Calculo 1 derivadas

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 2 
FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a ≠≠≠≠ 0 
1) 
a2
b
 x: temos,ca4b doconsideran e 0cxbxa Se 22
⋅
∆±−
=⋅⋅−=∆=+⋅+⋅ 
2) 
a
b
xx
a
c
xx
: temos0cxbxa Se
21
21
2






−=+
=⋅
=+⋅+⋅ 
3) )xx()xx(acxbxa 212 −⋅−⋅=+⋅+⋅ 
4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: 2
 x x
 
a2
b
x 21V
+
=
⋅
−= e 
a4
)x(fy vV
⋅
∆
−== 
5) Decomposição de polinômios: )rx(...)rx()rx()rx(a)x(P n321n −⋅⋅−⋅−⋅−⋅= 
6) Fatorações especiais: )aax...axaxx()ax(ax 1n2n23n2n1nnn −−−−− +⋅++⋅+⋅+⋅−=− 
• Teorema da decomposição polinomial: 
)(...)()(... 21012211 nnnnnn rxrxrxaaxaxaxaxa −⋅⋅−⋅−⋅≡+⋅+⋅++⋅+⋅ −− , com 0≠na 
• )...()( 1221 −−−− +⋅++⋅+⋅−=− nnnnnn aaxaxxaxax 
• )...()( 1221 n nn nn nn nnn aaxaxxaxax −−−− +⋅++⋅+⋅−=− 
• MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO: 



<−
≥
=
0 xse x,
0 x se x,
 |x| 
• SOMATÓRIO: n21
n
1i
i x...xxx +++=∑
=
 
• GEOMETRIA ESPACIAL 
♦ Prisma: 




×=
×+=
AlturaBasedaÁreaVolume
BasedaÁreaLateralÁreaTotalÁrea 2
 
♦ Cilindro: 





=
+×=
==
hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
hrLateralÁrearBaseÁrea
2
2
;2
2;
pi
pipi
 
♦ Cone: 







=
+=
==
hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
grLateralÁrearBaseÁrea
2
2
3
1
;
;
pi
pipi
 
♦ Esfera: 





=
=
3
2
3
4
4
rVolume
rÁrea
pi
pi
 
 
 
 
 3 
 
 
 
• FUNÇÃO EXPONENCIAL: 1a 0 a ay x ≠>= e, 
 
 
• Propriedades das potências: 
1) 43421
n termos
 x ... x ⋅⋅⋅= xxn 2) nmnm xxx ⋅=+ 3) 
n
m
nm
x
x
x =− 
 
4) 
1
n
n
x
x =− 5) nmm xx ⋅= )( n 6) n
m
n m xx = 
 
7) )0(10 ≠= aa 
 
• FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 





≅





+==
>≠>=
+∞→
..2,7182818.11lim e :onde ,log x ln
,log
x
x
x
e
x
a
x
0 x e 1a e 0 a y
 
 
• Propriedades logarítmicas: 
1) ( ) ( ) ( )B log A log BA log aaa +=⋅ 2) ( ) ( )B log A log B
A 
 log aaa −=





 
 
2) ( ) ( ) A log n A log n aa ⋅= 4) base) de mudança como (conhecida B log
A log
 log
a
a
=
A
B 
 
5) xa
x
a
=
log
 e por consequência xe x =ln 
 
• GEOMETRIA ANALÍTICA: 
 
1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem 
iguais, isto é: 
sr mmsr =⇒// 
 
2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes 
angulares for igual a menos um, isto é: 
1 −=⋅⇒⊥ sr mmsr ou 
r
s
m
msr
1
 −=⇒⊥ 
 
 
• A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é 
dado por: 222 )()( ryyxx cc =−+− . 
 
• Considerando a circunferência com centro na origem, 
temos: 222 )0()0( ryx =−+− ⇒ 222 ryx =+ . 
 
 
 
22 xry −=
 
3) Equação fundamental da reta: )x-(x p⋅=− myy p , em que: 
x
y
tgm
∆
∆
== α .
 4 
TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências 
(01) 
hip
co
hipotenusa
oposto cateto
==θsen (02) 
hip
ca
hipotenusa
adjacente cateto
cos ==θ 
(03) 
ca
co
adjacente cateto
oposto cateto
==θtg ou 
θ
θθ
cos
sen
tg = (04) 
θ
θθ
sen
g coscot = ou 
θ
θ
tg
g 1cot = 
(05) 
θ
θ
cos
1
sec = (06)
θ
θ
sen
1
 cossec = 
(07) 1 cos 22 =+ θθsen (08) θθ 22 s tg 1 ec=+ 
(09) θθ 22 secctg1 osco =+ 
(10) Soma de arcos: 







⋅+⋅=−
⋅−⋅=+
⋅−⋅=−
⋅+⋅=+
bsen asen b cos a cos)(cos
bsen asen b cos a cos)(cos
a cosbsen b cos a )(
a cosbsen b cos a )(
ba
ba
senbasen
senbasen
 
(11) Arcos duplos: 



⋅⋅=
−=
θθθ
θθθ
cossen2 2
 cos 2cos 22
sen
sen
 
(12) Relação fundamental trigonométrica e consequências: 




=−=−
⇒=+
θθθθ
θθ
2222
22
cos1cos1
1cos
senesen
sen
 
(13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos: 






−=
+=
θθ
θθ
2cos
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1
cos
2
2
sen
 
(14) Transformação de soma em produto: 


















 −
⋅




 +
⋅−=−





 −
⋅




 +
⋅=+





 +
⋅




 −
⋅=−





 −
⋅




 +
⋅=+
2
 
2
 2coscos
2
 cos 
2
 cos2coscos
 
2
 cos 
2
 2
 
2
 cos 
2
 2
qp
sen
qp
senqp
qpqpqp
qpqp
senqsenpsen
qpqp
senqsenpsen
 
(15) Lei dos Senos e Lei dos Cossenos: 





⋅⋅⋅−+=
==
Acbcba
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆcos2
ˆˆ
222
)
 
� Definição de limites: ε<−<⇒δ<−<εδ=δ∃>ε∀⇔=
→
|L)x(f|0|px|0se/)(,0L)x(flim
px
 
� Limites especiais: 1
x
xsenlim
0x
=
→
; e
x
11lim
x
x
=





+
+∞→
 ⇒ e
x
11lim
x
x
=





+
−∞→
 e ( ) ex1lim x1
0x
=+
→
 
� CONTINUIDADE: f é contínua em x = p )()(lim pfxf
px
=⇔
→
. 
 5 
 
CAPITULO II – DERIVADAS 
 
1.1 Introdução 
 
O Cálculo Diferencial e Integral, criado por Leibniz e Newton no século XVII, tornou-se logo de início 
um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à Matemática e 
a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências naturais como 
humanas. 
 
O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da realidade, está 
internamente relacionado com o raciocínio utilizado pelas pessoas em geral na resolução de problemas 
cotidianos. 
 
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam, entre eles podemos citar: 
 
- A velocidade de uma partícula; 
- O número de bactérias em uma cultura; 
- O fluxo de uma corrente elétrica; 
- A voltagem de um sinal elétrico, entre outros. 
 
A derivada é uma ferramenta matemática utilizada para analisar e estudar as taxas segundo as quais 
variam estas grandezas. 
 
Observamos na natureza inúmeras taxas de variações. Algumas delas são: 
 
- A potência: a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo; 
- A taxa de variação do raio de uma artéria em relação à concentração de álcool na corrente 
sanguínea; 
- A taxa da variação da concentração de um reagente em relação ao tempo (utilizado por químicos – 
taxa de reação) 
- A taxa de variação do custo de produção de um determinado produto em relação à quantidade ou 
em relação ao tempo, entre outros. 
 
Veremos neste curso que todas estas taxas de variação podem ser analisadas e interpretadas como 
inclinações (coeficiente angular) de retas tangentes. Sempre que solucionarmos um problema de reta 
tangente estaremos solucionando uma grande variedade de problemas envolvendo taxas de variações 
como as citadas anteriormente. 
 
Texto adapatado dos Professores: Devanil Antonio Francisco e Elaine Cristina Ferruzzi 
 
 
 
 
 6 
PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
(Neste quadro, u e v são funções deriváveis de x. Por outro lado, k, a, m e n são constantes.) 
 
FUNÇÃO DERIVADA 
1. y = k y ’ = 0 
2. y = x y ’ = 1 
3. uky ⋅= '' uky ⋅= 
4. y = u ± v y ’ = u’ ± v’ 
5. y = u1 ± u2 ± u3 ± . . . ± um y ’ = u1’ ± u2’ ± u3’ ± . . . ± um’ 
6. nuy = '' 1 uuny n ⋅⋅= − 
7. vuy ⋅= ''' vuvuy ⋅+⋅= 
8. 
v
uy = ( 0≠v ) 2
''
' 
v
vuvuy ⋅−⋅= 
9. y = au, (a > 0 e a ≠ 1) aauy u ln'' ⋅⋅= 
10. y = eu ueuy ⋅= '' 
11. ualogy = ,(a > 0 e a ≠ 1e u 
> 0) aln u
' 
 ' 
⋅
=
uy 
12. ,lnuy = (u > 0) 
u
' u
 ' y = 
13. y = vu u ln vu ' v 'u 1-vu v ' ⋅⋅+⋅⋅=y , (u > 0) 
14. y = sen u uuy cos'' ⋅= 
15. y = cos u usenuy ⋅−= '' 
16. y = tg u uuy 2sec'' ⋅= 
17. y = cotg u uuy 2seccos'' ⋅−= 
18. y = sec u utguuy ⋅⋅= sec'' 
19. y = cossec u uguuy cotseccos'' ⋅⋅−= 
20. y = arc sen u 
y ' =
u '
1 - u 2
 
21. y = arc tg u 
y ' = 2u + 1
' u
 
22. y = arc cos u y ' =
2u - 1
'u
− 
23. y = arc cotg u 
y ' = 2u + 1
'u
−
 
24. y = arc sec u 
y ' =
1 - u u
'
2
⋅
u
 
25. y = arc cossec u 
y ' = 
1 - u u
'
 2
⋅
−
u
 
 
• Definição de Derivada geral: 
x∆
)x(f)x∆x(flim)x( ' f
0x∆
−+
=
→
 
 
• Definição de Derivada em um ponto p: 
px
)p(f)x(flim (p)' f
px
−
−
=
→7 
1.2. UMA DEFINIÇÃO 
 
Sejam f uma função e p um ponto do seu domínio. Limites do tipo 
 
px
pfxf
px
−
−
→
)()(lim
 
 
ocorrem de modo natural tanto na geometria como na física. 
 
2. BREVE HISTÓRICO 
 
Newton e Leibniz criaram, cada qual em seu país e quase ao mesmo tempo, as bases do cálculo 
diferencial. 
 
O desenvolvimento do cálculo diferencial ocorreu a partir de dois problemas concretos: 
• Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva? 
• Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, em um dado instante, conhecendo a sua 
equação horária? 
 
3. RAZÃO INCREMENTAL 
 
Sejam x1 e x2 dois valores bem próximos de uma variável x e y1 = f(x1) e y2 = f(x2) os valores da 
função y = f(x) correspondentes a x1 e x2, respectivamente. 
 
Chamamos de acréscimo da variável x à diferença 12 xxx∆ −= e acréscimo da função y à diferença 
)x(f)f(xy∆ou yyy∆ 1212 −=−= em que f(x1) e f(x2) são chamados, respectivamente, de valor 
inicial e valor acrescido da função y. 
 
Exemplo: Sejam y = x2, x1 = 1,2 e x2 = 1,3. 
 
Para 



==
==
69,1y temos3,1
44,1y temos2,1
22
11
x
x
 
 
Assim 



=−=∆
==∆
25,0
1,0x-
12
12
yyy
xx
 
 
Chamamos de Razão Incremental (RI) ou Razão dos Acréscimos ao quociente (razão): 
 
 variávelda inicial valor - variávelda acrescido valor
função da inicial valor - função da acrescido valor
xx
yy
x∆
y∆RI
12
12
=
−
−
== 
 
Assim, para o nosso exemplo, temos: 
 
5,2
1,0
25,0
2,13,1
44,169,1
x∆
y∆RI ==
−
−
== 
 
 8 
Utilizando a disposição seguinte podemos escrever a RI de uma forma geral. 
 
 Valor inicial Valor acrescido 
Variável x x∆x + 
Função f(x) )x∆x(f + 
Então: 
 
x∆
f(x)-x)∆f(xRIou 
x)x∆x(
)x(f)x∆x(fRI +=
−+
−+
= 
 
4. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
Definição: Seja y = f(x) definida e contínua em um intervalo I. Denomina-se derivada da função f(x) à 
função f ' (x) onde: 
 
x∆
)x(f)x∆x(flim)x( ' f
0x∆
−+
=
→
 
supondo existir o limite. 
 
