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• UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PR 2 FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a ≠≠≠≠ 0 1) a2 b x: temos,ca4b doconsideran e 0cxbxa Se 22 ⋅ ∆±− =⋅⋅−=∆=+⋅+⋅ 2) a b xx a c xx : temos0cxbxa Se 21 21 2 −=+ =⋅ =+⋅+⋅ 3) )xx()xx(acxbxa 212 −⋅−⋅=+⋅+⋅ 4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: 2 x x a2 b x 21V + = ⋅ −= e a4 )x(fy vV ⋅ ∆ −== 5) Decomposição de polinômios: )rx(...)rx()rx()rx(a)x(P n321n −⋅⋅−⋅−⋅−⋅= 6) Fatorações especiais: )aax...axaxx()ax(ax 1n2n23n2n1nnn −−−−− +⋅++⋅+⋅+⋅−=− • MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO: <− ≥ = 0 xse x, 0 x se x, |x| • SOMATÓRIO: n21 n 1i i x...xxx +++=∑ = • GEOMETRIA ESPACIAL ♦ Prisma: ×= ×+= AlturaBasedaÁreaVolume BasedaÁreaLateralÁreaTotalÁrea 2 ♦ Cilindro: = +×= == hrVolume LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea hrLateralÁrearBaseÁrea 2 2 ;2 2; pi pipi ♦ Cone: = += == hrVolume LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea grLateralÁrearBaseÁrea 2 2 3 1 ; ; pi pipi ♦ Esfera: = = 3 2 3 4 4 rVolume rÁrea pi pi 3 • FUNÇÃO EXPONENCIAL: 1a 0 a ay x ≠>= e, • Propriedades das potências: 1) 43421 n termos x ... x ⋅⋅⋅= xxn 2) nmnm xxx ⋅=+ 3) n m nm x x x =− 4) 1 n n x x =− 5) nmm xx ⋅= )( n 6) n m n m xx = 7) )0(10 ≠= aa • FUNÇÃO LOGARÍTMICA: ≅ +== >≠>= +∞→ ..2,7182818.11lim e :onde ,log x ln ,log x x x e x a x 0 x e 1a e 0 a y • Propriedades logarítmicas: 1) ( ) ( ) ( )B log A log BA log aaa +=⋅ 2) ( ) ( )B log A log B A log aaa −= 2) ( ) ( ) A log n A log n aa ⋅= 4) base) de mudança como (conhecida B log A log log a a = A B 5) xa x a = log e por consequência xe x =ln • GEOMETRIA ANALÍTICA: 1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem iguais, isto é: sr mmsr =⇒// 2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a menos um, isto é: 1 −=⋅⇒⊥ sr mmsr ou r s m msr 1 −=⇒⊥ • A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é dado por: 222 )()( ryyxx cc =−+− . • Considerando a circunferência com centro na origem, temos: 222 )0()0( ryx =−+− ⇒ 222 ryx =+ . 22 xry −= 3) Equação fundamental da reta: )x-(x p⋅=− myy p , em que: x y tgm ∆ ∆ == α . 4 TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências (01) hip co hipotenusa oposto cateto ==θsen (02) hip ca hipotenusa adjacente cateto cos ==θ (03) ca co adjacente cateto oposto cateto ==θtg ou θ θθ cos sen tg = (04) θ θθ sen g coscot = ou θ θ tg g 1cot = (05) θ θ cos 1 sec = (06) θ θ sen 1 cossec = (07) 1 cos 22 =+ θθsen (08) θθ 22 s tg 1 ec=+ (09) θθ 22 secctg1 osco =+ (10) Soma de arcos: ⋅+⋅=− ⋅−⋅=+ ⋅−⋅=− ⋅+⋅=+ bsen asen b cos a cos)(cos bsen asen b cos a cos)(cos a cosbsen b cos a )( a cosbsen b cos a )( ba ba senbasen senbasen (11) Arcos duplos: ⋅⋅= −= θθθ θθθ cossen2 2 cos 2cos 22 sen sen (12) Relação fundamental trigonométrica e consequências: =−=− ⇒=+ θθθθ θθ 2222 22 cos1cos1 1cos senesen sen (13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos: −= += θθ θθ 2cos 2 1 2 1 2cos 2 1 2 1 cos 2 2 sen (14) Transformação de soma em produto: − ⋅ + ⋅−=− − ⋅ + ⋅=+ + ⋅ − ⋅=− − ⋅ + ⋅=+ 2 2 2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 cos 2 2 2 cos 2 2 qp sen qp senqp qpqpqp qpqp senqsenpsen qpqp senqsenpsen (15) Lei dos Senos e Lei do Cossenos: ⋅⋅⋅−+= == Acbcba Csen c Bsen b Asen a ˆcos2 ˆˆ 222 ) � Definição de limites: ε<−<⇒δ<−<εδ=δ∃>ε∀⇔= → |L)x(f|0|px|0se/)(,0L)x(flim px � Limites especiais: 1 x xsenlim 0x = → ; e x 11lim x x = + +∞→ ⇒ e x 11lim x x = + −∞→ e ( ) ex1lim x1 0x =+ → � CONTINUIDADE: f é contínua em x = p )()(lim pfxf px =⇔ → . 5 CAPÍTULO I – LIMITES O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as definições rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de limite é trabalhada geometricamente por meio de seqüências e pela análise do gráfico de uma função. A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na compreensão e, conseqüentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo das ciências que lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é uma parte (um ramo) da matemática, toda ela, fundamentada no conceito de limite. O conceito de limite de uma função f é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela seria igual ao valor L. Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada por f(x), então podemos representar esse resultado por: Lxf x = → )( lim 0 Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, etc. • Limites: Breve histórico Uma preocupação já presente entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a seqüência de figuras apresentada a seguir. Calculandoa área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da seqüência em questão. Deve-se a Cauchy (1789-1857), matemático francês, a formalização precisa de limite. ... 6 1) Tema: Limites 2) Pré-requisitos: O acadêmico deverá apresentar domínio sobre: • Reta numérica (reta real); • Funções, compreendendo definição (conceito), domínio, imagem e representação gráfica; • Polinômios, entendendo valor numérico e raízes (ou zeros) deste; • Equações algébricas, fatorações; • Conceito de velocidade e aceleração. 3) Objetivos instrucionais: O acadêmico será capaz de perceber de forma intuitiva a teoria dos limites como objetivo para estudar o comportamento de uma função quando sua variável está na proximidade de um número real, podendo a função estar ou não definida. Inicialmente, trabalharemos com limite de funções tendendo para um valor fixo ou para mais infinito. 4) Desenvolvimento do tema: 4.1. Introdução: Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado. Exemplos: 1) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha. 2) Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta. 3) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita. 4) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir de agora, o preço de certo modelo seja de 1 3040)( + += x xP unidades monetárias (u. m.). a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45. b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1. c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses. d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x→ ∞)? Resposta: P(x) → $ 40 quando x → ∞. 5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de milhares t tP 1 620)( + −= . a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? b) De quanto a população crescerá durante o 90 ano? c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: a) P(9) = 194/10 = 19,4 milhares. b) P(9) – P(8) = 194/10 - 58/3 = (1/15) milhares = 67 habitantes. c) A população aproximar-se-á de 20 mil habitantes. Nota: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual pode-se aproximar tanto quanto se desejar. 