APOSTILA CDI LIMITES

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• 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 2 
FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a ≠≠≠≠ 0 
 
1) 
a2
b
 x: temos,ca4b doconsideran e 0cxbxa Se 22
⋅
∆±−
=⋅⋅−=∆=+⋅+⋅ 
2) 
a
b
xx
a
c
xx
: temos0cxbxa Se
21
21
2






−=+
=⋅
=+⋅+⋅ 
 
3) )xx()xx(acxbxa 212 −⋅−⋅=+⋅+⋅ 
 
4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: 2
 x x
 
a2
b
x 21V
+
=
⋅
−= e 
a4
)x(fy vV
⋅
∆
−== 
 
5) Decomposição de polinômios: )rx(...)rx()rx()rx(a)x(P n321n −⋅⋅−⋅−⋅−⋅= 
 
6) Fatorações especiais: )aax...axaxx()ax(ax 1n2n23n2n1nnn −−−−− +⋅++⋅+⋅+⋅−=− 
 
• MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO: 



<−
≥
=
0 xse x,
0 x se x,
 |x| 
 
• SOMATÓRIO: n21
n
1i
i x...xxx +++=∑
=
 
 
• GEOMETRIA ESPACIAL 
 
♦ Prisma: 




×=
×+=
AlturaBasedaÁreaVolume
BasedaÁreaLateralÁreaTotalÁrea 2
 
 
♦ Cilindro: 





=
+×=
==
hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
hrLateralÁrearBaseÁrea
2
2
;2
2;
pi
pipi
 
 
♦ Cone: 







=
+=
==
hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
grLateralÁrearBaseÁrea
2
2
3
1
;
;
pi
pipi
 
 
♦ Esfera: 





=
=
3
2
3
4
4
rVolume
rÁrea
pi
pi
 
 
 
 
 
 3 
 
 
• FUNÇÃO EXPONENCIAL: 1a 0 a ay x ≠>= e, 
 
 
• Propriedades das potências: 
1) 43421
n termos
 x ... x ⋅⋅⋅= xxn 2) nmnm xxx ⋅=+ 3) 
n
m
nm
x
x
x =− 
 
4) 
1
n
n
x
x =− 5) nmm xx ⋅= )( n 6) n
m
n m xx = 
 
7) )0(10 ≠= aa 
 
• FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 





≅





+==
>≠>=
+∞→
..2,7182818.11lim e :onde ,log x ln
,log
x
x
x
e
x
a
x
0 x e 1a e 0 a y
 
 
• Propriedades logarítmicas: 
1) ( ) ( ) ( )B log A log BA log aaa +=⋅ 2) ( ) ( )B log A log B
A 
 log aaa −=





 
 
2) ( ) ( ) A log n A log n aa ⋅= 4) base) de mudança como (conhecida B log
A log
 log
a
a
=
A
B 
 
5) xa
x
a
=
log
 e por consequência xe x =ln 
 
• GEOMETRIA ANALÍTICA: 
 
1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem 
iguais, isto é: 
sr mmsr =⇒// 
 
2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes 
angulares for igual a menos um, isto é: 
1 −=⋅⇒⊥ sr mmsr ou 
r
s
m
msr
1
 −=⇒⊥ 
 
 
• A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é 
dado por: 222 )()( ryyxx cc =−+− . 
 
• Considerando a circunferência com centro na origem, 
temos: 222 )0()0( ryx =−+− ⇒ 222 ryx =+ . 
 
 
 
22 xry −=
 
3) Equação fundamental da reta: )x-(x p⋅=− myy p , em que: 
x
y
tgm
∆
∆
== α .
 4 
TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências 
(01) 
hip
co
hipotenusa
oposto cateto
==θsen (02) 
hip
ca
hipotenusa
adjacente cateto
cos ==θ 
(03) 
ca
co
adjacente cateto
oposto cateto
==θtg ou 
θ
θθ
cos
sen
tg = (04) 
θ
θθ
sen
g coscot = ou 
θ
θ
tg
g 1cot = 
(05) 
θ
θ
cos
1
sec = (06)
θ
θ
sen
1
 cossec = 
(07) 1 cos 22 =+ θθsen (08) θθ 22 s tg 1 ec=+ 
(09) θθ 22 secctg1 osco =+ 
(10) Soma de arcos: 







⋅+⋅=−
⋅−⋅=+
⋅−⋅=−
⋅+⋅=+
bsen asen b cos a cos)(cos
bsen asen b cos a cos)(cos
a cosbsen b cos a )(
a cosbsen b cos a )(
ba
ba
senbasen
senbasen
 
(11) Arcos duplos: 



⋅⋅=
−=
θθθ
θθθ
cossen2 2
 cos 2cos 22
sen
sen
 
(12) Relação fundamental trigonométrica e consequências: 




=−=−
⇒=+
θθθθ
θθ
2222
22
cos1cos1
1cos
senesen
sen
 
(13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos: 






−=
+=
θθ
θθ
2cos
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1
cos
2
2
sen
 
(14) Transformação de soma em produto: 


















 −
⋅




 +
⋅−=−





 −
⋅




 +
⋅=+





 +
⋅




 −
⋅=−





 −
⋅




 +
⋅=+
2
 
2
 2coscos
2
 cos 
2
 cos2coscos
 
2
 cos 
2
 2
 
2
 cos 
2
 2
qp
sen
qp
senqp
qpqpqp
qpqp
senqsenpsen
qpqp
senqsenpsen
 
(15) Lei dos Senos e Lei do Cossenos: 





⋅⋅⋅−+=
==
Acbcba
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆcos2
ˆˆ
222
)
 
� Definição de limites: ε<−<⇒δ<−<εδ=δ∃>ε∀⇔=
→
|L)x(f|0|px|0se/)(,0L)x(flim
px
 
� Limites especiais: 1
x
xsenlim
0x
=
→
; e
x
11lim
x
x
=





+
+∞→
 ⇒ e
x
11lim
x
x
=





+
−∞→
 e ( ) ex1lim x1
0x
=+
→
 
� CONTINUIDADE: f é contínua em x = p )()(lim pfxf
px
=⇔
→
. 
 5 
CAPÍTULO I – LIMITES 
 
O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. Neste 
momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as definições rigorosas e as 
demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de limite é trabalhada geometricamente 
por meio de seqüências e pela análise do gráfico de uma função. 
 
A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na compreensão e, 
conseqüentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo das ciências que 
lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é uma parte (um ramo) da 
matemática, toda ela, fundamentada no conceito de limite. 
 
O conceito de limite de uma função f é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo da 
Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, 
quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um 
procedimento a ser adotado é experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez 
menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que 
no vácuo ela seria igual ao valor L. 
 
Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada por f(x), então podemos 
representar esse resultado por: 
 
Lxf
x
=
→
)( lim
0 
 
 
Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de fundamental 
importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na 
física, eletricidade, mecânica, etc. 
 
• Limites: Breve histórico 
 
Uma preocupação já presente entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos para 
encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, 
relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de 
áreas de figuras limitadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. 
 
Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que 
se utilizem, direta ou indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de 
calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com 
número cada vez maior de lados, de acordo com a seqüência de figuras apresentada a seguir. 
 
 
 
 
Calculandoa área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices 
no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito 
a todos os elementos da seqüência em questão. 
 
Deve-se a Cauchy (1789-1857), matemático francês, a formalização precisa de limite. 
... 
 6 
1) Tema: Limites 
 
2) Pré-requisitos: 
O acadêmico deverá apresentar domínio sobre: 
• Reta numérica (reta real); 
• Funções, compreendendo definição (conceito), domínio, imagem e representação gráfica; 
• Polinômios, entendendo valor numérico e raízes (ou zeros) deste; 
• Equações algébricas, fatorações; 
• Conceito de velocidade e aceleração. 
 
3) Objetivos instrucionais: 
 
O acadêmico será capaz de perceber de forma intuitiva a teoria dos limites como objetivo para estudar 
o comportamento de uma função quando sua variável está na proximidade de um número real, 
podendo a função estar ou não definida. Inicialmente, trabalharemos com limite de funções tendendo 
para um valor fixo ou para mais infinito. 
 
4) Desenvolvimento do tema: 
 
4.1. Introdução: 
 
Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser 
eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado. 
 
Exemplos: 
 
1) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. 
Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha. 
 
2) Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta. 
 
3) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível 
necessário para que a aeronave entre em órbita. 
 
4) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e 
compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir 
de agora, o preço de certo modelo seja de 
1
3040)(
+
+=
x
xP unidades monetárias (u. m.). 
a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45. 
b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1. 
c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses. 
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x→ ∞)? Resposta: P(x) → $ 40 quando x → ∞. 
 
5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de 
milhares
t
tP
1
620)(
+
−= . 
a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? 
b) De quanto a população crescerá durante o 90 ano? 
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? 
Resposta: a) P(9) = 194/10 = 19,4 milhares. 
b) P(9) – P(8) = 194/10 - 58/3 = (1/15) milhares = 67 habitantes. 
c) A população aproximar-se-á de 20 mil habitantes. 
Nota: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual 
pode-se aproximar tanto quanto se desejar. 
 7 
4.2. Conceito de limite: 
 
Exemplos: 
 
1) Inicialmente, vamos tomar a função f: ℜ→ℜ, definida por y = f(x) = x – 2 e determinar o valor de 
f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2. 
 
Atribuindo a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos valores 
menores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme ilustra o quadro a seguir: 
 
x f(x) 
1 -1 
1,5 -0,5 
1,8 -0,2 
1,9 -0,1 
1,99 -0,01 
1,999 -0,001 
1,9999 -0,0001 
1,99999 -0,00001 
1,999999 -0,000001 
 
Percebe-se que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os valores de f(x) aproximam-se de 
0 (zero). 
 
