisamos de uma definição cuidadosa 
de séries infinitas. 
 
Definição 1: Dada uma sequência de números 
{ }na , uma expressão da forma 
LL ++++ naaaa 321 
é uma série infinita. O número na é o enésimo 
termo da série. 
As somas parciais da série formam uma 
sequência 
11 aS = 
212 aaS += 
3213 aaaS ++= 
 M 
nn aaaaS ++++= L321 
de números reais, cada um definido como uma 
soma finita. Se a sequência de soma parciais tem 
um limite S quando ∞→n , dizemos que a série 
converge para a soma S e escrevemos 
Saaaaa
i
in ==+++++ ∑
∞
=1
321 LL . 
Podemos interpretar tal resultado observando as 
Figuras 2 e 3 
 
Figura 2: Gráfico 
 
Figura 3: Gráfico 
onde 
11 =S 
2
112 +=S 
23 2
1
2
11 ++=S 
324 2
1
2
1
2
11 +++=S 
 M 
nn
S
2
1
2
1
2
11
2
++++= L 
 M 
 
Pode-se observar que 
2
2
1
2
1
2
11
2
=+++++ LL
n
, logo a sequência de 
soma parciais tem um limite 2=S quando 
∞→n , dizemos, assim, que a série converge 
para a soma 2. 
 
Exemplo 1: Determine as quatro primeiras somas 
parciais da série ∑
∞
=
+1 )1(
1
n
nn
. 
Solução: 
 
2
1
1 =S 
 6
3
2
6
1
2
1
32
1
2
1
2 =+=
⋅
+=S 
4
3
12
1
6
1
2
1
43
1
32
1
2
1
3 =++=
⋅
+
⋅
+=S 
5
4
20
1
12
1
6
1
2
1
54
1
43
1
32
1
2
1
4 =+++=
⋅
+
⋅
+
⋅
+=S 
OBS: A série ∑
∞
=
+1 )1(
1
n
nn
 é chamada de série 
telescópica. 
 
Exemplo 2: Por meio dos resultados apresentados 
acima pode-se afirmar que a série telescópica 
∑
∞
=
+1 )1(
1
n
nn
 é convergente e sua soma converge 
para 1=S , isto é 
1)1(
1
54
1
43
1
32
1
2
1
=
+
++
⋅
+
⋅
+
⋅
+=
nn
S n L . 
 
Figura 4: 
 
 
Figura 5: 
 
Exercício 1: 
a) Determine as quatro primeiras somas parciais 
da série ∑
∞
=
−
1
12
1
n
n
. 
b) Utilize o item a) para verificar se a série é 
convergente, em caso afirmativo determine o 
valor para o qual sua soma converge. 
Uma série ∑
∞
=1n
na é convergente (ou converge) 
se a sua sequência de somas parciais { }nS 
converge, isto é, se SS n
n
=
∞→
lim para algum 
número real S. 
Se SS n
n
=
∞→
lim não existir a série será divergente. 
 
OBS: n
n
i
in aaaaaS ++++==∑
=
L321
1
 
Logo, Saaaa n =++++ L321 ou Sa
n
i
i =∑
=1
. 
Exemplo 3: Mostre que a série ∑
∞
=
+1 )1(
1
n
nn
 é 
convergente e determine o valor para o qual sua 
soma converge. 
Solução: Do Exemplo 2 temos que 
)1(
1
54
1
43
1
32
1
2
1
+
++
⋅
+
⋅
+
⋅
+=
nn
S n L 
assim, 
2
1
1 =a , 32
1
2
⋅
=a , 
43
1
3
⋅
=a , 
54
1
4
⋅
=a , K , 
)1(
1
+
=
nn
an 
simplificando esta expressão usando uma 
decomposição por frações parciais, temos 
)1()1(
1
+
+=
+ n
B
n
A
nn
 
)1(
)1(
)1(
1
+
++
=
+ nn
BnnA
nn
 
ou 
BnnA ++= )1(1 
AnBA ++= )(1 
 7



=
=+
1
0
A
BA
 ⇒ 1−=B 
Logo )1(
11
)1(
1
+
−=
+ nnnn
 e assim, 
∑∑∑
===






+
−=
+
==
n
i
n
i
n
i
in iiii
aS
111 1
11
)1(
1
 
+





−+





−+





−=





+
−=∑
=
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
1
11
1
n
i ii
 
 





+
−++





−+
1
11
5
1
4
1
nn
L 
1
111
1
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11
+
−+−
−
++−+−+−=
nnnn
L 
1
11
+
−=
n
 
Portanto 
1
1
11lim)1(
1limlim
1
=





+
−=
+
=
∞→
∞
=
∞→∞→ ∑ nnnS n
n
n
n
n
. 
Exercício 2: Dado a série ∑
∞
=
−1
2 14
1
n n
, 
a) ache 1S , 2S , 3S e 4S ; 
b) ache nS ; 
c) verifique se a série converge ou diverge; 
d) se converge, determine o valor para o qual sua 
soma converge. 
 
Exercício 3: Dado a série ∑
∞
=
−+1 )23)(13(
1
n
nn
, 
determine se a série é convergente. 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 
Séries geométricas são séries da forma 
∑
∞
=
−−
=++++++
1
1132
n
nn ararararara LL 
onde a e r são números reais fixos e 0≠a . A 
razão r pode ser positiva ou negativa. 
 
 
 
 
Definição 2: A série geométrica são séries da 
forma 
LL ++++++= −
∞
=
−∑ 132
1
1 n
n
n ararararaar 
( )LL ++++++= −1321 nrrrra 
i) converge e tem soma 
r
aS
−
=
1
, se 
1 <r 
ii) diverge se 1 ≥r . 
Exemplo 4: Verifique se a série ∑
∞
=
−






1
1
3
25
n
n
 
converge ou diverge. 
Solução: 
5=a , 
3
2
=r ; 166.0
3
2
<==r 
portanto a série converge e sua soma converge 
para 15
3
21
5
=
−
=S , como pode ser observado na 
Figura 6. 
 
