APOSTILA CDI INTEGRAIS

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 2 
PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS 
 
Nesta tabela, f, g, u e v são funções deriváveis de x, e k, a e n são constantes 
 
1) [ k ] ’ = 0 
 
2) [ x ] ’ = 1 
 
3) [ k . f ] ’ = k. f ’ 
 
4) [ f  g] ’ = f ’  g ’ (sendo válida para mais de duas funções) 
 
5) [ f . g] ’ = f ’ . g + f . g ’ 
 
6) [ x n ] ’ = n . x n -1 
 
7) [ u n ] ’ = n . u n – 1 . u ’ 
 
8) 
2
' 
g
' g f - g ' f 





g
f 
 
9) [ a u ] ’ = a u . ln a . u ' (para a > 0 e a  1) 
 
10) [ e u ] ’ = u ' . eu 
 
11) [ ualog ] ’ = aln u 
' 

u (para a > 0 e a  1e u > 0) 
 
12) [ u ln ] ’ = 
u
' u (para u > 0) 
 
13) [ vu ] ’ = ' vu ln u 'u u v v1-v  (para u > 0) 
 
14) [ sen u ] ’ = u ’ . cos u 
 
15) [ cos u ] ’ = - u ’ . sen u 
 
16) [ tg u ] ’ = u ’ . sec2 u 
 
17) [ cotg u ] ’ = - u ’ . cossec2 u 
 
18) [ sec u ] ’ = u ’ . sec u . tg u 
 
19) [ cossec u ] ’ = - u ’ . cossec u . cotg u 
 
20) [ arc sen u ] ’ = 
u '
1 - u 2
 
 
21) [ arc tg u ] ’ = 2u + 1
' u
 
 
22) [ arc cos u ] ’ = 
2u - 1
'u
 
 
23) [ arc cotg u ] ’ = 2u + 1
'u
 
 
24) [ arc sec u ] ’ = 
1 - u u
'
2
u 
 
25) [ arc cossec u ] ’ = 
1 - u u
'
 2

u 
 3 
PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
(Neste quadro, u e v são funções deriváveis de x. Por outro lado, k, a, m e n são constantes.) 
 
FUNÇÃO DERIVADA 
1. ky  com k 0'y 
2. xy  1'y 
3. uky  com k '' uky  
4. vuy  ''' vuy  
5. muuuuy  ...321 com *Nm '...'''' 321 muuuuy  
6. nuy  com n '' 1 uuny n   
7. vuy  ''' vuvuy  
8. muuuuy  ...321 com *Nm '.........'...'' 321321321 mmm uuuuuuuuuuuuy 
 
9. 
v
uy  )0( v 2
''' 
v
vuvuy  
10. uay  com )10(  aea aauy u ln''  
11. uey ueuy  '' 
12. ualogy  com )0,10(  uaea 
aln u
' ' 


uy 
13. uy ln com 0)(u  
u
' u ' y  
14. vuy  com 0)(u  u ln vu ' v 'u 1-vu v ' y 
15. useny  uuy cos''  
16. uy cos usenuy  '' 
17. utgy  uuy 2sec''  
18. ugy cot uuy 2seccos''  
19. uy sec utguuy  sec'' 
20. uy seccos uguuy cotseccos''  
21. usenarcy 
 
 u - 1
''
2
uy  
22. uarcy cos 
 
 u - 1
''
2
uy  
23. utgarcy  
 2u + 1
' ' uy  
 
 
 Definição de Derivada geral: 
x
xfxxf
x
y
dx
df
dx
dyxfy
xx 






)()(limlim)( ' ' 
00
 
 
 Definição de Derivada em um ponto p: px
)p(f)x(flim (p)' f
px 



 
 
 Velocidade Instantânea: )(' lim
0
ts
dt
ds
t
sv
ti





 
 
 Aceleração Instantânea: )('' (t)' lim
0
tsv
dt
dv
t
va
ti





 
 
 Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
 
 Derivada da função 
inversa: 
dx
dy
dy
dx
1 
 4 
 Equação da reta tangente: )()(')( pxpfpfy  Normal: )()('
1)( px
pf
pfy  
 5 
FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE INTEGRAIS 
 
1)   dx )(kdx )( xfxfk 
2)   dx )(dx )(dx )]()([ xgxfxgxf (sendo válida para mais de duas funções) 
3) k
n
nxx 


 1
1
dx n (para 1n ) 
4) k
x
x |x| lndx 1dx 1 -  (para 0x ) 
5) 










-1n se , |x|ln 
-1n se ,
1
1
dx n
k
k
n
nx
x (resumindo as fórmulas (3) e (4)) 
6) kx  dx (caso particular da fórmula (3)) 
7) k
u
u |u| lndu '  (extensão da fórmula (4)   kuduu ln
1 ) 
8) kee x  dx x ou kedue uu  
9) kee  


.x
.x dx (consequência da fórmula (8)) 
10) k
aa  a lndx 
x
x ( caso geral da fórmula (8)) 
11) kee u  du u'u (extensão da fórmula (8)) 
12) ku  cos- duu sen 
13) ku  sen duu cos 
14) k |u cos|ln-duu tg  
15) k |u sen |ln dxu cotg  
16) k u tgduu sec 2  
17) k u cotg-duu cossec2  
18) k u sec dxu tgu sec  
19) k ucossec-duu cotgu cossec  
20) k
u
 u tgarc du 
1
1
2 
 
21) k
au
 
a
u tgarc 1du 
a
1
22 
 (extensão da fórmula (20)) 
22) k
u
 usen arc du 
1
1
2


 
23) k
u
 
a
usen arc du 
a
1
22


 (extensão da fórmula (22)) 
24) kaxdx
ax

 ||ln
1 
25)   kutguduu |sec|lnsec 26)  du sec3 u =   kutguutgu  | sec|ln sec2
1 
27) Fórmulas de recorrência: Guidorizzi (2005) vol.1, pág 387, ex.4. 
 6 
PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS 
 
1)   du )(du )( ufkufk 
2)   du )(du )(du )]()([ ugufuguf (sendo válida para mais de duas funções) 
3) k
n
nuu 


 1
1
du n (para 1n ) 
4) k
u
u |u| lndu 1du 1 -  (para 0u ) 
5) 










-1n se , |u|ln 
-1n se ,
1
1
du n
k
k
n
nu
u (resumindo as fórmulas (3) e (4)) 
6) kedue uu  
7) k
aa  a lndu 
u
u 
8) ku  cos- duu sen 
9) ku  sen duu cos 
10) k |u cos|ln-duu tg  
11) k |u sen |ln dxu cotg  
12) k u tgduu sec 2  
13) k u cotg-duu cossec2  
14) k u sec dxu tgu sec  
15) k ucossec-duu cotgu cossec  
16) k
u
 u tgarc du 
1
1
2 
 e k
u
 
a
u tgarc 
a
1du 
a
1
22 




 
17) k
u
 usen arc du 
1
1
2


 e ku
 
a
usen arc du 
a
1
22







 
18)   kutguduu |sec|lnsec e   kutguutguduu ]|sec|ln[sec2
1sec 3 
19)   du v- vu dvu (integração por partes) 
20) kaxdx
ax

 ||ln
1 
 
 Algumas aplicações das integrais: 
 














dy )]('[1oudx )]('[1ArcodeoCompriment
dy )]([Voudx )]([VVolume
dy )(oudx )(Área
22
22
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
yfCxfC
yfxf
yfAxfA
 
 
 1cos 22  sen  2cos
2
1
2
1cos 2   22 sec1 tg 
 
 7 
DEFINIÇÕES E FORMULÁRIO DE REVISÃO 
 
 Definição de Derivada geral: 
x
xfxxf
x
y
dx
df
dx
dyxfy
xx 






)()(limlim)( ' ' 
00
 
 
 
 Definição de Derivada em um ponto p: px
)p(f)x(flim (p)' f
px 



 
 
1) Equação da Reta Tangente: p)-(x (p) ' )(  fpfy 
 
 Equação da Reta Normal: )()(p' 
1)( px
f
pfy  
 
 Velocidade Instantânea: )(' lim
0
ts
dt
ds
t
sv
ti





 
 
 Aceleração Instantânea: )('' (t)' lim
0
tsv
dt
dv
t
va
ti





 
 
 Variação da Função: 








0 (x) ' f edecrescent Função
0 (x) ' f constante Função
0 (x) ' f crescente Função
 
 
 Concavidade da Função: 





0 (x) '' f baixo para Voltada
0 (x) '' f cima para Voltada
 
 
 Ponto de máximo local: 0)(''0)('  xfexf 
 
 Ponto de mínimo local: 0)(''0)('  xfexf 
 
 Ponto de inflexão: 0)('''0)(''  xfexf 
 
 Regra da Cadeia: 
   






dx
du
du
dy
dx
dy
xgxgfxgf )(')(']')([
 
 
 Regra de L’Hospital: 
)('
)('lim
)(
)(lim
0
0
xg
xf
xg
xf
px
ou
px 



 
 
 Derivada da função inversa: 
dy
dxdx
dy 1
 
 
 Derivação Implícita: 
dy
dF
dx
dF
dx
dyyxF

 0),( 
 8 
 
 Primitivas ou Antiderivadas:  )( f(x)(x) ' Fk F(x) dx )( fDomxxf 
 
 Teorema Fundamental do Cálculo (TFC): )()()]([ )( aFbFxFdxxf ba
b
a
 onde 
bxaxfxF  ),()(' 
 
 
A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico da 
curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b. 
b
a
dxxf )(Área 
 
 Integrais aplicações:
















FerraudoeRighettoVer
xf
tvd
xfA
b
a
b
a
b
a
Revolução de Superfície da Área
dx )]([VVolume
dt )(Distância
dx )(Área
2
 
 
 Aplicação Física: 








)( ' )( pois ,dt )()(
)( ' )( pois ,dt )()(
tvtatatv
tstvtvts
 
Nota: As constantes serão determinadas pelas condições iniciais. 
 
 Integrais por partes:










du v- vu dvu
ou
dx g(x)(x)'f - g(x) f(x) dx (x)'gf(x)
 
 
 Integração por frações parciais: Seja   dxxx
xP
)()(
)(

, com   e P(x) um polinômio. 
Então: 
 
1) Se o grau de P for estritamente menor que o grau do denominador (grau de P < 2), então: 
)()()()(
)(
 



 x
B
x
A
xx
xP
 
 e, assim, 
  dxxx
xP
)()(
)(

= kxBxA ||ln||ln   
 
Resumindo: Com  nm,,,,  , temos: 
 
kxBxAdx
x
Bdx
x
Adx
xx
nmx







 ||ln||ln)()(  
 
2) Se o grau de P for maior ou igual ao do denominador, precisamos antes fazer a divisão. 
 