Por outro lado, atribuindo-se a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, 
sendo todos maiores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no seguinte 
quadro: 
x f(x) 
3 1 
2,5 0,5 
2,3 0,3 
2,1 0,1 
2,01 0,01 
2,001 0,001 
2,0001 0,0001 
2,00001 0,00001 
2,000001 0,000001 
 
Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que os valores de x aproximam-se 
de 2 (dois). 
 
Graficamente, usando o software Maple, temos: 
> plot(x-2,x=-1..4,color=blue); 
 
 
Neste caso, escrevemos em linguagem matemática: 
 
0)(lim)(lim)(lim
222
===
→→→ +−
xfxfxf
xxx
 
 
Lê-se: Limites laterais de f(x) são iguais ao limite de f(x), quando x tende para 2 e é igual a 0. 
 8 
2) Tomemos a função .
3
9)(
2
−
−
=
x
x
xf Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se 
aproxima f(x) quando x se aproxima de 3. 
 
Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3. 
 
x f(x) 
2,5 5,5 
2,8 5,8 
2,9 5,9 
2,99 5,99 
2,999 5,999 
2,9999 5,9999 
... ... 
 
Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos 
aproximamos de x por valores menores do que 3. 
 
Matematicamente, representamos esta situação por: 
 
6)( lim
-3 
=
→
xf
x
 
 
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis). 
 
Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3. 
 
x f(x) 
3,4 6,4 
3,2 6,2 
3,1 6,1 
3,01 6,01 
3,001 6,001 
3,0001 6,0001 
... ... 
 
Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6. 
 
Matematicamente, representamos esta situação por 
 
6)( lim
3 
=
+→
xf
x
 
 
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis). 
 
Estes limites, são chamados limites laterais. 
 
O limite de uma função existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais. 
 
Simbolicamente: 
 
LxfxfLxf
axaxax
==⇔=
+− →→→
)(lim)(lim)(lim 
 
 
Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que: 
 
6)(lim
3
=
→
xf
x
 6)(lime 6)(lim pois,
33
==
+− →→
xfxf
xx
 
 
 9 
Limites laterais: São obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de f(x), quando x 
tende a 2 pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que x (limite de f(x), quando x tende 
a 2 pela direita). 
 
Antes de formalizarmos o conceito, façamos mais um exemplo: 
 
Analisar a função f: ℜ→ℜ, definida por 
1
1)(
2
−
−
==
x
x
xfy , quando x tende (aproxima-se) para 1. 
 
Atribuindo valores para x, pode-se construir um quadro e em seguida, fazer um esboço de seu gráfico, 
ressaltando que }1/{)( ≠ℜ∈= xxfDom (Dom = domínio, ou seja, valores que são possíveis de serem 
atribuídos a variável independente x). 
 
x 
1
12
−
−
=
x
xy 
-1 0 
0 1 
0,9999 1,9999 
1 Não existe 
1,0001 2,0001 
2 3 
3 4 
 
Graficamente, usando o software Maple, temos 
> plot((x^2-1)/(x-1),x=-2..4,color=blue); 
 
 
Observe no gráfico, o que ocorre com as imagens das seqüências cujos valores se aproximam de 1. As 
imagens se aproximam de 2. Portanto, neste caso, escrevemos: 
 
2)(lim)(lim)(lim
111
===
→→→ +−
xfxfxf
xxx
 
 
Perceba que o limite dessa função para x tendendo a 1 existe, embora a função não esteja definida no 
ponto x = 1. 
 
De forma genérica, escrevemos: Lxf
ax
=
→
)(lim
 
 
De acordo com os exemplos apresentados anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma função f, 
quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a, o valor de f(a) é 
irrelevante. 
 
Nota: ℜ∈




=
=
⇔=
+
−
→
→
→
L
Lxf
Lxf
Lxf
ax
ax
ax
,)(lim
)(lim
)(lim 
 
 10 
Exemplos: 
 
1) O gráfico a seguir representa uma função f de ]9 ,6[− em ℜ . Determine: 
 
a) )2(f 
 
b) )(lim
2
xf
x −→
 
 
c) )(lim
2
xf
x +→
 
 
d) )(lim
2
xf
x→e) )2(−f = 
 
f) )7(f = 
Solução: 
a) 3)2( =f 
b) =
−→
)(lim
2
xf
x
2 
c) =
+→
)(lim
2
xf
x
5 
d) Não existe o limite pedido, pois: )(lim
2
xf
x −→
 ≠ )(lim
2
xf
x +→
 
e) 0)2( =−f 
f) 0)7( =f 
Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f. 
 
2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o 
volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume 
forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: 
a) V
p −→100
lim b) V
p +→100
lim c) V
p 100
lim
→
 
 
Solução: 
a) V
p −→100
lim = 0,8 
b) V
p +→100
lim = 0,4 
c) Não existe o limite pedido, pois: V
p −→100
lim ≠ V
p +→100
lim 
 11 
5) Metodologia: 
 
• Exposição do conteúdo com utilização de quadros e gráficos. 
 
• Tomar exemplos singulares, objetivando chegar a pluralidade do assunto, representando-o na 
linguagem matemática. 
 
6) Recursos didáticos: 
 
Quadro-de-giz, giz, retroprojetor, transparências, computador, projetor multimídia, lista de exercícios, 
etc. 
 
7) Verificação da aprendizagem: 
 
• Participação do acadêmico no decorrer da aula, considerando sua curiosidade, e é claro que 
respeitando a sua individualidade; 
 
• Interesse na resolução dos exercícios; 
 
• Avaliação escrita e individual; 
 
• Utilização de software matemático de manipulação algébrica (Maple®, por exemplo). 
 
8) Lista de Exercícios: 
 
 
9) Referências Bibliográficas: Final da apostila 
 
 
 
ATIVIDADE: PESQUISAR APLICAÇÕES DE LIMITES: 
 
1) SOMA INFINITA DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG). 
 
2) APLICAÇÕES À ELETRICIDADE. 
 
3) APLICAÇÕES À ENGENHARIA. 
 
4) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA. 
 
 
 12 
ALGUMAS APLICAÇÕES DE LIMITES 
 
• Área de um círculo 
 
Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de 
uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a 
figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. 
 
Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos um polígono regular 
inscrito de n lados, que denotamos por Pn, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
Seja An a área do polígono Pn. Então, 
nTn
AnA ⋅= , onde 
nT
A é a área do triângulo de base ln e altura hn, 
da figura a seguir. 
 
 
 
Como 
2
nn
T
hlA
n
⋅
= é o perímetro do polígono Pn é dado por nn lnp ⋅= , vem: 
22
nnnn
n
hphl
nA ⋅=⋅⋅= 
 
Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, +∞→n , o polígono Pn torna-se uma aproximação do círculo. 
O perímetro pn aproxima-se do comprimento do círculo rpi2 e a altura hn aproxima-se do raio r. 
 
Nesta condição, temos, 
 
2
 
2
 2lim rrrAn
n
pi
pi
=
⋅
=
∞→
 
 
que á a área do círculo. 
 13 
• Velocidade Média e Velocidade Instantânea 
 
Vamos utilizar uma historinha para ilustrar melhor os conceitos: 
 
O senhor Mário mora na cidade A e, nos fins de semana, vai visitar a irmã que mora na cidade B, 
distante 200 quilômetros de A, e nesse percurso ele leva duas horas e meia. Na última vez, o senhor 
Mário foi multado pela polícia rodoviária por excesso de velocidade. Ele tentou argumentar que, como 
percorreu 200 km em duas horas e meia, a sua velocidade é de 80 km/h e portanto não poderia ser 
multado. Por que os guardas rodoviários não lhe deram ouvidos? 
 
A velocidade a que se refere o senhor Mário é a velocidade média: 
 
horakm
decorridotempo
percorridadistância
vm /805,2
200
=== 
 
A velocidade a que se refere o guarda rodoviário é a velocidade instantânea, que provavelmente era 
maior do que 80 km/h no instante em que ele passava pelo local, pois é difícil manter uma velocidade 
constante num percurso tão longo. 
 
Lembremos o que é velocidade instantânea. 
 
Seja s = s(t) a equação horária do movimento de um ponto material na reta numérica, isto é, s(t) indica 
a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade média do ponto material no intervalo de 
tempo ],[ ttt ∆+ é dada pela razão (divisão) entre o espaço percorrido e o tempo decorrido. 
 
t
tstts
t
s
vm ∆
−∆+
=
∆
∆
=
)()(
 
A velocidade instantânea do ponto material no instante t é o limite da velocidade média 
t
s
∆
∆
 quando 
t∆ tende para 0: 
t
tstts
t
s
tvv
tt ∆
−∆+
=
∆
∆
==
→∆→∆
)()(limlim)(
00
 
Exemplo: 
 
1) Seja ttts 103)( 2 += a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica. 
Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule: 
a) A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2, 4]. 
b) A velocidade instantânea no instante t = 2. 
Solução: 
a) Velocidade média: 
sm
ss
vm /282
56
2
20124048
2
)21023()41043(
24
)2()4( 22
==
−−+
=
⋅+⋅−⋅+⋅
=
−
−
= 
b) A velocidade instantânea no instante t = 2. 
=
∆
⋅+⋅−∆++∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆ t
tt
t
sss
v
tt
)21023()2(10)2(3lim)2()2(lim
22
00
 
smt
t
ttt
tt
/22]223[lim2012102043)(343lim
0
2
0
=+∆⋅=
∆
−−∆⋅++∆⋅⋅+∆+⋅
=
→∆→∆
 
 
No próximo tópico, diremos que a velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo: 
 
dt
ds
tv =)( 
 14 
2) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas 
v = n(t) e v = e(t) da figura abaixo fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo 
para a partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da 
Relatividade Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de 
limites, descreva as diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias. 
 
3) Seja T = f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A 
figura abaixo mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a temperatura 
ambiente. Pergunta-se: 
a) Qual é o significado físico de ?)(lim
0
tf
t +→
 
b) Qual é o significado físico de ?)(lim tf
t ∞→
 
 
 
CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 2007) 
 
Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos 
físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo 
que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0 (A voltagem caiu para zero 
quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para 
uma companhia que reabastece o estoque com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As 
descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento. 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
 
 15 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Seja a função f: ℜ*→ℜ, definida por ||)( x
x
xf = . Esboce o gráfico de f e calcule )(lim
0
xf
x→
. 
 