 
Figura 6: Convergência da série ∑
∞
=
−






1
1
3
25
n
n
 
para a soma 15=S . 
Exemplo 5: Mostre que a série harmônica 
LL ++++++++=∑
∞
=
nn
n
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
111
1
 
é divergente. 
Solução: 
 8
n
S
S
S
S
S
S
n
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
 
5
1
4
1
3
1
2
11
4
1
3
1
2
11
3
1
2
11
2
11
1
5
4
3
2
1
+++++++=
++++=
+++=
++=
+=
=
L
M
 
porém 
2
11
1
2
1
+=
=
S
S
 
2
2
21 
4
1
4
1
2
11
4
1
3
1
2
114
=+=






+++>





+++=S
 
5.2
2
5
2
31
2
1
2
1
2
11 
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
3
1
2
11 
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
118
==+=+++=






++++





+++>






++++





+++=S
 
3
2
41
2
1
2
1
2
1
2
11 
16
1
16
1
8
1
8
1
4
1
3
1
2
11 
16
1
9
1
8
1
5
1
4
1
3
1
2
1116
=+=++++=






+++





+++





+++>





+++





+++





+++=
LL
LLS
 
Similarmente 5.3
2
7
2
5132 ==+>S , 2
6164 +>S 
e, em geral 
2
1
2
nS n +> . Como ∞=





+
∞→ 2
1lim n
n
, 
temos que a série harmônica é divergente 
 
 
 
Figura 6: Divergência da série harmônica. 
 
Teorema 1: Se a série ∑
∞
=1n
na for convergente, 
então 0lim =
∞→
n
n
a . 
 
 
Teste 1: Teste da divergência: Se o n
n
a
∞→
lim não 
existir ou se 0lim ≠
∞→
n
n
a , então a série ∑
∞
=1n
na é 
divergente. 
 
OBS: Se 0lim =
∞→
n
n
a a série ∑
∞
=1n
na pode ser 
convergente ou divergente. 
Exemplo 6: Mostre que a série ∑
∞
=
+1 1n n
n
 é 
divergente. 
Solução: Calculando o limite, temos 
01
/11
1lim
1
lim ≠=
+
=
+ ∞→∞→ nn
n
nn
 
logo a série é divergente, como afirma o Teste da 
divergência. 
 
 
 
 
 
 
 
 9
 
Teorema 2: Se ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb forem séries 
convergentes, então também os serão as séries 
∑
∞
=1n
nca e ( )∑
∞
=
±
1n
nn ba , e 
i) ∑∑
∞
=
∞
=
=
11 n
n
n
n acca 
ii) ( ) ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
±=±
111 n
n
n
n
n
nn baba 
 
Exemplo 7: Calcule a soma da série 
∑
∞
=






+
+1 2
1
)1(
3
n
nnn
 
A série ∑
∞
=1 2
1
n
n
 é a série geométrica com 
2
1
=a e 
2
1
=r , 1<r , logo convergente, assim 
1
12
1
2
1
2
1
1
=
−
=∑
∞
=n
n
. Vimos, no Exemplo 2 que a 
série ∑
∞
=
+1 )1(
1
n
nn
 é convergente e sua soma 
converge para 1, assim 
3)1(
13)1(
3
11
=
+
=
+
= ∑∑
∞
=
∞
= nn
nnnn
S . 
Logo, pelo Teorema (acima) temos que 
∑
∞
=






+
+1 2
1
)1(
3
n
nnn
∑∑
∞
=
∞
=
=+
+
=
11
4
2
1
)1(
13
n
n
n
nn
. 
 
Teorema 3: Se ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são duas séries 
infinitas que diferem somente pelos seus m 
primeiros termos, isto é kk ba = se mk > , então 
ambas convergem ou ambas divergem. 
Exemplo 8: Determine se a série ∑
∞
=
+1 4
1
n
n
 é 
divergente ou convergente. 
Solução: 
Como 0
/41
/1lim
4
1lim =
+
=
+ ∞→∞→ n
n
n nn
, não podemos 
afirmar nada sobre sua convergência ou 
divergência. 
Porém, a série 
LL +
+
+++++=
+∑
∞
=
4
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
1 nnn
 
mas, sabe-se que a série harmônica 
LL ++++++++++=∑
∞
=
nn
n
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
111
1
 
é divergente e como a série dada difere da série 
harmônica somente pelos 4 primeiros termos, ou 
seja 
∑∑
∞
=
∞
=
+−−−−=
+ 11
1
4
1
3
1
2
11
4
1
nn
nn
, temos que a 
série dada é divergente. Poderíamos ainda 
escrever 
∑∑
∞
=
∞
=
=
+ 51
1
4
1
nn
nn
. 
 
Exercício 4: Já vimos e também mostramos que a 
série telescópica ∑
∞
=
+1 )1(
1
n
nn
 é divergente 
(Exemplo 2), porém, usando o resultado acima, 
mostre a divergência da mesma. 
 
Exercício 5: Verifique se as séries convergem ou 
divergem 
a) ∑
∞
=
+1
2
2
1
3
n n
n
 
b) ∑
∞
=
−
1
13
2
n
n
 
c) ∑
∞
=






1
1ln
n
n
 
d) ∑
∞
=
−
1n
ne 
e) ∑
∞
=1n
ne 
f) ( )∑
∞
=
− +
1n
nn ee 
 10
h) ∑
∞
=






+
+
1 )1(
1
8
1
n
n nn
 
 
 
SÉRIE HIPERHARMÔNICA 
Uma série-p ou hiperharmônica é da forma: 
LL +++++++=∑
∞
=
ppppp
n
p
nn
1
5
1
4
1
3
1
2
111
1
 
p inteiro positivo. 
 