Utilizaremos também as seguintes notações para indicar a derivada da função y: 
 
f D y, D ,
dx
df
 ,
dx
dy
 ,'y xx 
 
Exemplos: 
 
1) Se =⇒= )x('fx)x(f ?? 
 
11lim
x∆
x∆lim
x∆
xx∆xlim
x∆
)x(f)x∆x(flim)x('f
0x∆0x∆0x∆0x∆
===
−+
=
−+
=
→→→→
 
 
1(x)' fxf(x) Se =⇒=∴ 
 
2) Consideremos a função f(x) = x2 e calculemos a sua derivada. 
 
Temos: 2)x∆x()x∆x(f +=+ , assim: 
 
xxx
x
xxxxx
x
xxx
xf
xxx
2)2(lim)(2lim)()(lim)(' 
0
222
0
22
0
=∆+=
∆
−∆+∆⋅⋅+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆
 
 
Portanto, x2)x(' f = 
 
 9 
3) Se ??(x)f'k ,k)x(f =⇒ℜ∈= 
 
como: f(x) = k; k)x∆x(f =+ , temos: 
 
0
x∆
0lim
x∆
kklim
x∆
)x(f)x∆x(flim)x('f
0x∆0x∆0x∆
==
−
=
−+
=
→→→
 
 
0(x)'ff(x) Se =⇒=∴ k 
 
Ou seja, a derivada de uma constante é zero. 
 
4) Mostre que: se 1)(')( −⋅=⇒= nn xnxfxxf 
Solução: 
*
0
)(lim)()(lim)(' =
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→→∆ x
xxx
x
xfxxf
xf
nn
axx
 
 
* Fazendo xxu ∆+= , temos: xuxxux −=∆→⇒→∆ e0 , logo: 
 
112211221
......limlim)(' −
−
−−−−−−−−
→→
⋅=+⋅++⋅+=+⋅++⋅+=
−
−
=
n
parcelasn
nnnnnnnn
xu
nn
xu
xnuxxxxxuxuxuu
xu
xu
xf 44444 344444 21 
 
Nota: Futuramente, provaremos que está última fórmula é válida para todo n ∈ ℜ. 
 
5. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO p 
 
A derivada de uma função f em um ponto p de seu domínio é definida e representada por f '(p), em 
que: 
 
px
)p(f)x(flim (p)' f
px
−
−
=
→
 
desde que exista o limite. 
 
Nota: A derivada de f, em p, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de 
abscissa x = p 
 
Exemplos: 
 
1) Consideremos a função f(x) = x2 e calculemos a sua derivada na abscissa p = 1. 
 
6)3x( lim
3x
3xlim
3x
)3(f)x(flim)3(' f
3x
22
3x3x
=+=
−
−
=
−
−
=
→→→
 
 
Portanto, 6)3(' f = 
 
Nota: Poderíamos ter primeiramente encontrado f ' (x) (exemplo 1 anterior) e depois, por substituição, 
f ' (3). 
 
2) Seja f(x) = x2, calcule: 
a) f ' (1) Resposta: 2 
 
b) f ' (-3) Resposta: - 6 
 10 
 
3) Seja f(x) = x , calcule f ' (2). Resposta: 
22
1
 
 
 
 
 
 
4) Considere nxxf =)( e calcule ).(' af 
 
Solução: 
 
11221
...limlim)()(lim)(' −
−
−−−−
→→→
⋅=+⋅++⋅+=
−
−
=
−
−
=
n
parcelasn
nnnn
ax
nn
axax
anaaxaxx
ax
ax
ax
afxf
af 44444 344444 21 
 
5) Mostre que ||)( xxf = não é derivável em .0=p 
Solução: 
 



<−
>
==
−
−
=
−
−
0se,1
0se,1||
0
|0|||
0
)0()(
x
x
x
x
x
x
x
fxf
 
 
então: 
 
11lim
0
)0()(lim
00
==
−
−
→→ + xx x
fxf
 e 11lim
0
)0()(lim
00
−=−=
−
−
→→ − xx x
fxf
 
 
 
Portanto, 
0
)0()(lim
0
−
−
→ x
fxf
x
 não existe, pois os limites laterais são diferentes. 
 
Assim, f não é diferenciável em .0 Como )0('f não existe, o gráfico de ||)( xxf = não admite reta 
tangente em )).0(,0( f 
 11 
6. APLICAÇÕES SIMPLES DAS DERIVADAS À GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
 
Exemplos: 
 
1) Mostre que a taxa de variação da área de um círculo em relação ao seu raio é em umericamente 
igual ao perímetro do círculo? 
Solução: 
Inicialmente, lembremos da geometria plana que: rP
D
P
círculo
iâmetro
erímetro pipi 2=⇒= e 2rAcírculo pi= . 
Assim, considerando a função: 
 
)(2)(')( 2 rPrrArrA ==⇒= pipi (c.q.d) 
 
2) Mostre que a taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao seu raio é em umericamente 
igual à área da superfície esférica. 
Solução: 
Inicialmente, lembremos da geometria espacial que a área e o volume da esfera são dados, 
respectivamente, por: 
 
24 rAesfera pi= e 
3
3
4
rVesfera pi= . 
Assim, considerando a função: 
 
)(4)('
3
4)( 23 rArrVrrV ==⇒= pipi (c.q.d) 
 
3) Mostre que a taxa de variação do volume de um cilindro em função do seu raio, considerando uma 
altura fixa é em umericamente igual a área lateral do cilindro. 
Solução: 
Inicialmente, lembremos da geometria espacial que a área lateral e o volume do cilindro são dados, 
respectivamente, por: 
 
hrAlateral pi2= e hrVcilindro
2pi= . 
Assim, considerando a função: 
 
)(2)(')( 2 rAhrrVhrrV lateral==⇒= pipi (c.q.d) 
 
4) Mostre que a taxa de variação do volume de um cilindro em função da sua altura, considerando um 
raio fixo é em umericamente igual a área da base do cilindro. 
Solução: 
Inicialmente, lembremos da geometria espacial que a área da base e o volume do cilindro são dados, 
respectivamente, por: 
 
2
rAbase pi= e hrVcilindro
2pi= . 
Assim, considerando a função: 
 
)(2)(')( 2 rArhVhrhV base==⇒= pipi (c.q.d) 
 
 12 
7. OUTRAS APLICAÇÕES SIMPLES DAS DERIVADAS 
 
Exemplos: 
 
1) Suponha um trabalhador que possui o salário composto por uma parte fixa (um salário mínimo) é a 
outra parte comissionada em 2% sobre os valores de vendas. Determine a taxa de variação do seu 
salário e faça uma interpretação do resultado encontrado. 
Solução: 
02,0%2
100
2)('
100
2380)( ===⇒+= vSvvS 
 
Interpretação: A cada 100 reais vendidos o seu salário recebe um incremento (aumento) de 2 reais, 
assim, 0,02=2% é a taxa de variação salarial. 
 
2) Um homem pretende cercar um lote retangular situado à margem de um rio. Não é necessário 
cercar ao longo do rio. Se ele tiver 800 metros de cerca e quiser que a área cercada seja máxima, 
determine as dimensões do desejado lote. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um fazendeiro deseja construir um depósito em forma de prisma reto de base quadrada, aberto em 
cima e com capacidade para 64 3m . Determine as dimensões de modo que o material 
necessário para construir seja mínimo. Resposta: Atotal = 2x2 + 4xh e h = 64/x2 => dimensões: 4 
m x 4 m x 4 m 
Solução: 
 13 
8. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 
 
O valor em umérico da derivada de uma função y = f(x) no ponto de coordenadas (x0, y0) é o 
coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto. 
 
 
 
Portanto, a equação da reta tangente no ponto de abscissa x0 é: 
 
)( 00 xxmyy −⋅=− 
 
ou 
 )( 00 xxtgyy −⋅=− β 
 
ou 
)()(' 000 xxxfyy −⋅=− 
 
• Derivada de uma função y = f(x) em um ponto x = x0 
 
Considerea figura a seguir, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida em um intervalo 
de números reais. 
 
 
 
Observando essa figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da 
função y = f(x), quando x varia de (x0) para (x0 + ∆∆∆∆x0): 
 
α 
)()(
0
000
0
0 tg
x
xfxxf
x
y
=
∆
−∆+
=
∆
∆
 
 14 
Se você não entendeu porque o quociente anterior é igual à tg αααα, revise a trigonometria: 
 
ca
co
adjacenteCateto
opostoCateto
tg ==α 
 
Assim, define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão 
incremental anterior, quando ∆∆∆∆x0 tende a zero, e é representada por f '(x0)¸ ou seja: 
 
)(')()(limlim 0
0
000
0
0
0
0 00
xf
x
xfxxf
x
y
xx
=
∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
 
 
Notas: 
 
1) A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y' ou dy/dx. 
 
2) Para os símbolos anteriores faz-se as seguintes leituras: 
 
• f': “f linha” e y': “y linha” 
 
• dy/dx: “derivada da função y em relação a variável independente x” 
 
Observe que quando ∆∆∆∆x0 →→→→ 0, o ponto Q no gráfico anterior, tende a coincidir com o ponto P da 
mesma figura, definindo a reta r, que forma um ângulo ββββ com o eixo horizontal (eixo dos x ou das 
abscissas), e nesse caso, o ângulo QPS ˆ = αααα tende ao valor do ângulo ββββ. 
 
Ora, quando ∆∆∆∆x0 →→→→ 0, já vimos que o quociente ∆∆∆∆y0 / ∆∆∆∆x0 representa a derivada da função y = f(x) no 
ponto x0. Mas, o quociente ∆∆∆∆y0 / ∆∆∆∆x0 representa, como sabemos da trigonometria, a tangente do 
ângulo QPS ˆ = αααα, onde P é o vértice do ângulo. Quando ∆∆∆∆x0 →→→→ 0, o ângulo QPS ˆ = αααα, tende ao ângulo 
β. 
 
Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, é igual em 
umericamente à tangente do ângulo ββββ. Esta conclusão será muito útil no futuro. Podemos escrever 
então: 
 
f'(x0) = tg ββββ 
 
Conclusão: A derivada de uma função y = f(x) em um ponto x = x0, coincide em umericamente com o 
valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa 
de y = f(x), no ponto x = x0. 
 
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções – as quais serão mostradas no decorrer 
desta disciplina – mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a 
definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da 
definição anteriormente dada. 
 
Exemplo: 
 
1) Calcule a derivada da função y = x2, no ponto x = 10. 
 
Solução: Temos neste caso: 
 
 15 
� y = f(x) = x2 
 
� f(x + ∆ x) = (x + ∆ x)2 = x2 + 2x.∆ x + (∆ x)2 
 
� f(x + ∆ x) - f(x) = x2 + 2x.∆ x + (∆ x)2 - x2 = 2x.∆ x + (∆ x)2 
 
� ∆ y = f(x + ∆ x) - f(x) = x2 + 2x.∆ x + (∆x)2 - x2 = 2x.∆ x + (∆ x)2 
 
Portanto, 
 
xxx
x
xxx
x
y
dx
dyy
xxx
2)2(lim)(.2limlim ' 
0
2
00
=∆+=
∆
∆+∆
=
∆
∆
==
→∆→∆→∆
 
 
Observe que colocamos na expressão acima, ∆∆∆∆x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido. 
 
Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x. 
 
Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10, será igual a: y ' (10) = 2.10 = 20. 
 
Qual a interpretação geométrica do resultado anterior? 
 
Ora, a derivada da função y = x2, no ponto de abscissa x = 10, sendo igual a 20, significa que a 
tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2, no ponto x = 10, será também igual a 20, 
conforme teoria vista anteriormente. 
 
Ora, sendo ββββ o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x, ββββ será um ângulo tal que 
tg ββββ = 20. Através de uma calculadora científica ou consultando uma tábua trigonométrica, concluímos 
que ββββ ≅≅≅≅ 87º 8' 15". 
 
Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2, no ponto de abscissa x = 10, forma 
com o eixo dos x um ângulo aproximadamente igual a ββββ ≅ 87º 8' 15". 
 
