Series_de_Potencias

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
 
Matemática para Químicos III – Turma 150
 Série de Potências
Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 2. Páginas 69 a 78, 92 a 98.
	O principal uso de uma série de potências é que ela fornece uma maneira de representar algumas das mais importantes funções que aparecem na matemática, na física e na química.
Série de potências em x é definida como:
 
 
Se c é uma constante, e se x for substituído por x – c, então a série resultante tem a forma:
 
onde c é o centro da série.
Note que ao escrever o termo correspondente a k = 0 adotamos a convenção que 
 mesmo quando 
.
Note também que quando 
 todos os termos são iguais a zero para 
, assim a série sempre converge quando 
 e 
.
Exemplos: Represente os primeiros termos das seguintes séries, identificando ak e c.
a) 
 b) 
 c) 
d) 
 e) 
 f) 
Intervalo de Convergência
Uma série de potências pode ser encarada como uma função na variável x. Segundo essa interpretação, o conjunto de valores de x para os quais a série é convergente representa o domínio dessa função. Esse conjunto é também denominado intervalo de convergência.
Para uma série de potências 
, existem apenas três possibilidades:
 a série converge apenas para 
;
 a série converge absolutamente para todo 
;
existe um número real positivo 
 tal que a série converge absolutamente para todo
 tal que 
 e diverge para todo 
 tal que 
.
é chamado raio de convergência e 
 é o intervalo de convergência.
Para determinar o intervalo de convergência de uma série de potências:
Aplica-se o Teste da Razão do mesmo modo que para uma série numérica;
Testa-se a convergência dos extremos do intervalo individualmente, com os procedimentos vistos para séries numéricas.
Exemplos: Determine o intervalo de convergência das séries dadas acima.
Exercício 1: Encontre o intervalo de convergência de cada série:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
Representação de Funções por Séries
Como foi visto anteriormente, uma série de potências pode representar uma função quando for convergente.
Como a soma da série pode depender de x, nós escrevemos que 
 
 Por exemplo:
 para |x| < 1.
Logo a soma da série de potências é a função 
, sendo válida para |x| < 1.
Exercício 2: Considerando o resultado acima obtenha uma representação em série de potências para:
 a) g1(x) =
 b) g2(x) =
 c) g3(x) =
 d) g4(x) = 
A questão que permanece é “como associar uma função a uma série?”
Trabalhos notáveis realizados no sentido da associação de funções e séries foram desenvolvidos pelos matemáticos Colin MacLaurin (1698-1746) e Brook Taylor (1685-1731). 
Série e Polinômio de MacLaurin
A idéia proposta por MacLaurin era supor que uma função poderia ser escrita na forma de uma série de potências, ou seja,
então restando determinar os coeficientes ak adequadamente. Substituindo x por 0 tem-se:
Influenciado pelos trabalhos de Newton sobre o cálculo infinitesimal, MacLaurin observou que, nas condições enunciadas,
		 (	
	 (	
	 (	
 (	
	...
Genericamente:
Ou ainda:
A forma geral da Série de MacLaurin é, então, dada por
ou
Observe que para ser possível a expansão em Série de MacLaurin:
A função tem de estar definida em x = 0;
A série deve ser convergente.
Exemplos: Obtenha a série de MacLaurin para as funções:
a) 
 b) 
 c) 
Série e Polinômio de Taylor
Taylor posteriormente generalizou a idéia proposta por MacLaurin, observando que esse processo também era válido para uma expansão em um centro c genérico:
A forma geral da Série de Taylor com centro c é dada por
ou
Observe que para ser possível a expansão em Série de Taylor:
A função tem de estar definida em x = c;
A série deve ser convergente.
Observação:
Ao polinômio gerado pelo truncamento da Série de Taylor no termo de grau n dá-se o nome de polinômio aproximador de Taylor de grau n:
Observe ainda que:
O polinômio aproximador de grau 1 é a reta tangente à função, estudada em Cálculo A!
A Série de MacLaurin é a Série de Taylor com centro c = 0.
Exemplos: Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados:
a) 
 c = ( b) 
 c = 3 c) 
 c = 1
Exercício 3: Encontre a série de Taylor com os centros indicados:
 a) ln(1+ x) , c = 0 b) f(x) = ln x , c = 1 c) f(x) = e-2x , c = 0
 d) 
 x0 = 
 e) f(x) = sen 2x , c = 
 f) f(x) = 
 , c = 0 
Derivação e Integração de Série de Potências
 Se f(x) = 
está definida no intervalo (c – R , c + R) para algum R > 0, então:
 a)f é derivável e f ’(x) =
=
, para todo x 
(c – R , c + R).
 b)f é integrável e
 =
=
, para todo x 
(c – R , c + R).
 Observação:
A convergência nos extremos do intervalo não é garantida, portanto deve ser testada caso a caso.
Exemplo: Seja f(x) = 
=
, determine:
 a) f ’(x) e a série que representa f ’(x)
 b)
 e a série que representa 
 c)
 e a série que representa 
Exercício 4: Determine as séries que representam as funções derivadas, usando expansões conhecidas para as funções dadas:
a) 
 b) 
 
Exercício 5: Avalie 
 como uma série infinita e calcule 
 com precisão de 0,001.
 Respostas:
1. a. 0 b. [2; 4) c) IR d) (-5; 1)
2. a) 
 b) 
 c) 
 d) 
3. a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
4. a) 
 b) 
5. 
converge para todo x real, 
converge para todo x e
 
= 
converge para todo x.
 
Exercícios Complementares
Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Volume 2.
	Página
	Exercícios
	77
	1, 3, 7, 9, 11, 15 (importante), 17, 19, 21
	78
	25, 27, 29, 33, 34
	97
	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31
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