A série ∑
∞
=1
1
n
p
n
 
• converge se 1>p ; 
• diverge 1≤p 
 
SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS 
 
Teste 2: Teste da Comparação: Se ∑ na e 
∑ nb são séries de termos não negativos: 
• Se ∑ nb converge e nn ba ≤ para todo 
n inteiro então ∑ na converge 
• ii) Se ∑ nb diverge e nn ba ≥ para 
todo n inteiro então ∑ na diverge 
Exemplo 9: Mostre que a série ∑
∞
=1
1
n n
 é 
divergente. 
Sabe-se que a série ∑∑ =
n
bn
1
 é divergente e 
que 
nn
11
≤ ⇒ nn ≤ 
Logo, pelo teste da comparação a série ∑
∞
=1
1
n n
 é 
divergente. 
Exemplo 10: Mostre que a série ∑
∞
=1
2
2
n
n
nsen
 é 
convergente. 
Sendo nnnnn bnsen
nsen
a =≤==
2
1
2
1
2
2
2
 ⇒ 
nn ba ≤ . 
Como ∑∑ = nnb 2
1
 é a série geométrica 
convergente 





<= 1
2
1
r , logo, pelo teste da 
comparação a série ∑
∞
=1
2
2
n
n
nsen
 é convergente. 
 
A seguinte afirmação foi dada em sala de aula: 
A série harmônica 
LL ++++++++=∑
∞
=
nn
n
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
111
1
 
é divergente. 
 
Segue abaixo uma demonstração da afirmação: 
Observa-se qu 
e 01 →
n
 quando ∞→n não implica que a série 
é convergente. Para isto faz-se necessário uma 
investigação melhor. 
Considerando apenas 16 termos, isto é: 






++++





+++=∑
=
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
111
16
1n n
 
 ∑
=
=++++>





+++
5
0 2
1
16
1
8
1
4
1
2
11
16
1
9
1
n
n
L 
Sendo ∑∑ = nnb 2
1
 uma série geométrica 
convergente, comparando 
nn
b
2
1
= e 
n
an
1
= 
pode-se observar que 
nn 2
11
> não satisfaz a 
condição nn ba ≤ logo a série ∑
∞
=1
1
n
n
 é 
divergente. 
 
 
 
 11
 
Teste 3: Teste Limite da Comparação: Sejam 
∑ na e ∑ nb séries de termos não negativos se 
0lim >=
∞→
c
b
a
n
n
n
 então ambas as séries convergem 
ou ambas as séries divergem. 
 
Exemplo 11: Determine se a série ∑
∞
=
+1
3
2
14
n
n
n
 
converge ou diverge comparando com a série 
∑
∞
=1
1
n
n
 
Solução: usando o teste limite da comparação 
temos: 
141
14
3
33
2
+
=
+
=
n
n
n
n
n
b
a
n
n
, logo, 
0
4
1
14
limlim 3
3
>=
+
=
∞→∞→ n
n
b
a
n
n
n
n
 
Como a série ∑
∞
=1
1
n
n
 é divergente, tem-se pelo 
teste limite da comparação que a série 
∑
∞
=
+1
3
2
14
n
n
n
 também é divergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Exemplos de como escolher nb 
na Termo de maior magnitude nb 
14 3
2
+n
n
 
nn
n
n
n
4
1
414 3
2
3
2
==
+
 
n
1
 
24
13
23
−+
+
nn
n
 2323 4
3
4
3
24
13
nn
n
nn
n
==
−+
+
 
2
1
n
 
2
2
2 ++ nn
 
 
16
4
2
3 2
−−
+
nn
n
 
 
 
Exercício 6: Determine se a série converge ou 
diverge: 
a) ∑
∞
= −1
3 54
1
n n
 
b) ∑
+
+
5
ln1
2n
nn
 
OBS: 
nn
n
n
nn 1lnln
2 >= , para 3≥n , como pode-
se verificar na Figura 1. 
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f x( )
f1 x( )
x
1
x
x ln x( )⋅
x
2
 
Figura 7: Gráfico das funções 21
ln)(
n
nn
xf = e 
n
xf 1)(2 = . 
 
 
 
 12
 
Teste 4: Teste da Razão: Seja ∑ na uma série 
de termos não negativos. Supondo que 
L
a
a
n
n
n
=
+
∞→
1lim 
• se ⇒< 1L a série é convergente 
• se 1>L ou ∞=+
∞→
n
n
n a
a 1lim ⇒ a série é 
divergente 
• se ⇒=1L o teste da razão nada pode 
afirmar. Deve-se aplicar outro teste. 
 
 
Teste 5: Teste da Raiz: Seja ∑ na uma série 
de termos não negativos. Supondo que 
Lan n
n
=
∞→
lim 
• se ⇒< 1L a série é convergente 
• se 1>L ou ∞=
∞→
n
n
n
alim ⇒ a série é 
divergente 
• se ⇒= 1L o teste da raiz nada pode 
afirmar. Deve-se aplicar outro teste. 
 
Lista 1 de Exercícios: Use um dos testes: 
comparação, limite da comparação, da integral, da 
raiz ou o da razão, para determinar se a série 
converge ou diverge: 
1- ∑
+
n
n
2
13
 2- ∑ n
n
1
 
3- ∑ +1
2
n
n
 4-∑ n
n
n!
 
