TrabalhodeCalculo

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FACULDADE SENAC DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
Felipe Rocha
Leandro Azar
Luís Marques
Túlio Rodrigues
Trabalho de Cálculo: Séries de Taylor e Maclaurin
São Paulo
2004
Sumário
Sumário..................................................................................02
Introdução e Definição...........................................................03
Teorema da Série de Taylor....................................................05
Aplicações...............................................................................06
Bibliografia..............................................................................09
Introdução e Definição
Na matemática a série de Taylor de uma função real infinita freqüentemente diferenciável da 
 definida em um intervalo aberto 
.
Onde , 
 é o fatorial de 
 e 
denota a derivada de 
no ponto 
. A série de Taylor é foi nomeada pelo matemático Brook Taylor, que publicou primeiramente as fórmulas da série em 1715.
Se esta série convergir para cada 
 no intervalo 
e a soma ser igual ao 
, o 
da função então pode ser considerado analítico. Para verificar se a série converge para o 
, se usa normalmente estimativas do Teorema de Taylor . 
Uma função é analítica se e somente se pode ser representada como uma série, se os coeficientes nessa série são então necessariamente esses dados na fórmula acima da Série de Taylor.
Se 
, a série é chamada também uma série de Maclaurin.
Primeiramente, o diferenciação e a integração da série podem ser executadas termo a termo e são daqui particularmente fáceis. Em segundo, uma função analítica pode excepcionalmente ser estendida a uma função holophotmofica¹ definida em um espaço aberto no plano complexo, que faz com que a análise complexa seja disponível. Em terceiro lugar, a série (truncada), pode ser usada computar aproximadamente valores da função.
função holophotmofica¹
As funções holophotmoficas são o objeto central do estudo da análise
complexa, são funções definidas em um subconjunto aberto do plano 
 do número complexo com valores em 
 que são diferenciaveis em cada ponto. Esta é uma condição muito mais forte do que a diferenciação real e implica que a função é infinita frequentemente diferenciavel e pode ser descrita pela série de Taylor. 
A função analítica do termo é usada frequentemente com "função holophotmofica ", embora nota que o termo anterior tem diversos outros significados. Uma função que seja holophotmofica no plano complexo do todo é chamada uma função inteira. A frase " holophotmofica em um ponto" significa não é apenas diferenciavel em 
, mas diferenciavel em toda parte dentro de algum disco aberto centrado em 
 no plano complexo.
Note que há alguns exemplos em que 
 infinita é frequentemente diferenciável das funções, cujas as séries de Taylor convergem, mas não está igual ao 
. Por exemplo, a função definida pequeno intervalo, 
se 
 é diferente de 0 e 
todos as derivadas são zero em 
, assim a série de Taylor de 
é zero, e seu raio da convergência é infinito, mesmo que a função não seja o mais definitivamente zero. 
Este patologia particular não influi funções complexas e avaliadas de uma variável complexa. Observe que 
não se aproxima de 0 enquanto 
 aproxima 0 ao longo da linha central imaginária.
Algumas funções não podem ser escritas como a série de Taylor porque têm uma circularidade, nestes casos, ainda pode conseguir uma expansão da série se uma função permitir ser negativa na variável 
, como a série de Laurent. Por exemplo, 
 pode ser escrito como uma série de Laurent.
O teorema de Parker-Sockacki é um avanço recente em encontrar as séries de Taylor que são soluções às equações diferenciais. Este teorema é uma expansão na iteração de Picard.
A série de Taylor pode também ser generalizada às funções de
mais do que uma variável com:
Teorema da Série de Taylor 
 
Teorema da Série de Taylor com o resto infinitesimal;
seja 
 
 vezes derivável no ponto 
 
. A função definida por 
 onde 
 é o intervalo 
	
 
Pela igualdade
�� EMBED Equation.3 
Satisfaz 
,
Reciprocamente, se p(h) é um polinômio de grau 
 
 tal que 
 cumpre
.
Então 
 é o polinômio de Taylor de 
em 
Aplicações
Exemplo 1 - Determinação de um série de Maclaurin
Determine a série de potencias para 
 centrada em 0. Qual o raio de convergência da série
Solução:
Inicialmente, calculemos diversas derivadas sucessivas 
 no ponto 
.
	Função 
	Função 
	Derivadas
	
	
	1ª derivada
	
	
	2º derivada
	
	
	3º derivada
	
	
	4º derivada
	
	
	5º derivada
Por este padrão, podemos ver que 
. Então pelo Teorema de Taylor,
Exemplo 2 - Determinação de uma série de Taylor
Determine a série de potências para 
, centrada em 1. Utilize então o resultado para calcular 
.
Solução:
A diferenciação sucessiva de 
dá:
	
	
	Derivadas
	
	
	1ª derivada
	
	
	2º derivada
	
	
	3º derivada
	
	
	4º derivada
	
	
	5º derivada
O padrão indica que 
 Assim, pelo Teorema de Taylor, podemos escrever 
Para calcular a série quando 
, substituímos 
por 
 e aplicamos a formula da soma de uma série geométrica.
Neste exemplo o raio de convergência da série é 
, e seu intervalo de convergência é
NOTA: é possível mostrar que a série diverge quando 
e quando 
. Abaixo temos o gráfico de 
 e o gráfico da série de Taylor para 
. Na figura, note que os domínios são diferentes. Em outras palavras, a série de potências desse exemplo irá representar a 
 no intervalo 
Domínio : todo 
Bibliografia
- Cálculo um novo Horizonte , Volume 1, Howard Anton
	Item 2.9 – Pagina 98
	Item 2.10 – Página 108
-Cálculo com aplicações, Larson, Hostetler, Edwards
	Item S.4 – Página 509	
	Item S.5 – Página 516
-Cálculo VII , James Stewart
	Item 11.10 – Página 751
	Item 11.12 – Página 766 
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