2) Seja f a função racional definida por )2(
)2()12()(
−
−⋅+
=
x
xx
xf . Esboce o gráfico de f e calcule 
)(lim
2
xf
x→
. Dica: Inicialmente, explicite o domínio de f. 
 
3) Dada a função f definida por: 





>+
=
<−
=
1,2
1,2
1,4
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf . Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite 
quando x tende a 1. 
 
4) Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um 
experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. 
Suponha que o tempo requerido pelo ratopara atravessar o labirinto na enésima tentativa era de 
aproximadamente 
n
nf 123)( += minutos. 
a) Para que valores de n a função f ( n ) tem significado no contexto do experimento psicológico? 
Resposta: Todo inteiro positivo )Z( *+ 
b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos 
c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos? 
Resposta: 12a tentativa 
d) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o 
labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o 
labirinto em menos de 3 minutos? 
 Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos. 
 
5) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas 
pelo comprador por intermédio da equação 
x
xP 20050)( += , em que P(x) é o preço em dólares por 
saca e x é o número de sacas vendidas. 
a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 (cem) sacas? 
b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 (duzentas) sacas? 
c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou? 
d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x→ ∞)? 
Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) → $ 50 quando x → ∞ 
 
6) O gráfico a seguir representa uma função f de ]2 ,4[− em ℜ . Determine: 
 
 
a) )1(−f = 
 
 
b) =
−
−→
)(lim
1
xf
x
 
 
 
c) =
+
−→
)(lim
1
xf
x
 
 
Resposta: a) 5)1( =−f b) 3 c) 5 
 16 
7) Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um medicamento. A 
cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do medicamento presente na 
corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a seguir. Determine e interprete: 
a) )(lim
8
tf
t −→
 b) )(lim
8
tf
p +→
 
 
 
Resposta: a) 150 b) 250 Interpretação: Não existe limite. 
 
8) O gráfico a seguir representa uma função f de [4 ,3[− em ℜ . Determine: 
 
 
a) )1(f = 
 
 
 
b) =
−→
)(lim
1
xf
x
 
 
 
 
c) =
+→
)(lim
1
xf
x
 
 
 
Resposta: a) 4)1( =f b) -2 c) 4 
 
9) Se a equação horária de uma partícula é ,16)( 2 ttts += determine: 
a) A velocidade média no intervalo de tempo [2; 2,1]. 
b) A velocidade instantânea da partícula no instante t = 2. 
 
 17 
10) Complete os espaços indicados, analisando cada função dada pelo gráfico: 
 
• Gráfico I (Maple: plot(2*x,x=-1..4,color=black);) 
 
a) ...)(lim
2
=
−→
xf
x
 
 
b) ...)(lim
2
=
+→
xf
x
 
 
c) ...,)(lim
2
=
→
xf
x
 pois: 
 
)(lim...)(lim
22
xfxf
xx +− →→
 
 
• Gráfico II (Maple: plot(3-x,x=-2..4,color=black);) 
 
a) ...)(lim
1
=
−→
xf
x
 
 
b) ...)(lim
1
=
+→
xf
x
 
 
c) ...,)(lim
1
=
→
xf
x
 pois: 
 
)(lim...)(lim
11
xfxf
xx +− →→
 
 
• Gráfico III (Maple: f:=x->piecewise(x>1,6,x<=1,x+3); 
 plot(f(x),x=-4..4 color=black);) 
 
a) ...)(lim
1
=
−→
xf
x
 
 
b) ...)(lim
1
=
+→
xf
x
 
 
c) ...,)(lim
1
=
→
xf
x
 pois: 
 
)(lim...)(lim
11
xfxf
xx +− →→
 
 
Conclusão: O limite de ),(xf quando x tende a p, existe e é único se os limites laterais existem e são 
............ 
 18 
RESPOSTAS, DICAS E SUGESTÕES 
 
1) > plot(x/abs(x),x=-2..2,color=blue); 
 
 Resposta: Não existe o limite pedido, ou seja, não existe )(lim
0
xf
x→
. 
 
2) > plot((2*x+1)*(x-2)/(x-2),x=-2..6,color=blue); 
 
 Resposta: 5)(lim
2
=
→
xf
x
. 
 
3) > f:=x->piecewise(x<1,4-x^2,x=1,2,x>1,2+x^2); 
 := f → x ( )piecewise , , , , , < x 1 − 4 x2 = x 1 2 < 1 x + 2 x2
 
> f(x); 




 − 4 x2 < x 1
2 = x 1
 + 2 x2 < 1 x
 
> plot(f(x),x=-2..2,color=blue); 
 
 Resposta: 3)(lim
1
=
→
xf
x
. 
 
 19 
• LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
A ideia precisa do limite foi formalizada pelo matemático francês Cauchy (1789-1857). 
 
• NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
Dizemos que a função f(x) têm por limite o número L quando x tende para o número p, e escrevemos: 
L)x(flim
px
=
→
 
 
Nota: Os valores de x podem se aproximar do valor de p pela direita ou pela esquerda, estudaremos 
estes casos precisamente em limites laterais. 
 
Exemplos: 
1) Seja a função f(x) = 2x+1, calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite, )1x2(lim
2x
+
→
. 
Solução: 
Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela 
direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2) 
 
Esquerda Direita 
x 2x+1 x 2x+1 
1 2.1+1 = 3 3 2.3+1 = 7 
1,5 2.1,5+1 = 4 2,5 2.2,5+1 = 6 
1,7 2.1,7+1 = 4,4 2,1 2.2,1+1 = 5,2 
1,8 2.1,8+1 = 4,6 2,01 2.2,01+1 = 5,02 
1,9 2.1,9+1 = 4,8 2,001 2.2,001+1 = 5,002 
1,95 2.1,95+1 = 4,9 2,0001 2.2,0001+1 = 5,0002 
1,99 2.1,99+1 = 4,98 2,00001 2.2,00001+1 = 5,00002 
... ... ... ... 
↓ ↓ ↓ ↓ 
2 5 
 
2 5 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
eixo das abscissas, X
e
ix
o
 
da
s
 
o
rd
e
n
a
da
s
,
 
Y
Y = 2X + 1
 
 
Assim, substituindo estes valores no gráfico observamos que quando x se aproxima de 2 a função f(x) 
se aproxima de 5. 
 
Como o Domínio de f(x) = 2x+1 é todos os Reais temos 5122)12(lim
2
=+⋅=+
→
x
x
 
2) )4x(lim 2
1x
−
→
=12 – 4 = 1 – 4 = -3, pois o domínio de f(x) = x2 – 4 é todos os Reais 
 
 20 
3) 422)2x(lim
2x
)2x)(2x(lim
2x
4xlim
2x2x
2
2x
=+=+=
−
+−
=
−
−
→→→
, pois }2{)f(D −ℜ= 
 
 
4) 4
1
4
32
4
3x
4lim)3x)(2x(
)2x(4lim
6x5x
8x4lim
2x2x22x
−=
−
=
−
=
−
=
−−
−
=
+−
−
→→→
, pois }3 2,{)f(D −ℜ= 
 
5) 63339)3x(lim)9x(
)3x)(9x(lim
)3x)(3x(
)3x)(9x(lim
3x
9xlim
9x9x9x9x
=+=+=+=
−
+−
=
+−
+−
=
−
−
→→→→
 
6) 6
1
6
23
6
2
6lim)3()2(
)3(6lim)3()2(
186lim
333
==
−
=
−
=
−⋅−
−⋅
=
−⋅−
−
→→→ xxx
x
xx
x
xxx
 
7) 
5
3
10
6
55
6
5
6lim)5()5(
)5(6lim
25
306lim
5525
==
+
=
+
=
+⋅−
−⋅
=
−
−
→→→ xxx
x
x
x
xxx
 
 
8) Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule )1x(lim
1x
+
→
 
Solução: 
 
Esquerda Direita 
x x+1 x x+1 
2 1+2 = 3 0,5 1+0,5 = 1,5 
1,5 1+1,5 = 2,5 0,9 1+0,9 = 1,9 
1,1 1+1,1 = 2,1 0,99 1+0,99 = 1,99 
1,01 1+1,01 = 2,01 0,999 1+0,999 = 1,999 
1,001 1+1,001 = 2,001 0,9999 1+0,9999 = 1,9999 
... ... ... ... 
↓ ↓ ↓ ↓ 
1 2 
 
1 2 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
4
eixo das abscissa, X
e
ix
o
 
da
s
 
o
rd
e
n
a
da
s
,
 
Y
Y = X + 1
 
 
 21 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES 
 
A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a 
pesquisa do número δ que aparece na definição de limite. 
 
• (P0) Se 1)(lim Lxf
ax
=
→
 e 2)(lim Lxf
ax
=
→
, então .21 LL = (Teorema da Unicidade do limite) 
 
• (P1) Sejam a e c números reais quaisquer, então cc
ax
=
→ 
lim isto é o limite de uma constante é a 
própria constante. 
 