Usando o software Excel para fazer o gráfico, temos: 
 
 
 
Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de 
abscissa x = 1000. Resposta: 5.
ββββ ≅ 87º 8' 15" 
 16 
9. PROPRIEDADES DAS DERIVADAS 
 
1) Se f(x) e g(x) são funções tendo derivadas f ' (x) e g ' (x) respectivamente, então 
 
(x)' g(x)' f' )]x(g)x(f[ ±=± 
Exemplo: h(x) = x2 + x 
 
2) Seja f(x) uma função tendo derivada ,K e (x)' f ℜ∈ então: 
 
(x)' ' )]([ fkxfk ⋅=⋅ 
 
Exemplo: h(x) = 5x2 
 
3) Sejam f(x) e g(x) funções tendo derivadas f ' (x) e g ' (x) respectivamente, então: 
 
[f(x).g(x)]' = f ' (x) . g(x) + f(x) . g ' (x) 
 
Exemplo: h(x) = x2.x 
 
4) Sejam f(x) e g(x) funções tendo derivadas f ' (x) e g ' (x) respectivamente, então: 
 
2
' 
)]([
)(' )()( )('
 )(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf ⋅−⋅
=





 
 
Exemplo: h(x) = x2 / x 
 
Em resumo: Sejam u = f(x), v = g(x) e ℜ∈k , então: 
 
1) ' v 'u ' v)(u ±=± 
 
2) ')'( ukuk ⋅=⋅ 
 
3) '')'( vuvuvu ⋅+⋅=⋅ 
 
4) 0 v:que desde ,''
'
2 ≠
⋅−⋅
=





v
vuvu
v
u
 
 
 17 
10. DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
• Se f(x) = sen x ⇒ f ' (x) = cos x 
• Se f(x) = cos x ⇒ f ' (x) = - sen x 
• Se f(x) = tg x ⇒ f ' (x) = sec2 x 
• Se f(x) = cotg x ⇒ f ' (x) = - cossec2 x 
• Se f(x) = sec x ⇒ f ' (x) = sec x . tg x 
• Se f(x) = cossec x ⇒ f ' (x) = - cossec x . cotg x 
 
Demonstrações: 
 
1) =⇒= )(')( xfxtgxf ?? 
 
Como 
xcos
xsen
tgx = , temos: 
 
2][cos
]'[coscos]'[)('
x
xxsenxxsen
xf ⋅−⋅= 
x
xsenxsenxx
2cos
)(coscos −⋅−⋅
= = 
 
xsec
xcos
1
xcos
xsenxcos 2
22
22
==
+
= 
 
xSe 2sec(x)'fxtgf(x) =⇒=∴ 
 
Agora, prove as demais derivadas trigonométricas: 
 
11. DERIVADAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
 
• Se f(x) = ax (a > 0 e a ≠ 1) ⇒ f ' (x) = aa x ln⋅ 
• Se f(x) = xalog (a > 0 e a ≠ 1 e x > 0) ⇒ f ' (x) = 
aln x
1
⋅
 
• Se f(x) = ex ⇒ f ' (x) = ex 
• Se f(x) = ln x ⇒ f ' (x) = 
x
1
 
Exemplos: 
 
1) Calcule as derivadas das seguintes funções: 
a) xexxf ⋅= 2)( b) 
1
)(
+
=
x
e
xf
x
 
 
DIGITAR FOLHAS DE CADERNO (NOTAS DE AULAS)
 18 
Teorema: Provar que nxy = tem derivada 1' −⋅= nxny para qualquer n real. 
 
Solução: Sendo nxy = então, aplicando logaritmo neperiano (logaritmo de base ...718182,2=e ) em 
ambos os membros da equação, temos: 
 
n x nyn n xyn n llll ⋅=⇒= 
 
Derivando os dois membros desta equação, supondo y função de x, temos: 
 
1-
 xn y 'y 1 
y
' 
⋅⋅=⇒⋅=
x
n
y
 
 
mas, 
 
nxy = 
 
logo, 
 
11
 
1
 ' 
−−
⋅=⋅⋅=⋅⋅=
nnn xnxnx
x
nxy 
 
e, portanto, 
 
1
 ' 
−
⋅=
nxny
 (c.q.d.) 
 
 
para qualquer valor de n. 
 19 
12. EQUAÇÕES DA RETA TANGENTE E DA RETA NORMAL 
 
A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)) é dada por: 
 
p)-(p).(x ' f)p(fy =−
 
 
Onde: f ' (p) = 
px
)p(f)x(flim
px
−
−
→
 e f(p) é o valor da função f no ponto de abscissa x = p 
 
Chama-se normal da curva em um ponto p, a reta que é perpendicular à tangente passando por esse 
ponto. 
 
Da geometria analítica sabemos que, para duas retas serem perpendiculares em um ponto x, devemos 
ter: 
s) reta( )(p' f
1
r) reta( )(p' f −= 
onde resulta a equação da reta normal em p. 
 
)px.()(p' f
1)p(fy −−=−
 
 
Exemplos: 
 
1) Seja f(x) = x2. Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 
a) (1, f(1)) Resposta: y = 2x – 1 b) (-1, f(-1)) Resposta: y = - 2x - 1 
 
Solução: 
 
a) Como 2.(1)' f e2x (x)' fx)x(f 2 ==⇒= 
 
Assim, y - 1 = 2 (x - 1) ou 
 
y = 2x – 1 é a equação da reta tangente no referido ponto. 
 
 
b) Como 2.(-1)' f e2x (x)' fx)x(f 2 −==⇒= 
 
Assim, y - 1 = -2 (x + 1) ou 
 
y = - 2x - 1 é a equação da reta tangente no referido ponto. 
 
 20 
Geometricamente, usando o software MatLab, temos: 
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
eixo das abscissas, X
e
ix
o
 
da
s
 
o
rd
e
n
a
da
s
,
 
Y
RETA TANGENTE AO GRÁ FICO DA FUNÇ Ã O NO PONTO DADO
y = x2
y = 2x - 1
y =-2x - 1
 
Gráfico dafunção y = x2 e das retas tangentes pedidas nos itens a) e b). 
 
2) Calculemos a equação da tangente e da normal à curva y = x2 no ponto (1, 1). 
 
Solução: 
 
Como 2.(1)' f onde2x (x)' fx)x(f 2 ==⇒= 
 
Assim, y – 1 = 2 (x - 1) ou y = 2x – 1 é a equação da tangente no referido ponto. 
 
 Logo, a equação da normal à curva em (1, 1) é dada por: 
 
2
3
x
2
1
-you )1x(
2
11y +=−−=− 
 
Geometricamente, usando o software MatLab, temos: 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
y = x2
y = 2x-1
y = -1/2x + 3/2
 
Gráfico da função y = x2 e das retas tangente e normal no ponto de abscissa x = 1. 
 21 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
Lembre-se: Para encontrar a equação da reta tangente utilizamos )( 00 xxmyy t −⋅=− , onde (x0, y0) é 
o ponto de tangência e mt é o coeficiente angular da reta. 
 
1) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função, no ponto de abscissa dada: 
a) 2 = x em , 35)( −= xxf Resposta: y =5x – 3 
b) 0 = x em ,532 2 +− xxf(x) = Resposta: y = - 3x + 5 
c) 1 xem ,13)( 3 =−+= xxxf Resposta: y = 6x-3 
d) 0 t em ,510tf(t) 2 =+= t Resposta: y = 5t 
e) 2 x em ,45)( 2 =−= xxxf Resposta: y = 16x –20 
f) 1 x em 2x,-4 f(x) == Resposta: y = -2x+4 
 
2) Determine a equação da reta tangente à curva 12)( 2 +−= xxxf no ponto (0, 1). Resposta: 
12 +−= xy 
 
3) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = sen x no ponto de abscissa x = 0 
rad. Resposta: y = x. 
 
4) Determine os pontos sobre a curva 1)( 23 +−−= xxxxf onde a tangente é horizontal. 
Resposta: (1, 0) e 





−
27
32
,
3
1
. Nota: Futuramente, veremos que esses pontos são candidatos a 
pontos de máximos, mínimos ou ponto de inflexão da função dada. 
 
5) Quais os valores de x onde o gráfico de 871232)( 23 +−−= xxxxf tem tangentes horizontais? 
 Resposta: x = 2 e x = -1 
 
6) Mostre que a curva 356)( 3 −+= xxxf não tem reta tangente com inclinação 4. 
Resposta: Demonstração. 
 
 
 
 22 
13. INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA 
 
• Velocidade Média e Velocidade Instantânea 
 
Vamos utilizar uma historinha para ilustrar melhor os conceitos: 
 
O sr. Mário mora na cidade A e, nos fins de semana, vai visitar a irmã que mora na cidade B, distante 
200 quilômetros de A, e nesse percurso ele leva duas horas e meia. Na última vez, o sr. Mário foi 
multado pela polícia rodoviária por excesso de velocidade. Ele tentou argumentar que, como percorre 
200 km em duas horas e meia, a sua velocidade é de 80 km e portanto não poderia ser multado. Por 
que os guardas rodoviários não lhe deram ouvidos? 
 
A velocidade a que se refere o sr. Mário é a velocidade média: 
 
horakm
decorridotempo
percorridadistância
vm /805,2
200
=== 
 
A velocidade a que se refere o guarda rodoviário é a velocidade instantânea, que provavelmente era 
maior do que 80 km/hora no instante em que ele passava pelo local, pois é difícil manter uma 
velocidade constante em um percurso tão longo. 
 
Lembremos o que é velocidade instantânea. 
 
Seja s = s(t) a equação horária do movimento de um ponto material na reta em umérica, isto é, s(t) 
indica a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade média do ponto material no intervalo 
de tempo ],[ ttt ∆+ é dada pela razão entre espaço percorrido e o tempo decorrido. 
 
t
tstts
t
s
vm ∆
−∆+
=
∆
∆
=
)()(
 
 
A velocidade instantânea do ponto material no instante t é o limite da velocidade média 
t
s
∆
∆
 quando 
t∆ tende para 0: 
 
t
tstts
t
s
tvv
tt ∆
−∆+
=
∆
∆
==
→∆→∆
)()(limlim)(
00
 
 
Consideremos a figura a seguir, onde o espaço s depende do tempo t, isto é, s = f(t). 
 
f(t+∆t)
f(t)
t t+∆t t
S
Q
P
∆∆∆∆S
∆∆∆∆t
 
 
 23 
Como sabemos através da física, a velocidade média de um corpo no intervalo de tempo t∆ é dada 
por: .
t
sVm ∆
∆
= Se fizermos t∆ muito pequeno ( )0t∆ → teremos a velocidade do referido corpo em um 
instante t, denominado velocidade instantânea, a qual é dada por: 
 
.
)()(limlim
00 dt
ds
t
tfttf
t
s
v
tt
=
∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
 
 
Portanto, a velocidade instantânea de um corpo em um referido instante t nada mais é do que a 
derivada da função s = f(t). 
 
Se o movimento não é uniforme temos, em dois instantes distintos, duas velocidades distintas, ou seja, 
haverá uma variação na velocidade. Em física a aceleração média é dada por: 
t∆
v∆
am = onde a 
aceleração instantânea, de maneira análoga à velocidade instantânea, é dada por: 
 
.
dt
ds
 vonde lim
0
==
∆
∆
=
→∆ dt
dv
t
v
a
t
 
 
Então ,2
2
dt
sd
dt
ds
dt
d
a =





= ou seja, a derivada de segunda ordem da função s = f(t) exprime 
exatamente a aceleração do movimento. 
 
Exemplos: 
 
1) Um objeto se move de modo que no instante t a distância é dada por s(t) = 3t4 – 2t. Qual a 
expressão da velocidade e da aceleração desse objeto, em um instante t qualquer e no instante t =1 
seg.? 
Solução: 
Como vimos .36ta sejaou 
dt
dv
a(t) e 212t v(t)sejaou 23 ==−==
dt
ds
v Em t = 1 seg., temos: 
smv /102122112)1( 3 =−=−⋅= e ./36136)1( 22 sma =⋅= 
 
2) Determine a velocidade e a aceleração no instante t = 3 seg. onde s(t) = 3t3 – 2t2 + 2t +4 é a função 
que informa a posição (em metros) de um corpo no instante t. 
Solução: 
Temos: 24t-9t 
dt
ds
v 2 +== onde, no instante t = 3seg., a velocidade vale v=71 m/seg. e 
4t18dt
sd
a 2
2
−=
= onde, no instante t = 3 seg., a aceleração vale a = 50 m/seg2. 
 
3) Uma partícula se move segundo a equação s(t) = t3 – 2t2 + 5t – 1 (s em metros e t em segundos). 
Em que instante a sua velocidade é 9 m/s? 
Solução: 
3
22
6
84
6
644
6
48164044395439)(' 22 −==⇒±=±=+±=⇒=−−⇒=+−⇒= touttttttts
Portanto, no instante t = 2 segundos a sua velocidade é de 9 m/s. 
 
 24 
4) Um móvel se desloca em uma trajetória de equação t22t5S += , S em metros e t em segundos, 
determine a velocidade e a aceleração instantânea do móvel para t = 3 s. 
Solução: 
Sabemos que para encontrar a velocidade, basta derivar a função do espaço, assim, 
 
210 +=⇒= tv
dt
dS
v 
 
v = 10t +2 é a expressão que nos fornece a velocidade instantânea para qualquer tempo. 
 
Particularmente, no tempo 3 segundos, temos: v = 10. 3 + 2. Assim, v = 32 m/s 
 
Agora, para encontrar a aceleração, basta derivar a velocidade, assim: 
 
2/10 sma
dt
dv
a =⇒= 
 
5) Um móvel se desloca em uma trajetória de equação ,
2
2
00
ta
tvSS ⋅+⋅+= onde 0S é a posição 
inicial, 0v é a velocidade inicial, t é o tempo em segundos, a é a aceleração e S é a posição final em 
metros. Determine a velocidade e a aceleração instantânea do móvel. 
Solução: 
Utilizando as regras de derivação, e sabendo que a aceleração, a velocidade inicial e o espaço inicial 
são constantes, temos: 
tav
dt
dSta
v
dt
dS
⋅+=⇒
⋅⋅
++= 00 2
20 . 
 
