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Distribuições Contínuas de Probabilidade
 Introdução
Uma variável aleatória contínua é aquela que pode apresentar qualquer valor 
numérico real em determinado intervalo. Conseqüentemente, entre dois valores 
quaisquer a e b ( a≠b ), assumidos pela variável aleatória contínua, existe um 
número infinito de valores. Exemplos de variáveis aleatórias contínuas:
1. A altura H acima do solo onde um dardo atinge o painel;
2. O tempo de duração de uma lâmpada;
3. O tempo de vida de uma pessoa.
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua é 
denominada distribuição contínua de probabilidade. Contudo, não é possível definir 
uma função de probabilidade para uma variável aleatória contínua do mesmo modo 
como foi feito para uma variável aleatória discreta. O exemplo esclarece este fato.
Exemplo: o ponteiro dos segundos de um relógio pode parar a qualquer 
instante por defeito técnico. Seja X a variável aleatória que denota o ângulo (em 
graus) do ponteiro ao parar.
180o
0o
90o270o
X
1O Caso – Variável X discreta
O relógio é mecânico e o ponteiro dá um “salto” a cada segundo. Neste caso, a 
variável aleatória X assume valores discretos e a função de probabilidade P(X) é 
constante (distribuição uniforme):
X P(X)
0o 1/60
6o 1/60
12o 1/60
... ...
354o 1/60
2O Caso – Variável X contínua 
O relógio é elétrico e o ponteiro dos segundos move-se continuamente. Neste 
caso, a variável aleatória X é contínua, assumindo qualquer valor real no intervalo 
[0o,360o) :
X={x∈ℝ∣0ox360o}
Como X pode assumir infinitos valores no intervalo dado, a probabilidade de 
que X seja igual a um certo valor específico x 0 pertencente ao mesmo é nula: 
P x 0=0 .
Esta é uma propriedade que vale de modo geral:
Para uma variável aleatória contínua X, a probabilidade em um ponto 
específico é sempre nula, mas a probabilidade de que X pertença a algum intervalo de 
tamanho arbitrário pode ser não nula. No presente exemplo do relógio elétrico, é fácil 
concluir que a probabilidade é proporcional à largura do intervalo,
P axb=b−a
360
para a e b ( ab ) pertencentes ao intervalo [0o ,360o ) . Assim, por exemplo, 
A probabilidade de qualquer variável aleatória contínua ser 
igual a algum valor específico é zero.
P 120x150=150−120
360
= 1
12
Note também que, se a variável aleatória for contínua, então
P axb=P axb=P axb=P axb
Para um pequeno intervalo [ x , x x ] , podemos sempre calcular a 
probabilidade de o ponteiro parar num ponto do mesmo, por menor que seja o 
intervalo: 
P xXx x= x
360
É importante observar que a letra X (maiúscula) denota a variável aleatória, 
enquanto a letra x (minúscula) denota algum valor específico que a variável aleatória 
pode assumir.
No limite em que  x0 , a probabilidade se anula ( P X=x0 ), mas a 
função densidade de probabilidade definida como
f x = lim
x0
P xXx x 
 x
pode ser calculada em um ponto específico x e resultar em um valor não nulo. Neste 
exemplo do relógio elétrico, em particular, obtém-se uma densidade de probabilidade 
constante (distribuição uniforme),
f x = 1
360 .
Em geral, contudo, a densidade de probabilidade pode depender de x.
 Função Densidade de Probabilidade
Um histograma é um gráfico de barras contíguas que representa as densidades 
de freqüências relativas correspondentes a classes de valores de uma variável 
aleatória X. A figura a seguir ilustra, como exemplo, o histograma da precipitação 
mensal média em mm (x) de várias cidades norte-americanas (retângulos em 
amarelo). A probabilidade P xXx x  de que a precipitação mensal X esteja 
em uma dada classe de valores [ x , x x ] é dada pela área do retângulo 
correspondente. A soma das áreas de todos os retângulos do histograma é, portanto, 
igual a 1. 