• (P2) Se a, b, m são números reais, então: bmabmx
ax
+=+
→
)(lim 
 
 
 
Exemplo: 754.3)53(lim4 
=−=−
→
x
x
 
 
• (P3) Se ,)(lim e )(lim
 
MxgLxf
axax
==
→→
 então: 
 
a) )]()([lim
 
MLxgxf
ax
+=+
→
 
 
b) )]()([lim
 
MLxgxf
ax
⋅=⋅
→
 
 
c) 0M que desde 
M
L
=)(
)(lim
 
≠
→ xg
xf
ax
 
 
d) [ ] n) positivo inteiro p/ ( )(lim
 
∀=
→
nn
ax
Lxf 
 
e) par n p/ 0 L que desde ,)(lim
 
>=
→
nn
ax
Lxf 
 
f) [ ] 0 L que desde , .ln)(ln lim
 
>=
→
Lxf
ax
 
 
g) [ ] )( cosf(x) cos lim
 
L
ax
=
→
 
 
h) [ ] )( f(x)sen lim
 
Lsen
ax
=
→
 
 
i) lim )(
 
Lxf
ax
ee =
→
 
 
Exemplo: Determine o seguinte limite: 
 
=+−
→
)13(lim 2
2 
xx
x
112.321lim3limlim 2
2
2 2 
2
2 
3
−=+−⇒+−⇒
→→→
P
xxx
P
xx 
 
 
Vemos neste exemplo que o valor de )()(lim
 
afxf
ax
=
→
 
 
Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos: 
 
 22 
Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: )()(lim
 
afxf
ax
=
→
. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule )15(lim 2
2 
+−
→
xx
x
512522 −=+⋅−= 
 
2) Calcule 


 ≤
→ 2>xse ,x
2xse 3x,
 sendo)(lim 22 xfx . 
Solução: Se 623)(lim 2
2 x
=⋅=⇒<
−→
xfx . Por outro lado, 42)(lim2>x 2
2 x +
==⇒
→
xf . Portanto, 
não existe o limite. 
 
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites. 
 
Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então: 
 
)()(lim aqxq
ax
=
→
 
Exemplos: 
1) Calcule 
76
125lim
2
3 
−
+−
→ x
xx
x
 
Solução: 
11
73
11
40
736
13235
76
125lim
22
3 
==
−⋅
+⋅−⋅
=
−
+−
→ x
xx
x
 
 
 
2) Calcular 3 2
5 
943lim +−
→
xx
x
 
Solução: 
464 9+20-75 =943lim943lim 333 2
5
3 2
5 
==+−=+−
→→
xxxx
xx
 
 
Em resumo: 
 
• Sejam f e g funções tais que: 2px1px L)x(flim e L)x(flim == →→ então: 
 
1) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxf pxpxpx →→→ +=+=+ , ou seja, o limite da soma é igual a soma dos 
limites. 
 
2) )(lim.)(lim 1 xfkLkxfk pxpx →→ ⋅=⋅=⋅ 
 
3) )x(glim)x(flim LL)]x(g)x(f[lim
pxpx21px →→→
−=−=− 
 
4) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxf pxpxpx →→→ ⋅=⋅=⋅ 
 
5) 0L que desde ,)x(glim
)x(flim
L
L
)x(g
)x(flim 2
px
px
2
1
px
≠==
→
→
→
 
6) Nn ,)x(flimL)]x(f[lim
n
px
n
1
n
px
∈




==
→→
 
 23 
7) par) én que em caso (no 0L que desde ,)x(flimL)x(flim 1n pxn 1npx >== →→ 
 
8) ℜ∈∀=
→
k ,lim kk
px
, ou seja, o limite de uma constante é a própria constante. 
 
9) pxlim
px
=
→
 
 
10) 
)x(glim
px
L
1
)x(g
px
px2 )x(flimL)x(flim →




==
→→
 
 
• L(x)flim ,...,L(x)flim ,L(x)flim Se nnpx22px11px === →→→ , então 
 
11) n21n21px L...LL)]x(f...)x(f)x(f[lim +++=+++→ 
 
12) n21n21px L...L.L)]x(f)...x(f).x(f[lim =→ , 2n,Nn ≥∈ 
 
Exemplos: 
1) 24...)8x4(lim 3
2x
==−
→
 2) ) c b,a, ( ,cbpap...)cbxax(lim 22
px
ℜ∈∀++==++
→
 
3) 
2
3
...
1x
1xxlim
23
1x
==
+
++
→
 4) 
54x3
1x 2
3
...
2x
x2xlim 






==








+
+
+
→
 
 
LIMITES INDETERMINADOS 
 
Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal 
procedimento nos deparamos com resultados do tipo 
0
0
 ou .
∞
∞
 
 
Exemplo: 
 
1) Calcular o limite abaixo: 
4
2lim 2
2
2 
−
−−
→ x
xx
x
 
Solução: 
 
Seja f(x) = x2 - x – 2 e g(x) = x2 - 4. 
 
Então: 
 
f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0 
 
Assim, ao substituirmos direto teríamos uma indeterminação do tipo 
0
0
, logo tal procedimento não 
pode ser utilizado. 
 
No caso de indeterminações do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
 há vários métodos que podem ser aplicados de acordo 
com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos um método 
prático para resolver tais casos, método este conhecido como regra de L’Hospital. 
 24 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor finito 
 
1) )1x5xx(lim 23
1x
+++
→
= 
 
2) )3x4x2x(lim 23
1x
+−−
−→
= 
 
3) )1x2x2x4(lim 23
2x
−−−
−→
= 
 
4) 
5x
4x5xlim 2
2
3x
−
−+
→
= 
 
5) 
2x
10x7xlim
2
2x
−
+−
→
= 
 
6) 
3x
3x2xlim
2
3x +
−+
−→
= 
 
7) 
xx
x2x5xx3lim 2
234
0x
−
+−+
→
= 
 
8) 
1x2x
3x4xlim 5
3
1x +−
+−
→
= 
 
9) 
6x
36xlim
2
6x
−
−
→
= 
 
 
10) 
2x3x
1xlim 2
2
1x ++
−
−→
= 
 
 
 
11) 
2x
32xlim
5
2x +
+
−→
= 
 
12) 
27x54x36x10x
27x18x8xlim 234
234
3x +−+−
−+−
→
= 
 
13) 
4x2
2xlim
2x
−
−
→
= 
 
14) 
2x
4xlim
4x
−
−
→
= 
 
15) 
x42
xlim
0x
−−
→
= 
 
16) 
x22
xlim
0x
−−
→
= 
 
17) 
1x
x32lim
1x
−
+−
→
= 
 
18) 
11x
xlim
0x
−+→
= 
 
19) 
2x
3x21lim
4x
−
−+
→
= 
 
20) 
11x5x3
22x3x2lim
2
2
2x
−−−
−+−
→
=
 
Respostas: 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
8 4 
- 5 - 26 5 -3 -4 -2 
3
1
− 
12 -2 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
80 2 0 4 4 22 
4
1
− 
2 
3
4
 
14
5
 
 
 
 
 
 25 
LIMITES NO INFINITO 
 
1. Introdução: 
 
Consideremos a função f definida por 
x
xf 1)( = e analisemos, mediante uma tabela, o seu 
comportamento quando os valores de x crescem ilimitadamente através de valores positivos. 
 
x 
4
1
 
3
1
 
2
1
 
1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000 
)(xf 4 3 2 1 
2
1
 
3
1
 
4
1
 
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 
 
Pela tabela constatamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos, os 
valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos 
tal fato por: 0)(lim =
+∞→
xf
x
, que se lê: “limite de f de x , quando x tende a mais infinito, é 
igual a zero”. 
 
Observação: Quando uma variável independente x está crescendo ilimitadamente através de 
valores positivos, escrevemos: “ +∞→x
”
. Devemos enfatizar que ∞+ não é um número real. 
O símbolo ∞+ indica, portanto, o comportamento da variável independente x . 
 
Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável x 
decrescem ilimitadamente através de valores negativos. 
 
x 
-
4
1
 -
3
1
 -
2
1
 
-1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 
)(xf -4 -3 -2 -1 
-
2
1
 -
3
1
 -
4
1
 
-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 
 
Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de x decrescem 
ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez 
mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ −∞→x ” para indicar os valores de x que estão 
decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um 
0)(lim =
−∞→
xf
x
, que se lê: “limite de f de x , quando x tende a menos infinito, é igual a zero. 
 
 
Pelo gráfico da função 
x
xf 1)( = cujo 
esboço é indicado pela figura ao lado, 
notamos que quando x cresce 
ilimitadamente através de valores positivos 
( +∞→x ), os valores da função )(xf 
aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, 
portanto, simbolicamente podemos escrever 
0)(lim =
+∞→
xf
x
 ou 01lim=
+∞→ xx
. 
 
 
 
 
 
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura 
indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores 
negativos ( −∞→x ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). 
Simbolicamente, escrevemos: 0)(lim =
−∞→
xf
x
ou 01lim =
−∞→ xx
. 
 26 
Exemplos: 
 
1) Observe o gráfico da função 
x
xf 11)( −= apresentado na Figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando x tende 
para o infinito. Isto é, 1→y quando .x ±∞→ Denotamos por 111lim =





−
±∞→ xx
 
 
 
2) A função 
1
12)(
−
+
=
x
x
xf tende para 2 quando ±∞→x como podemos observar na Figura 
a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
podemos escrever: 
 
2
1
12lim =
−
+
±∞→ x
x
x
 
 
 27 
2. Propriedades dos Limites no Infinito 
 
2.1. Limite de uma função Polinomial 
 
Consideremos a função polinomial 13764)( 23 +−+−= xxxxP , podemos escrevê-la na 
seguinte forma: 
 






+−+⋅−= 32
3
4
13
4
7
4
614)(
xxx
xxP 
Portanto, 






+−+⋅−=
±∞→±∞→±∞→ 32
3
4
13
4
7
4
61lim)4(lim)(lim
xxx
xxP
xxx
 
Ora, é claro que: 
1
4
13
4
7
4
61lim 32 =





+−+
±∞→ xxxx
 
Temos, então: 
)4(lim)(lim 3xxP
xx
−=
±∞→±∞→
 
Assim, temos dois casos: 
 
−∞=−=
+∞→+∞→
)4(lim)(lim 3xxP
xx
 e +∞=−=
−∞→−∞→
)4(lim)(lim 3xxP
xx
 
 
 
Generalizando, sendo 012211 ...)( axaxaxaxaxP nnnn +++++= −− , podemos sempre escrever: 
 
n
n
xx
xaxP
±∞→±∞→
= lim)(lim 
 
 
2.2. Limite de uma função racional 
 
Dada a função racional )(
)()(
xQ
xP
xf = , onde P e Q são funções polinomiais em x com: 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP nnnn +++++= −− e 012211 ...)( bxbxbxbxbxQ mmmm +++++= −− 
 