Assim, tav
dt
dS
⋅+= 0 é a função da velocidade, logo, a derivada do espaço em relação ao tempo, nos 
fornece a velocidade instantânea: 
atv
dt
dS
+= 0 
 
Agora, derivando a velocidade em relação ao tempo, temos: 
 
a
dt
dv
a
dt
dv
=⇒+= 0 
 
logo, a derivada da velocidade em relação ao tempo, nos fornece a aceleração: 
 
a
dt
dv
= 
 
 
 25 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Um corpo desloca-se sobre um plano inclinado através da equação s(t) = 5t2 – 2t (s em metros e t 
em segundos). Calcular a velocidade e a aceleração desse corpo após 2 segundos da partida. 
 Resposta: v(2) = 18 m/s e a(2) = a(t) = 10 m/s2 
 
2) Um corpo é abandonado do alto de uma torre de 40 m de altura através da equação s(t) = 6t2 – 2. 
Determinar a sua velocidade quando se encontra a 18 m do solo, onde s é medido em metros e t em 
segundos. Resposta: v = 24 m/s 
 
3) Dois corpos tem movimento em mesma reta segundo as equações s1(t) = t3 + 4t2 + t – 1 e s2(t) = 2t3 
– 5t2 + t + 2. Determine as velocidades e posições desses corpos quando as suas aceleraçõessão 
iguais considerando s em metros e t em segundos. 
 Resposta: Dica: )('')('' 21 tsts = => v1 = 52 m/s, s1 = 65 m, v2 = 25 m/s e s2 = 14 m 
 
4) Uma partícula descreve um movimento circular segundo a equação θ = 2t4 – 3t2 – 4 (θ em 
radianos). Determine a velocidade e a aceleração angulares após 4 segundos. 
Resposta: w = 488 radianos/segundos e α = 378 radianos/ segundos2 
 
5) Um móvel descreve uma trajetória segundo a equação 
2
73)(
+
−
=
t
t
ts (s em centímetros e t em 
segundos). Qual é a sua velocidade e aceleração após deslocar 2 cm? 
Resposta: 2/
169
2
- ,/
13
1
scmascmv == 
 
 
 
 
 
 
 26 
14. DERIVADAS SUCESSIVAS 
 
Seja y = f(x) definida em um intervalo. A derivada f ’ (x) é também uma função neste intervalo. Se 
f ’ (x) for também derivável, a sua derivada é denominada derivada segunda da função f(x) e 
representaremos por: 
2
2
dx
yd
ou (x)'' f 
e assim sucessivamente. 
 
Denotaremos por 
n
n
n 
dx
yd
ou (x)f a derivada de ordem n da função y = f(x). 
 
Exemplo: 
 
1) Consideremos a função y = 5x4 – 2x3 + 6x2 –2x – 8. Então: 
 
• 2x12x6x20
dx
dy 23
−+−= (derivada de 1a ordem) 
 
• 12x12x60
dx
dy
dx
d
dx
yd 2
2
2
+−=





= (derivada de 2a ordem) 
 
• 12x120
dx
yd
dx
d
dx
yd
2
2
3
3
−=





= (derivada de 3a ordem) 
 
• 120
dx
yd
dx
d
dx
yd
3
3
4
4
=





= (derivada de 4a ordem) 
 
• 0 ...... 6
6
5
5
=====
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
yd
 (derivada de 5a ordem ou superior) 
 
 
15. VARIAÇÃO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 
 
Uma função é crescente em um intervalo I, quando a sua derivada primeira for positiva nesse 
intervalo. Por outro lado, uma função é decrescente em um intervalo I, quando a sua derivada primeira 
for negativa nesse intervalo. Assim, 
 
• Se f ' (x) > 0 ⇒ a função é crescente no intervalo I. 
 
• Se f ' (x) < 0 ⇒ a função é decrescente no intervalo I. 
 
16. CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO 
 
A concavidade da curva de uma função f pode ser determinada por meio do sinal da derivada de 
segunda ordem de f, ou seja: 
 
• Se f '' (x) > 0 ⇒ concavidade voltada para cima, no intervalo analisado. 
 
• Se f '' (x) < 0 ⇒ concavidade voltada para baixo, no intervalo analisado. 
 27 
17. MÁXIMOS E MÍNIMOS 
 
A partir do sinal da derivada de segunda ordem de uma função f, além da concavidade, pode-se obter 
pontos de máximos ou mínimos, relativos a um certo intervalo desta função. Sendo o gráfico a seguir 
de uma função f, qualquer, tem-se: 
 
x1
r1
x2
r2
x3
r3
y = f(x)
x
y
 
 
x1 = abscissa de um ponto de máximo local. 
x2 = abscissa de um ponto de mínimo local. 
x3 = abscissa de um ponto de máximo local. 
As retas tangentes r1, r2 e r3 nos pontos de abscissas x1, x2 e x3 respectivamente, são paralelas ao eixo 
x, logo a derivada de f se anula para x1, x2 e x3, ou seja: 
 
f ' (x1) = f ' (x2) = f ' (x3) = 0 
 
Nota: Nos pontos de mínimo ou máximo relativo, a derivada primeira se anula. 
 
Teste da derivada 2a 
 
A fim de verificar se um ponto que anula a derivada primeira de uma função, representa um ponto de 
máxima ou mínimo local, faz-se o teste da derivada de segunda ordem, ou seja: 
 
 
10 passo: Deriva-se a função. 
20 passo: Iguala-se a derivada primeira a zero. 
30 passo: Determinam-se as raízes da derivada primeira. 
40 passo: Teste da derivada de segunda ordem, ou seja: 
 
f ''(p) > 0 ⇒ p = abscissa de mínimo local 
 
f ''(p) < 0 ⇒ p = abscissa de máximo local 
 
18 . PONTO DE INFLEXÃO 
 
Se f ''(p) = 0 e f '''(p) ≠ 0, então p = 0 é abscissa de um ponto de inflexão. 
-2 -1 .5 -1 -0 .5 0 0 .5 1 1 .5 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
 
Teorema: 
Se uma função f(x) é derivável em um ponto p, então ela é contínua nesse ponto. 
 
Nota: Uma função não possui derivada, nos pontos de descontinuidade. 
 
 28 
19. ALGUMAS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 
 
1) Se a posição de uma partícula é definida por 235)( ttts −= metros, onde t é expresso em segundos, 
construa os seguintes gráficos no intervalo [0, 20] segundos: 
a) Da posição em relação ao tempo. 
b) Da velocidade em relação ao tempo. 
c) Da aceleração em relação ao tempo. 
Solução: Usando o software MS-Excel para fazer os gráficos: Nome do arquivo: 
Ex_Aplica_Der_Fisica.xls 
a) 235)( tttS −= 
Função Posição x Tempo
S(t) = -3t2 + 5t
R2 = 1
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
0 5 10 15 20
t
S(t)
 
b) ttv 65)( −= 
Função: Velocidade x Tempo
V(t) = -6t + 5
R2 = 1
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 5 10 15 20
t
V(t)
 
c) 2/6 sma −= 
Função: Aceleração x Tempo
a = -6
R2 =1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 5 10 15 20
ta(t)
 
 
Nota: O R2 é o coeficiente de correlação de Pearson ao quadrado, o mesmo é obtido ao encontrarmos a 
linha de tendência. 
 
 29 
2) (HIBBELER, ANO ?? - Dinâmica – p.13) Uma bicicleta se move em uma pista retilínea de 
forma que sua posição é descrita pelo gráfico mostrado na figura a seguir. 
 
a) Determine as equações da velocidade e da aceleração (nos intervalos de tempo apropriados). 
b) Construa os gráficos da velocidade em relação ao tempo e o gráfico da aceleração em relação ao 
tempo no período de .300 st ≤≤ 
Resposta: a) 



≤≤
<≤
=
3010,20
100,2)(
tse
tset
tv e 



≤≤
<≤
=
3010,0
100,2)(
tse
tse
ta 
Ou, escrevendo de uma outra forma, temos: 
Em ,100 st <≤ temos: 2/2/2)( smaesmttv == . Por outro lado, ,3010 st ≤≤ temos: 
2/0/20 smaesmv == . 
b) FAZER O GRÁFICO USANDO O MAPLE 
 
3) O gráfico velocidade x tempo (v-t) para um carro movimentando-se ao longo de uma pista retilínea 
é mostrado na figura a seguir. 
 
Construa o gráfico aceleração x tempo (a–t) e determine a aceleração máxima durante o intervalo de 
30 segundos. Resposta: 2/8 sma = FAZER O GRÁFICO USANDO O MAPLE. 
 
 30 
4) (HIBBELER, ANO ?? - Dinâmica – p.32) A trajetória de vôo de um helicóptero quando ele 
decola de A é definida pela equações paramétricas: )m(04,0e)m(2 32 tytx == , onde t é o tempo 
expresso em segundos. Veja figura a seguir: 
 
Determine a distância do helicóptero ao ponto A e os módulos de sua velocidade e de sua aceleração 
quando t = 10 segundos. Resposta: Distância = 204 m, v = 41,8 m/s e a = 4,66 m/s2. 
 
5) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta de forma que sua posição é definida por 
23 23 +−= tts metros. Determine a velocidade instantânea quando t = 2 s. Resposta: v = 2 m/s 
 
6) O movimento de um ponto material é definido pela relação 9582 23 ++−= tttx , onde x é 
expresso em metros e t em segundos. Determine a posição, velocidade e a aceleração quando t = 3 
segundos. Resposta: Posição = -32 m, v = 11 m/s e a = 20 m/s2. 
 
7) O movimento de um ponto material é definido por 1292 23 +−= ttx , onde x é expresso em metros 
e t em segundos. Determine o instante, a posição e a aceleração quando v = 0. Resposta: t = 0 seg 
=> x = 12 m e a = -18 m/s2. Por outro lado, t = 3 seg => x = -15 m e a = 18 m/s2 
 
8) O movimento de um ponto material é dado por 30102 +−= ttx onde x é expresso em metros e t 
em segundos. Determine: 
a) O instante em que a velocidade é nula. Resposta: t = 5 seg. 
b) A posição do ponto quando t = 8 seg. Resposta: S = 14 m 
 
9) O movimento de um ponto material é dado por 283
3
1 23 ++−= tttx onde x é expresso em metros 
e t em segundos. Determine: 
a) O instante em que a velocidade é nula. Resposta: 2 seg. e 4 seg. 
b) A posição do ponto onde a aceleração é nula. Resposta: 8 m 
 
10) (BEER, mecânica vetorial – p.8) A posição de um ponto material que se desloca ao longo de uma 
reta é definida por 40156 23 +−−= tttx , onde x é expresso em metros e t em segundos. 
Determine: 
a) O instante no qual a velocidade será nula. Resposta: t = 5 seg. 
b) A posição e a distância percorrida pela partícula até este instante. Resposta: Posição = - 60 e 
distância percorrida = 100 m 
c) A aceleração da partícula neste instante. Resposta: a = 18 m/s2 
 
11) Parauma partícula que se move sobre uma trajetória conhecida, sua posição é determinada pela 
abscissa que é uma função do tempo t, chamada função horária. Determine a velocidade e a 
aceleração das partículas cujas funções horárias são dadas a seguir, nos instantes indicados: 
a) s 0= tem ,320)( 2ttS += Resposta: v(0) = 0 m/s e a(0) = 6 m / s2 
b) s 2 = t em ,5t-100=S(t) 2 Resposta: v(2) = - 20 m/s e a(2) = -10 m/s2 
c) s 2 = t em ,5t = S(t) 3 Resposta: v(2) = 60 m/s e a(2) = 60 m/s2 
 31 
12) Um móvel desce um plano inclinado segundo a equação tts 612 2 += . Determine a sua velocidade 
instantânea no tempo 3 seg. Resposta: v = 78 m/s. 
 
13) Um balonista deixa cair de um balão um saco de areia. Após t segundos, o saco de areia está a 
29,4100 t− do solo. Determine a velocidade do saco de areia em t = 2 seg. Resposta: -19,6 m/s 
 
14) Um projétil é lançado verticalmente do solo com velocidade inicial de 112 m/s. Após t segundos, 
sua distância do solo é de 29,4112 t− metros. Determine a velocidade e a aceleração instantânea 
em t = 2 seg. Resposta: v(t) = - 19,6 m/s e a = -9,8 m/s2. 
 
