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2. Resumo dos Dados e Propagação de Erros
1.1 Resumo dos Dados
Nas ciências, procura-se dar uma descrição precisa de fenômenos através dos 
números. Em uma descrição científica de um experimento, é preferível uma descrição 
quantitativa ao invés de uma qualitativa.
Considere a medida de uma grandeza X. Repetem-se n experimentos para medir X, 
da mesma maneira e com os mesmos instrumentos, obtendo-se o seguinte conjunto de 
valores:
1 2 3, , , , nx x x xK
Cada valor xi apresenta, em geral, um erro associado à sua medida. O erro pode ser 
estatístico ou sistemático.
Erros estatísticos: são erros que resultam de causas indeterminadas e afetam as 
medidas de modo aleatório (imprevisível). Exemplos: erros de leitura, erros devido à 
variação de pressão ou temperatura, etc.
Erros sistemáticos: são erros oriundos de causas constantes e que afetam as medidas 
de modo uniforme, apresentando uma tendência. Exemplos: medida feita com um trena que 
encolheu, medida feita com instrumento mal calibrado, etc.
 Exemplo - experiência de queda livre
Um objeto é abandonado do repouso, a uma altura h do solo. Mede-se o tempo T que 
o objeto leva para atingir o solo, estimando-se a aceleração da gravidade g como
g= 2 h
T 2
 .
Repetiu-se a experiência n=5 vezes, obtendo-se os seguintes valores para g (em m/s2)
g1=9,6 ; g2=9,9 ; g3=10,0 ; g4=9,2 ; g5=10,2 .
Um valor representativo do conjunto é a sua média: g=9,78...m / s2≈9,8 m / s2
Mas também veremos que é importante associar à média uma medida da incerteza.
1
Ciências Experimentos
Descrição
Quantitativa
(preferível)
 Média Aritmética
Conceito familiar, a média (aritmética) é a soma das observações dividida pelo 
número delas. 
Exemplo:
Dados: 3; 4; 7; 8; 8. 
Média: Me=(3+4+7+8+8)/5=6
Formalismo matemático
Dado um conjunto de n valores distintos ou não, denotaremos estes valores por
1 2 3, , , , nx x x xK
A soma dos valores deste conjunto 1 2 3, , , , nx x x xK é indicada pelo somatório
1 2
1
n
i n
i
x x x x
=
= + + +∑ K
onde ix denota a i-ésima observação do conjunto ( 1,2, , )i n= K .
A média ( x ) deste conjunto de valores é formalmente definida como
1
n
i
i
x
x
n
=
=
∑
Exemplo: 
No conjunto 3; 8; 7; 4; 8 temos n=5 observações e
1 2 3 4 53 ; 8 ; 7 ; 4 ; 8x x x x x= = = = = .
A soma de todos os valores é 
5
1 2 3 4 5
1
3 8 7 4 8 30i
i
x x x x x x
=
= + + + + = + + + + =∑ 
e, portanto, a média é
5
1 30 6
5
i
i
x
x
n
=
= = =
∑
2
 Medidas de dispersão (ou medidas de variação)
O resumo de um conjunto de dados por uma única medida representativa de posição 
central esconde toda a informação sobre a variabilidade do conjunto de observações.
Exemplo: 
Cinco grupos (amostras) de alunos das turmas A, B, C, D e E obtiveram as seguintes notas 
após realizarem um teste:
Grupo A (variável X): 3; 4; 5; 6; 7 .
Grupo B (variável Y): 1; 3; 5; 7; 9 .
Grupo C (variável Z): 5; 5; 5; 5; 5 .
Grupo D (variável W): 3; 5; 5; 7 .
Grupo E (variável V): 3,5; 5; 6,5 .
Os conjuntos de dados são diferentes. Em cada conjunto, os dados podem variar ou não.
As médias dos grupos são todas iguais: 5,0x y z w v= = = = = .
• Em qual dos conjuntos existe maior variação dos dados?