Sendo 0≠na e .0≠mb Tem-se então que: 
 
mn
x
m
n
m
m
n
n
xm
m
x
n
n
x
x
x
xx
x
b
a
xb
xa
xb
xa
xQ
xP
xQ
xP
xf −
±∞→±∞→
±∞→
±∞→
±∞→
±∞→
±∞→±∞→
⋅===== limlim
lim
lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim)(lim 
 
Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados: 
 
1o) ±∞=⇒>
±∞→
)(lim xfmn
x
 
2o) 0)(lim =⇒<
±∞→
xfmn
x
 
3o) 
m
n
x b
a
xfmn =⇒=
±∞→
)(lim 
 
 28 
Exemplos: 
 
1) +∞=⋅==
+−
+−+
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
xx
xxx
xxx
lim
9
10
9
10lim
4109
115810lim 2
3
2
23
 
 
2) 00151lim1515lim
21012
1196815lim 4
3
24
23
=⋅−=⋅−=
−
=
+−+−
−+−
−∞→−∞→−∞→ xx
x
xxx
xxx
xxx
 
 
3) 
5
71lim
5
7
5
7lim
58145
21187lim 3
3
23
23
=⋅==
+−+
−+−
±∞→±∞→±∞→ xxx x
x
xxx
xxx
 
 
4) Calcule 
1
lim
2
−
+∞→ x
x
x
 
Solução: 
 
Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx = ( ,0>x pois )+∞→x e então dividimos o 
numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x 
 
1
11
1lim
1
lim
1
lim
1
lim
222
2
2
2
2
2
2
=
−
=
−
=
−
=
−
+∞→+∞→+∞→+∞→
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
5) Calcule xxx
x
−++
+∞→
43lim 2 
Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por xxx +++ 432 , temos: 
 
( ) ( ) ( )( ) xxx xxxx xxxxxx xxxxxxxxx xxxx +++ +=+++ −++=+++ +++⋅−++=−++ +∞→+∞→+∞→+∞→ 43 43lim43 43lim43 4343lim43lim 22
22
2
2
22
 
Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem: 
 
( )
2
3
11
3
1431
43
lim
43
43
lim43lim
2222
2
2
=
+
=
+++
+
=
+++
+
=−++
+∞→+∞→+∞→
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xxx
xxx
 
 
 
 29 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Calcule o limite das funções seguintes, quando +∞→x e quando .−∞→x 
a) 683)( 234 −+−= xxxxf Resposta: ∞+ e ∞+ 
b) 5724)( 23 −+−= xxxxf Resposta: ∞+ e ∞- 
c) 29785)( 23 +−+−= xxxxf Resposta: ∞- e ∞+ 
d) 1010814)( 357 +−+−= xxxxf Resposta: ∞- e ∞+ 
e) 5924)( 246 −++−= xxxxf Resposta: ∞- e ∞- 
f) 432 147831)( xxxxxf +−−+= Resposta: ∞+ e ∞+ 
g) )135()483()( 23 −+−+−= xxxxxf Resposta: ∞+ e ∞- 
h) 9)( 5678 ++−+= xxxxxf Resposta: ∞+ e ∞+ 
 
2) Calcule os limites indicados: 
a) 
43
3lim 2
2
−
−+
+∞→ x
xx
x
 Resposta: 1/3 
b) 
35
23lim 2 +
−
−∞→ x
x
x
 Resposta: 0 
c) 
62
3lim 2 +
−
+∞→ x
x
x
 Resposta: 0 
d) 
x
x
x +
+
+∞→ 2
34lim Resposta: 2 
e) xx
x
−+
+∞→
1lim 2 Resposta: 0 
f) xxx
x
−+
+∞→
2lim Resposta: 1 
g) 
xx
1lim
+∞→
 Resposta: 0 
h) 
xx
12lim +
+∞→
 Resposta: 2 
i) 4lim 2 ++
+∞→
xx
x
 Resposta: ∞+ 
j) x
x
e
−∞→
lim Resposta: 0 
k) 
221lim 





+
+∞→ xx
 Resposta: 1 
l) 
311lim 





−
+∞→ xx
 Resposta: 1 
m) 






+
−
−∞→
x
x
e
1
3lim Resposta: 4 
n) ( )1lnlim 2 +
+∞→
x
x
 Resposta: ∞+ 
o) ( )1lnlim 2 −
−∞→
x
x
 Resposta: ∞+ 
p) 1lim 2 −−
+∞→
xx
x
 Resposta: 0 
 
 
 30 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor infinito 
 
1) )1x2x3x5(lim 23
x
−−−
+∞→
 Resposta: ∞+ 
2) )1x2xx2(lim 245
x
−+−
−∞→
 Resposta: ∞− 
3) )1x2x3(lim 24
x
−+−
−∞→
 Resposta: ∞− 
4) )8x5x3(lim 24
x
++
+∞→
 Resposta: ∞+ 
5) )2x3x5(lim 3
x
−+−
−∞→
 Resposta: ∞+ 
6) )2x3x(lim 2
x
−+−
+∞→
 Resposta: ∞− 
7) 
3xx
1xx3x2lim 2
23
x
−+
−+−
+∞→
 Resposta: ∞+ 
8) 
1x
1x2lim 2
2
x
−
+
−∞→
 Resposta: 2 
9) 
3x
x3lim 2x
−
−∞→
 Resposta: 0 
10) 
3xx5x9
1x2x5x3lim 23
23
x
−+−
++−
−∞→
 Resposta: 1/3 
11) 
7x8x4
8x5x2lim 5
23
x +−
−+
−∞→
 Resposta: 0 
12) 
7x
1x2x5lim
23
x +
+−
−∞→
 Resposta: ∞+ 
13) 33
2
x x)1x(
1xxlim
−+
++
−∞→
 Resposta:1/3 
14) )1x4)(1x3(x2
)2x3(lim
3
x
−+
+
−∞→
 Resposta: 9/8 
15) 
1x
1xxlim
2
x +
++
+∞→
 Resposta: 1 
16) 
1x
1xxlim
2
x +
++
−∞→
 Resposta:-1 
17) 
1x
5x3x2lim
4
2
x +
−−
+∞→
 Resposta: 2 
18) 
1x
5x3x2lim
4
2
x +
−−
−∞→
 Resposta: 2 
 
 
 31 
LIMITES LATERAIS 
 
Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar o 
comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que a. 
 
O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do que a é 
denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima quando x tende para 
a através de valores maiores que a é o limite à direita de f. 
 
Estes limites, são chamados limites laterais. 
 
 
• Limite à esquerda: )(lim
 
xf
ax −→
, teremos x < alogo x = a – h, onde h > 0 é muito pequeno. 
 
• Limite à direita: )x(flim
ax +→
, teremos x > a logo x = a + h, onde h > 0 é muito pequeno. 
 
Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definida por várias sentenças fica simples 
calcular os limites laterais. 
 
Exemplos: 
1) Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule: 
)(lim))(lim)
1 1 
xfbxfa
xx −+ →→
 
 
Solução: 
Observando o gráfico, podemos concluir que: 3)(lim5)(lim
1 1 
==
−+ →→
xfexf
xx
 
Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1. 
 
2) Seja a função: 





>
=
<+
=
 2 x para ,x-9
2 xpara , 2
2x para, 1
)(
2
2x
xf Calcule: 
 )(lim (c)
 )(lim)(
)(lim)(
2 
2 
2 
xf
xfb
xfa
x
x
x
→
→
→
−
+
 
Solução: 
• Quando +→ 2x significa x > 2 logo 29)( xxf −= assim 52-9 x-9lim 22
2
==
+→x
 
• Quando −→ 2x significa x < 2 logo 1)( 2 += xxf assim 512 1xlim 22
2 
=+=+
+→x
 
 
Como os limites laterais são iguais, concluímos que .5)(lim
2
=
→
xf
x
 
 
 32 
Quando a função não está definida por várias sentenças, ou não temos o gráfico da função, teremos 
que usar um artifício que chamaremos de incremento (h) para encontrar os limites laterais. 
 
Isto é: Simplificando: Para calcular os limites laterais, basta fazer uma substituição: 
 
• Quando )(lim
 
xf
ax +→
 fazemos x = a + h 
• Quando )(lim
 
xf
ax −→
 fazemos x = a – h 
 
Onde h é positivo e muito pequeno. 
 