 9 
 ALGUMAS FÓRMULAS ÚTEIS EM CIRCUITOS E MEDIDAS: 
 
 TENSÃO CORRENTE POTÊNCIA 
 
RESISTÊNCIA iRv  
R
vi  Riivp  2 
 
INDUTÂNCIA 
dt
diLv   dtvLi
1 
dt
diiLivp  
 
CAPACITÂNCIA  dtiCv
1 
dt
dvCi  
dt
dvvCivp  
 
 POTÊNCIA MÉDIA: 
T
dtp
T
P
0
1 onde T é o período e 


2
1

T
f 
 
 ENERGIA: 
2
1
t
t
dtpW ou 
T
tWP  
 
 ALGUMAS APLICAÇÕES DO CDI-1 À FÍSICA 
 tvss
tt
ss
t
sv
t








0
0
0
0
0
 e tavv
tt
vv
t
va
t








0
0
0
0
0
 
 
 Se tavv  0 e em ,0t temos ,0ss  então: 
 
2
00
2
00 2
1
2
1)(
0
tatvsskattvdttavs
sk


 
 
 Pesquisar: Trabalho e Resistência dos Materiais: Momento fletor e esforço cortante 
 
- SÉRIE DE TAYLOR: Seja f derivável até a ordem n no intervalo I e seja x0  I. O polinômio 
nn xxxf
n
xxxfxxxfxxxfxfxP )()(
!
1...)()('''
!3
1)()(''
!2
1)()(')()( 00
)(3
00
2
00000  
 
denomina-se polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de x0. 
 
 
 Definição de limites:  

|)(|0||0/)(,0)(lim
px
LxfpxseLxf 
 
 Limites especiais: 1) 1lim
0

 x
xsen
x
 2) e
x
x
x





 

11lim  e
x
x
x





 

11lim e   ex x
x


1
0
1lim 
 
 CONTINUIDADE: f é contínua em x = p )()(lim pfxf
px


 
 
 Fourier: Pesquisar 
 
 Laplace: Pesquisar 
 
 
 10 
 FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a  0 
 
1) 
2
 x: temos,4b doconsideran e 0 22
a
bcacxbxaSe


 
2) 
xx
xx
: temos0 
21
21
2









a
b
a
c
cxbxaSe 
 
3) )()( 21
2 xxxxacxbxa  
 
4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: 
2
 x x 
2
x 21V




a
b e 
a


4
y V 
 
5) Decomposição de polinômios: )(...)()()()( 321 nn rxrxrxrxaxP  
 
6) Fatorações especiais: )...()( 122321   nnnnnnn aaxaxaxxaxax 
 
 MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO: 






0 xse x,
0 x se x,
 || x 
 
 SOMATÓRIO: n
n
i
i xxxx 

...21
1
 
 
 GEOMETRIA ESPACIAL 
 
 Prisma: 






AlturaBasedaÁreaVolume
BasedaÁreaLateralÁreaTotalÁrea 2
 
 
 Cilindro: 








hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
hrLateralÁrearBaseÁrea
2
2
;2
2;


 
 
 Cone: 










hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
grLateralÁrearBaseÁrea
2
2
3
1
;
;


 
 
 Esfera: 






3
2
3
4
4
rVolume
rÁrea


 
 
 
 
 
 11 
 
 
 FUNÇÃO EXPONENCIAL: 1a 0 a ay x  e, 
 
 
 Propriedades das potências: 
 
1) 
n termos
 x ... x  xxn 2) nmnm xxx  3) n
m
nm
x
xx  
 
4) 1n
n
x
x  5) 
nmm xx  )( n 6) n
m
n m xx  
 
7) )0(10  aa 
 
 FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 










 


..2,7182818.11lim e :onde ,log x ln
,log
x
x
x
e
x
a
x
0 x e 1a e 0 a y
 
 
 Propriedades logarítmicas: 
1)      B log A log BA log aaa  2)    B log A log B
A log aaa 




 
 
2)     A log n A log n aa  4) base) de mudança como (conhecida B log
A log log
a
aAB 
 
5) xa
x
a log e por consequência xe x ln 
 
 GEOMETRIA ANALÍTICA: 
 
1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem 
iguais, isto é: 
 
sr mmsr // 
 
2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes 
angulares for igual a menos um, isto é: 
 
1  sr mmsr ou 
r
s m
msr 1  
 
 
 A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é dado 
por: 222 )()( ryyxx cc  . 
 
 Considerando a circunferência com centro na origem, temos:
222 )0()0( ryx   222 ryx  . 
 
 
 
 
22 xry 
 12 
2) Equação fundamental da reta: )x-(x p myy p , onde 
x
ytgm


 
 13 
TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências: 
 
1) 
hip
co
hipotenusa
oposto cateto
sen 2) 
hip
ca
hipotenusa
adjacente catetocos  
 
3) 
ca
co
adjacente cateto
oposto cateto
tg ou 



cos
sentg  4) 



sen
g coscot  ou 


tg
g 1cot  
 
5) 


cos
1sec  6)


sen
1 cossec  
 
7) 1 cos 22  sen 8)  22 s tg 1 ec 
 
9)  22 secctg1 osco  
 
10) Soma de arcos: 











bsen asen b cos a cos)(cos
bsen asen b cos a cos)(cos
a cosbsen b cos a )(
a cosbsen b cos a )(
ba
ba
senbasen
senbasen
 
 
11) Arcos duplos: 







cossen2 2
 cos 2cos 22
sen
sen 
 
 
12) Relação fundamental trigonométrica e consequências: 








2222
22
cos1cos1
1cos
senesen
sen
 
 
13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos: 










2cos
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1cos
2
2
sen
 
 
14) Transformação de soma em produto: 


















 




 





 




 





 




 





 




 
2
 
2
 2coscos
2
 cos 
2
 cos2coscos
 
2
 cos 
2
 2
 
2
 cos 
2
 2
qpsenqpsenqp
qpqpqp
qpqpsenqsenpsenqpqpsenqsenpsen
 
 
 
 14 
15) Lei dos Senos e Lei do Cossenos: 







Acbcba
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆcos2
ˆˆ
222

 
 15 
PRIMITIVAS 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Em muitos problemas, embora a derivada de uma função seja conhecida, torna-se necessário determinar 
a própria função. 
 
É o caso dos seguintes exemplos: 
 
 Um sociólogo que, conhecendo a taxa de crescimento da população, poderá usar tal dado para 
prever futuras taxas de crescimento daquela população; 
 Um físico que, conhecendo a velocidade de um corpo, será capaz de determinar a posição futura 
do corpo; 
 Um economista que, conhecendo a taxa de inflação, poderá fazer estimativas de preço, no futuro; 
 Entre outros. 
 
Ao processo de determinação de uma função a partir de sua derivada dá-se o nome de cálculo das 
primitivas ou integração. 
 
 
2. DEFINIÇÃO 
 
Uma função F(x) para a qual F ’ (x) = f(x) para todo x pertencente ao domínio de f é uma primitiva 
(ou integral indefinida) de f. 
 
Exemplo: 
1) Mostre que F(x) = 25
3
1 3  xx é uma primitiva de f(x) = x2 + 5 
Solução: F(x) é uma primitiva de f(x) F ’ (x) = f(x). Assim, derivando F(x), temos: 
 
 F ’ (x) = x2 + 5 = f(x) 
 
3. PRIMITIVA GENÉRICA DE UMA FUNÇÃO 
 
 
Uma função possui mais de uma primitiva. Por exemplo, F(x) = x3 é uma primitiva da função f(x) 
= 3x2, pois F ’ (x) = 3x2 = f(x). Da mesma forma, G(x) = x3 + 12 também é uma primitiva de f(x), pois 
a derivada da constante 12 é zero e G ’ (x) = 3x2 = f(x). 
 
Em geral, se F for uma primitiva de f, qualquer função obtida ao acrescentarmos uma constante a F 
também será uma primitiva de f. Na realidade, podemos obter todas as primitivas de f somando 
constantes a qualquer primitiva de f. 
 
Assim, se F e G forem primitivas de f, existe uma constante k tal que: G(x) = F(x) + k 
 
4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
 
Existe uma explicação geométrica simples para o fato de duas primitivas quaisquer de uma função 
diferirem entre si de um valor constante. Se F for uma primitiva de f, então F ’ (x) = f(x). Isto significa 
que, para cada valor de x, f(x) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de F(x). Se G for outra 
primitiva de f, o coeficiente angular de sua reta tangente também é f(x). Logo, o gráfico de G é “paralelo” 
ao gráfico de F e pode ser obtido transladando-se verticalmente o gráfico de F. Assim, existe uma 
constante k, tal que G(x) = F(x) + k. A figura a seguir ilustra esta situação para várias primitivas da 
função f(x) = 3x2. 
 
 Figura: Alguns exemplos das primitivas de 3x2 
y = x3 + k 
 16 
5. NOTAÇÃO DE INTEGRAÇÃO 
 
Costuma-se escrever: kxFdxxf  )( )( para exprimir o fato de toda primitiva de f(x) ser da forma 
F(x) + k. 
 
Por exemplo, para expressar o fato de toda primitiva de 3x2 ser da forma x3 + k, escrevemos: 
 
  kxdxx 323 
 
O símbolo  chama-se sinal de integração e indica que queremos encontrar a forma mais genérica da 
primitiva da função que o segue. O sinal de integração lembra um “S” alongado, que representa 
“SOMA”. Veremos, uma relação tão importante entre derivadas e somas, que recebe o nome de 
Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Na expressão   k F(x) dx )(xf , a função f(x) a ser integrada denomina-se integrando. A constante 
k (não especificada), acrescentada a F(x) a fim de tornar mais genérica a expressão da primitiva, 
denomina-se constante de integração. 
O símbolo dx que segue o integrando serve para indicar que x é a variável em relação a qual efetuaremos 
a integração. 
 
Definição da integral indefinida (ou primitiva) utilizando a notação de integral 
 
  Dom(f) x f(x), (x) ' F k F(x) dx )(xf 
 
6. REGRAS DE INTEGRAÇÃO 
 
A integração é a operação inversa da diferenciação. Logo, podemos formular várias regras de integração 
partindo das correspondentes (porém no sentido inverso) regras de diferenciação (derivadas). 
 