7 4.2. Conceito de limite: Exemplos: 1) Inicialmente, vamos tomar a função f: ℜ→ℜ, definida por y = f(x) = x – 2 e determinar o valor de f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2. Atribuindo a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos valores menores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme ilustra o quadro a seguir: x f(x) 1 -1 1,5 -0,5 1,8 -0,2 1,9 -0,1 1,99 -0,01 1,999 -0,001 1,9999 -0,0001 1,99999 -0,00001 1,999999 -0,000001 Percebe-se que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero). Por outro lado, atribuindo-se a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos maiores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no seguinte quadro: x f(x) 3 1 2,5 0,5 2,3 0,3 2,1 0,1 2,01 0,01 2,001 0,001 2,0001 0,0001 2,00001 0,00001 2,000001 0,000001 Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que os valores de x aproximam-se de 2 (dois). Graficamente, usando o software Maple, temos: > plot(x-2,x=-1..4,color=blue); Neste caso, escrevemos em linguagem matemática: 0)(lim)(lim)(lim 222 === →→→ +− xfxfxf xxx Lê-se: Limites laterais de f(x) são iguais ao limite de f(x), quando x tende para 2 e é igual a 0. 8 2) Tomemos a função . 3 9)( 2 − − = x x xf Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima de 3. Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3. x f(x) 2,5 5,5 2,8 5,8 2,9 5,9 2,99 5,99 2,999 5,999 2,9999 5,9999 ... ... Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos aproximamos de x por valores menores do que 3. Matematicamente, representamos esta situação por: 6)( lim -3 = → xf x Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis). Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3. x f(x) 3,4 6,4 3,2 6,2 3,1 6,1 3,01 6,01 3,001 6,001 3,0001 6,0001 ... ... Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6. Matematicamente, representamos esta situação por 6)( lim 3 = +→ xf x Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis). Estes limites, são chamados limites laterais. O limite de uma função existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais. Simbolicamente: LxfxfLxf axaxax ==⇔= +− →→→ )(lim)(lim)(lim Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que: 6)(lim 3 = → xf x 6)(lime 6)(lim pois, 33 == +− →→ xfxf xx 9 Limites laterais: São obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de f(x), quando x tende a 2 pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que x (limite de f(x), quando x tende a 2 pela direita). Antes de formalizarmos o conceito, façamos mais um exemplo: Analisar a função f: ℜ→ℜ, definida por 1 1)( 2 − − == x x xfy , quando x tende (aproxima-se) para 1. Atribuindo valores para x, pode-se construir um quadro e em seguida, fazer um esboço de seu gráfico, ressaltando que }1/{)( ≠ℜ∈= xxfDom (Dom = domínio, ou seja, valores que são possíveis de serem atribuídos a variável independente x). x 1 12 − − = x xy -1 0 0 1 0,9999 1,9999 1 Não existe 1,0001 2,0001 2 3 3 4 Graficamente, usando o software Maple, temos > plot((x^2-1)/(x-1),x=-2..4,color=blue); Observe no gráfico, o que ocorre com as imagens das seqüências cujos valores se aproximam de 1. As imagens se aproximam de 2. Portanto, neste caso, escrevemos: 2)(lim)(lim)(lim 111 === →→→ +− xfxfxf xxx Perceba que o limite dessa função para x tendendo a 1 existe, embora a função não esteja definida no ponto x = 1. De forma genérica, escrevemos: Lxf ax = → )(lim De acordo com os exemplos apresentados anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma função f, quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a, o valor de f(a) é irrelevante. Nota: ℜ∈ = = ⇔= + − → → → L Lxf Lxf Lxf ax ax ax ,)(lim )(lim )(lim 10 Exemplos: 1) O gráfico a seguir representa uma função f de ]9 ,6[− em ℜ . Determine: a) )2(f b) )(lim 2 xf x −→ c) )(lim 2 xf x +→ d) )(lim 2 xf x→e) )2(−f = f) )7(f = Solução: a) 3)2( =f b) = −→ )(lim 2 xf x 2 c) = +→ )(lim 2 xf x 5 d) Não existe o limite pedido, pois: )(lim 2 xf x −→ ≠ )(lim 2 xf x +→ e) 0)2( =−f f) 0)7( =f Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f. 2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: a) V p −→100 lim b) V p +→100 lim c) V p 100 lim → Solução: a) V p −→100 lim = 0,8 b) V p +→100 lim = 0,4 c) Não existe o limite pedido, pois: V p −→100 lim ≠ V p +→100 lim 11 5) Metodologia: • Exposição do conteúdo com utilização de quadros e gráficos. • Tomar exemplos singulares, objetivando chegar a pluralidade do assunto, representando-o na linguagem matemática. 6) Recursos didáticos: Quadro-de-giz, giz, retroprojetor, transparências, computador, projetor multimídia, lista de exercícios, etc. 7) Verificação da aprendizagem: • Participação do acadêmico no decorrer da aula, considerando sua curiosidade, e é claro que respeitando a sua individualidade; • Interesse na resolução dos exercícios; • Avaliação escrita e individual; • Utilização de software matemático de manipulação algébrica (Maple®, por exemplo). 8) Lista de Exercícios: 9) Referências Bibliográficas: Final da apostila ATIVIDADE: PESQUISAR APLICAÇÕES DE LIMITES: 1) SOMA INFINITA DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG). 2) APLICAÇÕES À ELETRICIDADE. 3) APLICAÇÕES À ENGENHARIA. 4) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA. 12 ALGUMAS APLICAÇÕES DE LIMITES • Área de um círculo Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn, conforme ilustra a figura a seguir. Seja An a área do polígono Pn. Então, nTn AnA ⋅= , onde nT A é a área do triângulo de base ln e altura hn, da figura a seguir. Como 2 nn T hlA n ⋅ = é o perímetro do polígono Pn é dado por nn lnp ⋅= , vem: 22 nnnn n hphl nA ⋅=⋅⋅= Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, +∞→n , o polígono Pn torna-se uma aproximação do círculo. O perímetro pn aproxima-se do comprimento do círculo rpi2 e a altura hn aproxima-se do raio r. Nesta condição, temos, 2 2 2lim rrrAn n pi pi = ⋅ = ∞→ que á a área do círculo. 