Para uma variável aleatória contínua X, o histograma é apenas uma 
representação aproximada da função densidade de probabilidade f(x). Contudo, a 
aproximação melhora conforme tornamos os retângulos cada vez mais estreitos, o 
que significa fazer a largura de cada classe tender a zero  x0 . No limite  x0 , 
o histograma passa a ser representado por uma curva suave, definida pela função 
densidade de probabilidade f(x) como:
f x= lim
 x0
P xXx x
 x
 .
Na figura, a curva contínua é um modelo teórico para a função densidade de 
probabilidade f(x) da precipitação média mensal x das cidades norte-americanas; o 
modelo foi construído a partir do histograma que, por sua vez, baseia-se em dados 
empíricos. Analogamente, a área sob a curva f(x) deve ser igual a 1; e a probabilidade 
P x 1Xx2 de que a precipitação esteja no intervalo [ x1 , x2] é dada pela área 
abaixo da curva f(x) no intervalo considerado.
Uma função f(x) ( f x 0 ) é uma função densidade de probabilidade para 
uma variável aleatória X se satisfizer à propriedade de que a área sob a curva y=f(x) 
(acima do eixo x) no intervalo [ x1 , x2] é igual à probabilidade P x 1Xx2 . 
Outrossim, a área total sob a curva y=f(x) (no intervalo −∞ ,∞ ) deve ser igual a 1. O 
cálculo da área sob uma curva envolve uma técnica matemática conhecida como 
integração. Entretanto, nem sempre é possível obter uma fórmula analítica para o 
cálculo destas áreas, tornando-se necessário o uso de tabelas numéricas em 
determinados modelos de densidade de probabilidade.
Densidade de Probabilidade: f x 
f x0
P x 1Xx2 = [ Área sob f xno intervalo [ x1 , x 2]] = ∫x 1x 2 f x dx
P −∞X ∞ = [ Área total sob f x no intervalo [−∞ ,∞]] = ∫−∞∞ f x  dx = 1
 Valor Esperado, Variância e Desvio-Padrão
O valor esperado E(X) e variância Var(X) de uma uma variável aleatória 
contínua X são calculados como:
∫+ ∞
∞−
= dxxfxXE )()( ;
[ ] [ ] 222 )()()()()( XEXEdxxfXExXVar −=−= ∫+ ∞
∞−
 ,
em que
 ∫+ ∞
∞−
= dxxfxXE )()( 22 .
O desvio-padrão é simplesmente
 DP X =Var X 
 O Modelo Uniforme
É possível construir modelos teóricos para variáveis aleatórias contínuas, 
escolhendo adequadamente as funções densidade de probabilidade. Teoricamente, 
qualquer função f, que seja não negativa e cuja área total sob a curva seja igual à 
unidade pode ser considerada uma densidade de probabilidade para uma variável 
aleatória contínua.
O modelo mais simples para uma variável aleatória contínua é o modelo 
uniforme. Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme com 
parâmetros a e b se sua função densidade de probabilidade for dada por
f x  = 1
b−a , se 
axb ;
f x = 0 , caso contrário .
O valor esperado e a variância de uma variável aleatória com distribuição 
uniforme (com parâmetros a e b) são dados por
E X =ab
2 ;
Var X =b−a 
2
12 
Exemplo: 
O ponteiro dos segundos de um relógio elétrico move-se continuamente e pode 
parar a qualquer momento por defeito técnico, formando um ângulo X. Este problema 
já foi tratado na seção introdutória; a variável aleatória X tem distribuição uniforme 
com parâmetros a = 0o e b = 360o:
f x= 1
360 , se 0
ox360o ;
f x = 0 , caso contrário .
Portanto, ao parar, o ponteiro forma um ângulo X igual a, em média, 
E X =180o , com variância igual a Var X =10800 e desvio-padrão 
DP X ≈103,9o .
ba
1/(b-a)
f(x)
x
 O Modelo Normal
A mais importante distribuição contínua de probabilidade em estatística é a 
distribuição normal. A fórmula matemáticapara o modelo normal foi 
primeiramente publicada por Abraham De Moivre (1667-1754) em 1733. Muitos 
outros matemáticos figuram com proeminência na história da distribuição normal, 
incluindo Pierre Simon Laplace (1749-1827) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Por 
tais razões, a distribuição é freqüentemente denominada distribuição de Gauss 
(Gaussiana) ou distribuição de Laplace-Gauss.