5- ( )∑ −++ 12 34 nnn n 6- ∑ − 212n 
7-∑
+ 2)23(
1
n
 8- ∑
n
nln
 
9- ∑
nnln
1
 10- ∑
+− 125 3 nn
n
 
11- ∑ 2
)!(
n
n
n
n
 12- ∑ n
n
n
7
 
13-∑
≥ −−
+
2
4 1
25
n nn
n
 14- ∑ 2
4
n
n
 
15- ( )∑
nn
n
n
!
2
 16-∑
nn
n
7
8
 
17- ∑
−
−
2
13
4n
n
 18- [ ]∑
+
−
5
34 2
14
6 
n
nnn
 
OBS: 
nnn
n
nn
nn
n






+
=





 +
=
+ 11
1
1
1
)1( e
 1 
→ 
quando ∞→n , 
como pode ser observado nas Figuras 8 e 9 
0 20 40 60 80 100
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
f x( )
f1 x( )
x
e 2.718=
1
1
x
+




x
 
Figura 8: Gráfico das funções 
n
x
xf 





+=
11)( 
e )1exp()(1 =xf . 
0 20 40 60 80 100
0.3
0.34
0.38
0.42
0.46
0.5
f2 x( )
f3 x( )
x
1
1
1
x
+




x
1
e
0.368=
 
Figura 9: Gráfico das funções 
n
x
xf






+
=
11
1)(2 
e 
e
xf 1)(3 = . 
 13
0 9.75 19.5 29.25 39
1.5
0.75
0
0.75
1.5
f x( )
x
x!
x
x
 
Figura 10: Gráfico das funções 
x
x
x
xf !)( = e 
0! lim =
∞→ xx x
x
 (gráfico e limite referente ao 
exercício 4 da Lista 1 de Exercícios) 
 
0 9.75 19.5 29.25 39
1.5
0.75
0
0.75
1.5
f x( )
x
1 ln x( )−
x
 
Figura 11: Gráfico das funções 
x
linx
xf −= 1)( 
(gráfico referente ao exercício 8 da Lista 1 de 
Exercícios) 
 
Lista 2 de Exercícios:: Use o seguinte resultado: 
"Se 0lim ≠
∞→
n
n
a a série ∑ na é divergente" para 
mostrar que a série dada é divergente. 
1- ∑
≥ −
+
2 1
1
n
n
n
 2- ∑
−12n
n
 
3- ∑
n
n
ln
 4- ∑n 
5- ∑
−
+−
12
12
n
nn
 6- ∑
+−
2
1)1( n
 
7- ∑ − n)1( 
 
 
 
 
TESTE DA INTEGRAL 
 Seja { }na uma sequência de termos positivos. 
Supondo )(xfan = onde f é uma função de x 
contínua, positiva e decrescente para todo 
Nx ≥ (N é intero positivo). Então tanto a série 
∑ na quanto a integral ∫
∞
N
dxxf )( convergem ou 
tanto uma quanto a outra divergem. 
 
Exemplo 12: Aplique o teste da integral para 
verificar se a série ∑
∞
=1
1
n nn
 é convergente ou 
divergente. 
Solução: 
Verifica-se primeiro se o teste da integral pode ser 
utilizado, isto é, verifica-se se a função de x é 
contínua, positiva e decrescente para todo Nx ≥ . 
• 
xx
xf 1)( = ⇒ domínio de f é todos 
os Reais positivos exceto o zero ⇒ 
{ }0−= +RD f . Portanto f é contínua 
para todo 0>x . 
• f é positiva para todo 0>x . 
• f é decrescente para todo 0>x , de fato: 
xx
xf 1)( = 
⇒ 2/3
2/32/1
11)( −=== x
xxx
xf 
⇒ 
0
2
3
 
2
3
2
3
2
3)(
5
2/5
2/512/3
<−=
−=−=−=′
−−−
x
x
xxxf
 
e pelo teste da derivada primeira, se 
0)( <′ xf para todo x em um intervalo, )(xf 
é decrescente neste intervalo. 
logo, a função 
xx
xf 1)( = é decrescente. 
Sendo então f contínua, positiva e 
decrescente para todo 0>x , pode-se aplicar 
o teste da integral para verificar se a série 
dada é convergente ou divergente. 
 14
∫
∞
N
dxxf )( ⇒ 1=N
∫∫∫
−
∞→
∞
−
∞
==
t
t
dxxdxxdx
xx 1
2/3
1
2/3
1
lim1 
( )
2
1
2lim2lim
1
22lim
2lim2lim
1
1
2/1
=







+







−=







+−=








−=−=
∞→∞→∞→
∞→
−
∞→
ttt
t
t
t
t
tt
x
x
 
pois 02lim =






−
∞→ tt
. 
Como a integral ∫
∞
1
1 dx
xx
 converge, logo a 
série ∑
∞
=1
1
n nn
 
 também converge.
 
 
 
 
SÉRIES ALTERNADAS 
L−+−+−=−∑
∞
=
4321
1
)1( aaaaan
n
n
 
L+−+−=−∑
∞
=
−
4321
1
1)1( aaaaan
n
n
 
 
Teste 6: Teste da Série Alternada: A série 
alternada é convergente se: 
• 1+≥ nn aa para todo n ( na é 
decrescente) 
• 0lim =
∞→
n
n
a 
 
Exemplo 13: Mostre que a série alternada 
∑
∞
=
−
1
1)1(
n
n
n
 é convergente. 
Verificando: 
• na é decrescente, 
n
an
1
= e 
1
1
1
+
=+
n
an 
como 
nn
1
1
1
<
+
 ou 
1
11
+
>
nn
 tem-se que 
na é decrescente. 
Uma outra forma para verificar se na é 
decrescente é obtida utilizando o teste da derivada 
primeira, onde 
0)( ≤′ naf ⇒ que na é decrescente, 
assim, 2
1)(
n
af n −≤′ que, para qualquer n 
sempre será negativa. 
 