13 • Velocidade Média e Velocidade Instantânea Vamos utilizar uma historinha para ilustrar melhor os conceitos: O senhor Mário mora na cidade A e, nos fins de semana, vai visitar a irmã que mora na cidade B, distante 200 quilômetros de A, e nesse percurso ele leva duas horas e meia. Na última vez, o senhor Mário foi multado pela polícia rodoviária por excesso de velocidade. Ele tentou argumentar que, como percorreu 200 km em duas horas e meia, a sua velocidade é de 80 km/h e portanto não poderia ser multado. Por que os guardas rodoviários não lhe deram ouvidos? A velocidade a que se refere o senhor Mário é a velocidade média: horakm decorridotempo percorridadistância vm /805,2 200 === A velocidade a que se refere o guarda rodoviário é a velocidade instantânea, que provavelmente era maior do que 80 km/h no instante em que ele passava pelo local, pois é difícil manter uma velocidade constante num percurso tão longo. Lembremos o que é velocidade instantânea. Seja s = s(t) a equação horária do movimento de um ponto material na reta numérica, isto é, s(t) indica a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo ],[ ttt ∆+ é dada pela razão (divisão) entre o espaço percorrido e o tempo decorrido. t tstts t s vm ∆ −∆+ = ∆ ∆ = )()( A velocidade instantânea do ponto material no instante t é o limite da velocidade média t s ∆ ∆ quando t∆ tende para 0: t tstts t s tvv tt ∆ −∆+ = ∆ ∆ == →∆→∆ )()(limlim)( 00 Exemplo: 1) Seja ttts 103)( 2 += a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica. Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule: a) A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2, 4]. b) A velocidade instantânea no instante t = 2. Solução: a) Velocidade média: sm ss vm /282 56 2 20124048 2 )21023()41043( 24 )2()4( 22 == −−+ = ⋅+⋅−⋅+⋅ = − − = b) A velocidade instantânea no instante t = 2. = ∆ ⋅+⋅−∆++∆+ = ∆ −∆+ = →∆→∆ t tt t sss v tt )21023()2(10)2(3lim)2()2(lim 22 00 smt t ttt tt /22]223[lim2012102043)(343lim 0 2 0 =+∆⋅= ∆ −−∆⋅++∆⋅⋅+∆+⋅ = →∆→∆ No próximo tópico, diremos que a velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo: dt ds tv =)( 14 2) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas v = n(t) e v = e(t) da figura abaixo fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo para a partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da Relatividade Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de limites, descreva as diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias. 3) Seja T = f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A figura abaixo mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a temperatura ambiente. Pergunta-se: a) Qual é o significado físico de ?)(lim 0 tf t +→ b) Qual é o significado físico de ?)(lim tf t ∞→ CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 2007) Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0 (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento. Figura 1 Figura 2 15 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1) Seja a função f: ℜ*→ℜ, definida por ||)( x x xf = . Esboce o gráfico de f e calcule )(lim 0 xf x→ . 2) Seja f a função racional definida por )2( )2()12()( − −⋅+ = x xx xf . Esboce o gráfico de f e calcule )(lim 2 xf x→ . Dica: Inicialmente, explicite o domínio de f. 3) Dada a função f definida por: >+ = <− = 1,2 1,2 1,4 )( 2 2 xsex xse xsex xf . Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite quando x tende a 1. 4) Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo ratopara atravessar o labirinto na enésima tentativa era de aproximadamente n nf 123)( += minutos. a) Para que valores de n a função f ( n ) tem significado no contexto do experimento psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo )Z( *+ b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos? Resposta: 12a tentativa d) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o labirinto em menos de 3 minutos? Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos. 5) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas pelo comprador por intermédio da equação x xP 20050)( += , em que P(x) é o preço em dólares por saca e x é o número de sacas vendidas. a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 (cem) sacas? b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 (duzentas) sacas? c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou? d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x→ ∞)? Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) → $ 50 quando x → ∞ 6) O gráfico a seguir representa uma função f de ]2 ,4[− em ℜ . Determine: a) )1(−f = b) = − −→ )(lim 1 xf x c) = + −→ )(lim 1 xf x Resposta: a) 5)1( =−f b) 3 c) 5 16 7) Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do medicamento presente na corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a seguir. Determine e interprete: a) )(lim 8 tf t −→ b) )(lim 8 tf p +→ Resposta: a) 150 b) 250 Interpretação: Não existe limite. 8) O gráfico a seguir representa uma função f de [4 ,3[− em ℜ . Determine: a) )1(f = b) = −→ )(lim 1 xf x c) = +→ )(lim 1 xf x Resposta: a) 4)1( =f b) -2 c) 4 9) Se a equação horária de uma partícula é ,16)( 2 ttts += determine: a) A velocidade média no intervalo de tempo [2; 2,1]. b) A velocidade instantânea da partícula no instante t = 2. 17 10) Complete os espaços indicados, analisando cada função dada pelo gráfico: • Gráfico I (Maple: plot(2*x,x=-1..4,color=black);) a) ...)(lim 2 = −→ xf x b) ...)(lim 2 = +→ xf x c) ...,)(lim 2 = → xf x pois: )(lim...)(lim 22 xfxf xx +− →→ • Gráfico II (Maple: plot(3-x,x=-2..4,color=black);) a) ...)(lim 1 = −→ xf x b) ...)(lim 1 = +→ xf x c) ...,)(lim 1 = → xf x pois: )(lim...)(lim 11 xfxf xx +− →→ • Gráfico III (Maple: f:=x->piecewise(x>1,6,x<=1,x+3); plot(f(x),x=-4..4 color=black);) a) ...)(lim 1 = −→ xf x b) ...)(lim 1 = +→ xf x c) ...,)(lim 1 = → xf x pois: )(lim...)(lim 11 xfxf xx +− →→ Conclusão: O limite de ),(xf quando x tende a p, existe e é único se os limites laterais existem e são ............ 18 RESPOSTAS, DICAS E SUGESTÕES 1) > plot(x/abs(x),x=-2..2,color=blue); Resposta: Não existe o limite pedido, ou seja, não existe )(lim 0 xf x→ . 2) > plot((2*x+1)*(x-2)/(x-2),x=-2..6,color=blue); Resposta: 5)(lim 2 = → xf x . 3) > f:=x->piecewise(x<1,4-x^2,x=1,2,x>1,2+x^2); := f → x ( )piecewise , , , , , < x 1 − 4 x2 = x 1 2 < 1 x + 2 x2 > f(x); − 4 x2 < x 1 2 = x 1 + 2 x2 < 1 x > plot(f(x),x=-2..2,color=blue); Resposta: 3)(lim 1 = → xf x . 