A variação se refere a quanto os valores podem diferir entre si e pode ser medida por 
números específicos. Os números relativamente próximos uns dos outros têm baixas 
medidas de variação, enquanto os valores mais dispersos têm maior medida de 
variação.
Critério para medir a variabilidade de um conjunto: medir a dispersão dos dados 
em torno de sua média, analisando os desvios das observações em relação à média 
dessas observações.
Medidas de variação: amplitude, desvio médio, desvio padrão.
Desvio médio (DM)
O desvio é a diferença ( ix x− ) entre um dado valor e a média dos valores. A soma 
dos desvios de todos os valores é sempre zero. Assim, o desvio médio é definido 
como a soma dos desvios absolutos dividida por n :
1
n
i
i
x x
DM
n
=
−
=
∑
3
Exemplo: 
O desvio médio do conjunto 3, 4, 5, 6, 7 (grupo A) é
5
1 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 6 1,2
5 5 5
i
i
x x
DM =
−
− + − + − + − + −
= = = =
∑ .
Variância de uma amostra (s2)
A variância da amostra é a soma dos quadrados dos desvios (desvios quadráticos) 
dividida por n-1 :
( ) 2
2 1 
1
n
i
i
x x
s
n
=
−
=
−
∑ 
Alternativamente, a fórmula acima pode ser reescrita em termos de uma fórmula 
equivalente e mais conveniente no que se refere à praticidade dos cálculos:
2
2
2 1 1 
( 1)
n n
i i
i i
n x x
s
n n
= =
   
−      
=
−
∑ ∑
Exemplo: 
A variância do conjunto de valores 3, 4, 5, 6, 7 (grupo A) é
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
2 1 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 10 2,5
1 5 1 4
n
i
i
x x
s
n
=
−
− + − + − + − + −
= = = =
− −
∑ .
Ou, no caso de se usar a fórmula alternativa, calcula-se primeiramente os somatórios
5
2 2 2 2 2 2
1
3 4 5 6 7 135i
i
x
=
= + + + + =∑ ,
5
1
3 4 5 6 7 25i
i
x
=
= + + + + =∑ ,
obtendo-se
( ) ( )
25 5
2
2
2 1 1
5
5 135 25 675 625 50 2,5
5(5 1) 5(5 1) 20 20
i i
i i
x x
s = =
   
−   
−
−   
= = = = =
− −
∑ ∑ .
4
Desvio padrão de uma amostra (s)
O desvio padrão da amostra é a raiz quadrada positiva da variância da amostra. 
Como a variância tem dimensão igual ao quadrado da dimensão dos dados (por 
exemplo, se os dados são expressos em cm, a variância será expressa em cm2), então 
costuma-se usar o desvio padrão:
2s s= .
Exemplo: 
A desvio padrão do conjunto de valores 3, 4, 5, 6, 7 (grupo A) é
2 2,5 1,5811s s= = = .
• Conclusão sobre a variabilidade dos dados nos grupos A, B, C, D e E:
Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D Grupo E
Dados 3; 4; 5; 6; 7 1; 3; 5; 7; 9 5; 5; 5; 5; 5 3; 5; 5; 7 3,5; 5; 6,5
Desvio médio 1,20 2,40 0 1,00 1,00
Variância 2,50 10,00 0 2,67 2,25
Desvio padrão 1,58 3,16 0 1,63 1,50
O grupo que apresenta a maior dispersão de valores é o grupo B, tanto em termos do desvio 
padrão quanto em termos do desvio médio.
 Erro Padrão
Seja  x a incerteza associada à média x de um conjunto de medidas 
1 2 3, , , , nx x x xK . O resultado deste experimento é então escrito como
x= x ± x .
Para calcularmos a incerteza, primeiramente estimamos o desvio padrão das médias 
sx através da expressão
sx=
s
n
 ,
em que s é o desvio padrão da amostra.
5
Em seguida, estima-se o erro sistemático residual 
eR
que é o erro sistemático resultante, uma vez que todas melhorias e correções viáveis tenham 
sido realizadas a fim de se eliminar os erros sistemáticos do resultado final.