6.1 REGRAS DA POTÊNCIA PARA INTEGRAÇÃO 
 
Segundo a regra de potencia: 1


 nxnnx
dx
d , ou seja, para derivar uma função potência, retiramos 
uma unidade do expoente e multiplicamos o expoente original pela função elevada ao novo expoente. 
Enunciando esta regra no sentido inverso, teremos que, para integrar uma função potência, devemos 
aumentar seu expoente de uma unidade e dividir o resultado pela nova potência. 
 
Segue-se um enunciado mais preciso da regra. Para 1n ,   k
nxnx 1
1n
1 dx 
 
ou seja, para integrar nx ( 1n ), aumenta-se o expoente de uma unidade, e divide-se a função elevada 
ao novo expoente por este novo expoente. 
 
Para comprovar esta regra, basta observar que: nxnx
n
nnx
ndx
d






 
 1
11
1
1
 
 
 
 
 
 
 17 
Exemplos: 
1) Calcule as integrais 
a)  

kxkxdxx
413
413
3 b)   



kxkxkxdxdxx 2
32
31
2
1
2
1
3
2
2
31
2
1 x 
c) kxkxkxdxx  

3
5
3
5
3
5
1
3
2
1 
3
2
3
2
 .
5
3 d)    

kxkxkxdxdxdx
110
 x 1 
110
0 
e)   




kxkxkxdxxdx
x
2
2
11
2
1
1 2
11
2
1
2
1
 
A regra da potência vale para todos os valores de n, à exceção de n = - 1 (caso em que 
1 
1
n
 é indefinido). 
 
6.1.1. Como determinar uma primitiva de x–1 
Precisamos determinar uma função cuja derivada é 
x
1 . O logaritmo natural ln x é a tal função, logo 
  k x ln
1 dx
x
. Na realidade, isto só é válido quando x for positivo, pois ln x não é definido para 
valores negativos de x. Quando x é negativo, segue-se que ln |x| é a primitiva de 
x
1 , pois, sendo x 
negativo, |x| = - x e 
x
1
x-
1- x)](- [ln|]x| [ln 
dx
d
dx
d . 
 
Quando x é positivo, segue-se que ln |x| é a primitiva de 
x
1 , pois sendo x positivo, |x| = x e 
x
1 x][ln|]x| [ln 
dx
d
dx
d . 
Assim, a integral de 
x
1 é dada por: k |x| ln1  dxx . 
 
6.2. INTEGRAL DE ex 
 
A integração da função exponencial ex é trivial, pois ex é sua própria derivada. Assim, 
 
  kxedxxe 
 
6.3. REGRAS DA CONSTANTE MULTIPLICADA E DA SOMA 
 
É fácil rescrever as regras de derivação para soma e constante multiplicada e transformá-las em regras 
de integração para estes casos. 
 
6.3.1 Regra da constante multiplicada para integrais 
 
Para qualquer constante k, 
  dxxfkdxk )(f(x) 
 
 
ou seja, a integral de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela 
integral da função. 
 
6.3.2. Regra da soma para integrais 
 
 
 18 
  dxxgdxxfdx )()( g(x)]f(x)[ 
 
 
ou seja, a integral da soma é a soma de cada uma das integrais. 
 
Exemplo: 
1) Calcule as integrais 
a)    k5x1dx5 dx 5 
b)    ke
xkekxdxedxxdxex xxxx
33
][
3
21
3
22 
c) kxxekxxedxxdx
x
dxedxx
x
e xxxx 


    3
3
22
6
1||ln23
32
1||ln23
2
1123
2
123 
 
 
Nota: pelo exemplo c, temos que ao invés de adicionarmos uma constante a cada uma das 3 primitivas, 
basta adicionar apenas uma constante k ao final do resultado encontrado. 
 
6.4 INTEGRAIS DE PRODUTOS E QUOCIENTES 
 
Não existem regras gerais de integração de produtos e quocientes. Ocasionalmente, conseguiremos 
exprimir um produto ou um quociente de uma forma integral, com o auxílio das regras já apresentadas. 
 
Exemplos: 
1) Calcule dx
x
xx 523 3
5


 
Fazendo a divisão indicada, temos: 322333
5
3
5
523523523   xxx
xx
x
x
x
x
xx
 
Assim, 
 
   
  kxxxdxxdxxdxxdxxxxdx
x
xx
2
.5
1
2
3
3523 ]523[523213
322322
3
5
 
k
xx
x  2
3
2
52 
2) Calcule dx
x
x 
2
83
 

 
Fazendo a divisão indicada, temos : 
0 
84
84 
42x-
82x 
42 x2x-
2 8- x
2
2
223
3






x
x
x
xx
x
  42
2
8 23 

 xx
x
x
, pois 8)42).(2( 32  xxxx 
Assim: 
 
    
 kxxxkxxxdxdxxdxxdxxxdx
x
x 4
3
4
2
2
3
 14 2 ]42[ 
2
8 2323223 
 19 
7. APLICAÇÕES 
 
Nos exemplos que se seguem a taxa de variação é conhecida e o objetivo consiste em calcular a 
expressão da própria grandeza. Como a taxa de variação é a derivada, calculamos sua expressão por 
integração. 
 
7.1. Crescimento Populacional 
Exemplo: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de 
t62 pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses? 
Solução: 
Seja P(t) a população da cidade daqui a t meses. Então, a derivada de P é a taxa de variação da população 
em relação ao tempo, ou seja, 
t
dt
dP 62  
Segue-se que a função população P(t) é uma primitiva de t62 , ou seja, 
 
   ,42)t6(2dt )( 2
3
kttdt
dt
dPtP para alguma constante k. 
 
Para determinar k, usamos a informação de que a população atual (quando t = 0) é de 5.000, ou seja: 
 
,000.54020000.5 2
3
 kk 
logo 000.542)( 2
3
 tttP e a população daqui a 9 meses será: 
 
126.5000.59492)9( 2
3
P 
7.2. Economia, administração, ciências contábeis e engenharia de produção 
Nas aplicações à economia, se conhecemos a função marginal então podemos usar a integração 
indefinida para determinar a função custo total, conforme ilustram os exemplos a seguir: 
 
Exemplos: 
1) Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de 3q2 – 60q + 400 
reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o 
custo total de produção das cinco primeiras unidades? 
Solução: 
Vale lembrar que o custo marginal é a derivada da função custo total c(q). Logo, 
 
c’(q) = 3q2 – 60q + 400 
e, portanto, c(q) deve ser a primitiva 
 
   ,40030 )400603( )(')( 232 kqqqdqqqdqqcqc para alguma constante k. 
 
O valor de k é determinado com base no fato de que c (2) = 900. 
 
Em particular, 900 = (2)3 – 30(2)2 + 400(2) + k  k = 212 
 
Então, c(q) = q3 – 30q2 + 400q + 212 
 
e o custo de produção das 5 primeiras unidades é de: 
 
 
C(5) = (5)3 – 30(5)2 + 400(5) + 212 = R$ 1.587,00 
 20 
2) Um fabricante constata que o custo marginal da produção de x unidades de uma componente de 
copiadora é dado por 30 – 0,02x. Se o custo da produção de uma unidade é R$ 35,00, determine a 
função custo e o custo de produção de 100 unidades? 
Solução: Seja C a função custo, então o custo marginal é a taxa de variação de C em relação a x, isto é: 
 
C ’ (x) = 30 – 0,02x 
Logo 
kdxxdxxC   20,01x -30x C(x) )02,030( )( ' 
para algum k. 
 
Com x = 1 e C(1) = 35, obtemos: 
 
35 = 30 – 0,01 + k, ou k = 5,01 
 
Consequentemente 
C(x) = 30x – 0,01x2 + 5,01 
 
Em particular, o custo da produção de 100 unidades é 
 
C(100) = 3.000 – 100 + 5,01 = R$ 2.905,01 
 
3) Um fabricante de bicicletas espera que daqui a x meses os consumidores estarão adquirindo F(x) 
= 5.000 + 60 x bicicletas por mês ao preço de P(x) = 80 + 3 x u.m. (unidades monetárias) por 
bicicleta. Qual é a receita total que o fabricante pode esperar da venda das bicicletas durante os 
próximos 16 meses? Resposta: R’ (x) = F(x).P(x)  R (x) = ... assim, R(x) = 7.267.840 
 
Solução: 
 
R’ (x) = F(x).P(x)  R’ (x) = [5000 + 60 x ] . [80 + 3 x ] 
 
R’ (x) = 400.000 + 15.000 x + 4800 x + 180x  R’ (x) = 400.000 + 19.800 x + 180x 
 
Assim, 
  dxxx )180800.19000.400( = 400.000x+19.800
2
3
2
3
x +
2
180 2x
+k=400.000x + 13.200 x 2
3
+ 90x2 + 
k 
R(x) = 400.000 x + 13.200 x 2
3
 + 90x2 (produção nula  k = 0) 
 
Logo, 
R(16) = 400.000  (16) + 13.200  (16) 2
3
+ 90  (16)2  R(16) = 6.400.000 + 844.800 + 23.040 
 
 R(16) = 7.267.840 unidades monetárias. 
 21 
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS À ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de Administração, 
Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p. 
Foi visto nas aplicações de derivadas que as derivadas da função custo total e da receita total 
representam, respectivamente, as funções custo marginal (CMg) e receita marginal (RMg). Conhecendo-
se o custo marginal e a receita marginal, através da integração dessas funções, podemos obter o custo 
total e a receita total, ou seja, 
 Função custo total:  dxxCMgxC )()( 
 Função receita total:  dxxRMgxR )()( 
Como a integral indefinida contém uma constante arbitrária, no cálculo do custo total essa constante 
pode ser calculada conhecendo-se o custo fixo de produção. No caso do cálculo da receita total, como 
geralmente a receita total é zero quando o número de unidades produzidas é zero, este resultado pode 
ser usado para calcular a constante de integração. 
Exemplos ilustrativos: 
1) Se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 80 - x + x2. Determine a função receita total e a 
função demanda. 
Solução: 
Função receita total: 
kxxxdxxxdxxRMgxR   3280)80()()(
32
2 . 
Como, para x = 0, R(0) = 0, então k = 0. 
Portanto, 
.
32
80)(
32 xxxxR  
Função demanda: 
.
32
8032
80)( 2
32
xx
x
xxx
x
xRp 