19 • LIMITE DE UMA FUNÇÃO A ideia precisa do limite foi formalizada pelo matemático francês Cauchy (1789-1857). • NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Dizemos que a função f(x) têm por limite o número L quando x tende para o número p, e escrevemos: L)x(flim px = → Nota: Os valores de x podem se aproximar do valor de p pela direita ou pela esquerda, estudaremos estes casos precisamente em limites laterais. Exemplos: 1) Seja a função f(x) = 2x+1, calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite, )1x2(lim 2x + → . Solução: Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2) Esquerda Direita x 2x+1 x 2x+1 1 2.1+1 = 3 3 2.3+1 = 7 1,5 2.1,5+1 = 4 2,5 2.2,5+1 = 6 1,7 2.1,7+1 = 4,4 2,1 2.2,1+1 = 5,2 1,8 2.1,8+1 = 4,6 2,01 2.2,01+1 = 5,02 1,9 2.1,9+1 = 4,8 2,001 2.2,001+1 = 5,002 1,95 2.1,95+1 = 4,9 2,0001 2.2,0001+1 = 5,0002 1,99 2.1,99+1 = 4,98 2,00001 2.2,00001+1 = 5,00002 ... ... ... ... ↓ ↓ ↓ ↓ 2 5 2 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 eixo das abscissas, X e ix o da s o rd e n a da s , Y Y = 2X + 1 Assim, substituindo estes valores no gráfico observamos que quando x se aproxima de 2 a função f(x) se aproxima de 5. Como o Domínio de f(x) = 2x+1 é todos os Reais temos 5122)12(lim 2 =+⋅=+ → x x 2) )4x(lim 2 1x − → =12 – 4 = 1 – 4 = -3, pois o domínio de f(x) = x2 – 4 é todos os Reais 20 3) 422)2x(lim 2x )2x)(2x(lim 2x 4xlim 2x2x 2 2x =+=+= − +− = − − →→→ , pois }2{)f(D −ℜ= 4) 4 1 4 32 4 3x 4lim)3x)(2x( )2x(4lim 6x5x 8x4lim 2x2x22x −= − = − = − = −− − = +− − →→→ , pois }3 2,{)f(D −ℜ= 5) 63339)3x(lim)9x( )3x)(9x(lim )3x)(3x( )3x)(9x(lim 3x 9xlim 9x9x9x9x =+=+=+= − +− = +− +− = − − →→→→ 6) 6 1 6 23 6 2 6lim)3()2( )3(6lim)3()2( 186lim 333 == − = − = −⋅− −⋅ = −⋅− − →→→ xxx x xx x xxx 7) 5 3 10 6 55 6 5 6lim)5()5( )5(6lim 25 306lim 5525 == + = + = +⋅− −⋅ = − − →→→ xxx x x x xxx 8) Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule )1x(lim 1x + → Solução: Esquerda Direita x x+1 x x+1 2 1+2 = 3 0,5 1+0,5 = 1,5 1,5 1+1,5 = 2,5 0,9 1+0,9 = 1,9 1,1 1+1,1 = 2,1 0,99 1+0,99 = 1,99 1,01 1+1,01 = 2,01 0,999 1+0,999 = 1,999 1,001 1+1,001 = 2,001 0,9999 1+0,9999 = 1,9999 ... ... ... ... ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 4 eixo das abscissa, X e ix o da s o rd e n a da s , Y Y = X + 1 21 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a pesquisa do número δ que aparece na definição de limite. • (P0) Se 1)(lim Lxf ax = → e 2)(lim Lxf ax = → , então .21 LL = (Teorema da Unicidade do limite) • (P1) Sejam a e c números reais quaisquer, então cc ax = → lim isto é o limite de uma constante é a própria constante. • (P2) Se a, b, m são números reais, então: bmabmx ax +=+ → )(lim Exemplo: 754.3)53(lim4 =−=− → x x • (P3) Se ,)(lim e )(lim MxgLxf axax == →→ então: a) )]()([lim MLxgxf ax +=+ → b) )]()([lim MLxgxf ax ⋅=⋅ → c) 0M que desde M L =)( )(lim ≠ → xg xf ax d) [ ] n) positivo inteiro p/ ( )(lim ∀= → nn ax Lxf e) par n p/ 0 L que desde ,)(lim >= → nn ax Lxf f) [ ] 0 L que desde , .ln)(ln lim >= → Lxf ax g) [ ] )( cosf(x) cos lim L ax = → h) [ ] )( f(x)sen lim Lsen ax = → i) lim )( Lxf ax ee = → Exemplo: Determine o seguinte limite: =+− → )13(lim 2 2 xx x 112.321lim3limlim 2 2 2 2 2 2 3 −=+−⇒+−⇒ →→→ P xxx P xx Vemos neste exemplo que o valor de )()(lim afxf ax = → Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos: 22 Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: )()(lim afxf ax = → . Exemplos: 1) Calcule )15(lim 2 2 +− → xx x 512522 −=+⋅−= 2) Calcule ≤ → 2>xse ,x 2xse 3x, sendo)(lim 22 xfx . Solução: Se 623)(lim 2 2 x =⋅=⇒< −→ xfx . Por outro lado, 42)(lim2>x 2 2 x + ==⇒ → xf . Portanto, não existe o limite. Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites. Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então: )()(lim aqxq ax = → Exemplos: 1) Calcule 76 125lim 2 3 − +− → x xx x Solução: 11 73 11 40 736 13235 76 125lim 22 3 == −⋅ +⋅−⋅ = − +− → x xx x 2) Calcular 3 2 5 943lim +− → xx x Solução: 464 9+20-75 =943lim943lim 333 2 5 3 2 5 ==+−=+− →→ xxxx xx Em resumo: • Sejam f e g funções tais que: 2px1px L)x(flim e L)x(flim == →→ então: 1) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxf pxpxpx →→→ +=+=+ , ou seja, o limite da soma é igual a soma dos limites. 2) )(lim.)(lim 1 xfkLkxfk pxpx →→ ⋅=⋅=⋅ 3) )x(glim)x(flim LL)]x(g)x(f[lim pxpx21px →→→ −=−=− 4) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxf pxpxpx →→→ ⋅=⋅=⋅ 5) 0L que desde ,)x(glim )x(flim L L )x(g )x(flim 2 px px 2 1 px ≠== → → → 6) Nn ,)x(flimL)]x(f[lim n px n 1 n px ∈ == →→ 23 7) par) én que em caso (no 0L que desde ,)x(flimL)x(flim 1n pxn 1npx >== →→ 8) ℜ∈∀= → k ,lim kk px , ou seja, o limite de uma constante é a própria constante. 9) pxlim px = → 10) )x(glim px L 1 )x(g px px2 )x(flimL)x(flim → == →→ • L(x)flim ,...,L(x)flim ,L(x)flim Se nnpx22px11px === →→→ , então 11) n21n21px L...LL)]x(f...)x(f)x(f[lim +++=+++→ 12) n21n21px L...L.L)]x(f)...x(f).x(f[lim =→ , 2n,Nn ≥∈ Exemplos: 1) 24...)8x4(lim 3 2x ==− → 2) ) c b,a, ( ,cbpap...)cbxax(lim 22 px ℜ∈∀++==++ → 3) 2 3 ... 1x 1xxlim 23 1x == + ++ → 4) 54x3 1x 2 3 ... 2x x2xlim == + + + → LIMITES INDETERMINADOS Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal procedimento nos deparamos com resultados do tipo 0 0 ou . ∞ ∞ Exemplo: 1) Calcular o limite abaixo: 4 2lim 2 2 2 − −− → x xx x Solução: Seja f(x) = x2 - x – 2 e g(x) = x2 - 4. Então: f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0 Assim, ao substituirmos direto teríamos uma indeterminação do tipo 0 0 , logo tal procedimento não pode ser utilizado. No caso de indeterminações do tipo 0 0 ou ∞ ∞ há vários métodos que podem ser aplicados de acordo com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos um método prático para resolver tais casos, método este conhecido como regra de L’Hospital. 24 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor finito 1) )1x5xx(lim 23 1x +++ → = 2) )3x4x2x(lim 23 1x +−− −→ = 3) )1x2x2x4(lim 23 2x −−− −→ = 4) 5x 4x5xlim 2 2 3x − −+ → = 5) 2x 10x7xlim 2 2x − +− → = 6) 3x 3x2xlim 2 3x + −+ −→ = 7) xx x2x5xx3lim 2 234 0x − +−+ → = 8) 1x2x 3x4xlim 5 3 1x +− +− → = 9) 6x 36xlim 2 6x − − → = 10) 2x3x 1xlim 2 2 1x ++ − −→ = 11) 2x 32xlim 5 2x + + −→ = 12) 27x54x36x10x 27x18x8xlim 234 234 3x +−+− −+− → = 13) 4x2 2xlim 2x − − → = 14) 2x 4xlim 4x − − → = 15) x42 xlim 0x −− → = 16) x22 xlim 0x −− → = 17) 1x x32lim 1x − +− → = 18) 11x xlim 0x −+→ = 19) 2x 3x21lim 4x − −+ → = 20) 11x5x3 22x3x2lim 2 2 2x −−− −+− → = Respostas: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 8 4 - 5 - 26 5 -3 -4 -2 3 1 − 12 -2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 80 2 0 4 4 22 4 1 − 2 3 4 14 5 25 LIMITES NO INFINITO 1. Introdução: Consideremos a função f definida por x xf 1)( = e analisemos, mediante uma tabela, o seu comportamento quando os valores de x crescem ilimitadamente através de valores positivos. x 4 1 3 1 2 1 1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000 )(xf 4 3 2 1 2 1 3 1 4 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 Pela tabela constatamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos tal fato por: 0)(lim = +∞→ xf x , que se lê: “limite de f de x , quando x tende a mais infinito, é igual a zero”. Observação: Quando uma variável independente x está crescendo ilimitadamente através de valores positivos, escrevemos: “ +∞→x ” . Devemos enfatizar que ∞+ não é um número real. O símbolo ∞+ indica, portanto, o comportamento da variável independente x . Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável x decrescem ilimitadamente através de valores negativos. x - 4 1 - 3 1 - 2 1 -1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 )(xf -4 -3 -2 -1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de x decrescem ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ −∞→x ” para indicar os valores de x que estão decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um 0)(lim = −∞→ xf x , que se lê: “limite de f de x , quando x tende a menos infinito, é igual a zero. Pelo gráfico da função x xf 1)( = cujo esboço é indicado pela figura ao lado, notamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos ( +∞→x ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto, simbolicamente podemos escrever 0)(lim = +∞→ xf x ou 01lim= +∞→ xx . Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores negativos ( −∞→x ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos: 0)(lim = −∞→ xf x ou 01lim = −∞→ xx . 26 Exemplos: 1) Observe o gráfico da função x xf 11)( −= apresentado na Figura a seguir: Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando x tende para o infinito. Isto é, 1→y quando .x ±∞→ Denotamos por 111lim = − ±∞→ xx 2) A função 1 12)( − + = x x xf tende para 2 quando ±∞→x como podemos observar na Figura a seguir. Assim, podemos escrever: 2 1 12lim = − + ±∞→ x x x 27 2. Propriedades dos Limites no Infinito 2.1. Limite de uma função Polinomial Consideremos a função polinomial 13764)( 23 +−+−= xxxxP , podemos escrevê-la na seguinte forma: +−+⋅−= 32 3 4 13 4 7 4 614)( xxx xxP Portanto, +−+⋅−= ±∞→±∞→±∞→ 32 3 4 13 4 7 4 61lim)4(lim)(lim xxx xxP xxx Ora, é claro que: 1 4 13 4 7 4 61lim 32 = +−+ ±∞→ xxxx Temos, então: )4(lim)(lim 3xxP xx −= ±∞→±∞→ Assim, temos dois casos: −∞=−= +∞→+∞→ )4(lim)(lim 3xxP xx e +∞=−= −∞→−∞→ )4(lim)(lim 3xxP xx Generalizando, sendo 012211 ...)( axaxaxaxaxP nnnn +++++= −− , podemos sempre escrever: n n xx xaxP ±∞→±∞→ = lim)(lim 2.2. Limite de uma função racional Dada a função racional )( )()( xQ xP xf = , onde P e Q são funções polinomiais em x com: 01 2 2 1 1 ...)( axaxaxaxaxP nnnn +++++= −− e 012211 ...)( bxbxbxbxbxQ mmmm +++++= −− Sendo 0≠na e .0≠mb Tem-se então que: mn x m n m m n n xm m x n n x x x xx x b a xb xa xb xa xQ xP xQ xP xf − ±∞→±∞→ ±∞→ ±∞→ ±∞→ ±∞→ ±∞→±∞→ ⋅===== limlim lim lim )(lim )(lim )( )(lim)(lim Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados: 1o) ±∞=⇒> ±∞→ )(lim xfmn x 2o) 0)(lim =⇒< ±∞→ xfmn x 3o) m n x b a xfmn =⇒= ±∞→ )(lim 28 Exemplos: 1) +∞=⋅== +− +−+ +∞→+∞→+∞→ x x x xx xxx xxx lim 9 10 9 10lim 4109 115810lim 2 3 2 23 2) 00151lim1515lim 21012 1196815lim 4 3 24 23 =⋅−=⋅−= − = +−+− −+− −∞→−∞→−∞→ xx x xxx xxx xxx 3) 5 71lim 5 7 5 7lim 58145 21187lim 3 3 23 23 =⋅== +−+ −+− ±∞→±∞→±∞→ xxx x x xxx xxx 4) Calcule 1 lim 2 − +∞→ x x x Solução: Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx = ( ,0>x pois )+∞→x e então dividimos o numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x 1 11 1lim 1 lim 1 lim 1 lim 222 2 2 2 2 2 2 = − = − = − = − +∞→+∞→+∞→+∞→ xxx x x x x x x x xxxx 5) Calcule xxx x −++ +∞→ 43lim 2 Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por xxx +++ 432 , temos: ( ) ( ) ( )( ) xxx xxxx xxxxxx xxxxxxxxx xxxx +++ +=+++ −++=+++ +++⋅−++=−++ +∞→+∞→+∞→+∞→ 43 43lim43 43lim43 4343lim43lim 22 22 2 2 22 Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem: ( ) 2 3 11 3 1431 43 lim 43 43 lim43lim 2222 2 2 = + = +++ + = +++ + =−++ +∞→+∞→+∞→ xx x x x xx x x x xx x xxx xxx 29 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1) Calcule o limite das funções seguintes, quando +∞→x e quando .−∞→x a) 683)( 234 −+−= xxxxf Resposta: ∞+ e ∞+ b) 5724)( 23 −+−= xxxxf Resposta: ∞+ e ∞- c) 29785)( 23 +−+−= xxxxf Resposta: ∞- e ∞+ d) 1010814)( 357 +−+−= xxxxf Resposta: ∞- e ∞+ e) 5924)( 246 −++−= xxxxf Resposta: ∞- e ∞- f) 432 147831)( xxxxxf +−−+= Resposta: ∞+ e ∞+ g) )135()483()( 23 −+−+−= xxxxxf Resposta: ∞+ e ∞- h) 9)( 5678 ++−+= xxxxxf Resposta: ∞+ e ∞+ 2) Calcule os limites indicados: a) 43 3lim 2 2 − −+ +∞→ x xx x Resposta: 1/3 b) 35 23lim 2 + − −∞→ x x x Resposta: 0 c) 62 3lim 2 + − +∞→ x x x Resposta: 0 d) x x x + + +∞→ 2 34lim Resposta: 2 e) xx x −+ +∞→ 1lim 2 Resposta: 0 f) xxx x −+ +∞→ 2lim Resposta: 1 g) xx 1lim +∞→ Resposta: 0 h) xx 12lim + +∞→ Resposta: 2 i) 4lim 2 ++ +∞→ xx x Resposta: ∞+ j) x x e −∞→ lim Resposta: 0 k) 221lim + +∞→ xx Resposta: 1 l) 311lim − +∞→ xx Resposta: 1 m) + − −∞→ x x e 1 3lim Resposta: 4 n) ( )1lnlim 2 + +∞→ x x Resposta: ∞+ o) ( )1lnlim 2 − −∞→ x x Resposta: ∞+ p) 1lim 2 −− +∞→ xx x Resposta: 0 30 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor infinito 1) )1x2x3x5(lim 23 x −−− +∞→ Resposta: ∞+ 2) )1x2xx2(lim 245 x −+− −∞→ Resposta: ∞− 3) )1x2x3(lim 24 x −+− −∞→ Resposta: ∞− 4) )8x5x3(lim 24 x ++ +∞→ Resposta: ∞+ 5) )2x3x5(lim 3 x −+− −∞→ Resposta: ∞+ 6) )2x3x(lim 2 x −+− +∞→ Resposta: ∞− 7) 3xx 1xx3x2lim 2 23 x −+ −+− +∞→ Resposta: ∞+ 8) 1x 1x2lim 2 2 x − + −∞→ Resposta: 2 9) 3x x3lim 2x − −∞→ Resposta: 0 10) 3xx5x9 1x2x5x3lim 23 23 x −+− ++− −∞→ Resposta: 1/3 11) 7x8x4 8x5x2lim 5 23 x +− −+ −∞→ Resposta: 0 12) 7x 1x2x5lim 23 x + +− −∞→ Resposta: ∞+ 13) 33 2 x x)1x( 1xxlim −+ ++ −∞→ Resposta:1/3 14) )1x4)(1x3(x2 )2x3(lim 3 x −+ + −∞→ Resposta: 9/8 15) 1x 1xxlim 2 x + ++ +∞→ Resposta: 1 16) 1x 1xxlim 2 x + ++ −∞→ Resposta:-1 17) 1x 5x3x2lim 4 2 x + −− +∞→ Resposta: 2 18) 1x 5x3x2lim 4 2 x + −− −∞→ Resposta: 2 31 LIMITES LATERAIS Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar o comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que a. O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do que a é denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima quando x tende para a através de valores maiores que a é o limite à direita de f. Estes limites, são chamados limites laterais. • Limite à esquerda: )(lim xf ax −→ , teremos x < alogo x = a – h, onde h > 0 é muito pequeno. • Limite à direita: )x(flim ax +→ , teremos x > a logo x = a + h, onde h > 0 é muito pequeno. Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definida por várias sentenças fica simples calcular os limites laterais. Exemplos: 1) Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule: )(lim))(lim) 1 1 xfbxfa xx −+ →→ Solução: Observando o gráfico, podemos concluir que: 3)(lim5)(lim 1 1 == −+ →→ xfexf xx Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1. 2) Seja a função: > = <+ = 2 x para ,x-9 2 xpara , 2 2x para, 1 )( 2 2x xf Calcule: )(lim (c) )(lim)( )(lim)( 2 2 2 xf xfb xfa x x x → → → − + Solução: • Quando +→ 2x significa x > 2 logo 29)( xxf −= assim 52-9 x-9lim 22 2 == +→x • Quando −→ 2x significa x < 2 logo 1)( 2 += xxf assim 512 1xlim 22 2 =+=+ +→x Como os limites laterais são iguais, concluímos que .5)(lim 2 = → xf x 32 Quando a função não está definida por várias sentenças, ou não temos o gráfico da função, teremos que usar um artifício que chamaremos de incremento (h) para encontrar os limites laterais. Isto é: Simplificando: Para calcular os limites laterais, basta fazer uma substituição: • Quando )(lim xf ax +→ fazemos x = a + h • Quando )(lim xf ax −→ fazemos x = a – h Onde h é positivo e muito pequeno. 3) Calcule por mudança de variáveis os limites laterais à esquerda e à direita respectivamente, das funções abaixo, nos pontos indicados: 1 21) 2 ) 1 12) 2 2 −=+−= == =+= xemxxyc xemxyb xemxya LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1) Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo: ( )( ) 15limd) 7816 364lim) 43lim b) 723lim) 2x3 2 2 2x 3 2 2 1 →→ →−→ −+ +− −++− xx xx c xxxxa x x 3 2 2 34 32 1 42 2 1 352limh) )56( )354(limg) 92 16limf) 276 352lim) 2 1 − −+ + −+ − − −− −+ →−→ →→ x xx t tt s s xx xx e xt sx −≥ +++ −→ → 3 xsex +4 -3< xse 9 sendo f(x)limj) 2343lim) 2 3x 32 2 x xxi x ≤ → 2> xse2x -4 2 xse x = f(x) sendo ),(lim) 3 2 xfk x 2) Calcule os seguintes limites: ( ) ( ) 3 8 7 02 lim) 2lim) 45lim) 32lim) xdxc xbxa xx xx →→ →→ + −− 3) Calcule os limites: ( ) 2 3x2 2 1 32x5 x-9- xlimd) 344 62x lim) x2 2x-5 limb) 1-x 23x lim) →→ →→ −− −+ + + xx x c a x x 4) Considere a função definida por: >+ = <− = 1 1 1 4 1 3 )( 2 xsex xse xsex xf , determine: )(lim (c) )(lim )()(lim)( 1x1x1x xfxfbxfa →→→ +− 33 5) Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os limites abaixo, se existirem: )(lim )()(lim )()(lim)( 111 xfiiixfiixfi xxx →→→ +− > ≤− = <− ≥− = 1 xse x -3 1 xse 13)() 1 xse 1x 1 xse 4)() 2 x xfbxxfa > = <− = 1 xse 2-x 1 xse 2 1 xse )() 2x xfc 6) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique. f(3) e) f(x) d) f(x) c) f(x) b) f(x) ) limlimlimlim 3 3 3 0 - →→→→ + xxxx a 7) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique. f(x) h)f(x)g)f)f(-2) f(3) e)f(x) d)f(x) c)f(x) b)f(x) ) limlimlimlimlimlim 2 2 1 3 3 3 -- ++ −→−→→→→→ xxxxxx a 8) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique. )(limj) f(-3) i)h)f(1) f(2)g) )(limf) )(lim e) )(limd) )(lim) )(lim b) )(lim) 12 22333 xfxf xfxfxfcxfxfa xx xxxxx →→ →→−→−→−→ +−+− 34 9) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique. )(limj) f(-5) i)h)f(0) g)f(4) )(limf) )(lim e) )(limd) )(limc) )(lim b) )(lim) 54 44000 xfxf xfxfxfxfxfa xx xxxxx −→→ →→→→→ +−+− 10) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique. )(limj) f(6) i)h)f(0) f(-9)g) )(limf) )(lim e) )(limd) )(limc) )(lim b) )(lim) 34 44999 xfxf xfxfxfxfxfa xx xxxxx → −→ −→−→−→−→−→ +−+− 11) Calcule os seguintes limites laterais: 9 lim)f 36 6lim)e 4 2lim) 4 lim)c 2 lim)b 4 2lim) 232622 4222 −− + − + −−− + +++ −+− →→→ →→→ x x x x x xd x x x x x x a xxx xxx 12) Calcule o )(lim 2 xf x→ sendo: = ≠ − − = 2 x se 5 2 xse 2 4 )( 2 x x xf 35 RESPOSTAS: 1) a)-13 b) ( )425 − c) –1 d) 15 e) 0 f) –23 g) –64 h) 3 4 5 − i) 6 j) 1 k ) não existe 2) a) 1 b) −4 c)3 d)2 3) a) 17/2 b) 1/64 c) 1 d)3 4) 2)(lim logo 2)(lim;2)(lim) 111 === →→→ +− xfxfxfa xxx 5) )(lim existe não logo 3)(lim;0)(lim) 111 xfxfxfa xxx →→→ == +− 2)(lim logo 2)(lim ;2)(lim) 111 === →→→ +− xfxfxfb xxx 1)(limlogo1)(lim;1)(lim) 111 −=−=−= →→→ +− xfxfxfc xxx 6) a) 3 b) 2 c) 4 d) não existe e) 3 7) a) 2 b) -2 c) não existe d) 3 e) 1 f) -3 g) -1 g) -1 8) a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 2 f) não existe g) 1 h) 1 i) não existe j) -1 9) a) + ∞ b) - ∞ c) não existe d) - ∞ e) - ∞ f) não existe g) não existe h) não existe i) não existe j) não existe 10) a) + ∞ b) - ∞ c) não existe d) - ∞ e) - ∞ f) não existe g) não existe h) 1,5 i) 0 j) não existe 11) ∞∞∞∞∞∞− f) e) d) -c) b) )a 12) 4)(lim 2 = → xf x 36 REVISÃO DE LIMITES LATERAIS Em Símbolos: Limite pela direita: )x(flim px +→ e Limite pela esquerda )x(flim px −→ Exemplo 1: Seja > < = 1 xse2x 1 x se x)x(f 2 )x(flim e )x(flim 1x1x == −+ →→ 11xlim 22.12xlim 22 1x1x ==== −+ →→ -5 0 5 -5 0 5 10 15 20 25 Definição: Dizemos que existe olimite de uma função quando os limites laterais forem iguais, isto é: )x(flim)x(flim pxpx −+ →→ = Exemplo 2 Seja < > = < > == 0 xse 1- 0 xse 1 x x 0 xsex - 0 xse x x x x)x(f )x(flim f(x)lim pois limite, existe não 11lim 11lim 0x0x0x0x −+−+ →→→→ ≠∴−=−= Exemplo 3 Seja 1x 1)x(f − = , calcule 1x 1lim 1x − → a) 1x 1lim 1x − +→ b) 1x 1lim 1x − −→ 37 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – LIMITES LATERAIS 1) 72.34x3xlim 2 2x =+=+ −→ 2) 72.34x3xlim 2 2x =+=+ +→ 3) 2x x3lim 2x − −→ 4) 2x x3lim 2x − +→ 5) x 1 0x 2lim −→ 6) x 1 0x 2lim +→ 7) x 10x 21 4lim + −→ 8) x 10x 21 4lim + +→ 9) 1x 1 1x 5lim − → − 10) 1x 1 1x 5lim − → + 11) 6x3lim 2x − −→ 12) 6x3lim 2x − +→ Determine, caso exista. 13) <− = > = → 4 xse 210 4 x se 2 4 xse 10-3x f(x) sendo )(lim 4 x xf x 14) < ≥ = → 3 xse 2 3 xse 1-4x f(x) sendo )(lim 3-x 1 3 xf x 15) ≥ <≤ < = → 2 xse x-5 2x1 se 3-2x 1 xse 5-x f(x) sendo )(lim 2 2 2 xf x 16) Determine o valor de a para que exista 2 x se 3 2 xse 2 253 f(x) sendo )(lim 2 2 2 ≥−− < − −− = → xax x xx xf x Respostas 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 7 7 -∞ +∞ 0 +∞ 4 0 0 +∞ 11 12 13 14 15 16 não existe 0 2 não existe 1 a = - 4 38 FUNÇÕES CONTÍNUAS OU CONTINUIDADE DE FUNÇÕES (Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) 1. Introdução: Sejam f e g funções de gráficos: Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g apresenta um salto a outra não. Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p é igual ao valor da função quando x é igual a p, isto é: )()(lim pfxf px = → Por exemplo, se 4)( 2 −= xxf e p = 2, temos que: )()2(042)4(lim)(lim 22 2 pffxxf xpx ===−=−= →→ As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas contínuas nesse ponto. 