SERIE DE TAYLOR

Prévia do material em texto

Construindo séries de potências de uma função dada ( série de Taylor) 
Existe uma maneira de obter a série de potências de uma função dada. 
O método é devido a Taylor e a MacLaurin. 
Dada uma função � INCLUDEPICTURE "http://www.dma.uem.br/kit/images/seriespotencias83.gif" \* MERGEFORMATINET ���a série dada por 
onde denota a n-esima derivada de f em 
é chamada de série de Taylor de f em torno do ponto 
Quando , a série é chamada de MacLaurin. 
Vamos ilustrar a convergência da série de Taylor para a função que lhe deu origem. 
Vamos ilustrar a convergência da série de Taylor de uma função limitada e definida sobre o intervalo (-1,1) com um procedimento que anina a convergência.
Podemos escolher o número de termos da série e ver uma animação de como os termos da série que são gradualmente adicionadas aproximam cada vez mais a função . 
Polinômio de Taylor - convergência 
Vamos ilustrar a convergência da série de Taylor de uma função limitada e definida sobre o intervalo (-1,1).
Podemos escolher o número de termos da série e ver uma animação de como os termos da série que são gradualmente adicionados aproximam cada vez mais a função . 
Primeiramente, vamos relembrar a fórmula de Taylor com resto infinitesimal. Note que o resto tende a zero mais rápido que 
vai a zero quando h tende a zero. 
Brook Taylor (1685--1731) não foi o primeiro a inventar a estrutura e o processo que chamamos de série de Taylor, e a série de Maclaurin não foi desenvolvida por Colin Maclaurin (1698--1746).  James Gregory (1638--1675) estava trabalhando com séries de Taylor quando Taylor tinha apenas alguns anos de idade. Gregory também publicou a série de Maclaurin para muitas funções trigonométricas antes que Maclaurin tivesse nascido. Taylor não conhecia o trabalho de Gregory quando publicou seu livro Methodus incrementorum directa et inversa, o qual continha o que chamamos agora de série de Taylor. Ele tinha desenvolvido independentemente um método baseado em cálculo para gerar representações de funções em séries. Posteriormente, Maclaurin citou um trabalho de Taylor em um livro de cálculo que escreveu em 1742. O livro de Maclaurin popularizou representações de funções em séries, e embora Maclaurin nunca tenha afirmado que as tinha descoberto, a série de Taylor centrada em a = 0 tornou-se posteriormente conhecida como série de Maclaurin. Johann Bernoulli (1667--1748) também fez uma descoberta independente do teorema de Taylor.
Objetivo.
Estas notas tˆem o objetivo de auxiliar o aluno no estudo dos t´opicos da terceira unidade
do curso. Havendo necessidade de um tratamento mais completo, ou uma fonte adicional
de exerc´ıcios, o aluno pode recorrer ao cap´ıtulo 11 do segundo volume de C´alculo de James
Stewart.
I. POLINˆOMIOS DE TAYLOR
Come¸camos nossa investiga¸c˜ao com a seguinte quest˜ao:
Q. Dada uma fun¸c˜ao f(x), qual o polinˆomio de grau n (onde n ´e um inteiro fixo) que
melhor aproxima f perto de x = 0?
O aluno atento percebe que a resposta a esta pergunta depende da interpreta¸c˜ao de
“melhor aproxima¸c˜ao”. Reformulamos a pergunta de modo mais preciso a seguir.
Q. Dada uma fun¸c˜ao f(x), qual o polinˆomio Pn(x) de grau n que tem as mesmas derivadas
que f(x) na origem, at´e a ordem n?
Assim, de acordo com nosso ponto de vista, podemos chamar P1(x) de melhor aproxima
¸c˜ao linear para f(x) perto de x = 0; P2(x) ´e a melhor aproxima¸c˜ao quadr´atica, e
assim por diante. Em geral, chamamos Pn(x) o polinˆomio de Taylor de grau n para f(x)
perto de x = 0.
Chame por um momento Pn = P. Ent˜ao P(x) = a0+a1x+a2x2+· · · anxn deve satisfazer
P(0) = f(0), P0(0) = f0(0), · · · P(n)(0) = f(n)(0).
Aqui, adotamos a nota¸c˜ao f(k)(x) para denotar a k-´esima derivada de f(x) - tamb´em
chamada de derivada de k-´esima ordem de f(x). Note que por conven¸c˜ao f(0)(x) = f(x).
Para a quest˜ao acima fazer sentido, temos de supor que f admite derivadas (na origem)
at´e ordem n.
Agora, ao derivarmos P(x) k vezes (onde 0 _ k _ n), observamos que P(k)(x) ´e da forma
k!ak + (termos em x, x2, · · · xn−k),
(verifique isto!) e assim P(k)(0) = k!ak.
Como devemos impor que P e f tˆem as mesmas derivadas na origem, at´e ordem n,
obtemos que os coeficientes do polinˆomio Pn s˜ao dados por
ak =
f(k)(0)
k!
,
1
e assim o n-´esimo polinˆomio de Taylor ´e dado por
Pn(x) = f(0) + f0(0)x +
f00(0)
2!
x2 + · · · +
f(n)(0)
n!
xn.
Em particular, quando n = 1, y = P1(x) nada mais ´e que a equa¸c˜ao da reta tangente `a
curva y = f(x) no ponto (0, f(0)). O gr´afico de y = P2(x) pode ser interpretado como
a par´abola que melhor aproxima o gr´afico de y = f(x) perto do ponto (0, f(0)), e assim
por diante. Observe que, estritamente falando, Pn(x) pode ter grau _ n.
Exerc´ıcio. Se f(x) = cos(x), calcule P0(x), P1(x), P2(x), P3(x), P4(x) e plote os gr´aficos
de cada um destes polinˆomios num mesmo sistema de eixos, juntamente com o gr´afico de
f(x).
Depois de fazer este exerc´ıcio, o aluno provavelmente ter´a notado que, `a medida que
n aumenta, o polinˆomio Pn(x) aproxima cada vez melhor o gr´afico de cos x perto de
x = 0. Um dos nossos objetivos ser´a tornar precisa uma tal afirma¸c˜ao, e at´e estimar o
erro da aproxim¸c˜ao.