15) Um atleta percorre uma pista de 100 m de modo que a distância S(t) percorrida após t segundos é 
ttts 8
5
1)( 2 += . Determine a velocidade do atleta quando t = 5 seg. Resposta: v(t) 10 m/s 
 
16) A lei de Boyle afirma que se a temperatura permanece constante, a pressão p e o volume v de um 
gás confinado estão relacionados por 
v
cp = para alguma constante c. Se, para certo gás, c = 200 
e v está aumentando, determine a taxa instantânea de variação de p em relação a v: 
a) Para um volume v qualquer. Resposta: 200)(' 2vvp
−
= 
b) Para um volume de 10. Resposta: -2(10)p' = 
 
17) A relação entre a temperatura F na escala Fahrenheit e a temperatura C na escala Celsius é dada 
por )32F(
9
5C −= . Determine a taxa de variação de F em relação a C. Resposta: 8,1
5
9
' ==F 
 
18) A lei de Charles para os gases afirma que se a pressão permanece constante, então a relação entre o 
volume V que um gás ocupa e sua temperatura T (em ºC) é dada por .
273
110 





+⋅= TVV 
Determine a taxa de variação de T em relação a V. Resposta: 
0
273)('
V
VT = . 
 
19) Mostre que a taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao seu raio é em 
umericamente igual à área da esfera. Lembre-se: 2esfera
3 4Ae
3
4
rrVesfera pipi == . Resposta: 
A4(r)'V 2 == rpi 
 
20) Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Determine a taxa na qual a área A da 
superfície da mancha varia em relação ao raio do círculo para: 
a) r arbitrário Resposta: rA pi2'= 
b) r = 200 m Resposta: pi400=A 
 
21) Um balão está sendo inflado. Determine a taxa na qual seu volume V varia em relação ao raio r do 
balão para: 
a) r arbitrário Resposta: superfície2 A4(r)'V == rpi 
b) r = 3 m Resposta: pi36(3)'V = 
 
 32 
22) Uma partícula move-se segundo a trajetória 372)( 23 −+−= ttts . Determine: 
a) A equação da velocidade. Resposta: v(t)= - 6t2 + 14t 
b) A equação da aceleração. Resposta: a(t) = - 12t + 14 
c) A velocidade no instante t = 3 seg. Resposta: –12 m/s 
d) A aceleração no instante t = 1 seg. Resposta: 2 m/s2 
 
23) A coordenada de posição de uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta é dada por 
6242)( 3 +−= ttts , onde s é medido em metros a partir de uma origem e t está em segundos. 
Determine: 
a) O tempo necessário para a partícula alcançar uma velocidade de 72m/s a partir de sua condição 
inicial em t = 0. Resposta: t = 4 s 
b) A aceleração da partícula quando v = 30m/s. Resposta: a = 36 m/s2 
c) O deslocamento resultante durante o intervalo de t = 1 s até t = 4 s. Resposta: 54 m 
 
24) A velocidade de uma partícula é dada por 2008025)( 2 −−= tttv , onde v está em metros por 
segundo e t em segundos. Calcule a velocidade quando a aceleração é nula. Resposta: v = -264 m/s 
 
25) A posição de uma partícula é dada por 50200402)( 23 −+−= tttts , onde s está em metros e t em 
segundos. Determine o tempo no qual a velocidade se anula. Resposta: t = 10 seg. e t = 10/3 seg. 
 
26) Seja a equação do espaço dada por 16 23 +−= tts . Determine: 
a) O espaço e a velocidade quando a aceleração é nula. Resposta: S = -15 m e v = −12 m/s 
b) O espaço e a aceleração quando a velocidade é nula. Resposta: Para t = 0 s, S = 1 m e a = -12 m/s2 
 para t = 4 seg, S = -31 m e a = 12 m/s2. 
 
27) Um avião está voando a 1.100 m de altura, conforme a figura a seguir. 
 
 
Qual é a taxa de variação da distância entre o avião e o ponto fixo P em relação a θ quando θ =30º? 
Resposta: A taxa de variação é de aproximadamente -3.808. 
 
28) (Adaptado de ANTON) Suponha que o sol passe diretamente sobre um prédio de altura 30 m e 
seja θ o ângulo que os raios solares fazem com o solo. Determine a taxa segundo o qual o 
comprimento da sombra do prédio está variando em relação à θ , quando θ = 45º. Resposta: -60 
metros/rad. 
Solução: 
θ
θ
θ
θθ
θ
sensentg
y
ysombra
altura
tg cos30
cos
303030
⋅===⇒== . 
A derivada de y é dada por: 
θ2
30
'
sen
y −= . 
 
Logo, para θ = 45º, temos: 
 
60
4/2
30
2
2
30
)45(
30)45(' 220 −=−=








−=−=
sen
y metros/rad 
 33 
29) A frequência de vibração de uma corda de um violino é dada por 
ρ
T
L
f ⋅=
2
1
, onde L é o 
comprimento da corda, T sua tensão e ρ é sua densidade linear. Determine a taxa de variação da 
frequência em relação: 
a) Ao comprimento (T e ρ são constantes). Resposta: 
ρ
T
LdL
df
⋅−= 22
1
 
b) À tensão (L e ρ são constantes). Resposta: 
TLdT
df
⋅⋅
=
ρ4
1
 
c) À densidade linear (L e T são constantes). Resposta: 
ρρ
T
Ld
df
⋅−=
4
1
 
Solução: 
Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos: 
> restart: 
> f:=1/(2*L)*sqrt(T/p); # DEFININDO A FUNÇÃO A SER DERIVADA. 
 := f
T
p
2 L 
> df_dL:=diff(f,L); # DERIVADA DE f EM RELAÇÃO A L. 
 := df_dL −
T
p
2 L2
 
> df_dT:=diff(f,T); # DERIVADA DE f EM RELAÇÃO A T. 
 := df_dT 1
4 L Tp p
 
> df_dp:=diff(f,p); # DERIVADA DE f EM RELAÇÃO A L. 
 := df_dp − T
4 L Tp p
2
 
 
30) Se a equação de movimento de uma partícula for dada por ( )δω +⋅= t cosAs , dizemos que a 
partícula está em um movimento harmônico simples. Nestas condições, determine a velocidade da 
partícula no instante t. Resposta: )( δωω +⋅⋅−= tsenAv 
 
31) O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é dado pela equação 
( )tsents pi10
4
110)( ⋅+= , onde s é medido em centímetros e t em segundos. Determine a 
velocidade da partícula após t segundos. Resposta: scmttv /)10(cos
2
5)( pipi ⋅





= 
 
32) O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento (como 
um amortecedor de um carro), é frequentemente modelado pelo produto de uma função 
exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimento de um ponto 
sobre essa mola seja )2(2)( 5,1 tsenets t pi⋅⋅= ⋅− onde s é medido em centímetros e t em segundos. 
Determine a velocidade após t segundos. Resposta: )]2(5,1)2(cos2[2)( 5,1 tsentetv t pipipi ⋅−⋅⋅⋅= ⋅− 
 
 
 34 
33) (HIBBELER – ANO ?? - Dinâmica – p. 17, exerc. 1-40) Se a posição de uma partícula é 
definida como 4
5
2 +





⋅⋅= tsens
pi
, onde t é expresso em segundos, determine a velocidade e a 
aceleração no instante t. Resposta: 





⋅⋅= ttv
5
cos
5
2)( pipi e 





⋅⋅−= tsenta
55
2)(
2 pipi
 
 
34) O deslocamento de uma partícula é dado por ,)32( 5,0 tets ⋅−⋅+−= estando s em metros e t em 
segundos. Determine o tempo no qual a aceleração é nula. Resposta: 2/67,4 smt ≅ 
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos: 
> restart: 
> s:=(-2+3*t)*exp(-0.5*t); # DEFININDO A FUNÇÃO. 
 := s ( )− + 2 3 t eeee ( )−0.5 t
 
> v:=diff(s,t);# CALCULANDO A FUNÇÃO VELOCIDADE. 
 := v − 3 eeee ( )−0.5 t 0.5 ( )− + 2 3 t eeee ( )−0.5 t
 
> a:=diff(v,t);# CALCULANDO A FUNÇÃOACELERAÇÃO, UMA FORMA. 
 := a − + 3.0 eeee ( )−0.5 t 0.25 ( )− + 2 3 t eeee ( )−0.5 t
 
> a:=diff(s,t$2);# CALCULANDO A FUNÇÃO ACELERAÇÃO, OUTRA FORMA. 
 := a − + 3.0 eeee ( )−0.5 t 0.25 ( )− + 2 3 t eeee ( )−0.5 t
 
> solve(a=0,{t});# DETERMINANDO, QUANDO A ACELERAÇÃO SERÁ NULA 
{ } = t 4.666666667
 
 
35) (STEWART ANO ?? – p. 206) Se um tanque mantém 5.000 galões de água, que escoa pelo fundo 
em 40 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume V de água que restou no tanque depois de t 
minutos como 
2
40
1000.5 





−⋅=
tV com 400 ≤≤ t . Determine a taxa segundo a qual a água está 
escoando do tanque depois de 5 minutos. Resposta: min/75,218 g
dt
dV
−= 
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos: 
> restart: 
> V:=5000*(1-t/40)^2; := V 5000 




 − 1
t
40
2
 
> V_linha:=diff(V,t); := V_linha − + 250
25 t
4 
> subs(t=5,V_linha); 
-875
4 
> evalf(%); -218.7500000 
 
36) Seja .)( xsenxf = Determine .
3
' 




pif Resposta: 1/2 
 35 
20. ALGUMAS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
1) A voltagem de um certo circuito elétrico é de 100 volts. Se a corrente (em ampères) é I e a 
resistência (em ohms) é R, então, pela lei de Ohms, 
R
I 100= . Se R está aumentando, determine a 
taxa instantânea de variação de I em relação a R em: 
a) Qualquer resistência R. 
b) Uma resistência de 20 ohms. 
Solução: 
a) Para encontrar a taxa instantânea da variação de I, basta derivá-la: 
 
22
10011000100
RdR
dI
R
R
dR
dI
RdR
dI
−=⇒
⋅−⋅
=⇒= 
 
b) Para R= 20, temos: 
 
2
d I 100 1
dR 20 4
−
= = − 
 
Assim, quando R= 20 ohm a corrente está decrescendo à taxa de 
4
1
 de ampère por ohm. 
 
 
2) Duas bobinas acopladas têm auto-indutância, onde o coeficiente de mútua indução L é igual a 0,05 
Henry (H) e a corrente 1i que percorre a bobina 2 é igual a )400(5 tsen⋅ ampéres (A). Determinar 
a tensão 2v na bobina 2, sendo .2 dt
diLv ⋅= 
Solução: 
)400(cos100)400(cos400505,0)]400(5[05,02 tttsendt
d
dt
diLv =⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= (V) 
 
3) Considere uma indutância 02,0=L Henry (H) atravessada pela corrente ).300(cos10 ti ⋅= 
Determine a tensão induzida ).(tvL 
Solução: 
Sabendo-se que: 
dt
diLtvL ⋅=)( 
Assim, temos: 
)300(60)300(3001002,0)]300(cos10[02,0)( tsentsent
dt
d
tvL ⋅=⋅⋅⋅−=⋅⋅= 
 
4) Considere uma capacitância FC µ20= à qual é aplicada uma tensão )50200(30)( 0+⋅= tsentv . 
Determine a corrente ).(ti 
Solução: 
Sabendo-se que: 
dt
dvCti ⋅=)( 
Assim, temos: 
 
)50200(cos12,0)50200(cos2003000002,0)]50200(30[1020)( 0006 +⋅=+⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅= − tttsen
dt
d
ti 
 36 
5) (Adaptado – STEWART, ANO ?? - p.223, exerc. 69) O flash de uma câmara estoca carga em 
um capacitor e a dispara instantaneamente quando ativado. Os dados da Tabela a seguir descrevem 
a carga remanescente no capacitor (medida em microcoulombs, Cµ ) no instante t , medido em 
segundos. 
 
Tabela 
t Q 
0,00 100 
0,02 81,87 
0,04 67,03 
0,06 54,88 
0,08 44,93 
0,10 36,76 
 
Utilizando-se um software de ajuste de curvas (linha de tendência do Excel, por exemplo) encontramos 
a função (ou o modelo matemático) tetQ ⋅−⋅= 006,1001,100)( , como ilustra a figura a seguir. 
 
Função: Carga x Tempo
Q(t) = 100,01e-10,006t
R2 = 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
Tempo (t)
Ca
rg
a 
[Q
(t)]
 
 
Sabendo que a derivada da carga representa a corrente elétrica que flui em um capacitor, determine a 
corrente quando t = 0,04s. Resposta: Aµ63,670− 
Solução: 
Usando o software de manipulação algébrica Maple®, temos: 
> restart: 
> Q:=100.01*exp(-10.006*t); # DEFININDO A FUNÇÃO CARGA. 
 := Q 100.01 eeee ( )−10.006 t
 
> Q_linha:=diff(Q,t); # CALCULANDO A FUNÇÃO DERIVADA. 
 := Q_linha −1000.70006 eeee ( )−10.006 t
 
> subs(t=0.04,Q_linha); # AVALIANDO A FUNÇÃO DERIVADA NO PONTO DADO. 
−1000.70006 eeee ( )-0.40024
 
> evalf(%);# AVALIANDO A FUNÇÃO DERIVADA NO PONTO DADO. 
-670.6283401
 
 
 37 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) A corrente em uma indutância pura de 01,0=L H é ).000.2(cos5 ti ⋅= Qual é a tensão? Resposta: 
)90200(cos100)( 0+⋅= ttv . Se julgar necessário, procure intepretação com um engenheiro, ou 
outro especialista da área. 
 