3) Calcule por mudança de variáveis os limites laterais à esquerda e à direita respectivamente, das 
funções abaixo, nos pontos indicados: 
1 21)
2 )
1 12)
2
2
−=+−=
==
=+=
xemxxyc
xemxyb
xemxya
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo: ( )( )
15limd) 
7816
364lim)
43lim b) 723lim)
2x3
2
2
2x
3
2
2
1 →→
→−→
−+
+−
−++−
xx
xx
c
xxxxa
x
x
 
3
2
2
34
32
1
42
2
1
352limh) )56(
)354(limg)
 
92
16limf) 
276
352lim)
2
1
−
−+
+
−+
−
−
−−
−+
→−→
→→
x
xx
t
tt
s
s
xx
xx
e
xt
sx
 




−≥
+++
−→
→
3 xsex +4
-3< xse 9
sendo f(x)limj)
 2343lim)
2
3x
32
2
x
xxi
x
 


 ≤
→
 2> xse2x -4
2 xse x
= f(x) sendo ),(lim)
3
2
xfk
x
 
 
2) Calcule os seguintes limites: 
( ) ( )
3
8 7
02
lim) 2lim)
45lim) 32lim)
xdxc
xbxa
xx
xx
→→
→→
+
−−
 
 
3) Calcule os limites: ( )
2
3x2
2
1
32x5
x-9- xlimd) 
344
62x
 lim)
x2
2x-5
 limb) 
1-x
23x
 lim)
→→
→→
−−
−+
+
+
xx
x
c
a
x
x
 
 
4) Considere a função definida por: 





>+
=
<−
=
1 1
1 4
1 3
)(
2 xsex
xse
xsex
xf
, determine: 
 )(lim (c) )(lim )()(lim)(
1x1x1x
xfxfbxfa
→→→ +−
 
 
 33 
5) Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os limites abaixo, se existirem: 
 )(lim )()(lim )()(lim)(
111
xfiiixfiixfi
xxx →→→ +−
 



>
≤−
=



<−
≥−
=
1 xse x -3
1 xse 13)()
1 xse 1x
1 xse 4)() 2
x
xfbxxfa 





>
=
<−
=
1 xse 2-x
1 xse 2
1 xse 
)()
2x
xfc 
 
6) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. 
Caso não exista, justifique. 
f(3) e) f(x) d) f(x) c) f(x) b) f(x) ) limlimlimlim
3 3 3 0 - →→→→ + xxxx
a 
 
 
7) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. 
Caso não exista, justifique. 
 f(x) h)f(x)g)f)f(-2) f(3) e)f(x) d)f(x) c)f(x) b)f(x) ) limlimlimlimlimlim
2 2 1 3 3 3 -- ++ −→−→→→→→ xxxxxx
a 
 
 
8) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. 
Caso não exista, justifique. 
 )(limj) f(-3) i)h)f(1) f(2)g) )(limf)
 )(lim e) )(limd) )(lim) )(lim b) )(lim)
12
22333
xfxf
xfxfxfcxfxfa
xx
xxxxx
→→
→→−→−→−→ +−+−
 
 
 
 
 34 
9) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. 
Caso não exista, justifique. 
 )(limj) f(-5) i)h)f(0) g)f(4) )(limf)
 )(lim e) )(limd) )(limc) )(lim b) )(lim)
54
44000
xfxf
xfxfxfxfxfa
xx
xxxxx
−→→
→→→→→ +−+−
 
 
 
10) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. 
Caso não exista, justifique. 
 )(limj) f(6) i)h)f(0) f(-9)g) )(limf)
)(lim e) )(limd) )(limc) )(lim b) )(lim)
34
44999
xfxf
xfxfxfxfxfa
xx
xxxxx
→
−→
−→−→−→−→−→ +−+−
 
 
 
11) Calcule os seguintes limites laterais: 
 
9
lim)f 
36
6lim)e 
4
2lim)
 
4
lim)c 
2
lim)b 
4
2lim)
232622
4222
−−
+
−
+
−−−
+
+++
−+−
→→→
→→→
x
x
x
x
x
xd
x
x
x
x
x
x
a
xxx
xxx
 
 
12) Calcule o )(lim
2
xf
x→
sendo: 





=
≠
−
−
=
2 x se 5
2 xse 
2
4
)(
2
x
x
xf 
 
 
 35 
RESPOSTAS: 
1) a)-13 b) ( )425 − c) –1 d) 15 e) 0 f) –23 g) –64 h) 3
4
5
− i) 6 j) 1 k ) não existe 
 
2) a) 1 b) −4 c)3 d)2 
 
3) a) 17/2 b) 1/64 c) 1 d)3 
 
4) 2)(lim logo 2)(lim;2)(lim)
111
===
→→→ +−
xfxfxfa
xxx
 
 
5) )(lim existe não logo 3)(lim;0)(lim)
111
xfxfxfa
xxx →→→
==
+−
 
 2)(lim logo 2)(lim ;2)(lim)
111
===
→→→ +−
xfxfxfb
xxx
 
 1)(limlogo1)(lim;1)(lim)
111
−=−=−=
→→→ +−
xfxfxfc
xxx
 
 
6) a) 3 b) 2 c) 4 d) não existe e) 3 
 
7) a) 2 b) -2 c) não existe d) 3 e) 1 f) -3 g) -1 g) -1 
 
8) a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 2 
 f) não existe g) 1 h) 1 i) não existe j) -1 
 
9) a) + ∞ b) - ∞ c) não existe d) - ∞ e) - ∞ 
 f) não existe g) não existe h) não existe i) não existe j) não existe 
 
10) a) + ∞ b) - ∞ c) não existe d) - ∞ e) - ∞ 
 f) não existe g) não existe h) 1,5 i) 0 j) não existe 
 
 
11) ∞∞∞∞∞∞− f) e) d) -c) b) )a 
 
12) 4)(lim
2
=
→
xf
x
 
 
 
 
 36 
REVISÃO DE LIMITES LATERAIS 
 
Em Símbolos: Limite pela direita: )x(flim
px +→
 e Limite pela esquerda )x(flim
px −→
 
Exemplo 1: 
Seja 



>
<
=
1 xse2x 
1 x se x)x(f
2
 )x(flim e )x(flim
1x1x
==
−+ →→
 
11xlim 22.12xlim 22
1x1x
====
−+ →→
 
-5 0 5
-5
0
5
10
15
20
25
 
 
Definição: Dizemos que existe olimite de uma função quando os limites laterais forem iguais, isto 
é: 
)x(flim)x(flim
pxpx −+ →→
= 
 
Exemplo 2 
Seja 



<
>
=



<
>
==
0 xse 1-
0 xse 1
x
x
 
0 xsex -
0 xse x
x 
x
x)x(f 
 
)x(flim f(x)lim pois limite, existe não 11lim 11lim
0x0x0x0x −+−+ →→→→
≠∴−=−= 
 
 
Exemplo 3 
Seja 
1x
1)x(f
−
= , calcule 
1x
1lim
1x
−
→
 
a) 
1x
1lim
1x
−
+→
 
 
 
 
 
b) 
1x
1lim
1x
−
−→
 
 
 
 37 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – LIMITES LATERAIS 
 
1) 72.34x3xlim 2
2x
=+=+
−→
 
 
2) 72.34x3xlim 2
2x
=+=+
+→
 
 
3) 
2x
x3lim
2x
−
−→
 
 
4) 
2x
x3lim
2x
−
+→
 
 
5) x
1
0x
2lim
−→
 
6) x
1
0x
2lim
+→
 
7) 
x
10x
21
4lim
+
−→
 
8) 
x
10x
21
4lim
+
+→
 
9) 1x
1
1x
5lim −
→ −
 
 
10) 1x
1
1x
5lim −
→ +
 
 
11) 6x3lim
2x
−
−→
 
 
12) 6x3lim
2x
−
+→
 
 
 
Determine, caso exista. 
13) 





<−
=
>
=
→
4 xse 210
4 x se 2
4 xse 10-3x
f(x) sendo )(lim
4
x
xf
x
 
 
14) 




<
≥
=
→ 3 xse 2
3 xse 1-4x
f(x) sendo )(lim
3-x
1
3
xf
x
 
 
15) 





≥
<≤
<
=
→
2 xse x-5
2x1 se 3-2x
1 xse 5-x
f(x) sendo )(lim
 2
2
2
xf
x
 
 
16) Determine o valor de a para que exista 
2 x se 3
2 xse 
2
253
f(x) sendo )(lim
2
2
2





≥−−
<
−
−−
=
→
xax
x
xx
xf
x
 
 
Respostas 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
7 7 
-∞ +∞ 0 +∞ 4 0 0 +∞ 
11 12 13 14 15 16 
não existe 0 2 não existe 1 a = - 4 
 
 
 
 38 
FUNÇÕES CONTÍNUAS OU CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 
 
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) 
 
1. Introdução: 
 
Sejam f e g funções de gráficos: 
 
Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g apresenta um 
salto a outra não. 
 
Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p é igual 
ao valor da função quando x é igual a p, isto é: 
 
)()(lim pfxf
px
=
→
 
 
Por exemplo, se 4)( 2 −= xxf e p = 2, temos que: 
 
)()2(042)4(lim)(lim 22
2
pffxxf
xpx
===−=−=
→→
 
 
As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas contínuas 
nesse ponto. 
 
2. Definição: 
 
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições abaixo: 
(i) )( pf∃ 
(ii) )(lim)(lim :é isto ),(lim xfxfxf
pxpxpx −+ →→→
=∃ 
(iii) f(p))(lim =
→
xf
px
 
 
Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é 
descontínua em .px = 
 
Exemplos: 
 
1) Verifique se a função xxxf 352)( +−= é contínua em .4=x 
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: 
• 12343542)4( +=⋅+−⋅=f 
• 12343542)352(lim)(lim
4
+=⋅+−⋅=+−=
→→
xxxf
xpx
 
• )4()(lim
4
fxf
x
=
→
 
Portanto, como )4()(lim
4
fxf
x
=
→
 a função é contínua em .4=x 
 
 39 
2) Verifique se a função 
2
|2|)( −= xxf é contínua em .2=x 
Solução: Primeiramente, lembramos que: 






≥−
<
+−
=
−
2se,
2
2
2se,
2
2
2
|2|
x
x
x
x
x
 
A seguir, analisaremos uma a uma as três condições: 
• 0
2
0
2
22)2( ==−=f . 
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais: 
0
2
0
2
22
2
2lim
2
|2|lim)(lim
222
==
+−
=
+−
=
−
=
→→→ −−
xx
xf
xxx
 
e 
0
2
0
2
22
2
2lim
2
|2|lim)(lim
222
==
−
=
−
=
−
=
→→→ ++
xx
xf
xxx
 
Como )(lim)(lim
22
xfxf
xx +− →→
= )(lim
2
xf
x→
∃⇒ e 0)(lim
2
=
→
xf
x
. 
• )2()(lim
2
fxf
x
=
→
. Portanto, como )2()(lim
2
fxf
x
=
→
 a função é contínua em .2=x 
 
 
3) Verifique se a função 





>−
=
<−
=
3,3
3,2
3,1
)(
2
xsex
xse
xsex
xf é contínua em .3=x 
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: 
• 2)3( =f . 
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais: 
81913)1(lim)(lim 22
33
=−=−=−=
→→ −
xxf
xx
 e 033)3(lim)(lim
33
=−=−=
→→ +
xxf
xx
 
Como )(lim)(lim
33
xfxf
xx +− →→
≠ ⇒ não existe )(lim
3
xf
x→
 e, portanto a função dada não é contínua em 
.3=x 
 
4) Verifique se a função 



>−
≤
=
2,3
2,2)( 2 xsexx
xsex
xf é contínua em .2=x 
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: 
• 422)2( =⋅=f . 
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais: 
422)2(lim)(lim
22
=⋅==
→→ −
xxf
xx
 e 264232)3(lim)(lim 22
22
−=−=⋅−=−=
→→ +
xxxf
xx
 
Como )(lim)(lim
22
xfxf
xx +− →→
≠ ⇒ não existe )(lim
2
xf
x→
 e, portanto a função dada é descontínua em .2=x 
Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e podemos constatar que o mesmo tem um “salto” em 
.2=x 
 
 40 
 
5) A função 
1
1)(
2
−
−
=
x
x
xf não é contínua no ponto ,1=x pois a função dada não é definida no ponto 
especificado. Graficamente, temos: 
 
 
6) A função 





=
≠
−
−
=
1,1
1,
1
1
)(
2
xse
xse
x
x
xg também não é contínua no ponto ,1=x pois: 
• 1)1( =g . 
 