O erro padrão eP é então definido de modo que 
e p
2=s x
2e R
2 ,
o que significa que o erro padrão contém uma parcela ( sx
2
) devido a erros estatísticos e 
uma outra parcela devida a erros sistemáticos residuais ( e R2 ) .
A incerteza é definida como o erro padrão
 x=e p= sx2eR2 .
Se o erro sistemático residual eR for considerado desprezível, então
 x=s x=
s
n
, eR≈0.
Neste caso, escrevemos o resultado final na forma
x = x± x = x± s
n
, eR≈0 .
1.2 Propagação de Erros
Considere uma grandeza Z que é determinada por medidas de outras duas grandezas 
X e Y :
Z = f (X,Y)
Suponha que as medidas de X e Y sejam dadas pelos seus valores médios e 
respectivas incertezas:
x = x± x ;
y = y± y .
Calculemos o valor z correspondente à grandeza Z, dado em termos do valor médio e 
do erro propagado (incerteza):
z = z± z .
6
 Propagação de erros na adição ousubtração de duas medidas:
Considere a adição ou subtração de duas medidas:
z= x± y
Logo, o valor de z pode ser escrito:
z =  x± x ±  y± y
Os valores mínimo e máximo de z são, portanto:
zmin= x± y− x y  ;
zmax=x± y  x y .
Logo:
z = x± y ;
 z =  x y .
O erro da soma (ou diferença) é a soma dos erros.
Exemplo: obter a massa m da mistura das substâncias A e B e a incerteza do resultado. 
Dadas as massas: mA=10,2±0,3g e mB=304±3g .
m=m±m=314,2±3,3 g≈314±3 g
 Propagação de erros na multiplicação ou divisão de resultados
Multiplicação - Considere o produto de duas medidas
z= xy
Logo, o valor de z pode ser escrito:
z =  x± x. y± y 
Os valores mínimo e máximo de z são, portanto:
zmin =  x− x . y− y  = x y−x y− y x x y
zmax = x x . y y = x yx y y x x y
Como o termo  x . y é muito pequeno em relação aos demais termos, o mesmo 
será desprezado nas expressões acima. Logo:
zmin ≈ x y−x y− y x = x y−x y 
 x
x
 y
y
 ;
zmax ≈ x y x y y x = x yx y 
 x
x
 y
y
 ;
7
z = x y ± x y  x
x
 y
y
 ;
z = x y ;  zz
=  x
x
 y
y .
O erro relativo do produto é a soma dos erros relativos.
Divisão - Considere a razão entre duas medidas
z = x
y
= x± x
y± y
 .
A expressão pode ser reescrita como
z = xy
1± x
x
1± yy
= xy 1±
 x
x  1±
 y
y 
−1
Utilizando a aproximação
1±−1≈1∓ , ∣∣≪1 ,
segue
z ≈ x
y
1± x
x
 1∓ y
y
 = x
y
1∓ y
y
± x
x
± y
y
 x
x

Como o termo contendo o produto  x . y é muito pequeno em relação aos 
demais termos, o mesmo será desprezado na expressão acima. Logo:
z ≈ x
y
1∓ y
y
± x
x
 ,
Os valores mínimo e máximo de z são, portanto:
zmin =
x
y
1− y
y
− x
x
 ,
zmax =
x
y
1 y
y
 x
x
 .
De modo que:
z = x
y
± x
y
 x
x
 y
y
 .
8
z = x
y
 ; 
 z
z
=  x
x
 y
y
 .
O erro relativo do quociente é a soma dos erros relativos.
Exercício: 
Em uma prática de laboratório, realizou-se medidas de comprimentos, utilizando-se o 
paquímetro e o micrômetro, para o cálculo do volume V em um cilindro, conforme 
ilustrado na figura. O volume V pode ser expresso convenientemente como
V = 
4
D2 H−d 2 h ,
em que D é o diâmetro externo do cilindro, d é o diâmetro interno, H e h são as alturas 
maior e menor (conforme ilustradas). Obtenha uma expressão para V e o erro 
propagado V em termos de D , H , d ,h e respectivos erros.
9
H
hh
d
D