• 0lim ≠
∞→
n
n
a , 
01limlim ==
∞→∞→ n
a
n
n
n
 
Portanto, pelo teste de séries alternadas, a série 
∑
∞
=
−
1
1)1(
n
n
n
 é convergente. 
 
Exemplo 14: Determine se a série alternada 
∑
∞
≥
−
−
2
1 ln)1(
n
n
n
n
 converge ou diverge. 
 
x
x
xf ln)( = ⇒ ( ) 0ln/1)(
2
<
−
=′
x
xxx
xf para 
que f seja decrescente, assim: 
( ) 0ln10ln/1 <−⇒<− xxxx 
xln1 <⇒ ou 1ln >x . Como 1ln >x para 3>x 
(ver Tabela 1 e Figura 6), temos que 
x
x
xf ln)( = é decrecente para 3>x e 
consequentemente,a série alternada 
∑
∞
>
−
−
3
1 ln)1(
n
n
n
n
 será decrescente para 3>n . 
Resta verificar se 0lim =
∞→
n
n
a para garantir a 
convergência da série dada. 
Sendo 
n
n
an
ln
= , temos que 0lnlim =
∞→ n
n
n
, como 
pode ser verificado usando a Regra de L’Hopital, 
ou seja: 
01lim
1
/1limlnlim ===
∞→∞→∞→ n
n
n
n
nnn
 
 
 
 
 15
Tabela 1: Valores de xln 
x xln 
1 0 
2 0.693 
3 1.098 
4 1.386 
 
1 10.5 20 29.5 39
0
0.1
0.2
0.3
0.4
f x( )
x
ln x( )
x
 
Figura 6: Gráfico da função 
x
x
xf ln)( = . 
Portanto, graficamente a função é decrescente 
para 3>x . 
 
 
 
Definição: Uma série ∑ na é absolutamente 
convergente se a série 
 nn aaaaa ++++=∑ L321 
for convergente. 
 
 
Exemplo 15: Verifique se a série alternada 
∑
∞
=
−
−
1
2
1 1)1(
n
n
n
 é absolutamente convergente. 
Solução: 
∑∑
∞
=
∞
=
−
=−
1
2
1
2
1 11)1(
nn
n
nn
 
que é a série-p com 12 >=p e portanto 
convergente. Como a série dada converge em 
módulo, logo ela é absolutamente convergente. 
 
 
Definição: Uma série ∑ na é condicionalmente 
convergente se a série ∑ na for convergente, e 
se a série ∑ na for divergente . 
 
 
Teorema: Se a série ∑ na é absolutamente 
convergente ⇒ que a série ∑ na é 
convergente. 
 
 
OBS: a convergência da não implica na 
convergente absoluta da mesma. 
 
 
Exemplo 16: Vimos que a série alternada 
∑
∞
=
−
1
1)1(
n
n
n
 é convergente, mas 
∑∑
∞
=
∞
=
=−
11
11)1(
nn
n
nn
 é divergente (série 
Harmônica). 
 
 
Lista 3 de Exercícios:1) Determine se a série alternada converge ou 
diverge: 
a) ∑
∞
≥
−
−
−
2
1
14
3)1(
n
n
n
n
 b) ∑
∞
≥
−
+
−
2
3
2
1
1
)1(
n
n
n
n
 
 
 
2) Para quais valores de p cada série é 
convergente? 
a) ∑
∞
=
−
−
1
1 1)1(
n
p
n
n
 b) ∑
∞
=
+
−
1
1)1(
n
n
pn
 
 
3) Mostre que a série ∑
∞
=
−
−
1
1)1(
n
n
n b , onde 
nb
n
/1= se n for ímpar e 2/1 nb
n
= se n for par, é 
divergente. Porque o teste de série alternada não 
se aplica? 
 
4) Determine se a série 
L+++=∑
∞
=
22
1
2 3
3cos
2
2cos
1
1coscos
n
n
n
 
é convergente ou divergente. 
 16
 
5) Teste a série para convergência absoluta 
∑
∞
=
−
−
1
3
1
3
)1(
n
n
n n
 
 
6) Determine se a série é absolutamente 
convergente, condicionalmente convergente ou 
divergente: 
 
a)∑
∞
=
−
−
1
1)1(
n
n
nn
 b) ∑
∞
=
−
1
3
)3(
n
n
n
 
c)∑
∞
=
+
−
1 5
)1(
n
n
n
 d) ∑
∞
=
+
−
1 5
1)1(
n
n
n
 
 
e)∑
∞
=1 )!2(
1
n
n
 f) ∑
∞
=
+
1
313
n
n
n
n
 
 
7) Para quais inteiros positivos k a série 
 
∑
∞
=1
2
)!(
)!(
n
kn
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
SÉRIES DE POTÊNCIAS 
Vimos que a série geométrica 
( )LL ++++++=∑∞
=
− n
n
n
rrrrara
32
1
1 1 
converge para a 
r
aS
−
=
1
, se 1 <r . 
Considerando 1=a e xr = , podemos observar 
que 
LL ++++++=
−
n
xxxx
x
321
1
1
 
para 1 <x , logo, escrevemos a 
função
x
xf
−
=
1
1)( como um polinômio infinito 
equivalente a LL ++++++ nxxxx 321 . ou 
simplesmente, temos )(xf representada por 
uma série de potências. 
 
Para achar um valor particular desta função, basta 
fazer cx = . Por exemplo, para 
2
1
=x , tem-se: 
2
2/11
1
 
2
1
2
1
2
1
2
11
2
1 32
=
−
=
+





++





+





+





+=





LL
n
f
 
 
Definição: Uma série de potências de x, x uma 
variável, é da forma 
LL ++++++=∑
∞
=
n
n
n
n
n xaxaxaxaaxa
3
3
2
210
0
 
onde cada ka é um número real.
 