2. Definição: Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições abaixo: (i) )( pf∃ (ii) )(lim)(lim :é isto ),(lim xfxfxf pxpxpx −+ →→→ =∃ (iii) f(p))(lim = → xf px Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é descontínua em .px = Exemplos: 1) Verifique se a função xxxf 352)( +−= é contínua em .4=x Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: • 12343542)4( +=⋅+−⋅=f • 12343542)352(lim)(lim 4 +=⋅+−⋅=+−= →→ xxxf xpx • )4()(lim 4 fxf x = → Portanto, como )4()(lim 4 fxf x = → a função é contínua em .4=x 39 2) Verifique se a função 2 |2|)( −= xxf é contínua em .2=x Solução: Primeiramente, lembramos que: ≥− < +− = − 2se, 2 2 2se, 2 2 2 |2| x x x x x A seguir, analisaremos uma a uma as três condições: • 0 2 0 2 22)2( ==−=f . • Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais: 0 2 0 2 22 2 2lim 2 |2|lim)(lim 222 == +− = +− = − = →→→ −− xx xf xxx e 0 2 0 2 22 2 2lim 2 |2|lim)(lim 222 == − = − = − = →→→ ++ xx xf xxx Como )(lim)(lim 22 xfxf xx +− →→ = )(lim 2 xf x→ ∃⇒ e 0)(lim 2 = → xf x . • )2()(lim 2 fxf x = → . Portanto, como )2()(lim 2 fxf x = → a função é contínua em .2=x 3) Verifique se a função >− = <− = 3,3 3,2 3,1 )( 2 xsex xse xsex xf é contínua em .3=x Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: • 2)3( =f . • Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais: 81913)1(lim)(lim 22 33 =−=−=−= →→ − xxf xx e 033)3(lim)(lim 33 =−=−= →→ + xxf xx Como )(lim)(lim 33 xfxf xx +− →→ ≠ ⇒ não existe )(lim 3 xf x→ e, portanto a função dada não é contínua em .3=x 4) Verifique se a função >− ≤ = 2,3 2,2)( 2 xsexx xsex xf é contínua em .2=x Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: • 422)2( =⋅=f . • Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais: 422)2(lim)(lim 22 =⋅== →→ − xxf xx e 264232)3(lim)(lim 22 22 −=−=⋅−=−= →→ + xxxf xx Como )(lim)(lim 22 xfxf xx +− →→ ≠ ⇒ não existe )(lim 2 xf x→ e, portanto a função dada é descontínua em .2=x Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e podemos constatar que o mesmo tem um “salto” em .2=x 40 5) A função 1 1)( 2 − − = x x xf não é contínua no ponto ,1=x pois a função dada não é definida no ponto especificado. Graficamente, temos: 6) A função = ≠ − − = 1,1 1, 1 1 )( 2 xse xse x x xg também não é contínua no ponto ,1=x pois: • 1)1( =g . • Limites laterais: 211)1(lim)1( )1()1(lim 1 )1(lim)(lim 11 2 11 =+=+= − +⋅− = − − = →→→→ − x x xx x x xg xxxx e 211)1(lim)1( )1()1(lim 1 )1(lim)(lim 11 2 11 =+=+= − +⋅− = − − = →→→→ + x x xx x x xg xxxx Como )(lim)(lim 11 xgxg xx +− →→ = )(lim 1 xg x→ ∃⇒ e 2)(lim 1 = → xg x . • )2(12)(lim 1 gxg x =≠= → Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a função dada não é contínua no ponto especificado, como confirma o gráfico a seguir: 41 42 7) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da função >− ≤≤− <− = 3,92 30,2 0,4 )( 2 xsex xsexx xsex xf . Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são 0=x e .3=x Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto ,0=x assim: • .000002)0( 2 =−=−⋅=f • Limites laterais: 0)4(lim)(lim 00 =−= →→ − xxf xx e 0)2(lim)(lim 2 00 =−= →→ + xxxf xx Como )(lim)(lim 00 xfxf xx +− →→ = )(lim 0 xf x→ ∃⇒ e 0)(lim 0 = → xf x . • )0()(lim 0 fxf x = → Logo, como )0()(lim 0 fxf x = → a função é contínua em .0=x Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto ,3=x assim: • .396332)3( 2 −=−=−⋅=f • Limites laterais: 396332)2(lim)(lim 22 33 =−=−⋅=−= →→ − xxxf xx e 396932)92(lim)(lim 33 −=−=−⋅=−= →→ + xxf xx Como )(lim)(lim 33 xfxf xx +− →→ = )(lim 3 xf x→ ∃⇒ e 3)(lim 3 −= → xf x . • )3()(lim 3 fxf x = → Logo, como )3()(lim 3 fxf x = → a função é contínua em .3=x Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade,verificamos que a função f é continua, concluímos que f é contínua para todo x real, e vemos que seu gráfico não tem qualquer tipo de salto ou interrupção. 43 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1) Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados: a) 5 xem 2x x3)x(f = + − = b) 4 xem 4x 1)x(f = − = c) 0 xem e1)x(f x 1 =+= d) > =−= < + ++ = -1 xse 3x, 1- xem 1 xse ,1 -1 xse , 1 23 )( 2 x xx xf e) 2 xem 2 xse ,2x 2 xse 6,-7x)( 2 = ≥ < =xf f) 3em32)( 2 =−= xxxf g) 1. xem 1 1)( = − = x xf h) 4 xem 4 xse2x -10 4 xse 2 4 xse 103 )( = < = >− = x xf 2) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado: a) 2 xem 2 xse a, 2 xse , 2 65 )( 2 = = ≠ − +− = x xx xf b) 4 xem 4 xse a,3x 4 xse , 4 2 )( = ≤+ > − − = x x xf c) 0 xem 0 xse a,43x 0 xse ,22)( 2 = ≤+− > −+ = x x x xf Respostas: a b c d e f g h 1) sim não não não sim sim não Sim 2) a b c a = -1 4 47 −=a 4 2 =a 44 3) Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados, e justifique sua resposta. a) > = <+ = 2, 2,4 2,2 )( 2 se xx se x xsex xf b) >− ≤− = xsex xsex xf 1,1 1,12)( c) > = <+ = 0,2 0,5 0,23 )( x se xse xsex xf d) <≤+ << ≤+ = 65,3 51,2 1,1 xsex x sex xsex f(x) 4) A função ≥ <<− ≤− = 2,2 21,1 1,1 )( 2 x se xse x x sex xf possui algum ponto de descontinuidade? Quais? Justifique. 5) Verifique se as seguintes funções possuem algum ponto de descontinuidade e justifique sua resposta. a) 3)( += xxf b) 1 23)( − − = x x xf c) 2 2)( 2 − −− = x xx xf d) = ≠ − −− = 2 xse 1, 2xse, 2 2 )( 2 x xx xf e) = ≠− = 5xse 2, 5xse,3)( xxf f) ≥ <+ = 1xse x,-3 1xse2,2x-)( 2x xf 6) Indique onde cada uma das funções abaixo é descontínua e justifique sua resposta. a) − −− = 2 2)( 2 x xx xf b) = ≠ = 0xse1, 0xse,1)( 2xxf c) = ≠ − −− = 2xse1, 2xse, 2 2 )( 2 x xx xf 7) Determine o valor de m para que cada função abaixo seja contínua no ponto dado. a) 3 xem 3 x se m, 3 xse , 3 9 )( 2 = = ≠ − − = x x xf b) 0 xem 0 x se m, 0 xse, 3)( 2 = = ≠ − − = x xx xf 8) Verifique se as funções abaixo são contínuas, justificando sua resposta. a) > ≤+ = 1xse 2x, 1xse,1)( 2x xf b) >+ ≤+ = 1xse 2,x 1xse,2)( 2x xf 9) Explique porque f(x) não é contínua em x. a) 3 x em 3 5)( = − − = x xf b) 2 xem 2 x se 5, 2 xse, 2 4 )( 2 = = ≠ − − = x x xf c) 1 xem 1 xse , 1 x se 3, 1 xse 2,x )( = >− = <+ = x xf d) 3xem 3 9)( 2 = − − = x x xf 45 10) A figura a seguir mostra o gráfico de uma função f. Em quais valores de x a função é descontínua? Por quê? 11) De acordo com a figura a seguir, verifique em quais pontos a função é descontínua e justifique sua resposta. 12) Determine os intervalos de continuidade da função representada na figura a seguir: CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 2007) Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0 (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento. Figura 1 Figura 2 46 LIMITES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) • Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: 1lim 0 = → x sen xx Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja MAˆ um arco de x radianos, com . 