2) Duas bobinas acopladas possuem auto-indutância, onde o coeficiente de mutua indução L é igual à 
0,03 H e a corrente 1i que passa pela bobina 2 é igual à ).45300(cos7 0+⋅= ti Determine a tensão 
na bobina 2. Resposta: )45300(63)( 0+⋅−= tsentv 
 
3) Determine a tensão induzida em uma indutância pura de L = 0,02 Henry sendo a corrente 
Atti )100(cos5,7)( ⋅−= . Resposta: )000.1(150)( tsentv ⋅= 
 
4) Considere um capacitor FC 30µ= ao qual é aplicada uma tensão )50300(20)( 0+⋅= tsentv . 
Obtenha a corrente )(ti . Resposta: )50300(cos18,0)( 0+⋅= tti 
 
5) A quantidade de carga Q em Coloumbs © que passa através de um ponto em um fio até o instante t 
(medido em segundos) é dada por .262)( 23 ++−= ttttQ Determine a corrente quando t = 0,5 s. 
Resposta: Ai 75,4= 
 
 
 
 38 
21. ALGUMAS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS À MECÂNICA 
 
1) (BEER, 1980 – Mecânica Vetorial, p. 51ss) O braço AO (veja a figura a seguir) de 0,9 m de 
comprimento gira ao redor de O e seu movimento está definido pela relação ,15,0 2t=θ onde θ 
está expresso em radianos e t em segundos. O cursor B desliza ao longo do braço, sendo que seu 
deslocamento em relação a O é dado por 212,09,0 tr −= , onde r é expresso em metros e t em 
segundos. Determine a velocidade e a aceleração total do cursor B após o braço AO ter girado 30º, 
ou seja, t = 1,869 s. Se julgar necessário, procure intepretação com um engenheiro, ou especialista 
da área. 
 
 
 
Solução: 
 
Sabemos que: 
• Módulo da velocidade total: 22 )()( θvvv r += 
• Velocidade total: θθ ivivv rr ⋅+⋅= 
• Módulo da aceleração total: 22 )()( θaaa r += 
• Aceleração total: θθ iaiaa rr ⋅+⋅= 
Precisamos encontrar: θθ a e a , v, rrv 
 
Por outro lado, sabemos que: 
 
 
•
= rvr (1) 
 
•
⋅= θθ rv (2) 
 
2
ra 





⋅−=
•••
θrr (3) 
••••
⋅⋅+⋅= θθθ rr 2a (4) 
 
Onde: 
 
• 
•
r significa a primeira derivada de r em relação a t. 
• 
•
θ significa a primeira derivada de θ em relação a t. 
• 
••
r significa a segunda derivada de r em relação a t. 
• 
••
θ significa a segunda derivada de θ em relação a t. 
 
De posse de r e ,θ podemos encontrar 
••••••
θθ e , , rr : 
 
Como: 
212,09,0 tr −= e 215,0 t=θ 
θ = 30º ⇒ t = 1,869 
 39 
Temos: 
 
24,0e24,0 −=−=
•••
rtr e 3,0e3,0 ==
•••
θθ t 
 
Agora, para t = 1,869 s, temos: 
 
• mr 4808,0= e rad524,0=θ 
• smr /448,0−=
•
 e srad /561,0=
•
θ 
• 
2/24,0 smr −=
••
 e 2/3,0 srad=
••
θ 
 
Velocidade: 
 
Utilizando as fórmulas (1) e (2), vamos a: 
 
smrvr /448,0−==
•
 
e 
smrv /269,0561,04808,0 =⋅=⋅=
•
θθ 
 
Desta forma, temos: 
 
- Módulo da velocidade total: 
 
smvvv r /522,0)269,0()448,0()()( 2222 =+−=+= θ 
- Velocidade: 
 
θθθ iiivivv rrr ⋅+⋅−=⋅+⋅= 269,0448,0 
 
Aceleração: 
 
Por outro lado, utilizando as fórmulas (3) e (4), vamos a: 
 
22
2
r /391,0)561,0(48,024,0a smrr −=⋅−−=





⋅−=
•••
θ 
e 
2/358,0)561,0()448,0(23,04808,02a smrr −=⋅−⋅+⋅=⋅⋅+⋅=
••••
θθθ 
 
Desta forma, temos: 
 
- Módulo da aceleração total: 
 
22222 /531,0)358,0()391,0()()( smaaa r =−+−=+= θ 
- Aceleração: 
 
θθθ iiiaiaa rrr ⋅−⋅−=⋅+⋅= 358,0391,0 
 40 
2) (HIBBELER – ANO ?? - Dinâmica, p.51 exerc. 1-20) Devido à rotação de uma haste em forma 
de forquilha, a cavilha cilíndrica mostrada na figura a seguir percorre uma ranhura, uma parte da 
qual tem a forma de um cardióide, )cos1(5,0 θ−⋅=r m , onde θ está em radianos. Se a velocidade 
da cavilha é v = 4m/s e sua aceleração é a = 30 m/s2 no instante em que θ = 180º, determine a 
velocidade angular 
•
θ e aaceleração angular 
••
θ da haste. 
 
 
 
Solução: Para determinar 
•
θ e 
••
θ precisamos de 
•
r e 
••
r . 
 
Determinando as derivadas temporais de r, termos: 
 
• ( )θcos15,0 −⋅=r 
• ( ) •• ⋅⋅= θθsenr 5,0 
• ( ) ( ) •••••• ⋅⋅+⋅⋅⋅= θθθθθ senr 5,0 cos5,0 
 
Determinando estes resultados para θ = 180º, temos: 
• r = 1 
• 0=
•
r 
• 
2
5,0 





⋅−=
•••
θr 
Sabendo que v = 4 e 
22





+





=
••
θrrv , temos: 
sradrrv /404
222
=⇒




+=⇒




+





=
••••
θθθ 
 
De forma similar, para encontrar 
••
θ , utilizamos a equação 
22
2 




 ++





−=
•••••••
θθθ rrrra 
 
Daí, temos: 
 
( ) ( )( ) ( ) 22222222 /18243040214145,030 srad=⇒




+−=⇒





⋅⋅++⋅−⋅−=
••••••
θθθ 
 
 
 41 
3) (BEER, 1980, Mecânica Vetorial – p.53) O movimento bidimensional de um ponto material 
(figura a seguir) é definido pelas relações 232 2e2060 tttr =−= θ , onde r é expresso e 
milímetros, t em segundos e θ em radianos. Determine a velocidade e a aceleração do ponto 
material quando: 
(a) t = 0 s Resposta: riaev 1200 == 
(b) t = 1 s Resposta: θθ iiaeiiv rr 64064016060 +−=+= 
 
 
4) (HIBBELER, ANO ?? - Dinâmica – p.49) A barra AO, mostrada na figura a seguir está girando 
em um plano horizontal de acordo com a equação 3t=θ . Ao mesmo tempo, o colar B está 
deslizando ao longo de AO no sentido de sair da barra e de acordo com a equação 2100tr = mm. 
Se em ambos os casos t é expresso em segundos, determine a velocidade e a aceleração do colar 
quando t = 1 segundo. 
 
 Resposta: 22
r
r
mm/s 1.930 a aceleração da módulo,/}800.1i -700{a
mm/s361 v:e velocidadda módulo,/}300i 200{
==+=
=+=
smmi
smmiv
θ
θ
 
 
5) (HIBBELER – ANO ?? - Dinâmica, p. 25 exerc. 1-9) A qualquer instante a posição horizontal 
do balão da figura a seguir é definida por tx 8= m, onde t é expresso em segundos. Se a equação 
da trajetória é ,
10
1 2xy = determine: 
a) A distância do balão em relação à estação A quando t = 2 s. Resposta: distância: 30,2 m. 
b) O módulo da velocidade quando t = 2 s. Resposta: Velocidade: 25,6 m/s. 
c) O módulo da aceleração quando t = 2 s. Resposta: 12,8 m/s2. 
 
 
 42 
6) (HIBBELER – ANO ?? - Dinâmica, p. 31, exerc. 1-73) O carrinho de um brinquedo de um 
parque de diversões percorre uma trajetória helicoidal com velocidade constante de forma que as 
equações paramétricas que definem sua posição são )( tksencx ⋅⋅= , t)(k cos c y ⋅⋅= e 
tbhz ⋅−= , onde c, h e b são constantes. Determine o módulo de sua velocidade e de sua 
aceleração. Resposta: 2222 , kcabkcv ⋅=+⋅= 
 
7) (HIBBELER – Dinâmica, p. 52 exerc. 1-141) Se uma partícula se move ao longo de uma 
trajetória em que tr cos2= m e 
2
t
=θ rad, onde t é expresso em segundos, determine as 
componentes radial e transversal de sua velocidade e de sua aceleração em função do tempo. 
Resposta: 22222222 cos164,16cos44 ,cos4 tttsenatsenttaettsenvttv rr +=−=== θθ 
 
8) (HIBBELER – Dinâmica, p. 52 exerc. 1-149) Uma partícula percorre ao longo de uma curva na 
forma de uma folha de um “trevo de quatro folhas”, definida pela equação θ2cos5=r m. (como 
mostra a figura a seguir). 
 
Se a velocidade angular da linha da coordenada radial é 23t=
•
θ rad/s, onde t é expresso em segundos, 
determine as componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração da partícula no instante 
em que º30=θ . Resposta: 22 /7,53,/4,89/87,4 ,/9,16 smasmaesmvsmv rr −=−==−= θθ 
 
9) A quantidade de água em um tanque t minutos após ele começar a ser esvaziado é dada por 
( ) .15100 2 galtw −= Determine com que taxa a água está fluindo no final de 5 minutos. 
Resposta: 2.000 gal/min. 
 
10) Determine a coordenada x do ponto sobre o gráfico de 2xy = no qual a reta tangente é paralela à 
reta secante que corta a curva em x = -1 e x = 2. Resposta: x = 1/2 
 
 43 
22. REGRA DE L’HOSPITAL (L’HÔPITAL ou L’HÖPITAL) – CÁLCULO DE LIMITES 
 
Se )x(g
)x(flim
px→
 é de tal forma que uma das indeterminações 





∞
∞
ou 
0
0
 é constatada, então cada função 
pode ser substituída por suas derivadas, isto é: 
 
 
Se )x(g
)x(flim
px→
= 





∞
∞
ou 
0
0
 ⇒ (x) ' g
(x) ' flim)x(g
)x(flim
pxpx →→
=
 
 
Em resumo: 
 
Forma indeterminada: um limite )(
)(lim
xg
xf
 da forma 
0
0
 ou 
∞
∞
, no sentido de que lim f(x) = 0 e 
lim g(x) = 0 ou lim f(x) = ∞ e lim g(x) = ∞ , respectivamente. 
 