 
2) Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 6x2 - 2x + 200 / unidade. 
O custo para produzir as três primeiras unidades foi R$ 1.200,00. Calcular o custo para produzir as 
10 primeiras unidades. 
Solução: 
Função custo total: 
kxxxkxxxdxxxdxxCMgxC   20022002
2
3
6)20026()()( 23
23
2 
Para .555120032003321200)3(,3 23  kkCx 
Portanto, a função custo total é: 
kxxxxC  2002)( 23 
Custo para produzir 
 22 
44554551020010102)10(,10 23  Cx 
3) A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) = 20 + 40x - 6x2. O custo fixo 
é 60. Determine: (a) a função custo total; (b) a função custo médio; (c) a função custo variável. 
Solução: 
 
4) Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 25 - 5x. Determine: (a) a receita 
total; (b) a função demanda. 
Solução: 
 
5) Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de 
produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-se que 
o custo fixo é igual 50. 
Solução: 
 
6) Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 0,75x2-20x+10. 
Solução: 
 23 
 
Teoria e Exemplos - Adaptados de: HARIKI, Seiji; ABDOUNUR, Oscar João. Matemática aplicada: 
Administração, Economia, Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
 Análise Marginal 
Frequentemente, é necessário analisar uma variável econômica através do comportamento de sua 
derivada, procedimento denominado análise marginal. Em seção anterior, discutiu-se questões desta 
natureza para variáveis econômicas como custo total e receita total gerando respectivamente custo e 
receita marginais. Reciprocamente, em outros problemas, o que se procura é a recuperação de uma 
função total a partir de sua derivada, ou seja, de sua função marginal. Enquanto no primeiro caso utiliza-
se o cálculo diferencial, no segundo recorre-se ao cálculo integral. 
Embora, anteriormente, tenha enfatizado particularmente custos e receitas marginais, cabe ressaltar que 
se pode definir variáveis marginais – e, reciprocamente,resgatar as variáveis totais correspondentes – 
para qualquer variável econômica. 
Por exemplo, variáveis marginais como imposto marginal, produtividade marginal, propensão marginal 
a consumir associam-se respectivamente a 
dx
dC
dx
dP
dx
dI ,, onde I representa o imposto total produzido 
pela venda de x mercadorias, P a produtividade em função do número de trabalhadores ou máquinas x 
e C o consumo total como função da renda nacional total x. Pode-se ainda pensar em demanda marginal, 
eficiência marginal de investimentos, etc. Apresentaremos neste item alguns casos envolvendo variáveis 
econômicas marginais e totais e como proceder para resolver problemas deste tipo. 
Exemplos: 
1) Supondo que a produtividade marginal (PMg) de uma fábrica em relação à produção diária de 
automóveis P seja dada por x
dx
dP 1,02  , onde x representa o número de vendedores. Supondo que 
a empresa possui 15 vendedores, quantos vendedores são necessários contratar para atingir uma 
produção de 20 carros por dia? Considere que a produtividade é nula sem empregados vendedores. 
Solução: 
Se 2
*2
05,02
2
1,02)1,02()1,02(1,02 xxkxxdxxPdxxdPx
dx
dP
  
*
A produtividade é nula sem empregados vendedores. 
Se 2004004002005,0205,022020 222  xxxxxxxP 
Como x representa o número de empregados, a empresa necessita contratar mais 5 vendedores. 
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos: 
> restart: 
> dP_dx:=2-0.1*x; 
> P:=Int([dP_dx],x)=int(dP_dx,x); 
> solve(2*x-0.05*x^2=20,{x}); 
 := dP_dx 2 .1 x
 := P d

[ ]2 .1 x x 2. x .05000000000 x2
,{ }x 20. { }x 20.
 24 
> plot(2*x-0.05*x^2,x=0..40); 
 
 
2) Se a produtividade marginal de automóveis (número de automóveis por dia) em relação ao número 
de empregados é dada por dP/dx = 8 – 0,06x, quantos empregados são necessários para produzir 148 
carros por dia? Considere que sem empregados não há produção. Resposta: 20 operários 
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos: 
> restart: 
> dP_dx:=8-0.06*x; 
> P:=Int([dP_dx],x)=int(dP_dx,x); 
> solve(8*x-0.03*x^2=148,{x}); 
> plot(8*x-0.03*x^2,x=0..270); 
 
 
 
Sabemos que o lucro (L) é igual a receita (R) menos os custos (C), ou seja: L = R – C. Logo, seu valor 
será máximo quando a derivada desta diferença anular-se, ou ainda, quando a receita marginal (Rm) 
igualar-se ao custo marginal (Cm). 
 
Justificativa matemática: 
mmmm CRCRLCRL  0'
*
 
*
 Esta é a condição necessária de otimalidade (anulamento da derivada de primeira ordem). A condição 
suficiente é que, também ,0'' L no ponto ótimo, o que, em geral pode ser facilmente verificado. 
 := dP_dx 8 .06 x
 := P d

[ ]8 .06 x x 8. x .03000000000 x2
,{ }x 20. { }x 246.6666667
 25 
Supondo que o lucro máximo ocorra quando a quantidade for qmáx e tendo em vista que o lucro é nulo 
se a quantidade é nula (constante de integração é nula, k = 0), temos: 
 
máxmáxmáx q
mmmáx
q
mm
L
mmmm dxCRLdxCRdLdxCRdLCRdx
dL
000
)()()( 
que representa a área abaixo do gráfico referente à receita marginal e acima do gráfico do custo marginal. 
Exemplos: 
1) Suponha que uma empresa deseje aumentar o número de seus vendedores. Assumindo que pesquisas 
estatísticas em tal empresa revelam que o custo marginal Cm (em mil reais) para empregar 
vendedores adicionais expressa-se como função do número de vendedores adicionais x segundo o 
expressão xCm 5
48
 e a receita marginal Rm (em mil reais) propiciada por tais vendedores por 
4042  xRm , calcule o número de vendedores adicionais necessários a maximizar o lucro 
proveniente de tal contratação, bem como o valor do lucro máximo correspondente. 
Solução: 
A situação ótima mencionada ocorre quando Rm= Cm, ou seja, 


104041
5
1240440444
5
484042
5
48 4* xxxxxxxxCR mm 
 )404(253025770494045557540455512 2
*
xxxxxxxx 
*
 Elevando ao quadrado ambos os membros da equação. 
76,2~
49
1351502025870491000100302577049 22  xexxxxxx 
Retornando à equação original, verifica-se que 2,76 não é raiz (solução) enquanto 15 sim. Logo, o 
número de vendedores adicionais que maximiza o lucro associado é x = 15. 
De acordo com a expressão apresentada anteriormente, tal lucro será dado por: 
 






15
00 5
484042)( dxxxLdxCRL máx
q
mmmáx
máx 
50,34~0
6
640000120
6
100030
2
36,9
)6,9(
2
34
)404(2
15
0
2
3
2
3
















xxx 
Portanto, a empresa deve contratar 15 vendedores adicionais e terá um lucro máximo de 34,50 mil reais. 
Solução: Utilizando a rotina escrita no software de computação algébrica Maple, temos: 
> Receita_marginal:=2+sqrt(4*x+40); 
> Custo_marginal:=sqrt(48*x/5); 
> Solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); 
 
> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); 
> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,x); 
> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max) 
 =evalf(int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max)); 
 := Receita_marginal 2 2 x 10
 := Custo_marginal 45 15 x





Solve ,2 2 x 10
4
5 15 x { }x
 := q_max { }x 15
 := q_max 15
 26 
 
 
2) Se a receita e o custo marginal expressam-se como função da quantidade x respectivamente por Rm 
= 44 - 9x e Cm = 20 - 7x + 2x2 encontre a quantidade produzida que maximiza o lucro assim como 
o lucro total correspondente sob condições de competição perfeita. Resposta: x = 3 => L = 45. 
Solução: Utilizando a rotina escrita no software de computação algébrica Maple, temos: 
> restart: 
> Receita_marginal:=44-9*x; 
> Custo_marginal:=20-7*x+2*x^2; 
> Solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); 
 
> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); 
 
> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,x); 
 
> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max[1])= 
 int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max[1]); 
 
> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max[2])= 
 int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max[2]); 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de Administração, 
Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p. 
1) Uma indústria sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 9x2 - 4x + 300 /unidade. 
O custo para produzir as duas primeiras unidades foi R$ 800,00. Calcular o custo para produzir as 5 
primeiras unidades. Resposta: R$ 2.009,00 
2) Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 0,6x2-10x+50. 
Resposta: R(x) = 0,2x3 – 5x2 + 50x 
3) Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de 
produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-se que 
o custo fixo é igual 50. Resposta: C(x) = x3 – 6x2 + 36x + 50 
4) Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 40 – 6x. Determine: (a) a receita 
total; (b) a função demanda. Resposta: (a) R(x) = 40x – 3x2 (b) p = 40 – 3x; 
5) A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) = 30 + 90x - 3x2. O custo fixo 
é 80. Determine: (a) a função custo total; (b) a função custo médio; (c) a função custo médio variável. 
Resposta: (a) C(x) = 30x + 45x2 – x3 + 80; (b) CM(x) = 30 + 45x – x2 + 80/x;(c) Cv(x) = 
45x – x2 + 80/x. 
 := Lucro_maximo d



0
15





 2 2 x 10
4
5 15 x x 34.50296455
 := Receita_marginal 44 9 x
 := Custo_marginal  20 7 x 2 x2
( )Solve ,44 9 x  20 7 x 2 x2 { }x
 := q_max ,{ }x -4 { }x 3
 := q_max ,-4 3
 := Lucro_maximo d


0
-4
[ ] 24 2 x 2 x2 x -2083
 := Lucro_maximo d


0
3
[ ] 24 2 x 2 x2 x 45
 27 
7.3. Equações Diferenciais 
 
 
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma derivada. Resolver uma equação diferencial 
significa determinar todas as suas soluções. Em alguns casos, além da equação diferencial, podemos 
conhecer certos valores da função, chamados de condições iniciais. 
 