2 0 pi<< x Na figura a seguir: .e,ˆ ATxtgPMxsenMAx === Lembre-se: • AlturaBaseA ⋅⋅=∆ 2 1 • ArcoRaioASetor ⋅⋅= 2)( 2 1 Observe que o triângulo oAM está contido no setor circular ,oAM o qual por sua vez está contido no triângulo .oAT Assim, podemos afirmar que: área ∆ oAM < área setor oAM < área ∆ oAT isto é: AToAxoAPMoA ⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅ 2 1)( 2 1 2 1 2 Mas, 1=oA Logo: ATxPM << ou, xtgxxsen << Dividindo termo a termo por ,xsen temos: ⇒<< xsen xtg xsen x xsen xsen xxsen x cos 11 << Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com: 1coscos1 <<⇒>> x xsen xx x xsen Sabemos que, quando .1cos,0 →→ xx Então, para x tendendo a zero, x xsen permanece entre xcos e 1 E, portanto: 1 sen x lim 0 = → xx (c.q.d) 47 A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar: x (em radianos) x xsen xf =)( 0,2± 0,4546 0,1± 0,8414 5,0± 0,9588 2,0± 0,9933 1,0± 0,9983 001,0± ... x→ 0 0,9999 ... f(x) → 1 Assim, quando x→ 0 (em radianos), temos que: f(x) → 1, ou seja, .1lim 0 = → x xsen x Exemplos: 1) Calcule . x lim 0 xsenx→ Solução: 1 1 1 lim 11 lim x lim 0 0 0 ==== → →→ x xsen x xsenxsen x xx 2) Calcule . xtg lim 0 xx→ Solução: 1 1 11 cos 1lim lim cos 1 x xsen lim1 xcos xsen lim xcos xsen lim xtg lim 0 0 0 0 0 0 =⋅=⋅= ⋅= ⋅== →→→→→→ xx xsen xxxx xxxxxx 3) 1lim 3 3lim 00 == →→ u usen x xsen ux . Nota: 00,3 →⇒→= uxxu 4) * 00 k ,1limlim ℜ∈∀== →→ u usen kx kxsen ux . Nota: 00, →⇒→= uxkxu 5) 1limlim 02 2 0 =⋅= →→ x xsen x xsen x xsen xx . 6) Calcule x x x cos1lim 0 − → . Solução: = +⋅ = +⋅ − = + + ⋅ − = − →→→→ )cos1(lim)cos1( )cos1(lim)cos1( )cos1()cos1(limcos1lim 2 0 2 000 xx xsen xx x x x x x x x xxxx 001 11 01 0cos1 01 cos1 limlim cos1 lim 000 =⋅=+ ⋅= + ⋅= + ⋅ = + ⋅ →→→ sen x xsen x xsen x xsen x xsen xxx 7) Calcule x xsen x 5 3lim 0→ . Solução: 5 31 5 3 3 3lim 5 3 5 3 3 3lim 5 3lim 000 =⋅= ⋅= ⋅= →→→ x xsen x xsen x xsen xxx 48 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS - CALCULE 1) x2 x3senlim 0x→ 2) x4 xsenlim 0x→ 3) x3 x2tglim 0x → 4) x3sen x4senlim 0x→ 5) x5tg x3tglim 0x → 6) x xcos1lim 0x − → 7) xsen.x xcos1lim 0x − → 8) 20x x xsec1lim − → 9) x xsentgxlim 0x + → 10) tgx1 xcosxsenlim 4 π x − − → 11) xsen xsentgxlim 20x − → 12) xsenxcos x2coslim 4 π x −→ 13) xsenx xsenxlim 0x + − → 14) x3senx x2senxlim 0x + − → 15) x4sen x3cosx5coslim 0x − → 16) xsen x2senx3senlim 0x − → 17) x asen)axsen(lim 0x −+ → 18) x acos)axcos(lim 0x −+ → 19) xπ 2 x sen1 lim πx − − → 20) 20x x3 x2cos1lim − → Respostas: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 2 3 4 1 3 2 3 4 5 3 0 2 1 2 1 − 2 2 2 − 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 2 0 4 1 − 0 1 a cos a sen− 0 3 2 21) Calcule os seguintes limites: a) xtg x lim 0 →x b) 2xsen lim 0 xx→ c) xsenx 5 4xsen lim 0 → d) 3 hsen lim 0 hh→ e) 2 2 0 cos-1 lim x x x→ f) 1 cos x- lim 2 2 0 − → xx g) xx cos1 senxx lim 0 − → Resposta: a) 1 b) 2 c) 4/5 d) 1/3 e) 1 f) 1 g) 2 49 LIMITES DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS (Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) • O Número “e”. No estudo dos logaritmos (ensino médio ou antigo segundo grau) já nos referimos ao número e. Esse número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. O número e pode ser obtido por meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo termo geral é: n n n a += 11 Tomando alguns valores naturais, para exemplificar, temos: � 2 1 11 1 1 1 = +=⇒= an � 25,2 2 11 2 2 2 = +=⇒= an � ...37037037,2 3 11 3 3 3 = +=⇒= an � 48832,2 5 11 5 5 5 = +=⇒= an � ...59374246,2 10 11 10 10 10 = +=⇒= an � ...704813829,2 100 11 010 100 100 = +=⇒= an � ...716923932,2 000.1 11 000.1 000.1 000.1 = +=⇒= an � ...718145927,2 000.10 11 000.10 000.10 000.10 = +=⇒= an � ...77181826823,2 000.100 11 000.100 000.100 000.100 = +=⇒= an , e assim por diante (and so on...). ... � ean n →⇒∞→ , ou seja: Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, an tende ao valor aproximado de 2,718182..., ou ainda: ...5907182818284,211lim ≅= + +∞→ e x x x • Limite Exponencial Fundamental Teorema: .......718281828,211lim x ≅= + +∞→ e x x Lembre-se: O número “e” é irracional. 50 Dois limites podem ser obtidos como conseqüência do limite exponencial fundamental. • Primeira Conseqüência: ( ) ex x x 1 lim 1 0 =+ → De fato, fazendo x u 1 = ⇒ x u = 1 , e observando que quando +∞→⇒→ u 0x , ficamos com: ( ) e u x x x = +=+ +∞→→ 11 lim 1 lim u u 1 0 que é o próprio limite exponencial fundamental. • Segunda Conseqüência: 1 1e lim x 0 = − → xx Fazendo )1ln(11 +=⇒+=⇒=− uxueue xx , e é evidente que quando 0.u ,0 →→x Daí, = + = +⋅ = + = − →→→→ u 1000 x 0 )1ln( 1 lim )1ln( u 1 1 lim 1)(uln u lim 1e lim uu x uuux 1 1 1 ln 1 u)(1 limln 1 u)ln(1 lim 1 u 1 0 u 1 0 === + = + = →→ e uu Exemplos: 1) Calcule ( ) .,1 lim * 0 1 ℜ∈+ → kkx x x Solução: Podemos escrever: ( ) ( ) ( ) k kxkx k x kxkxkx 11 111 +=+=+ Fazendo ,ukx = resulta que se 0u 0x →⇒→ portanto, ficamos com: ( ) ( ) ku ux eukx x = +=+ →→ k 1 0 0 1 lim1 lim 1 2) Calcule . 1 lnlim 1 − → x x x Solução: Façamos .11 +=⇒−= uxxu Quando ,01 →⇒→ ux logo: .1ln)1(limln)1(lnlim)1(ln1lim)1(lnlim 1 lnlim 1 0 1 0001 == += += +⋅= + = − →→→→→ euuu uu u x x u u u uuux 51 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1) Mostre que: a) 12 4 0 )31(lim ex x x =+ → b) 2x 1 0x e)x21(lim =+ → c) 33 1 x 1 0x ee 3 x1lim == + → d) 7 4 x 1 0x e 7 x41lim = + → e) e 1 e)x1(lim 1x 1 0x ==− − → f) π 1 x 1 0x e π x1lim = + → 2) Calcule os seguintes limites: a) 2 n 11 lim + ∞→ + n n b) n 31 lim n n + ∞→ c) x1 x lim x x +∞→ d) x 51 lim 1 + ∞→ + x x e) ( ) xsenxsen x 1 1 lim + → pi Resposta: a) e b) e3 c) e-1 d) e5 e) e 3) Calcule os limites abaixo: a) ( ) ( ) x 1 ln 2 x lim Fazer x+ 1 = u x+1→− + b) ( ) ( ) x 2 ln 3 x lim Fazer x+ 2 = u x+2→− + c) x x 0 2 1lim x→ − d) senx x 0 e 1lim senx→ − e) x 0 sen5xlim tg4x→ f) x 2 cos xlim x 2 pi → pi − g) ( ) 2 x 0 ln 1 x lim x→ + h) 3 x 1 ln xlim x 1→ − i) ( )cossec x x 0 lim 1+senx ( Fazer sen x = u) → j) 2 x 0 1 cos xlim x→ − k) 3 x 0 tgx senxlim x→ − l) 1 x 4 x 4 1+xlim 5 − → m) x x x 0 10 1lim 5 1→ − − (dividir por x Num. e Den.) n) x x 2lim 1+ x→+∞ Resposta: a) 1 b) 1 c) 2ln d) 1 e) 5/4 f) 1 g) 2 h) 3 i) e j) 1/2 k) 1/2 l) 5 e m) 5ln/10ln n) e2 52 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS (Texto adaptado de: Elaine Cristina Ferruzzi & Devanil Antonio Francisco) 1. INTRODUÇÃO Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproximam de uma reta a medida que x cresce ( x → + ∞ ) ou
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