 
 
OBS: toda série de potencias em x converge se 
0=x pois: 
LL ++++++=∑
∞
=
n
n
n
n
n aaaaaa 00000 
3
3
2
210
0
 
00 =a 
Para encontrar outros valores que produzem a 
convergencia utiliza-se o teste da razão para 
convergência absoluta. 
 
Exemplo 17: Ache todos os valores de x para os 
quais a série abaixo é absolutamente convergente. 
n
n
x
n
∑
∞
=






+0
 
4
1
 
 
Solução: 
 
LL +





+
++++=





+∑
∞
=
nn
n
x
n
xxx
n 4
1
6
1
5
1
4
1
 
4
1 2
0
 
Fazendo 
4+
=
n
x
a
n
n ⇒ 4)1(
1
1
++
=
+
+
n
x
a
n
n
 
e usando o teste da razão para convergencia 
absoluta, tem-se: 
x
n
n
x
n
n
x
n
n
x
x
n
n
x
a
a
n
n
n
n
n
n
 
5
4
5
4
 
4
4)1(4
4)1( 1
1
1






+
+
=
+
+
=
+
++
=
+
++
=
+
+
+
 
Logo 
xx
n
n
a
a
n
n
n
n
=





+
+
=
∞→
+
∞→
 
5
4limlim 1 
Pelo teste da razão para convergencia absoluta, 
tem-se que a série é convergente se 1<L , como 
dada xL = , consequentemente 1<= xL para 
que a série dada seja convergente )1 ,1(−∈x . 
 
Os valores dos extremos 1−=x e 1=x , devem 
ser estudados separadamente. 
 
1−=x ⇒ n
n
n
)1( 
4
1
0
−





+∑
∞
=
 é a série alternada. 
• 1+≥ nn aa para todo n ( na é 
decrescente) 
• 0lim =
∞→
n
n
a 
De fato: 
1+≥ nn aa ⇒ 4)1(
1
4
1
++
>
+ nn
 
⇒ 
5
1
4
1
+
>
+ nn
 
 18
⇒ 45 +>+ nn o que é verdade. Logo na é 
decrescente 
Ou poderia analisar usando o fato de que a 
primeria derivada é negativa. 
1)4(
4
1)( −+=
+
= x
x
xf 
x
x
xxf ∀<
+
−=+−=′ − ,0
)4(
1)4()( 2
2
 
E portanto f é decrescente. 
 
Resta agora avaliar o n
n
a
∞→
lim 
0
4
1limlim =





+
=
∞→∞→ n
a
n
n
n
 
Portanto a série alternada é convergente. 
1=x ⇒ ∑∑
∞
=
∞
=






+
=





+ 00
 
4
1)1( 
4
1
n
n
n
nn
 
44444 344444 21
LL
4 para Harmônica série
0 4
1
7
1
6
1
5
1
4
1
 
4
1
≥
∞
=
+
+
+++++=





+∑
n
n
nn
 
Como 
 
∑∑
∞
=
∞
≥
=





+ 04
 
1
 
4
1
nn
nn
 a série de potências para 
1=x é divergente. 
 
Portanto a série de potências n
n
x
n
∑
∞
=






+0
 
4
1
 
converge para todo )1 ,1[−∈x . 
 
 
Definição: Uma série de potências de ( )cx − é da 
forma 
+−++−+
−+−+=−∑
∞
=
n
n
n
n
n
cxacxa
cxacxaacxa
)()( 
)()()( 
3
3
2
210
0
L
 
onde cada ka é um número real.
 
 
 
 
 
 
Teorema: 
i) Se uma série de potências ∑
∞
=0
 
n
n
n xa é 
convergente para um número 0≠c , então é 
absolutamente convergente sempre que cx < . 
ii) Se uma série de potências ∑
∞
=0
 
n
n
n xa é 
divergente para um número 0≠d , então é 
divergente sempre que . dx > 
 
Teorema: Se ∑
∞
=0
 
n
n
n xa é uma série de potências, 
então ou: 
i) a série converge somente se 0=x , 
ii) a série é absolutamente convergente para 
todo x. 
iii) existe um número 0>r tal que a série é 
absolutamente convergente se ( )rrx ,−∈ 
e diverge se rx −< ou rx > . 
 
 
OBS: r é o raio de convergência da série. 
Exemplo 18: Ache intervalo de convergência da 
série. 
n
n
x
n
∑
∞
=






+0
2 1
1
 
 
Solução: 
 
Fazendo 
12 +
=
n
x
a
n
n ⇒ 1)1( 2
1
1
++
=
+
+
n
x
a
n
n
 
e usando o teste da razão para convergencia 
absoluta, tem-se: 
x
nn
n
x
n
n
x
n
n
x
n
n
x
x
n
n
x
a
a
n
n
n
n
n
n
 
22
1
 
1)1(
1
1)1(
1
 
1
1)1(1
1)1(
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1








++
+
=







++
+
=
++
+
=
+
++
=
+
++
=
+
+
+
 
 
 19
Logo 
xx
nn
n
a
a
n
n
n
n
=







++
+
=
∞→
+
∞→
 
22
1limlim 2
2
1
 
Pelo teste da razão para convergencia absoluta, 
tem-se que a série é convergente se 1<L , como 
dada xL = , consequentemente 1<= xL para 
que a série dada seja convergente )1 ,1(−∈x . 
Os valores dos extremos 1−=x e 1=x , devem 
ser estudados separadamente. 
 