 
Exemplos: 
 
1) Se xx
dx
dy 32  , determine y. Resposta: k
xxy 
2
3
3
23
 
 
2) Se xx
dx
dy 32  e se y = 2 quando x = 0, determine y. Resposta: 22
3
3
23

xxy 
 
3) Determine a função y = y (x),  x , tal que: 2x
dx
dy
 
 
Solução:  dxxyxdx
dy 22 k
xy 
3
 
3
 
4) Determine a única função y = y (x), definida em  , tal que: 






2)0(
2
y
x
dx
dy
 
Solução:  dxxyxdx
dy 22 k
xy 
3
 
3
 
 
A condição y(0) = 2 significa que, para x = 0, devemos ter y = 2. Desta forma podemos determinar o 
valor de k. 
Assim, de k
xy 
3
 
3
, temos: k
3
02
3
  k = 2 e 2
3
3

xy 
 
5) Determine a função y = y (x),  x , tal que: 12
2
 x
dx
yd
, y (0) = 1 e y ’(0) = 0 
Solução: 12
2
 x
dx
yd
  1
2
2
 )1( kxxdxx
dx
dy
  
 
Mas y ’ (0) = 0
0

xdx
dy
, temos 1
2
0
2
00 k  01 k 
 
Logo x
x
dx
dy

2
2
 
 
De x
x
dx
dy

2
2
 2
232
26
d 
2
kxxxxxy 





  
 
Mas y (0) =1  1 = 0 + 0 + k2  k2 = 1 
 
 28 
1
26
23

xxy 
 
APLICAÇÕES ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 PROBLEMAS DE CRESCIMENTO E DECAÍMENTO 
 
Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a crescimento ou decaimento. Admitindo 
que 
dt
dN , a taxa de variação da quantidade de substância em relação ao tempo, seja proporcional à 
quantidade de substância presente, então Nk
dt
dN
 ou 0 kN
dt
dN , onde k é a constante de 
proporcionalidade. 
 
Resolução da equação diferencial: 
 
tk
ec
ctkctk ecNeeNeNctkNdtkdN
N
dtk
N
dNNk
dt
dN c    
1
11
1ln
1
 
Exemplo: 
 
1) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem 
inicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massa 
original, determine: 
a) A expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t. 
b) A massa de material após quatro horas. 
c) O tempo após o qual o material perde metade de sua massa original. 
Solução: 
a) Seja N a quantidade de material presente no instante t. Então kN
dt
dN
 . Esta equação diferencial é 
linear e separável e sua solução, conforme apresentada anteriormente, é dada por: .( ) . k tN t c e . 
Em t = 0, temos N(0) = 50. 
 
Desta forma, 
. .( ) . 50 . 50k t k tN t c e c e c     
Portanto, .( ) 50. k tN t e . 
 
Em t = 2, houve perda de 10% da massa original de 50 mg, ou seja, 5 mg. Logo, em t = 2, N(2) = 45. 
 
Levando estes valores na equação encontrada, temos: 
 
. 2.( ) 50. 45 50.k t kN t e e   
 
Resolvendo esta equação encontramos o valor de k  - 0,0527. 
 
Observação: Para resolver esta equação utilizamos as propriedades dos logaritmos naturais. 
Assim, nossa equação com as duas constantes encontradas fica: 0,0527( ) 50 tN t e  , onde t é medido 
em horas. 
 
b) Neste item precisamos encontrar o valor de N para t = 4. Basta substituir na equação encontrada e 
teremos N = 40,50 mg. 
 
 29 
c) Neste item devemos encontrar o tempo para N = 25. Substituindo na equação e utilizando as 
propriedades dos logaritmos naturais encontramos t = 13,16 horas. 
 30 
 PROBLEMAS DE TEMPERATURA 
 
A lei do resfriamento de Newton, aplicável igualmente ao aquecimento, afirma que a taxa de variação, 
no tempo, da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio 
circundante. Sejam T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio circundante. Então, a taxa de 
variação da temperatura em relação ao tempo é 
dt
dT , e a lei de resfriamento de Newton pode assim ser 
formulada: 
 
  mm kTkTdt
dTTTk
dt
dT
 ou 
 
onde k é uma constante positiva de proporcionalidade. 
 
Resolução da equação diferencial: 
 




  1)(ln)(
1
)(
)( ctkTTdtkdT
TT
dtk
TT
dTTTk
dt
dT
m
mm
m 
 
tk
m
ec
ctk
m ecTTeTT
c


 
1
1 
Exemplos: 
1) Uma barra de metal à temperatura de 100º F é colocada em um quarto à temperatura constante de 0ºF. 
Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF, determine: 
a) O tempo necessário para a barra atingir uma temperatura de 25ºF. 
b) A temperatura da barra após 10 min. 
Solução: 
Utilizando a equação  mTTkdt
dT
 e sabendo que 0mT , teremos: 
 
tk
ec
ctk ecTeTctkTdtkdT
T
dtk
T
dTTk
dt
dT c   
1
1
1ln
1 
 
Como T = 100 em t = 0 , temos: 100.100 0.   cec k . 
 
Assim, teremos a solução tkeT ..100  . 
 
Por outro lado, temos T = 50 em t = 20 e assim obtemos: 20..10050 ke  . 
 
Utilizando as regras de logaritmos encontramos k = 0,0347. 
 
Desta forma, substituindo na equação, teremos teT .0347,0.100  
 
a) O tempo necessário para termos T = 25, será: te .0347,0.10025  , resolvendo esta equação, encontramos 
t = 40 min. 
 
b) Para encontrar T quando t = 10 basta substituir na equação encontrada e teremos: 100347,0.100  eT . E, 
portanto T = 70,71ºF. 
 
 31 
2) Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100ºF. Se, após 5 
min, a temperatura do corpo é de 60ºF, determine: 
a) O tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75ºF. 
b) A temperatura do corpo após 20 minutos. 
Solução: 
Utilizando a equação mkTkTdt
dT
 e sabendo que Tm = 100 teremos: 
 
kkT
dt
dT 100 
cuja solução é: 
100. .   tkecT 
 
Como T = 50 em t = 0, temos 50100.50 0.   cec k . 
 
Assim, teremos a solução 100.50 .   tkeT . 
 
Por outro lado, temos T = 60 em t = 5, e assim obtemos: 
 
100.5060 5   ke 
 
Utilizando as regras de logaritmos encontramos k = 0,0446. 
 
Desta forma, substituindo na equação, teremos 100.50 .0446,0   teT 
 
a) Para encontrar t quanto T = 75, basta substituir T = 75 na equação função encontrada. Assim, 
100.5075 .0446,0   te . Utilizando as propriedades de logaritmos encontramos t = 15,53 min. 
 
b) Para encontrar T quando t = 20, basta substituir t = 20 na equação e teremos 100.50 )20.(0446,0  eT
. E, portanto: T = 79,52ºF. 
 
Figura: Tela escrita no Excel para o cálculo do aquecimento ou resfriamento 
 
 
EXEMPLOS COMPLEMENTARES 
 
 32 
1) Uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. 
Inicialmente, a quantidade de material é de 80 miligramas e após duas horas perde-se 9% da massa 
original. Determine: 
a) A massa restante após 12 horas. 
b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade (meia-vida = half-life). 
Solução: Seja N a quantidade de substância presente no instante t e como a substância diminui a uma 
taxa proporcional à quantidade presente tem-se: 
 1ln
1 ctkNdtkdN
N
dtk
N
dNdtk
N
dNNk
dt
dN 
tktkcctk ecNeeNeN   11 , onde: 1cec  
Para ,0t 80N temos: 
8080 0   cec k 
Assim, 
tkeN  80 
 
Por outro lado, para 2t horas, 8,7291,080%)9%100(80 N miligramas, logo: 
 
047155339,0808,72 2  ke k 
e portanto: 
teN  047155339,080 
 
a) Para 12t horas tem-se: 
43,4580 12047155339,0   NeN miligramas 
b) Para 40
2
80
N miligramas tem-se: 
  ttt eee 047155339,0047155339,0047155339,0 ln5,0ln5,08040 
69923015,14
047155339,0
5,0ln047155339,05,0lnln047155339,05,0ln 

 ttet horas 
 
(ou para ser mais preciso, aproximadamente 14 horas 41 minutos e 57 segundos.) 
 
Solução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos: 
 
 
 33 
2) Uma barra de metal à temperatura de 60ºC foi colocada em uma sala com temperatura constante e 
igual a 5ºC. Após 10 minutos mediu-se a temperatura da barra acutilizando 40ºC. Pergunta-se: 
a) Qual o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 10ºC? 
b) Qual a temperatura da barra após 22 minutos? 
Solução: A lei de Newton para a variação da temperatura diz: 
 “A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o 
corpo e o meio ambiente” 
Seja: 
- T a temperatura do corpo 
- mT a temperatura do meio ambiente 
- 
dt
dT a taxa de variação da temperatura do corpo 
Assim, a lei de Newton fica: )( mTTkdt
dT
 (1) 
onde 0( )  mTT e k é uma constante de proporcionalidade, positiva. O sinal negativo na frente de k 
aparece a fim de tornar 
dt
dT negativa em um processo de resfriamento. 
A expressão (1) pode ser escrita assim: mTkTkdt
dT
 
cuja solução é: tkm ecTT
 
Assim, .5 ktecT  
a) Para 0t e 60T ºC segue-se que: 55560 0   cec k ºC 
Por outro lado, 10t minutos e 40T ºC, onde 
045198512,0553555540 1010   kee kk 
e assim .555 045198512,0 teT  
Quando 10T ºC tem-se: 5305252688,5355510 045198512,0   te t minutos e 3 segundos 
b) Após 22t minutos temos: 
35,2534766007,25555 22045198512,0   TeT ºC 
Solução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos: 
 
 34 
3) Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70oF, e colocado do lado de 
fora, em que a temperatura é de 10oF. Após 0,5 minuto, o termômetro marcava 50oF. Qual será a 
temperatura marcada no termômetro no instante t igual a 1 minuto? Quanto tempo levará para o 
termômetro marcar 15oF? Resposta: 36,67oT e 3,06 minutos 
 
 
4) Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa 
que, após 1 hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a “meia-
vida” (half-life) da substância. Sugestão: Considere a substância com 100 mg. 
Resposta: 6,58 horas 
 
5) Um termômetro é removido de dentro de uma sala é colocado do lado de fora, em que a temperatura 
é 5oC. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20oC; após 5 minutos, 10oC. Qual a temperatura da 
sala? Resposta: 24,74oC 
 
 35 
6) O Isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente 
em qualquer tempo. Sua meia-vida (half-life) é de 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente 
inicialmente, quanto tempo levará par 90% do chumbo desaparecer? 
Resposta: 10,96 horas 
 
7) Um assado pesando 5 libras, inicialmente a 50oF, é posto em um forno a 375oF às 5 horas da tarde. 
Depois de 75 minutos a temperatura T(t) do assado é de 125oF. Quando será a temperatura do assado 
de 150oF (meio mal passado)? Resposta: 105,12 minutos, ou seja: 6 horas 45 minutos e 7 segundos. 
 