Inúmeras variáveis contínuas que descrevem fenômenos naturais e sociais 
apresentam distribuições de probabilidade próximas do modelo normal. O nome 
normal deve-se ao fato de que muitas distribuições de freqüências de erros de 
observações e mensurações podem ser descritas por este modelo. Além de sua 
utilidade prática, a distribuição de Gauss constitui a base teórica de toda inferência 
estatística.
Densidade de Probabilidade
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com parâmetros μ 
(média) e σ2 (variância) se sua função densidade de probabilidade for dada por
f  x = 1
2
e
−x−2
22
em que e=2,71828 , =3,14159 . Uma distribuição normal pode ter qualquer 
média μ e qualquer desvio-padrão σ positivo. Estes dois parâmetros determinam 
completamente a distribuição. Utiliza-se a seguinte notação compacta para 
caracterizar uma variável aleatória X com distribuição normal com média μ e 
variância σ2 :
X : N  ,2
Gráfico
O gráfico da densidade de probabilidade f(x) de um modelo normal é uma 
curva em forma de sino, conhecido como curva normal (ver figura).
Propriedades
1. A curva normal tem formato de de sino e é simétrica em torno da média.
2. A área total sob f(x) é igual a 1, como em toda distribuição contínua de 
probabilidade.
3. A média, a mediana e a moda são iguais.
4. A curva normal tende a tangenciar o eixo x à medida que se afasta da média em 
ambos os lados: f x 0 se x±∞ .
5. Os pontos x=− e x= são pontos de inflexão (nos quais a curva 
muda sua curvatura para cima ou para baixo).
6. O ponto de máximo ocorre em x= e o valor máximo é f =1 /2 .
Parâmetros μ e σ
Cada par de parâmetros μ e σ determina uma particular curva normal. 
Diferentes valores de μ deslocam a curva normal ao longo do eixo x para a direita (se 
μ aumenta) ou para a esquerda (se μ diminui). O valor de σ determina o grau de 
achatamento do gráfico: conforme σ aumenta, o valor máximo diminui e a curva 
normal fica cada vez mais achatada. A figura abaixo ilustra estes fatos.
Distribuição Normal Padrão
Como cada par de parâmetros μ e σ especifica uma particular curva normal, 
existem infinitas distribuições normais, cada qual com sua própria média e desvio-
padrão. O membro mais importante desta família de distribuições é a distribuição 
normal padrão (ou unitária) que tem média μ = 0 e desvio-padrão unitário σ = 1. 
Uma variável aleatória Z com distribuição normal padrão é denotada como
Z : N 0,1
e tem função densidade de probabilidade dada por
f  z = 1
2
e−z
2/2 .
Transformação para a Distribuição Normal Padrão
Se uma variável aleatória X tem distribuição normal com média μ e variância 
σ2 (ou seja, X : N  , 2 ), então a transformação
Z = X−

define uma variável aleatória Z com distribuição normal padrão ( Z : N 0,1 ).
A figura ilustra a transformação de uma distribuição normal com média μ=-2 e 
variância σ2=0.5 em uma distribuição normal padrão.
Cálculo de Probabilidades
A probabilidade de uma variável X normalmente distribuída tomar um valor 
entre dois pontos quaisquer a e b é igual à área sob a curva normal compreendida 
entre estes dois pontos (ver figura). O valor numérico desta área é o resultado da 
integral de f(x) entre a e b, isto é
P aXb=∫a
b
f  xdx
em que f x  é a densidade de probabilidade da variável aleatória X : N  , 2 .
Esta integração não pode ser calculada analiticamente e deve ser computada 
por métodos numéricos. Existem tabelas numéricas que fornecem valores de áreas 
sob a curva normal padrão.