1−=x ⇒ n
n n
)1( 
1
1
0
2 −




+
∑
∞
=
 é a série alternada. 
• 1+≥ nn aa para todo n ( na é 
decrescente) 
• 0lim =
∞→
n
n
a 
De fato: 
1+≥ nn aa ⇒ 1)1(
1
1
1
22 ++
>
+ nn
 
⇒ 
1)1(
1
1
1
22 ++
>
+ nn
 
⇒ 11)1( 22 +>++ nn o que é verdade. Logo 
na é decrescente 
Ou poderia analisar usando o fato de que a 
primeria derivada é negativa. 
12
2 )1(11)( −+=
+
= x
x
xf 
x
x
x
xxxf ∀<
+
−=+−=′ − ,0
)1(
2)1( 2)( 22
22
 
E portanto f é decrescente. 
 
Resta agora avaliar o n
n
a
∞→
lim 
0
1
1limlim 2 =




+
=
∞→∞→ n
a
n
n
n
 
Portanto a série alternada é convergente. 
 
1=x ⇒ ∑∑
∞
=
∞
=






+
=





+ 0
2
0
2 1
1)1( 
1
1
n
n
n nn
 
LL +
+
+++++=





+
∑
∞
=
1
1
10
1
5
1
2
11 
1
1
2
0
2
nnn
 
Usando o teste da comparação, observa-se que: 
 
∑
∞
=0
2 
1
n n
, que é a série-p, 2=p , logo série 
convergente, e verificando que 
 
22
1
1
1
nn
<
+
, tem-se que a série dada é 
convergente. 
 
Logo o intervalo de convergência da série 
n
n
x
n
∑
∞
=






+0
2 1
1
 é ]1 ,1[− e o raio de convergência 
é 1=r . 
 
Lista 1 de Exercícios (Séries de Potências): 
 
1) Ache intervalo de convergência da série. 
a) ∑
∞
=0
2
 
2n
n
n
x
n
 
 
b) ∑
∞
=
−
+
0
 )4(
10
1
n
n
n
x
n
 
 
c) ∑
∞
=0
 
1
n
n
x
n
 
 
d) ∑
∞
=0
 
!
1
n
n
x
n
 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR 
SÉRIES DE POTÊNCIAS 
Uma série de potências ∑
∞
=0
 
n
n
n xa define uma 
função f cujo domínio é o intervalo de 
convergência da série. Especificamente, para cada 
x nesse intervalo, tem-se 
LL ++++++= nnxaxaxaxaaxf 332210)( 
Se uma função f é assim definida, dizemos aque 
∑
∞
=0
 
n
n
n xa é uma representação de funções por 
séries de potências. 
 20
 
Teorema: Suponha que uma série de potências 
∑
∞
=0
 
n
n
n xa tenha raio de convergência 0>r , e f 
definida por: 
LL ++++++== ∑
∞
=
n
n
n
n
n xaxaxaxaaxaxf 332210
0
 )(
para todo x no intervalo de convergência. Se 
rxr <<− , então: 
i) LL +++++=′ −12321 32)( nnxnaxaxaaxf
 ∑
∞
=
−
=
1
1
 
n
n
nxna 
ii) LL +
+
++++=
+
∫ 132)(
13
2
2
100 n
x
a
x
a
x
axadttf
n
n
x
 ∑
∞
=
+
+
=
0
1
1
 
n
n
n
n
x
a 
 
 
Similarmente: 
 
Teorema: Suponha que uma série de potências 
( )∑
∞
=
−
0
 
n
n
n cxa tenha raio de convergência 0>r , e 
f definida por: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) LL +−++−+
−+−+=−=∑
∞
=
n
n
n
n
n
cxacxa
cxacxaacxaxf
3
3
2
210
0
 
 )(
 
para todo x no intervalo de convergência. Se 
rxr <<− , então: 
i) ( )∑
∞
=
−
−=′
1
1)( 
n
n
n cxnaxf 
ii) ( )∑∫
∞
=
+
+
−
==
0
1
0 1
)(
n
n
n
x
n
cx
adttf 
 
 
 
 
 
Exemplo 19: Use a reprensentação em série de 
potências de 
x
xf
−
=
1
1)( para obter uma 
representação para a série ( )21
1)(
x
xg
+
= , se 
.1<x 
 
Solução: 
 
LL
LL
++++++=
++++++=
−
n
n
xxxxx
xxxx
x
3210
32
 
1
1
1
 
 
Logo 
 
LL +−++−+−+−=
−−
n
xxxx
x
)()()()()(1
1 210
 
 
ou 
 
LL +−++−+−=
+
nn xxxx
x
 )1(1
1
1 32
, .1<x 
 
( ) LL +−++−+−=+ − nn xxxxx )1(11 321 
 
Derivando ambos os lados, tem-se: 
( ) LL +−++−+−=+− −− 122 n )1(3211 nn xxxx 
 
ou 
( ) LL +−++−+−=+−
−12
2 n )1(3211
1 nn
xxx
x
 
 
ou ainda 
 
( ) LL +−++−+−=+
−132
2 n )1(43211
1 nn
xxxx
x
 
 
Portanto a representação em série de 
( )21
1)(
x
xg
+
= é 
 
( ) ∑
∞
=
−
−=
+ 1
1
2 n )1(1
1
n
nn
x
x
, 1 <x 
 
 
 
 
 