 
8) Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100ºC. No instante t = 0 ela é imersa em água 
que é mantida a uma temperatura de 30ºC. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida 
a 70ºC. Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31ºC. 
 Obs. Utilizar a formulação matemática da lei do resfriamento de Newton, ou seja, 
)30(  Tk
dt
dT 
 Resposta: t = 22,78  23 minutos 
 
9) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente, há 
100 miligramas e se, após dois anos, 5% do material decaíram, determine: 
a) A expressão da massa no instante arbitrário t. 
b) O tempo necessário para o decaimento de 10% do material. 
 Resposta: t0256,0e.100N)a  anos 11,4 )b  4 a 1 m 10 d 
 
10) Um corpo à temperatura de 0ºF é colocado em um quarto em que a temperatura é mantida a 100ºF. 
Se, após 10 minutos a temperatura do corpo é de 25,7ºF, determine: 
a) O tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 50ºF. 
b) A temperatura do corpo após 20 minutos. 
Resposta: a) 23,9 min  24 min b) 43,75ºF  44ºF 
 
11) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador com uma temperatura 
constante de 0ºF. Se após 20 minutos, a temperatura do corpo é de 40ºF e após 40 minutos é de 20 
ºF, determine a temperatura inicial. Resposta: T0 = 80ºF 
 
12) Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado em um forno cuja temperatura é mantida constante em 
150 ºF. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 75ºF, determine o tempo necessário para 
que o corpo atinja a temperatura de 100 ºF. Resposta: t 100 = 23,9 min. 
 36 
7.4. Aplicação Geométrica 
 
A seguir veremos, através de um exemplo, como usar a integração para encontrar a equação da curva 
cujo coeficiente angular é conhecido. 
 
Exemplo: Determine a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da reta tangente, em cada x, é 
3x2 + 1 e cujo gráfico passa pelo ponto (2, 6). 
Solução: 
O coeficiente angular da reta tangente é a derivada de f. Logo, f ’(x) = 3x2 + 1 e f(x) é a primitiva, 
 
   kxxdxxdxxfxf 32 )13()(')( 
 
Para determinar a constante k, consideramos o fato de que o gráfico de f passa pelo ponto (2, 6), ou seja, 
substituímos x = 2 e f(2) = 6 na equação de f(x) e resolvemos a equação em k, obtendo: 
 
6 = (2)3 + 2 + k c = - 4 
 
Assim, a função desejada é: 
f(x) = x3 + x – 4 
 
7.5. Aplicações Físicas 
 
Suponhamos um ponto P em movimento em uma reta coordenada, com velocidade v(t) e aceleração a(t) 
no instante t. Do conceito de derivada, sabemos que: v(t) = s’(t) e a(t) = v’(t) = s’’(t), onde s(t) representa 
a função posição no instante t. 
 
Assim, 
1)( dt )('dt )( ktvtvta  
 
para alguma constante k1. 
 
Analogamente, 
2)( dt )('dt )( ktststv  
 
para alguma constante k2. 
 
Exemplos: 
1) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, 0t , a velocidade é v(t) 
= 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 1. Determine a 
posição x = x(t) da partícula no instante t. 
Solução: 
Equacionando, temos:






1)0(
12
x
t
dt
dx
 
 
De 12  t
dt
dx  x =   dt )12( t  x = t2 + t + k 
 
Mas 1 = x(0)  1 = 02 + 0 + k  k =1 
1)( 2  tttx 
 
 37 
2) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t + 3, 0t . Sabe-se que, no instante 
t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 2 
a) Qual a posição da partícula em um instante t? 
b) Qual a posição da partícula em um instante t =2? 
c) Determine a aceleração. 
Solução: 
a) 






dt
dxtv
ttv
)(
3)(
kttdttx   32 )3(
2
 
 
Como x(0) = 2  203
2
02
2
 kk 
 
23
2
)(
2
 tttx 
 
b) 10223
2
2)2(23
2
)(
22
 xtttx m 
 
c)Como sabemos 
t
va


 ou mais precisamente 1)(' ]3[)(  tatta
dt
dva 
 
m/s 1a(t)  
 
3) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t – 3, t  0. Sabe-se que no instante 
t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 5. Determine o instante em que a partícula estará mais 
próxima da origem. 
Solução: v(t) = 2t – 3, t  0 e s(0) = 5, 
 
kttdttts   3 )32()( 2 
 
Mas, como s(0) = 5  s(0) = 02 – 3. 0 + k = 5 k = 5 
 
53)( 2  ttts 
 
Para determinar o ponto mínimo, basta determinar o vértice da 
parábola s(t), 
 
 
a
bxv 2
 
2
3
12
)3(



vx  2
3
 t s 
Ou, utilizando derivadas, 
 
 sttv 2/3032)2('  
 
4) Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade )( 0vattv  , 0t (a e v0 constantes). 
Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = x0. Determine a posição x 
= x(t) da partícula no instante t. 
Solução: v(t) = a.t +v0 e x(0) = x0 
Assim, 
ktvtadtvtatx   0
2
0 2
 )()( 
 
Como x(0) = x0  00
2
0
2
0)0( xkvax  k = x0 
 
 
 38 
00
2
2
1)( xtvtatx  
 
Nota: Utilizando esta técnica podemos determinar a função posição (s(t)) para um objeto que se move 
sob a influência da gravidade. A compreensão do problema exige o conhecimento de um fato da 
física. Sobre um objeto na superfície da terra ou próximo dela atua uma forca – a gravidade – 
que produz uma aceleração constante, denotada por g. O valor aproximado de g, usado na 
maioria dos problemas, é 9,8 m/s2. 
 
5) Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e com 
velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine: 
a) A distância da pedra ao solo após t segundos. 
b) O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe. 
c) O instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante. 
Solução: 
O movimento da pedra pode ser representado por um ponto em uma coordenada vertical s com origem 
no solo e direção positiva para cima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) A distância da pedra ao solo no instante t é s(t) e as condições iniciais são v(0) = 30 e s(0) = 45. 
Como a velocidade é decrescente, v ’ (t) < 0, isto é, a aceleração é negativa. Logo, 
 
a(t) = v ’ (t) = -9,8 e   dt 9,8- dt (t) ' v , logo 18,9)( kttv  , para algum k1. 
 
Substituindo t por 0 e em vista do fato de que v(0) = 30, vem 30 = 0 + k1 = k1 e, consequentemente, 
v(t) = -9,8 t + 30 
Como s’ (t) = v (t), obtemos: 
 
s’(t) = - 9,8 t + 30 e    dttdtts )308,9( )(' , logo s(t) = -4,9 t2 + 30t + k2, para algum k2 
 
Fazendo t = 0, e como s(0) = 45, temos 45 = 0 + 0 + k2 = k2. Segue-se que a distância do solo à pedra 
no instante t é dada por: 
s(t) = -4,9 t2 + 30 t + 45 
 
b) A pedra subirá até que v(t) = 0, isto é, até que, 
 
- 9,8 t + 30 = 0 3,06 t  s 
 
c) A pedra atingirá o solo quando s(t) = 0, isto é, quando, 
 
- 4,9 t2 + 30 t + 45 = 0  t = - 1, 24 s ou t = 7,36 s 
 
A solução t = - 1,24 s não é adequada, pois t é não negativo. Logo, resta t = 7,36 s, que é o tempo após 
o qual a pedra atinge o solo. A velocidade nesse instante é: 
45 m 
(em t = 0) 
s(t) 
 s 
 39 
 
v(7,36) = - 9,8 (7,36) + 30  - 42,13 m/s 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivando-as. 
a)  dxx5 Resposta: k6
x6
 
 
b)  dxx
1
2
Resposta: k
x
1
 
 
c)  dx5 Resposta: kx5  
 
d)   dt)2t5t3( 2 Resposta: kt
ttkttt  2
3
522
3
52 333 23 
 
e)  





 dy
y
1
y
2y3 3 Resposta: kyny
ykyn
y
y  112112 2
3
2
2
3
 
 
f)  





 dxxx
2
ex Resposta: kx
ekxe
xx
 5
5
2
25
2
2
2
5
 
 
g)  






 du
2
ue
u2
3
u3
1 2
2 Resposta: k
uue
u
unkuue
u
un 
32
3 1
3
1
32
3 1
3
1 322 2
3
 
 
h) dx
x
1x2x
2
2


Resposta: k
x
xnx  1 1 2 
 
i)  



  dx
x
xx 51)2( 23 Resposta: kxx
3
11x
4
5 234  
 
j)   dttt )1( 2 Resposta: kttktt  37 3
2
7
2
3
2
7
2
2
3
2
7 
 
2) Determine a solução geral da equação diferencial dada: 
a) 653 2  xx
dx
dy Resposta: kxxx  6
2
5 23 
 
a) tet
dt
dP
 Resposta: ket t 3
3
2 
 
3) Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais: 
a) f ’ (x) = 12x2 – 6x + 1 e f(2) = 5 Resposta: 4x3 – 3x2 + x - 17 
b) 2
1
4x
dx
dy
 e y = 21 se x = 4 Resposta: 
3
1
3
8 2
3
x 
 40 
c) f ’’ (x) = 4x – 1 e f ’ (2) = - 2; f(1) = 3 Resposta: 
6
658
23
2 23  xxx 
 
4) Esboce o gráfico da função y = y(x), x  , sabendo que: 
a) 0y(0) e 12  x
dx
dy Resposta: y = x2 – x 
> plot(x^2-x,x=-10..10); 
 
 
b) 0(0)y' e 1)0(,2cos42
2
 yx
dx
yd
Resposta: y = cos 2x 
> plot(cos(2*x),x=0..Pi); 
 
 
c) 1(0)y' e 0y(0),2
2
 xe
dx
yd
Resposta: y = e- x – 1 
> Limit(exp(-x)-1,x=-infinity)=limit(exp(-x)-1,x=-infinity); 
> Limit(exp(-x)-1,x=infinity)=limit(exp(-x)-1,x=infinity); 
> plot(exp(-x)-1,x=-10..10,y=-10..10); 
lim
x ( )
e ( )x 1 
lim
x 
e ( )x 1 -1
 41 
 