• Limites laterais: 
211)1(lim)1(
)1()1(lim
1
)1(lim)(lim
11
2
11
=+=+=
−
+⋅−
=
−
−
=
→→→→ −
x
x
xx
x
x
xg
xxxx
 
e 
 211)1(lim)1(
)1()1(lim
1
)1(lim)(lim
11
2
11
=+=+=
−
+⋅−
=
−
−
=
→→→→ +
x
x
xx
x
x
xg
xxxx
 
 
Como )(lim)(lim
11
xgxg
xx +− →→
= )(lim
1
xg
x→
∃⇒ e 2)(lim
1
=
→
xg
x
. 
 
• )2(12)(lim
1
gxg
x
=≠=
→
 
 
Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a função dada não é contínua no ponto 
especificado, como confirma o gráfico a seguir: 
 
 41 
 
 
 
 42 
7) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da função 





>−
≤≤−
<−
=
3,92
30,2
0,4
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf . 
Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são 0=x e .3=x 
 
 
Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto ,0=x assim: 
• .000002)0( 2 =−=−⋅=f 
• Limites laterais: 
0)4(lim)(lim
00
=−=
→→ −
xxf
xx
 e 0)2(lim)(lim 2
00
=−=
→→ +
xxxf
xx
 
 
Como )(lim)(lim
00
xfxf
xx +− →→
= )(lim
0
xf
x→
∃⇒ e 0)(lim
0
=
→
xf
x
. 
• )0()(lim
0
fxf
x
=
→
 
 
Logo, como )0()(lim
0
fxf
x
=
→
 a função é contínua em .0=x 
 
Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto 
,3=x assim: 
• .396332)3( 2 −=−=−⋅=f 
• Limites laterais: 
396332)2(lim)(lim 22
33
=−=−⋅=−=
→→ −
xxxf
xx
 
e 
 396932)92(lim)(lim
33
−=−=−⋅=−=
→→ +
xxf
xx
 
Como )(lim)(lim
33
xfxf
xx +− →→
= )(lim
3
xf
x→
∃⇒ e 3)(lim
3
−=
→
xf
x
. 
• )3()(lim
3
fxf
x
=
→
 
 
Logo, como )3()(lim
3
fxf
x
=
→
 a função é contínua em .3=x 
 
Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade,verificamos que a função f é continua, 
concluímos que f é contínua para todo x real, e vemos que seu gráfico não tem qualquer tipo de salto 
ou interrupção. 
 
 43 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados: 
a) 5 xem 
2x
x3)x(f =
+
−
= b) 4 xem 
4x
1)x(f =
−
= 
c) 0 xem e1)x(f x
1
=+= d) 








>
=−=
<
+
++
=
-1 xse 3x,
1- xem 1 xse ,1
-1 xse ,
1
23
)(
2
x
xx
xf 
e) 2 xem 
2 xse ,2x
2 xse 6,-7x)( 2 =



≥
<
=xf f) 3em32)( 2 =−= xxxf 
g) 1. xem 
1
1)( =
−
=
x
xf h) 4 xem 
 4 xse2x -10
4 xse 2
4 xse 103
)( =





<
=
>−
=
x
xf 
 
 
2) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado: 
a) 2 xem 
2 xse a,
2 xse ,
2
65
)(
2
=





=
≠
−
+−
= x
xx
xf 
 
b) 4 xem 
4 xse a,3x
4 xse ,
4
2
)( =





≤+
>
−
−
= x
x
xf 
 
c) 0 xem 
0 xse a,43x
0 xse ,22)(
2
=





≤+−
>
−+
=
x
x
x
xf 
 
Respostas: 
a b c d e f g h 
1) 
 
sim não não não sim sim não Sim 
 
2) 
a b c 
 a = -1 
4
47
−=a 4
2
=a 
 
 
 
 44 
3) Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados, e justifique sua resposta. 
a) 





>
=
<+
=
2,
2,4
2,2
)(
2
 se xx
 se x
xsex
xf b) 



>−
≤−
=
 xsex
xsex
xf
1,1
1,12)( 
c) 





>
=
<+
=
0,2
0,5
0,23
)(
x se
 xse
xsex
xf d) 





<≤+
<<
≤+
=
65,3
51,2
1,1
 
xsex
x sex
 xsex
f(x) 
 
4) A função 





≥
<<−
≤−
=
2,2
21,1
1,1
)(
2
x se
xse x
x sex
xf possui algum ponto de descontinuidade? Quais? Justifique. 
 
5) Verifique se as seguintes funções possuem algum ponto de descontinuidade e justifique sua 
resposta. 
a) 3)( += xxf b)
1
23)(
−
−
=
x
x
xf c) 
2
2)(
2
−
−−
=
x
xx
xf 
d) 





=
≠
−
−−
=
2 xse 1,
2xse,
2
2
)(
2
x
xx
xf e)



=
≠−
=
5xse 2,
5xse,3)( xxf f)



≥
<+
=
1xse x,-3
1xse2,2x-)(
2x
xf 
 
6) Indique onde cada uma das funções abaixo é descontínua e justifique sua resposta. 
a) 



−
−−
=
2
2)(
2
x
xx
xf b) 




=
≠
=
0xse1,
0xse,1)( 2xxf c) 





=
≠
−
−−
=
2xse1,
2xse,
2
2
)(
2
x
xx
xf 
 
7) Determine o valor de m para que cada função abaixo seja contínua no ponto dado. 
a) 3 xem 
 3 x se m,
3 xse ,
3
9
)(
2
=





=
≠
−
−
= x
x
xf b) 0 xem 
 0 x se m,
0 xse,
3)(
2
=





=
≠
−
−
= x
xx
xf 
 
8) Verifique se as funções abaixo são contínuas, justificando sua resposta. 
a) 



>
≤+
=
1xse 2x,
1xse,1)(
2x
xf b) 



>+
≤+
=
1xse 2,x
1xse,2)(
2x
xf 
 
9) Explique porque f(x) não é contínua em x. 
a) 3 x em
3
5)( =
−
−
=
x
xf b) 2 xem
 2 x se 5,
2 xse,
2
4
)(
2
=





=
≠
−
−
= x
x
xf 
c) 1 xem 
 1 xse , 
1 x se 3,
1 xse 2,x
)( =





>−
=
<+
=
x
xf d) 3xem
3
9)(
2
=
−
−
=
x
x
xf 
 
 
 45 
10) A figura a seguir mostra o gráfico de uma função f. Em quais valores de x a função é descontínua? 
Por quê? 
 
 
11) De acordo com a figura a seguir, verifique em quais pontos a função é descontínua e justifique sua 
resposta. 
 
 
12) Determine os intervalos de continuidade da função representada na figura a seguir: 
 
 
CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 2007) 
 
Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos 
físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo 
que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0 (A voltagem caiu para zero 
quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para 
uma companhia que reabastece o estoque com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As 
descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento. 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
 
 
 46 
LIMITES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) 
• Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: 1lim
0
=
→
 
x sen
 
 xx
 
Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja MAˆ um arco de x radianos, 
com .
2
0 pi<< x Na figura a seguir: .e,ˆ ATxtgPMxsenMAx === 
 
 
Lembre-se: 
• AlturaBaseA ⋅⋅=∆ 2
1
 
 
• ArcoRaioASetor ⋅⋅=
2)(
2
1
 
Observe que o triângulo oAM está contido no setor circular ,oAM o qual por sua vez está contido no 
triângulo .oAT 
Assim, podemos afirmar que: 
área ∆ oAM < área setor oAM < área ∆ oAT 
 isto é: 
AToAxoAPMoA ⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅
2
1)(
2
1
2
1 2
 
Mas, 
1=oA 
Logo: 
ATxPM << 
ou, 
xtgxxsen << 
Dividindo termo a termo por ,xsen temos: 
 
⇒<<
xsen
xtg
xsen
x
xsen
xsen
xxsen
x
cos
11 << 
 
Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com: 
 
1coscos1 <<⇒>>
x
xsen
xx
x
xsen
 
Sabemos que, quando .1cos,0 →→ xx 
 
Então, para x tendendo a zero, 
x
xsen
 permanece entre xcos e 1 
 
E, portanto: 
1 sen x lim
0 
=
→ xx
 (c.q.d) 
 
 47 
A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar: 
 
x (em radianos) 
x
xsen
xf =)( 
0,2± 0,4546 
0,1± 0,8414 
5,0± 0,9588 
2,0± 0,9933 
1,0± 0,9983 
001,0± 
... 
x→ 0 
0,9999 
... 
f(x) → 1 
Assim, quando x→ 0 (em radianos), temos que: f(x) → 1, ou seja, .1lim
0
=
→ x
xsen
x
 
Exemplos: 
1) Calcule . x lim
0 xsenx→
 
 Solução: 1
1
1
lim
11
 lim x lim
0 
0 0 
====
→
→→
x
xsen
x
xsenxsen
x
xx
 
2) Calcule . xtg lim
0 xx→
 
 Solução: 
1
1
11
cos
1lim lim
cos
1
 
x
xsen
 lim1 
xcos
xsen
 lim xcos
xsen
 lim xtg lim
0 0 0 0 0 0 
=⋅=⋅=





⋅=





⋅==
→→→→→→ xx
xsen
xxxx xxxxxx
 
 
3) 1lim
3
3lim
00
==
→→ u
usen
x
xsen
ux
. 
 Nota: 00,3 →⇒→= uxxu 
 
4) *
00
k ,1limlim ℜ∈∀==
→→ u
usen
kx
kxsen
ux
. 
 Nota: 00, →⇒→= uxkxu 
 
5) 1limlim
02
2
0
=⋅=
→→ x
xsen
x
xsen
x
xsen
xx
. 
 