 
 21
Exemplo 20: Encontre a reprensentação em série 
de potências da função )1ln()( xxg −= . 
Solução: 
 
Sabe-se que 
dt
t
xxg
x
∫
−
−=−=
0 1
1)1ln()( , 
 
mas 
 
LL ++++++=
−
nxxxx
x
321
1
1
 
 
Agora, integrando ambos os lados, obtemos 
( )∫∫ ++++++=
−
t
n
x
dtttttdt
t 0
32
0
1
1
1
LL 
 
x
nx
n
ttt
tdt
t
0
32
0 321
1








+++++=
−
∫ LL 








+++++=
−
∫ LL n
xxx
xdt
t
nx
321
1 32
0
 
∑∑∫
∞
=
+∞
=
+
==
− 0
1
1
0 11
1
n
n
n
nx
n
x
n
xdt
t
 
logo 
∑∫
∞
=
+
+
−=
−
−=−=
0
1
0 11
1)1ln()(
n
nx
n
xdt
t
xxg 
 
 
 
 
 
Tabela 2: funções e séries de potências 
LL +++++==
−
∑
∞
=
n
n
n
xxxx
x
2
0
1
1
1
 
LL +++++==∑
∞
=
!!2!1
1
!
2
0 n
xxx
n
x
e
n
n
n
x
 
L+++−=
+
−=∑
∞
=
+
!7!5!3)!12()1(
753
0
12 xxx
x
n
x
senx
n
n
n
 
L+++−=−=∑
∞
=
!6!4!2
1)!2()1(cos
642
0
2 xxx
n
x
x
n
n
n
 
∑
∞
=
+
− +++−=
+
−=
0
75312
1
!7!5!312
)1(tan
n
n
n xxx
x
n
x
x L 
 
 
 
 
 
 
APROXIMAÇÕES DA FUNÇÃO 
 
L+++−=
+
−=∑
∞
=
+
!7!5!3)!12()1(
753
0
12 xxx
x
n
x
senx
n
n
n
 
 
 
 
Exemplo 1: Mostre que a representação em série 
de potências da função x1tan − é ∑
∞
=
+
+
−
3
12
12
)1(
n
n
n
n
x
 
Solução: 
 
Para mostrar, observa-se que: 
 
du
uaa
u
tg
a ∫ +=
−
22
1 11
, 
 
no exemplo 1=a e xxu =)( , logo: 
dx
x
xtg ∫ +=
−
2
1
1
1
 
como 
 
∑ −=+−++−+−=+
nnnn xxxxx
x
)1()1(1
1
1 32 LL
 
logo 
 
LL +−++−+−=
+
nn xxxx
x
)()1()()(1
1
1 232222
2
 
 
∑ −=+−++−+−=
nnnn xxxxx 22642 )1()1(1 LL 
 
 
 
 
 
 22
Portanto 
dx
x
xtg ∫ +=
−
2
1
1
1
 
( )dxxxxx nn∫ +−++−+−= LL 2642 )1(1 
x
n
n
n
xxxx
x
0
12753
12
)1(
753 






+
+
−++−+−=
+
LL 
∑ +−=
+
12
)1(
12
n
x
n
n
 
 
Assim, mostrou-se que =− x1tan ∑
∞
=
+
+
−
3
12
12
)1(
n
n
n
n
x
. 
 
Exemplo 2: Mostre que a representação em série 
de potências da função x1tan − é 
∑ +−=
+
12
)1(
2/)12(
n
x nn
 
 
Solução: 
 
Para mostrar usa-se o fato de que 
( ) dtttxxf
x








+
== ∫
−
2 
0
1
1
1
2
1
tan)( 
ou 
dt
tt
xxf
x






+
== ∫
−
1
1
2
1
tan)(
0
1
 
 
mas 
 
LL +−++−+−=
+
nn tttt
t
)1(1
1
1 32
 
( )LL +−++−+−=





+
nn tttt
ttt
)1(1
2
1
1
1
2
1 32
 ( )LL +−++−+−= − nn ttttt )1(1
2
32
2/1
 
 ( )LL +−++−+−= −− 2/)12(2/52/32/12/1 )1(
2
1 nn ttttt 
 
Logo, 
 
dx
tt
x
∫ 




+0 1
1
2
1
 
( )dxttttx nn∫ +−+−+−= −−0 2/)12(2/32/12/1 )1(2
1
LL
x
nn t
n
tt
0
2/)12(2/32/1
12
2)1(
3
22
2
1






+
+
−++−= + LL 
∑ +−=
+
12
)1(
2/)12(
n
x nn
 
 
Assim, dx
tt
x
∫ 




+0 1
1
2
1
∑ +−=
+
12
)1(
2/)12(
n
x nn
 
 
Lista 2 de Exercícios (Séries de Potências, série 
de Maclaurin, série de Taylo): 
 
1) Encontre o raio e o intervalo de convergência 
da série: 
a) ∑
∞
=1n
n
n
x
 b) ∑
∞
=1 !n
n
n
x
 
 
c) ∑
∞
=
+
−
1
)2()1(
n
n
n
n
n
x
 
 
2) Mostre que a representação em série de 
potências das funções são: 
a) ∑
∞
=
+
−
=
+ 0
12
)1(
2
1
nn
n
n
x
x
 
b) n
n
n
n
x
x
x
∑
∞
=
−
−
−
=
+ 3
2
13
2
)1(
2
 
 
c) ∑
∞
=
+−
+
−
=
0
121
12
)1(
tan
n
n
n
x
n
x
 
 
3) Encontre a série de Taylor para xexf =)( em 
2=c . 
 
4) Represente senxxf =)( como a soma de uma 
série de Taylor centrada em 3/pi . 
 
5) Usando a Tabela 1, determine a representação 
das funções em séries de potências: 
a) 2xe − b) senxe x 
 
c) xx 2cos d) xpicos 
 
6) Calcule e com um erro menor que 610 − . 
 
7) Mostre que a série de Taylor gerada por 
xexf =)( em 0=c converge para )(xf para 
todo valor real de x. 
 
OBS: use o fato de que 0
!
lim =
∞→ n
x n
x