 
 42 
5) Estima-se que daqui a t meses a população de uma cidade estará variando a uma taxa de 4 + 5t2/3 
pessoas por mês. Se a população atual é de 10.000, qual será a população daqui a 8 meses? Resposta: 
10.128 pessoas 
 
6) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 4x+1 para cada valor de x e cujo gráfico 
contém o ponto (1, 2). Resposta: f(x) = 2x2 + x – 1 
 
7) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 3x2 + 6x - 2 para cada valor de x e cujo 
gráfico contém o ponto (0, 6). Resposta: f(x) = x3 + 3x2 - 2x + 6 
 
8) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 2
x
2x 2
3  para cada valor de x e cujo 
gráfico contém o ponto (1, 3). Resposta: 
4
5x2
x
2
4
x)x(f
4
 
 
9) Um fabricante de blusas de esporte determina que o custo marginal de fabricação de x unidades é 
dado por 20 – 0,015x . Se o custo de fabricação de uma unidade é de R$ 25,00, determine a função 
custo total e o custo de produção de 50 unidades. 
 Resposta: C(x) = 20x – 0,0075x2+5,0075 e C(50)  R$ 986,26 
 
10) Se a função custo marginal de um produto é dada por 
3
1
2
x
 e se o custo de produção de 8 unidades 
é de R$ 20,00, determine a função custo e o custo de produção de 64 unidades 
 Resposta: C(x) = 83 3
2
x e C(64)  R$ 56,00 
 
11) Um objeto se move de tal forma que sua velocidade após t minutos é V(t) = 1 + 4t + 3t2 metros por 
minuto. Que distância o objeto percorre durante o terceiro minuto? 
Resposta: S(t) = t + 2t2 + t3 + k => S(3) – S(2) = 48 – 18 = 30 metros 
 
12) Um objeto se move de tal forma que sua velocidade após t minutos é V(t) = 3 + 2t + 6t2 metros por 
minuto. Que distância o objeto percorre durante o segundo minuto? 
Resposta: S(t) = 3t + t2 + 2t3 => S(2) – S(1) = 26 – 6 = 20 metros 
 
13) Se um ponto se move em uma reta coordenada com a aceleração a(t) e as condições iniciais dadas, 
determine s(t): 
a) a(t) = 2 – 6t; v(0) = - 5; s(0) = 4 Resposta.: s(t) = t2– t3 – 5t + 4 
b) a(t) = 3t2; v(0) = 20; s(0) = 5 Resposta.: s(t) = 
4
4t
 + 20t + 5 
 
14) Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = 2t + 5, t > 0. Sabe-se que, no instante 
t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 6. 
a) Qual a posição da partícula no instante t? Resposta: 652  ttx 
b) Determine a posição da partícula no instante t = 2. Resposta: x(2) = 20 
c) Determine a aceleração. Resposta: a(t) = 2 
 
15) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 500 m/s. Desprezando a 
resistência do ar, determine: 
a) A sua distância no instante t. Resposta: S(t) = - 4,9t2 + 500t 
b) A altura máxima atingida. Resposta: Em t = 51,02 seg acontece hmáx = 12.755,1 m 
 
 
 
 
 
 
 43 
16) Joga-se uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 5 m/s. Determine: 
a) A sua distância do solo após t segundos? Resposta: S(t) = - 4,9t2 + 5t 
b) Quando ela atinge o solo? Resposta: t = 1,02 seg 
c) A velocidade com que atinge o solo? Resposta: V(1,02) = - 4,996 m/s = - 5 m/s 
 
17) Deixa-se cair um objeto da altura de 300 m. Desprezando a resistência do ar, determine: 
a) A distância percorrida em t segundos. Resposta: S(t) = -4,9t2 + 300 
b) A velocidade ao cabo de 3 segundos. Resposta: V = -29,4 m/s 
c) Quando o objeto atinge o solo. Resposta: ½.9,8.t2 = 300 => t = 7,82 seg 
 
18) Uma constante gravitacional para objetos próximos da superfície da Lua é 1,62 m/s2. 
a) Se um astronauta na Lua joga uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 20 
m/s determine a altura máxima atingida. Resposta: S(t) = - 0,812t2 + 20t ; 12,34 s e 123,43 s 
b) Se, após sua volta à Terra, o astronauta lança a mesma pedra diretamente para cima com a mesma 
velocidade inicial, determine a altura máxima atingida. Resposta: s(t)= -4,9t2+20t ; 2,04 s e 20,41 s 
 
19) Uma bola rola por um plano inclinado com uma aceleração de 61 cm/s2. 
a) Se a bola não tem velocidade inicial, que distância percorrerá em t segundos? 
Resposta: S(t) = 30,50t2 
b) Qual deve ser a velocidade inicial para que a bola percorra 30 metros em 5 segundos? 
Resposta: S(5) = 3000 cm e S = So + vo t + ½ a . t2 => vo = 447,50 cm/s 
 
20) Uma pedra é atirada diretamente para baixo de um balão estacionário a 3000 metros acima do solo 
com uma velocidade de -14,4 m/s. Localize a pedra e encontre sua velocidade 20 segundos depois. 
Resposta: Depois de 20 segundos, a pedra está a 712 metros acima do solo e sua velocidade é de 
 -214,4 m/s. 
 
Dica, sugestão ou explicação dos exercícios: 
 
15) Em t = 0 s, s(0) = 0 m e v(0) = 500 m/s. Use aceleração = 9,8 m/s2. Entendendo os sinais da velocidade 
e aceleração: 












t
va
t
sv ; 
 
17) Em t = 0 s, s(0) = 300 m e v(0) = 0 m/s. Use aceleração = - 9,8 m/s2. Entendendo os sinais da 
velocidade e aceleração: 












t
va
t
sv ; 
 
20) No instante que a pedra é atirada do balão, sua aceleração é de a = dv/dt = -10 m/s². Sua velocidade 
é v = -10t + k1. Quando t = 0, v = -14,4 m/s; onde k1 = -14,4 e v = ds/dt = -10t - 14,4. Ainda, s 
= -5t² - 14,4t + k2. Quando t = 0, s = 3.000, onde k2 = 3000 e s = -5t² - 14,4t + 3000. Quando t 
= 20, s = -5(20)² - 14,4(20) + 3.000 = 712 m e v =-10(20) - 14,4 = -214,4 m/s. Portanto, depois de 
20 segundos, a pedra está a 712 metros acima do solo e sua velocidade é de -214,4 m/s. Supor vo = 
-14,4 m/s e v1 = -20,4 m/s => v = -20,4-(-14,4) = -6. Entendendo os sinais da velocidade e 
aceleração: 












t
va
t
sv ; 
 
Sugestão de atividade: Após resolução manual da lista de exercícios, resolva-a utilizando o software 
de computação algébrica Maple. 
 
 
 
44 
PROCEDIMENTO DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO SIMPLES 
 
Algumas integrais não têm soluções imediatas, porém, por meio de uma mudança de variável adequada, 
muitas dessas integrais podem ser calculadas com uso das regras conhecidas. Considere a integral 
 
O objetivo desta técnica é transformar o integrando, que é uma função composta, em uma função 
simples. Entretanto, a técnica só funciona se no integrando aparece uma função (u) e sua derivada (c.u’), 
onde c  *. 
 
Passo 1: Introduza a letra u para substituir alguma expressão em x que seja escolhida para simplificar a 
integral. 
Passo 2: Reescreva a integral em termos de u. Para reescrever dx, calcule 
dx
du e resolva algebricamente 
como se o símbolo 
dx
du fosse um quociente, lembrando dos diferenciais. 
Passo 3: Calcule a integral resultante e então substitua u por sua expressão em termos de x na resposta. 
 
Nota: Se o integrando é um produto ou quociente de dois termos e um termo é múltiplo da derivada de 
uma expressão que aparece no outro, então esta expressão é provavelmente uma boa escolha para 
u. 
 
Exemplos: 
1) Calcule:   dxx 5)1( 
Solução: 
Fazendo: u = x +1, temos: dxdu
dx
du
 1 
Logo,   k
ukuduudxx
66
)1(
66
55 = k
x


6
)1( 6
 
2) k
xdxx  8
)12(... )12(
4
3 
3) kxdxx  3)75(15
2...75 
4) k
xdxx  48
)12(... x.)12(
83
273 
5) kdxx  16
)6x-(7
...)6x-(7 . 
3 42
3 2 
6) k
xx
dx
x
x





 5363
2
)13(15
1... 
)13(x
)1( 
7) k
x
dxxx 

 3
)1(
... 1
32
2 
8) kxxdxxxxdxxx   3
)1(
5
)1(... 1 1
3252
2223 (Dica: u = 1 + x2du = 2x dx) 
9) kxxdxxxx  9282 )53(... )32()53(9 
10) kxkdx
x
x




2
2
2 1ln2
|x1| ln... 
1
 
 
 
 
45 
11) kdx
x
x



 2
|1x| ln3... 
1
3 2
2 
12) kdx
x



 3
|23x| ln... 
23
1 
13) kxdx
x
x

 |x1| ln1... 1 (dica: u = 1 + x 
u – 1 = x e du = dx) 
14) kxdx
x





 2
382x3... 
382x
63x 2
2
 
15) k
edxe
x
x  7...
7
7 
16) k
edxex
x
x 

 4... .
2
23
4
4
 
17) kxsdx  4
)4(en ... (4x) cos 
18) k
xsdxx  2
)(en ... )(x cos.
2
2 
19) kxdx
x
x
 sen2... 
cos (dica: 
xdx
duxu
2
1
 ) 
20) k
xdx  20
5cos... 5x)sen 5x(cos
4
3 (dica: x
dx
duxu 5sen55cos  ) 
21) kdx
x
 3
 x)(ln... (ln x)
32
 
22) kdx
x
 2
 x)(ln... ln x
2
 
23) k
x
dx
x
 ln
1... 
ln x)(
1
2 
24) kxdx
x
 |ln| ln... ln x . 
1 
25) k
n
dx
x




 1
 x)(ln... (ln x)
1nn
, }1/n {  n 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
1) Prove, utilizando mudança de variável ou o método da substituição, que: 
a)   k |a-x| ln
1 dx
ax
,  a 
b)   k 


x
x edxe , *   
c)   k 
 cos 



xdxxsen , *   
d)   k 
 cos



xsendxx , *   
e)    k | xcos| ln cos dxx
senxdxxtg 
f)    k |sen x| ln 
cos cot dx
xsen
xdxxg 
 
 
 
46 
 
 
 