Na prática, se X : N  , 2 , a probabilidade P aXb é calculada 
identificando-a primeiramente com uma área equivalente sob a distribuição normal 
padrão, conforme mostrado abaixo:
P a  X  b = P  a−  X−  b−  = P  z1  Z  z2 ;
z1=
a−

; z 2=
b−
 .
Em seguida, utiliza-se a tabela da distribuição normal padrão (ver adiante) para 
a determinação da probabilidade P  z1  Z  z 2 .
Exemplo: 
Considere a variável normalmente distribuída X : N =−2 , 2=0,5 . A 
probabilidade P −2X−1 pode ser identificada com a área sob a curva 
normal padrão entre z1=0 e z2=2≈1,41 (ver figura):
P −2  X −1 = P−2−−21/2  X−  −1−−21 /2  = P 0  Z  1,41
Uso da Tabela da Distribuição Normal Padrão
A tabela da Distribuição Normal Padrão (em anexo) fornece a probabilidade 
P 0Zz c de que a variável Z esteja entre 0 e um valor crítico zc .
Como exemplo de uso da tabela, obteremos a probabilidade P(0<Z<1,41), que 
corresponde a uma das áreas hachuradas na figura anterior. Um trecho da tabela é 
apresentado a seguir. A célula correspondente à intersecção da linha indicada por 
1,40 com a coluna indicada por 0,01 fornece a probabilidade P 0Z zc , para 
zc=1,400,01=1,41 . Logo:
P 0Z1,41=0,42073
Zc 0,00 0,01 0,02 ...
0,00 0,00000 0,00399 0,00798 ...
0,10 0,03983 0,04380 0,04776 ...
0,20 0,07926 0,08317 0,08706 ...
0,30 0,11791 0,12172 0,12552 ...
0,40 0,15542 0,15910 0,16276 ...
0,50 0,19146 0,19497 0,19847 ...
0,60 0,22575 0,22907 0,23237 ...
0,70 0,25804 0,26115 0,26424 ...
0,80 0,28814 0,29103 0,29389 ...
0,90 0,31594 0,31859 0,32121 ...
1,00 0,34134 0,34375 0,34614 ...
1,10 0,36433 0,36650 0,36864 ...
1,20 0,38493 0,38686 0,38877 ...
1,30 0,40320 0,40490 0,40658 ...
1,40 0,41924 0,42073 0,42220 ...
1,50 0,43319 0,43448 0,43574 ...
... ... ... ... ...
O fato de que a área total sob a curva é unitária e as propriedades de 
simetria da distribuição são utilizados para relacionar probabilidades não obtidas 
diretamente da tabela com os valores tabelados. Exemplos:
1. P Z0=P Z0 =0,5
2. P −1,12Z0=P 0Z1,12=0,36864
3. P Z1,12=0,5−P 0Z1,12=0,5−0,36864=0,13136
4. P 0,47Z1,73=P0Z1,73−P 0Z0,47=0,4582−0,1808=0,2774
5. P −0,47Z1,73=P 0Z0,47P 0Z1,73=0,18080,4582=0,6390
Ilustração: Área hachurada = P 0,47Z1,73=0,2774
Problema envolvendo Distribuição Normal 
Um levantamento indica que tempo X gasto para fazer compras em um 
supermercado é uma variável normalmente distribuída com média =45 minutos 
e desvio padrão =12 minutos. Calcule a probabilidade de que um comprador 
fique no supermercado entre 24 minutos e 54 minutos.
X : N =45, 2=122
P 24  X  54 = P 24−4512  X −4512  54−4512 
= P −1,75  Z  0,75 = P 0Z1,75P 0Z0,75
= 0,459940,27337=0,73331
Uma outra forma de interpretar esta probabilidade é afirmar que 73,33% dos 
compradores passarão entre 24 e 54 minutos no supermercado.
Como exercício para o leitor, mostre que a probabilidade de que o comprador 
fique mais de 39 minutos no supermercado é
P X39=0,6915 .