6) Calcule 
x
x
x
cos1lim
0
−
→
. 
Solução: 
=





+⋅
=





+⋅
−
=





+
+
⋅
−
=
−
→→→→ )cos1(lim)cos1(
)cos1(lim)cos1(
)cos1()cos1(limcos1lim
2
0
2
000 xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
001
11
01
0cos1
01
cos1
limlim
cos1
lim
000
=⋅=+
⋅=
+
⋅=





+
⋅





=





+
⋅
→→→
sen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
 
 
7) Calcule 
x
xsen
x 5
3lim
0→
. 
Solução: 
5
31
5
3
3
3lim
5
3
5
3
3
3lim
5
3lim
000
=⋅=





⋅=





⋅=
→→→ x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
 
 
 48 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS - CALCULE 
 
1) 
x2
x3senlim
0x→
 
2) 
x4
xsenlim
0x→
 
3) 
x3
x2tglim
0x →
 
4) 
x3sen
x4senlim
0x→
 
5) 
x5tg
x3tglim
0x →
 
6) 
x
xcos1lim
0x
−
→
 
7) 
xsen.x
xcos1lim
0x
−
→
 
8) 20x x
xsec1lim −
→
 
9) 
x
xsentgxlim
0x
+
→
 
10) 
tgx1
xcosxsenlim
4
π
x −
−
→
 
11) 
xsen
xsentgxlim 20x
−
→
 
12) 
xsenxcos
x2coslim
4
π
x −→
 
13) 
xsenx
xsenxlim
0x +
−
→
 
14) 
x3senx
x2senxlim
0x +
−
→
 
15) 
x4sen
x3cosx5coslim
0x
−
→
 
16) 
xsen
x2senx3senlim
0x
−
→
 
17) 
x
asen)axsen(lim
0x
−+
→
 
18) 
x
acos)axcos(lim
0x
−+
→
 
19) 
xπ
2
x
sen1
lim
πx
−
−
→
 
20) 20x x3
x2cos1lim −
→
 
 
Respostas: 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
2
3
 
4
1
 
3
2
 
3
4
 
5
3
 
0 
2
1
 
2
1
− 
2 
2
2
− 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
0 2 0 
4
1
− 
0 1 a cos a sen−
 
0 
3
2
 
 
21) Calcule os seguintes limites: 
a) 
 xtg
x
 lim
0 →x
 b) 2xsen lim
0 xx→
 c) 
xsenx 5
4xsen 
 lim
0 →
 d) 
3
hsen 
 lim
0 hh→
 
e) 2
2
0 
cos-1
 lim
x
x
x→
 f) 
1 cos
x-
 lim 2
2
0 
−
→ xx
 g) 
xx cos1
senxx 
 lim
0 
−
→
 
 
Resposta: a) 1 b) 2 c) 4/5 d) 1/3 e) 1 f) 1 g) 2 
 
 
 49 
LIMITES DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
 
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) 
 
• O Número “e”. 
 
No estudo dos logaritmos (ensino médio ou antigo segundo grau) já nos referimos ao número e. Esse 
número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. O número e pode ser obtido por 
meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo termo geral é: 
 
n
n
n
a 





+=
11 
 
Tomando alguns valores naturais, para exemplificar, temos: 
 
� 2
1
11 1
1
1 =





+=⇒= an 
� 25,2
2
11 2
2
2 =





+=⇒= an 
� ...37037037,2
3
11 3
3
3 =





+=⇒= an 
� 48832,2
5
11 5
5
5 =





+=⇒= an 
� ...59374246,2
10
11 10
10
10 =





+=⇒= an 
� ...704813829,2
100
11 010
100
100 =





+=⇒= an 
� ...716923932,2
000.1
11 000.1
000.1
000.1 =





+=⇒= an 
� ...718145927,2
000.10
11 000.10
000.10
000.10 =





+=⇒= an 
� ...77181826823,2
000.100
11 000.100
000.100
000.100 =





+=⇒= an , e assim por diante (and so on...). 
... 
� ean n →⇒∞→ , ou seja: 
 
Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, an tende ao valor aproximado de 2,718182..., ou 
ainda: 
...5907182818284,211lim ≅=





+
+∞→
e
x
x
x
 
 
• Limite Exponencial Fundamental 
 
Teorema: .......718281828,211lim
 x
≅=





+
+∞→
e
x
x
 
 
Lembre-se: O número “e” é irracional. 
 
 50 
Dois limites podem ser obtidos como conseqüência do limite exponencial fundamental. 
 
• Primeira Conseqüência: ( ) ex x
x
 1 lim
1
0 
=+
→
 
 
De fato, fazendo 
x
u
1
= ⇒ x
u
=
1
, e observando que quando +∞→⇒→ u 0x , ficamos com: 
 
( ) e
u
x x
x
=





+=+
+∞→→
 
11 lim 1 lim
u
u 
1
0 
 
 
que é o próprio limite exponencial fundamental. 
 
• Segunda Conseqüência: 1 1e lim
x
0 
=
−
→ xx
 
 
Fazendo )1ln(11 +=⇒+=⇒=− uxueue xx , e é evidente que quando 0.u ,0 →→x Daí, 
=










+
=












+⋅
=





+
=




 −
→→→→
u
1000 
x
0 
)1ln( 
1
 lim
)1ln(
u
1
 
1
 lim
1)(uln
u
 lim 1e lim
uu
x uuux
 
 
1
1
1
ln
1
u)(1 limln
1
u)ln(1 lim
1
 
u
1
0 
u
1
0 
===
















+
=








+
=
→→
e
uu
 
Exemplos: 
 
1) Calcule ( ) .,1 lim *
0 
1
ℜ∈+
→
kkx x
x
 
Solução: Podemos escrever: 
 
( ) ( ) ( )
k
kxkx
k
x kxkxkx
 11
111 





+=+=+ 
 
Fazendo ,ukx = resulta que se 0u 0x →⇒→ portanto, ficamos com: 
 
( ) ( ) ku
ux
eukx
x
=





+=+
→→
k 1
0 0 
 1 lim1 lim
1
 
2) Calcule .
1
lnlim
1
−
→ x
x
x
 
Solução: Façamos .11 +=⇒−= uxxu 
 
Quando ,01 →⇒→ ux logo: 
 
.1ln)1(limln)1(lnlim)1(ln1lim)1(lnlim
1
lnlim
1
0
1
0001
==







+=







+=





+⋅=




 +
=





−
→→→→→
euuu
uu
u
x
x
u
u
u
uuux
 
 
 51 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Mostre que: 
a) 12
4
0
)31(lim ex x
x
=+
→
 b) 2x
1
0x
e)x21(lim =+
→
 c) 33
1
x
1
0x
ee
3
x1lim ==





+
→
 
d) 7
4
x
1
0x
e
7
x41lim =





+
→
 e) 
e
1
e)x1(lim 1x
1
0x
==−
−
→
 f) π
1
x
1
0x
e
π
x1lim =





+
→
 
 
2) Calcule os seguintes limites: 
a) 
2
 n
11 lim
+
∞→






+
n
n
 b) 
n
31 lim
 
n
n






+
∞→
 c) 
x1
x
 lim
 
x
x






+∞→
 
d) 
x
51 lim
1
 
+
∞→






+
x
x
 e) ( ) xsenxsen
x
1
 1 lim
 
+
→ pi
Resposta: a) e b) e3 c) e-1 d) e5 e) e 
 
3) Calcule os limites abaixo: 
a) ( ) ( )
 x 1
ln 2 x
lim Fazer x+ 1 = u
x+1→−
+
 b) ( ) ( )
 x 2
ln 3 x
lim Fazer x+ 2 = u
x+2→−
+
 
c) 
x
 x 0
2 1lim 
x→
−
 d) 
senx
 x 0
e 1lim 
senx→
−
 
e) 
 x 0
sen5xlim 
tg4x→
 f) 
 x
2
cos xlim 
x
2
pi
→
pi
−
 
g) ( )
2
 x 0
ln 1 x
lim 
x→
+
 h) 
3
 x 1
ln xlim 
x 1→ −
 
i) ( )cossec x
 x 0
lim 1+senx ( Fazer sen x = u)
→
 j) 2
 x 0
1 cos xlim 
x→
−
 
k) 3
 x 0
tgx senxlim 
x→
−
 l) 
1
x 4
 x 4
1+xlim 
5
−
→
 
 
 
 
m) 
x
x
 x 0
10 1lim 
5 1→
−
−
(dividir por x Num. e Den.) n) 
x
 x
2lim 1+ 
x→+∞
 
 
 
 
 
Resposta: a) 1 b) 1 c) 2ln d) 1 e) 5/4 f) 1 g) 2 
 h) 3 i) e j) 1/2 k) 1/2 l) 5 e m) 5ln/10ln n) e2 
 
 52 
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 
 
(Texto adaptado de: Elaine Cristina Ferruzzi & Devanil Antonio Francisco) 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproximam de uma reta a 
medida que x cresce ( x → + ∞ ) ou