 
47 
2) Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição: 
Exercício Resposta 
a)   dx)2x3( 3 
 
 
b)   dx 2x3 
 
c) dx
x
 
23
1
 
 
 
d) dx
x  )23(
1
2 
e)   dx sen x 2x 
 
 
f) dxx 
2xe 
 
 
g) dxx 
3x2 e 
 
 
h)  dxx 5sen 
 
 
i) dxxx  43 cos 
 
 
 
j)  dxx 6cos 
 
 
 
k) dxxsenx cos3  
 
 
 
l)   dxxxsen cos5 
m) dx
x
 
3
2
 
 
n) dx
x
 
34
5
 
 
o) dx
x
x 
41 2 
 
 
p) dx
x
x
  65
3
2
 
 
q) dx
x
x 
)41( 22  
 
r) dxxx31 2  
 
s)   dxee xx 1 
t)  
dx
)1x(
1
3 
 
u) dx
x
x 
cos
sen
2 
 
 
v)   dx e 
2-xx 
a) k
12
)2x3( 4


 
b) k)2x3(
9
2 3  
c) k2x3ln
3
1
 
d) k
)2x3(3
1


 
e) kxcos
2
1 2  
f) ke
2
1 2x  
g) ke
3
1 3x  
h) kx5cos
5
1
 
i) kxsen
4
1 4  
j) kx6sen
6
1
 
 
 
k) kxcos
4
1 4  
 
 
l) kxsen
6
1 6  
 
m) k3xln2  
 
n) k3x4ln
4
5
 
o) k)x41ln(
8
1 2  
p) k)x65ln(
4
1 2  
q) k
x



)41(8
1
2 
r) k)x31(
9
1 32  
 
s) ke x  3)1(
3
2 
t) k
)1x(2
1
2 
 
u) k
xcos
1
 
 
v) ke
2
1 2x   
 
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 
 
48 
Sabemos que: 
 [ sen x ] ’ = cos x 
 [ cos x ] ’ = - sen x 
 [ tg x ] ’ = sec2 x 
 [ cotg x] ’ = - cossec2 x 
 [ sec x ] ’ = sec x . tg x 
 [ cossec x ] ’ = - cossec x . tg x 
 
Assim, 
   kxdxx cos sen 
   kxdxx sen cos 
   kxtgdxx sec2 
   kxgdxx cot seccos 2 
   kxdx sec x tg x sec 
   kxdxx seccos x cotg seccos 
 
Exemplos: 
 
1) Mostre, utilizando derivadas, que   kxdx | cos|ln x tg 
(caso i) cos x > 0 
[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (cos x) + k] ’ = xtg
x
x
x
 
cos
sen
cos
(-sen x)
 
(caso ii) cos < 0 
[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (- cos x) + k] ’ = xtg
xx
 
cos
sen x
cos
sen x


 
   kxdx | cos|ln x tg 
 
Nota de revisão: 






0 xse ,
0 xse , 
 ||
x
x
x , logo: | x | = x se x  0 e | x | = - x se x < 0 
 
2) Mostre, utilizando derivadas, que   kxdx | tg x sec|ln x sec 
(caso i) sec x + tg x > 0 
[ ln | sec x + tg x | + k]’ = [ ln (sec x + tg x) + k]’ = 
 x tg x sec
sec x tg x sec 2

 x = 
x
x
 sec xtg
) sec x tg( x sec


 = sec x 
(caso ii) sec x + tg x < 0 
[ln | sec x + tg x | + k]’=[ ln (- (sec x + tg x)) + k]’ =
 x) tg x (sec-
sec x tg x sec- 2

 x = 
x
x
 sec xtg
) sec x tg( x sec


= sec x 
   kxdx | tg x sec|ln x sec 
 
3)    kxxdxdx tg 1)- x(sec x tg 22 
Nota de revisão: 
sen 2 x + cos 2 x = 1 e 1 + tg 2 x = sec 2 x , pois: x
xx
xx
x
x 2
22
22
2
2
sec
cos
1
cos
sencos
cos
sen1  
 
4)   



  kkdxdxos 
4
2xsen 
2
x 
2
2xsen .
2
1x
2
1 2x cos
2
1
2
1 x c 2 
 
 
 
49 
Nota de revisão: 
cos 2x = cos (x + x) = cos x . cos x - sen x . sen x = cos2 x - sen2 x = cos2 x - (1 - cos2 x) = 2 cos2 x - 1, 
logo cos 2x = 2 cos2 x - 1  cos2 x = x2cos
2
1
2
1
 
 
5)   



  kkdxcdx 
4
2xsen 
2
x 
4
2xsen 
2
x- x x)os-(1 x sen 22 
 
6)   dxxx )cos(sen 2 ... = k
xx 
2
2cos (Sugestão:  cos22  sensen ) 
 
7)   dxxx )cos(sen 2 ... = kxx  2cos 
 
8)   dxxx )cos(sen 2 ... = kxsenx  2 
 
9)  dxx
x 
2cos
4sen ... = - cos 2x + k (Sugestão:  cos22  sensen ) 
 
10)   dxxxsen )cos1( 2 ... = k
x



3
)cos1( 3
 
 
11) dx
xgx
 
 cot cos
1
  = dxxgx cot 
1
cos
1
 





 =  dxtgxx sec  = sec x + k 
Nota de revisão: 
x
x
cos
1sec  ;
x
x
sen
1seccos  ;
x
xxtg
cos
sen  ; xtg
xg
 
1 cot  
 
12) Mostre, utilizando mudança de variável, que   kxdx | cos|ln x tg 
Solução: k | xcos|ln- k |u|-lndu 1
1-
du 1dx 
cos
1dx 
cos
dx 
*
  uusenxxx
senxxtg 
* u = cos x  x
dx
du sen  dxxdu sen
1


 
 
13) Mostre, utilizando mudança de variável, que   kxdx | sen|ln x cotg 
Solução: k |sen x|ln k |u|lndu 1du 1dx cos1dx cosdx cot
*
  uuxsenxsenx
xxg 
* u = sen x  x
dx
du cos  dxxdu cos 
 
14) k
xsdxx  2
)(en ... )(x cos
2
2 
 
15) kxdx
x
x
 sen2... 
cos (Dica: 
xdx
duxu
2
1
 ) 
 
16) k
xdx  20
5cos... 5x)sen 5x (cos
4
3 (Dica: x
dx
duxu 5sen55cos  ) 
 
17) Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 5 cos x + 2 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = 3 e f 
’ (0) = 4. Resposta: f(x) = -5 cos x – 2 sen x + 6x + 8 
 
 
 
 
50 
 
18) Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 16 cos 2x – 3 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = -2 e 
f ’ (0) = 4. Resposta: f(x) = 3 sen x – 4 cos 2 x + x + 2. 
 
19) Mostre, utilizando o método de substituição, que: 
(i)   dxxxsen cos = k
x

2
sen2
 (Faça: u = sen x) 
(ii)   dxxxsen cos = k
x

2
cos2
 (Faça: u = cos x) 
 
20) Mostre que   dxxxsen cos = k
x

4
2cos (Lembre-se:  cos22  sensen ) 
Solução: Como sen 2x = 2 sen x cos x  xxsenxsen cos 
2
2
 
Assim,   dxxxsen cos =
kxkuduuduudxxdxx    4
2coscos
4
1 sen
4
1
2
 sen
2
1 2sen
2
1 
2
2sen ** 
* u = 2x  2
dx
du e dxdu 
2
 
 
21) Prove, utilizando o método da substituição, que   k 
 cos 



xdxxsen , *   
Solução:    k 
 cosk cos1 
*




xuduusendxxsen 
 * u = x  
dx
du e dxdu 

 
 
22) Prove, utilizando o método da substituição, que   k 
 cos



xsendxx , *   
Solução:    k 
en k 1 os os
*




xsusenduucdxxc 
 
* u = x  
dx
du e dxdu 

 
 
23)   kxtgarcdxx 1
1
2
 
 
24)  

kxsenarcdx
x
 
1
1
2
 
 
 
 
 
 
 
51 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Suponhamos f e g funções definidas e deriváveis em um mesmo intervalo I. Temos, pela regra do 
produto: 
 
[ f(x).g(x)] ' = f ' (x).g(x) + f(x).g ' (x) 
ou 
 
f(x).g ' (x) = [ f(x).g(x)] ' – f ' (x).g(x) 
 
Supondo, então, que f ' (x).g(x) admita primitiva em I e observando que f(x).g(x) é uma primitiva de 
[f(x).g(x)] ' , então f(x).g ' (x) também admitirá primitiva em I e 
 
  dx )()('- g(x)f(x) dx )(')( xgxfxgxf (1) 
 
 
que é a regra de integração por partes. 
 
Fazendo u = f(x) e v = g(x), teremos du = f ' (x) dx e dv = g ' (x) dx, o que nos permite escrever a regra 
(1) na seguinte forma usual: 
 
  - vu duvdvu 
 
Suponha, agora, que se tenha que calcular   dxxx )()(  . Se você perceber que, multiplicando a 
derivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra, chega-se a uma função que 
possui primitiva imediata, então aplique a regra de integração por partes. 
 
 
Exemplos: Calcule as seguintes integrais: 
 
1)   dx x cosx = ... = kxxx  cossen. 
 
 
2)   dx x senx = ... = kxxx  sencos. 
 
 
3)   dx x cos2x = ...= kxxxxx  sen2cos.2sen.2 
 
 
4)   dx x senx2 = ...= kxxxxx  cos2sen.2cos.2 
 
 
5)   dx x cosxe = ... = kxx
ex
 )cos(sen
2
 
 
 
6)   dx x senxe = ... = kxx
ex
 )cos(sen
2
 
 
 
 
 
52 
7) Sabendo que   kxdxx ||ln 
1 , mostre que:  dxln x = x. (ln x – 1) + k 
Resposta: fazendo: f = ln x e g ’ = 1  dxln x = kxx  )1(ln 
 
8) Sabendo que:   karcdxx x tg 1
1
2
, mostre que: 
 dx x tgarc =  kxxkxx 22 1ln x tgarc )1ln(2
1 x tgarc 
 
9) Sabendo que:  

karcdx
x
sen x 
1
1
2
, mostre que: 
 dxsen x arc = x.arc sen x +
21 x + k 
 
 
10)  dx x cos2 = ... = kxx  4
2sen
2
 
 
 
11)  dx x sen 2 = ... = k
xx

4
2sen
2
 
 
 
12) Sabendo que   ktgxdxx |sec|lnsec