 
A regra de L’Hôpital: se )(
)(lim
xg
xf
cx→
 é uma forma indeterminada do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
, então: 
)('
)('lim)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
cxcx →→
= 
 
 
Exemplos: 
 
1) 





=
−
−
→ 0
0
2x
4xlim
2
2x
 ⇒ 42.2x2lim
01
0 -x 2lim
' ] 2 x[
 ' ] 4 x[lim
2x
4xlim
2x2x
2
2x
2
2x
===
−
=
−
−
=
−
−
→→→→
 
 
2) 





=
→ 0
0
x
 xsenlim
0x
 ⇒ 10 cosx coslim
1
 x coslim
' ] x [
 ' ] x sen [lim
x
 xsenlim
0x0x0x0x
=====
→→→→
 
 
3) 





∞+
∞+
=
+∞→ x
elim
x
x
 ⇒ +∞===
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
x
x
elim
1 
 elim
' ] x [
' ] e [lim 
 
4) 5
2
10
 26x
01x8160x lim
x 23x
x019x20x lim535lim
2
02
23
023
234
0
−=−=
+
−+
=
+
−+
=
+
−+
→→→ xxx xx
xxx
 
 
5) 
4
5
4
8185lim
1
386lim 3
24
14
35
1
−
=
+−
=
−
−+−
→→ x
xx
x
xxx
xx
 
6) [ ] 0)(lim
1
)(
x
1lim
 
1
x
1
lim
 ' 
1
' lnlim1
lnlimlnlim
0
2
0
2
0000
=−=
−
⋅=
−
=




==⋅
++++++ →→→→→→
x
x
xx
x
x
x
xx
xxxxxx
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
Resolva os exercícios do livro texto: GUIDORIZZI, 2001. v.1. páginas 256 e 257. 
 44 
23. DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA 
 
Sejam f uma função inversível e g = f –1. Assim, f ( g(x) ) = x, ∀ x ∈ Dom (g) 
 
Exemplos: 
1) f (x) = x +1 ⇒ g (x) = f –1(x) = x – 1 2) f (x) = ex ⇒ g (x) = f –1(x) = ln x 
 
• Processo prático para a determinação da função inversa 
- Trocar x por y e y por x 
- Isolar y 
 
Para o exemplo 1 teríamos: yxyxxy =−⇒+=⇒+= 111 
Para o exemplo 2 teríamos: { yeyxexexey
yyx
==⇒=⇒=⇒=
1
ln.lnlnln 
Prova de que f ( g(x) ) = x 
Para o exemplo 1 teríamos: 1)1()1( xxxf =+−=− , xf(g(x)) , =∀∴ x 
Para o exemplo 2 teríamos: )(ln ln xexf x == , xf(g(x)) , =∀∴ x 
 
Se f e g são deriváveis, temos pela regra da cadeia que: 
 
f (g(x)) = x ⇒ ) g(x) (' 
1(x)' 1(x) ' g . ) (x) (g ' fgf =⇒= 
 
Essa fórmula é utilizada para calcular a derivada da inversa da função f, conhecendo f ’. 
• Utilizando a notação de Leibniz para a determinação da derivada da função inversa 
 
Consideremos a função y = f(x) derivável e inversível. A derivada da função inversa )(1 yfx −= é dada 
por: 
dx
dy
1
dy
dx
=
 
Na qual: .0
dx
dy
≠ 
 
Exemplos: 
 
1) Se 2xy = ⇒ yx = , logo: 
yx
dx
dydy
dx
2
1
2
11 *
===
 
* 
 yx = 
 
2) Se xey = ⇒ yx ln= , logo: 
yee
dx
dydy
dx
yx
1111 **
ln
*
====
 
* 
 yx ln= e ** u = ye ln ⇒ ln u = ln ye ln ⇒ ln u = ln y . ln e ⇒ ln u = ln y ⇒ u = y 
ou 
y
1
e
1
dx
dy
1
dy
dx
x
=== 
 45 
24. DERIVADA DO ARCO TANGENTE 
 
A função xtgy = , 



−∈
2
,
2
pipi
x é estritamente crescente (e portanto inversível) e contínua. Como sua 
imagem é ℜ , a sua inversa é a função x tgarc , ℜ∈x . 
 
Nota: O domínio da função arc tg é ℜ e a imagem o intervalo 


 pipi
−
22
, . 
Exemplos: 
• 
00 451 g 145 =⇔= tarctg 
• 
00 60 3 g 360 =⇔= tarctg 
• 
00 30
3
3
 g 
3
303 =⇔= tarctg 
Assim, considerando que a função y = arc tg x seja derivável em ℜ , calculemos 
dx
dy
. 
• y = arc tg x 
 
Temos: 
ysec
1
dx
dy
ou ysec
dy
dx
 donde x,y tg 2
2
=== 
 
Mas sec2 y = 1+ tg2 y = 1 + x2 
 
e portanto: 2x1
1
 ' y
+
=
 
 
 
25. DERIVADA DO ARCO SENO 
 
A função xy sen= , 



−∈
2
,
2
pipi
x é estritamente crescente (e portanto inversível) e contínua. Assim, 
para cada ∈x [-1,1] existe um único 



−∈
2
,
2
pipiy tal que: xy =sen . 
Nota: O domínio da função arc sen é o intervalo [-1, 1] e a imagem o intervalo 


 pipi
−
22
, . 
Exemplos: 
• 
2
1 sen 1
2
sen
pipi
=⇔= arc 
• 00 sen 00 sen =⇔= arc 
• 
2
)1(- sen 1
2
sen
pipi
−=⇔−=





− arc 
Assim, considerando que a função y = arc sen x seja derivável em (-1 , 1), calculemos 
dx
dy
. 
• 
2
π
x
2
π
- sen x, arcy <<= 
Temos: sen y = x. Assim, 22 x1ysen-1y cos Mas .
y cos
1
dx
dy
ou y cos
dy
dx
−==== e 
portanto: 
2
x-1
1
 ' y =
 ( 11 <<− x ) 
 46 
26. DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS – REGRA DA CADEIA 
 
Consideremos as funções y = f(u) e u = g(x), tendo derivadas 
du
dy
 e 
dx
du
 respectivamente. 
 
Se u∆ é não nulo, então podemos escrever o quociente 
x∆
y∆
 da seguinte maneira: 
 
x
u
u
y
x
y
∆
∆
⋅
∆
∆
=
∆
∆
 
onde: y e u são funções de x. 
 
Logo, se 0x∆ → , temos: 0u∆ → . 
 
Assim, 
 
x∆
u∆lim.
u∆
y∆lim
x∆
u∆
.
u∆
y∆lim
x∆
y∆lim
0x∆0x∆0x∆0x∆ →→→→
== 
ou 
 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
=
 
 
conhecida como regra da cadeia, na notação de Leibniz. 
 
Isto nos leva a dizer: "A derivada da função composta y = f [g (x)] é o produto das derivadas das suas 
componentes". 
 
Nota: Fazendo uma extensão nesta fórmula, temos a derivada da composta para n funções deriváveis. 
Por exemplo, para y = f{g [h (x)]}, temos: 
 
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
⋅⋅=
 
Exemplos: 
 
1) Calcule a derivada da função: y = (x2 + 8x)10 
Solução: 
Funções componentes: Potência e Quadrática 
 
y = u10, u = x2 + 8x 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= = 10 . u9 . (2x + 8) = 10. (x2 + 8x)9. (2x + 8) 
 
2) Calcule a derivada da função: y = (2x2 - 2)4 
Solução: 
Funções componentes: Potência e Quadrática 
 
y = u4, u = 2x2 - 2 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= = 4 . u3 . 4x = 4.(2x2 – 2)3. 4x = 16x.(2x2 – 2)3 
 47 
3) y = sen x3 
Solução: 
y = sen u, u = x3 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = cos u. 3x2 = cos x3. 3x2 = 3x2 .cos x3 
 
4) y = e2x 
Solução: 
y = eu, u = 2x 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = eu. 2 = e2x .2 = 2 .e2x 
 
5) y = ln (x2 + 3) 
Solução: 
y = ln u, u = x2 + 3 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = x2.
u
1
=
3x
x2
x2.
3x
1
22 +
=
+
 
 
6) y = ln 2x2 − 
Solução: 
Preparemos inicialmente a função: y = ln 2x2 − = ln (x2 – 2) ½ = ½ ln (x2 –2) 
 
y = ½ ln u, u = x2 - 2 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = x2.
u
1
.
2
1
= 
2x
x
x.
2x
1
22
−
=
−
 
 
7) y = x3 . e-2x 
Solução: 
Como: y = f. g ⇒ y ' = f ' . g + f . g ' 
onde: f = x3 ⇒ f ' = 3x2 
 g = e-2x ⇒ g = eu, com u = -2x , logo g ' = (-2).e-2x 
y ' =
dx
dy
 = 3x2 . e-2x + x3 . (-2).e-2x = 3x2 . e-2x - 2x3 . e-2x = x2. e-2x (3 - 2x) 
 
8) 
4
1x
1xy 





−
+
= 
Solução: 
y = u4, u = 
1x
1x
−
+
 e u ' = 2g
'g . fg '.f −
, onde: f = x + 1 e g = x - 1 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = .
1x
1x
.4)1x(
1).1x()1x.(1
.
1x
1x
.4
3
2
3






−
+
=





−
+−−






−
+






−
− 2)1x(
2
= 5
3
)1x(
)1x(8
−
+
− 
 48 
TEOREMA: Dada a função g derivável, temos: 
 
 
• [ eg(x) ] ' = g ' (x) . eg(x) 
 
Prova: 
y = eu, u = g(x) 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = eu. g ' (x) = eg(x) .g ' (x) = g ' (x) . eg(x) 
 
 
• [ ln g(x) ] ' = )x(g
)x( ' g
 
 
Prova: 
y = ln u, u = g(x) 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = )x(g
)x( ' g)x( ' g.)x(g
1)x( ' g.
u
1
== 
 
 
• [sen (g(x) ] ' = g ' (x) . cos (g(x)) 
 
Prova: 
y = sen u, u = g(x) 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = cos u. g ' (x) = cos (g(x)) .g ' (x) = g ' (x) . cos (g(x)) 
 
 
• [cos (g(x)) ] ' = - g ' (x) . sen (g(x)) 
 
Prova: 
y = cos u, u = g(x) 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = - sen u. g ' (x) = - sen (g(x)) .g ' (x) = - g ' (x) . sen (g(x)) 
 
 
• [ (g(x))n ] ' = n. (g(x))n-1 . g ' (x) 
 
Prova: 
y = un, u = g(x) 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= = n.un-1 . g ' (x) = n. (g(x))n-1 . g ' (x) 
 
 49 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
Exercício: DERIVE RESPOSTA 
a) y = sen 4x 1. 4 cos 4x 
b) y = cos 5x 2. –5 sen 5x 
c) y = e3x 3. 3e3x 
d) f(x) = cos 8x 4. –8 sen 8x 
e) y =sen t3 5. 3t2 cos t3 
f) g(t) = ln (2t+1) 6. 
12
2
+t
 
g) x = esen t 7. e sen t cos t 
h) f(x) = )( cos xe 8. –ex sen ex 
i) y = (sen x + cos x)3 9. 3(sen x + cos x)2 (cos x – sen x) 
j) 13 += xy 10. 
1x32
3
+
 
k) 3
1
1
+
−
=
x
xy 11. 3
2
2 1x
1x
)1x(3
2






−
+
+
 
l) y = e-5x 12. –5e-5x 
m) x = ln (t2 +3t+9) 
13. 
9t3t
3t2
2 ++
+
 
n) f(x) = etg x 14. etg x sec2 x 
o) y = sen(cosx) 15. –sen x cos (cos x) 
p) g(t) = (t2+3)4 16. 8t (t2 + 3)3 
q) f(x) = cos(x2 + 3) 17. –2x sen (x2 + 3) 
r) xexy += 18. 
x
x
ex2
e1
+
+
 
s) y = tg 3x 19. 3 sec2 3x 
t) y = sec 3x 20. 3 sec 3x tg 3x 
21. y = xe3x 21. e3x (1+3x) 
22. y = ex . cos 2x 22. ex (cos 2x – 2 sen 2x) 
23. y = e-x sen x 23. e-x (cos x – sen x) 
24. y = e-2t sen 3t 24. e-2t (3 cos 3t – 2 sen 3t) 
25. f(x) = 2xe− + ln (2x + 1) 25. 
1x2
2
xe2
2x
+
+− − 
26. tt
tt
ee
ee)t(g
−
−
+
−
= 26. 2tt )ee(
4
−+
 
27. 
x2sen
x5cosy = 27. 
x2sen
2x cos5x cos 2 2x sen 5x sen 5
2
+
− 
28. f(x) = 3xx )ee( 2+− 28. )xe2e.()ee(3 22 xx2xx +−+ −− 
29. y = t3 e-3t 29. 3t2 e-3t(1 – t) 
30. y = (sen 3x + cos 2x)3 30. 3(sen 3x + cos 2x)2 (3 cos 3x – 2 sen 2x) 
31. x2 exy −+= 31. 
xx
xx
ee2
ee
−
−
+
−
 
32. y = x ln (2x + 1) 32. 
1x2
x2)1x2ln(
+
++ 
33. y = [ln (x2 + 1)]3 
33. 
1x
)]1x[ln(x6
2
22
+
+
 
34. y = ln (sec x + tg x) 34. sec x 
 
 50 
27. LISTA DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO DOS CONCEITOS DE DERIVADAS 
 
1) Calcule as derivadas: 
a) f(x) = 16x3 – 4x2 + 3 
b) f(x) = (x2 + 3x + 3) . (x + 3) 
c) 
2x4
x2)x(f
3
+
= 
d) f(x) = ln (x2 + 8x + 1) 
e) 2x6)x(f += 
f) f(x) = x4 . e3x 
g) f(x) = sen4 x 
h) f(x) = 5 tg 2x 
 
2) Derive as seguintes funções: 
a) f(x) = - 5x3 + 21x2 – 3x + 4 
b) f(x) = (2x3 – 3x) (5 – x2)3 
c) 
5x3
3)x(f
−
−
= 
d) 
7t2
1t5)t(s
−
−
= 
 
3) Se a água estiver sendo drenada de uma piscina e V litros for o volume de água na piscina t 
minutos após o escoamento, onde V = 250(1600 – 80t + t2), determine quão rápido a água está 
fluindo da piscina 5 minutos após o início do escoamento. 
 
4) Um atleta percorre uma pista de 100 m de modo que a distância d(t) percorrida após t segundos é 
dada por t8t
5
1)t(d 2 += metros. Determine a velocidade do atleta. 
a) no início da corrida. 
b) quando t = 3s. 
c) na reta final. 
 
5) Estima-se que um empregado de uma firma que faz molduras para quadros possa pintar y molduras 
x horas, após começar o trabalho ás 8 horas da manhã e y=3x – 8x2 – x3 0≤ x≤4 
a) Determine a taxa segundo a qual o empregado estará pintando as 10h. 
b) Determine o número de molduras que o empregado pinta entre 10h e 11h. 
 
 
6) Determine a derivada das seguintes funções: 
a) 44 35 2 xxxy +−= 
b) 
2xx
2x3xy 2
2
+−
+−
= 
c) 1xx 2ey ++= 
d) y = sen 2x . cos x 
e) y = (2x2 - 4x +1 )8 
f) x2x 27y += 
 
7) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x2 no ponto de abscissa 1. 
 
 51 
8) Determine a equação da reta "r" tangente ao gráfico da função f(x) = x2 + 7 e que seja paralela à 
reta "s" de equação y = 2x + 3. 
 
9) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 – 4x + 1, que é perpendicular à reta 
2y + x – 5 = 0. 
 
10) Um corpo móvel percorre uma curva obedecendo à função horária 2tt)t(S += . Determine a sua 
velocidade no instante t = 4s. 
 
11) Uma partícula se move em linha reta, de modo que seu espaço S, em metros, é dado em função do 
tempo t, em segundos, pela equação t5
2
t)t(S
3
+= . Obter: 
a) A velocidade instantânea da partícula no instante t = 4s. 
b) A aceleração instantânea da partícula no instante t = 4s. 
 
12) Se a derivada de um polinômio P(x) apresentar o seguinte gráfico: 
a) P(x) será crescente de 1 a 2 e decrescente de 2 a 3. 
b) P(x) terá três zeros reais e distintos. 
c) P(x) apresentará um máximo para x = 2. 
d) P(x) se anulará para x = 1. 
e)n.d.a. 
 
 
13) Dada a função y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1, pode-se afirmar: 
a) tem mínimo no ponto de x = - 2. 
b) tem máximo no ponto de x = - 1. 
c) tem máximo no ponto de x = - 2 e mínimo no ponto de x = 1. 
d) não tem máximo nem mínimo. 
e) tem mínimo no ponto de x = - 2 e máximo no ponto de x = 1. 
 
14) O maximante e o minimante da função f : ℜ→ℜ, definida por f(x) = x3 – x2, são, respectivamente: 
a) 
3
2
 e 
3
1
 b) 
3
1
 e 
3
2
 c) 
3
2
 e 0 d) 1 e 0 e) 0 e 1 
 
15) A função f tal que f(x) = (x2 – 1)2 + 3 assume valor mínimo para: 
a) x = 1 e x = - 1 b) x = 0 e x = 1 c) x = 0 e x = - 1 
d) x = 1 (somente) e) x = - 1 (somente) 
 
16) A função y = x3 – 3x tem um ponto de mínimo relativo para x igual a: 
a) 0 b) 1 c) –1 d) 3 e) 
3
1
 
17) Certo artigo, se for vendido por x reais, produz um lucro de (x-4) reais. A quantidade de artigos 
vendidos por dia também depende de x: vale (20 – x). Assim, o lucro total diário é L = (20 – x) . (x 
– 4). Nessas condições, qual o valor de x que produz o maior lucro diário? 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14 
 
18) Desejando lucrar x reais em cada serviço, um caminhoneiro consegue (80 – x) encomendas por 
mês. Portanto, seu lucro mensal em reais é L = x . (80 – x). Qual é o valor de x para que o lucro 
mensal L seja o maior possível? R.: 40 
a) 24 b) 28 c) 32 d) 36 e) 40 
 
19) Esboce o gráfico da função f(x) = 2x + 3 e responda qual é a taxa de variação média dessa função 
quando x varia de 0 para 4? Resp.: [f(0)-f(4)]/[4-0] = 2 
 y 
 
 
 1 2 3 x 
 52 
20) Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre uma distância d (em metros) que varia com 
o tempo t (em segundos), de acordo com a equação d = f(t) = 4,9 t2. Qual é a velocidade 
instantânea desse corpo no instante t = 10s? 
 
21) Um móvel se desloca segundo a função horária S(t) = 9 +2t + 2t2 – 4t3 (S em metros e t em 
segundos). Ache: 
a) A função velocidade instantânea. 
b) A função aceleração instantânea. 
c) A aceleração instantânea desse móvel (em metros por segundo ao quadrado) no instante t = 2s. 
 
22) A derivada da função y = f(x) é uma função y' = f'(f), decrescente, e que se anula para x = 1; então, 
podemos afirmar: 
a) f(1) é o valor mínimo de f(x). 
b) f(1) é o valor máximo de f(x). 
c) x = 1 é a abscissa do ponto de inflexão. 
d) f(1) também é igual a zero. 
e) nada podemos afirmar sobre os extremos relativos de f(x). 
 
23) A função y = x3: 
a) tem valor máximo para x = 0. 
b) tem valor mínimo para x = 0. 
c) tem um extremo em x = 0. 
d) não tem máximo nem mínimo. 
e) não tem tangente no ponto x = 0. 
 
24) Calcule pela definição a derivada da função f(x) = 5 sen x no ponto P1 = (pi,0) e esboce o gráfico. 
 
 
25) Calcule a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função 






+
=
2
1
,1 
1
1)( 12 Ppontonoxxf 
 
 
26) Usando as regras de derivação, calcule a derivada das funções abaixo: 
a) )2()( 2xsenxxxf +⋅= b) 
1t5
2t3)t(g
+
−
= 
 
27) Usando a definição (de derivadas) 
px
pfxf
x
xfxxf
xf
x
−
−
∆
−∆+
=
→∆
)()()(p ' fou )()(lim)(' 
0
, calcule a 
derivada das seguintes funções nos pontos dados: 
a) f(x) = 2x2 – 3x + 4 ; P0 = (2, 6) 
b) )3 ,1(P ; 
x
3)x(f 02 == 
c) 2) ,8(P ; t)t(f 03 == 
d) 





= 0 ,
2
πP ; xcos)x(g 0 
e) 0) ,π2(P ; xsen3)x(f 0= 
 
 53 
28) Determine a equação da reta tangente e da reta normal das funções abaixo, nos pontos dados e 
esboce o gráfico. 
a) 3) ,1(P ; x3)x(f 02 == b) 2) ,4(P ; 4x2)x(f 0 =−= 
c) 0) ,0(P ; xsen)x(g 0 == d) 4) ,0(P ; x4)x(h 02 =−= 
e) 2)- ,2(P ;3x -x)x(f 02 == 
 
29) Usando as regras de derivação, calcule a derivada (função derivada) das funções abaixo: 
a) 5)x(f = 
b) 28x2x-x7y 34 ++= 
c) 1t2)t(f −= 
d) 
x4
1
x2
x
3)x(f −+= 
e) 32 r
5
r
4)r(f += 
f) 2x)-(1 . 1)-x2()x(f 2= 
g) 1)-(x . )3x-x(y 542= 
h) 
1x2
4x3)x(f
−
+
= 
i) 2tt1
2t5)t(g
++
−
= 
j) 
xcos
xsen
tgx)x(f == 
k) 
tcos
1
tsec)t(g == 
l) 
tsen
tcosgtcot)t(h == 
m) x2 e 1)()( ⋅+= xxf 
n) senxy ⋅= xe 
o) 
12e
e
 y
x
x
+
= 
p) 
xcos
e
 )x(f
x
= 
q) xxf ln x)( 2 ⋅= 
 
30) Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre uma distância S(t) = 4,9t2 (S em metros, t 
em segundos). 
a) Calcule a taxa de variação média de S em relação a t entre t1 = 1 e t2 = 5. 
b) Calcule a taxa de variação instantânea de S em relação a t para t = 1. 
c) Em que unidade se exprime esta taxa? Qual é o seu significado físico? 
 
31) Calcule a taxa de variação média de f(x) entre x1 = 0 e x2 = pi/2. Qual é a taxa de variação 
instantânea em x = 0? 
 
32) A taxa de variação instantânea de v em relação a t em um instante t1, ou seja, a derivada v'(t1), é a 
aceleração da partícula, neste instante. Determine a aceleração das partículas cuja a função 
velocidade são dadas a seguir, nos instantes indicados. 
a) 2 t; t320v 12 =+= b) 1 t; 4t5v 1 =+= c) 4 t; t2-
t
3
v 1 == 
 54 
USANDO O SOFTWARE DE MANIPULAÇÃO ALGÉBRICA MAPLE, OBTENHA A 
DERIVADA DAS SEGUINTES FUNÇÕES 
 
 
1) f ( x ) = 5 x 3 - 8 x 2 + 31 x - 5787 
 
2) f ( x ) = ( x 2 + 3 x ) . ( x 3 - 8 ) 
3) f ( x ) = e
x
sen x
 
4) f ( x ) = sen2 x 
5) f ( r ) = 
4
3
3
 pi r
 
6) f ( x ) = 2x 
7) f ( x ) = x 3 . e 2 x 
8) f ( x ) = 5 x 2 + 4 cos x 
9) f ( x ) = 8 tg 2 x 
10) f ( x ) = x
2
 + 1
x - 12
 
11) f ( x ) = x + x
 + x
2
1
 
12) f ( x ) = e
x
cos x
 
13) f ( r ) = pi r 2 
14) f ( x ) = 4x 
15) f ( x ) = x 2 . e 3 x 
16) f ( x ) = 2 e x - 7 sen x 
17) f ( x ) = 2 tg 8 x 
18) f ( x ) = x
2
 - 1
x + 12
 
19) f ( x ) = x + x
 + x
3
1
 
20) f ( x ) = 5 x + x
x − 1
 
21) f ( x ) = ( )4
3 
 log x 
22) f ( x ) = ( )3
4
 log x 
23) f ( x ) = ( )ln x + 12 
24) f ( x ) = ( )ln x 12 − 
25) f ( x ) = 16 x 3 - 4 x 2 + 3 
26) f ( x ) = 84x 
27) y = 8
3
 x
 + 
2
4
3
 
28) f ( x ) = x + 2
x + 12
 
29) f ( x ) = ( ) ( )x 2 + 3 . 3 x - 4 x6 
30) y = x 65 + 2 x 
31) f ( x ) = 3 x . x 
32) f ( x ) = 4
5x
 
33) f ( x ) = x5 + 4 x 3 
34) y = 2 x + 1
x + 42
 
35) y = x2 + 1
x
 + x3
4
 
36) g ( x ) = ( 3 x4 + 1 ) ex 
 
37) y = ( x2 + 8 x ) 10 
 
38) h ( x ) = x 2 + 8 + logx 3x 
 
39) x = ln ( t 2 + 3 t + 9 ) 
40) y = x + 4
 xsec
 
41) f ( x ) = cos ex 
42) g ( x ) = 
2
2 x
 + log 2 ( x2 + 1 ) 
43) y = sen w t2 ( w constante ) 
44) y = x
x + 1
 
45) y = 3 x5 + 6 x - 2 
46) y = x3 + 3 x2 + 1 
47) y = 35
 x + 3
 x - 3
2
 
48) y = x
x
3
 + x
 
49) y = 3 x + 1 
50) g ( x ) = 32 x + 1 2 2 log ( x + 1 )+ 
51) f ( x ) = 2
2x x
 + 32 
 
52) y = x 3 
53) u ( x ) = x3 e - 2 x 
54) g ( x ) = cos t3 
55) y = ln ( x2 + 3 ) 
56) y = ( 3 x + 8 )2 
57) f ( t ) = t
sen t
 
58) h ( x ) = 3 x3 tg x 
59) g ( x) = 5 x - 2 + 4 
60) y = arc tg 3 x 
61) y = arc sen x2 
62) g ( x ) = arc cos x2 
63) y = x arc tg 3 x 
 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
FUNÇÕES EXPLÍCITAS E FUNÇÕES IMPLÍCITAS 
 
As funções com as quais se trabalhou até agora têm sido apresentadas por equações da forma 
( )=y f x , nas quais a variável dependente y à esquerda é dada explicitamente por uma expressão à 
direita envolvendo na variável independente. Uma função com esta aparência é dita estar em forma 
explícita. Por exemplo, as funções: 
 
3
2 213 1 e 1
2 3
+
= + + = = −
−
xy x x y y x
x
 
 
são todas na forma explícita. 
 
Às vezes, problemas práticos conduzirão a equações nas quais as funções não aparecem explicitamente 
em termos da variável independente x , como nas equações 
 
2 3 3 2 36 5 e 2 3 2− = + + = +x y y x x y y x y 
 
por exemplo. Como elas não estão resolvidas para y , tais equações são ditas definir y implicitamente 
em função de x , e a função y é dita esta em forma implícita. 
 
Suponha que é necessário