2 ANO MATEMATICA

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MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
1 
 
APOSTILA 2015 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
PROFESSOR: DENYS YOSHIDA 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
2 
Sumário 
 
1.Sequências.................................................................................................................................4 
1.1 Sequências numéricas............................................................................................................ 
 
2. Progressão Aritmética...............................................................................................................6 
2.1 Classificação de uma P.A........................................................................................................6 
2.2 Termo geral de uma P.A.........................................................................................................6 
2.3 Propriedades de uma P.A.......................................................................................................7 
2.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.A...........................................................................10 
 
3.Progressão Geométrica............................................................................................................13 
3.1 Fórmula do termo geral.........................................................................................................13 
3.2 Propriedades principais.........................................................................................................14 
3.3 Soma dos n primeiros termos de uma P.G ..........................................................................16 
3.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.G infinita................................................................16 
 
4. Matrizes...................................................................................................................................19 
4.1 Representação genérica de uma matriz................................................................................19 
4.2 Lei de formação de uma matriz.............................................................................................20 
4.3 Tipos de matrizes..................................................................................................................20 
4.4 Operações com matrizes.......................................................................................................25 
4.5 Matriz inversa........................................................................................................................32 
 
5. Determinantes.........................................................................................................................34 
5.1 Determinante de ordem 2x2..................................................................................................34 
 
 
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3 
5.2 Regra de Sarrus....................................................................................................................34 
5.3 Teorema de Laplace..............................................................................................................36 
 
6. Sistemas Lineares...................................................................................................................42 
6.1 Equações lineares.................................................................................................................42 
6.2 Sistemas lineares..................................................................................................................42 
6.3 Método do escalonamento....................................................................................................43 
6.4 Matrizes associadas a um sistema linear..............................................................................43 
6.5 Regra de Cramer...................................................................................................................44 
 
7. Trigonometria na circunferência..............................................................................................53 
7.1 Arcos e ângulos.....................................................................................................................53 
7.2 Medidas de arcos e ângulos..................................................................................................54 
7.3 Conversão entre graus e radianos........................................................................................54 
7.4 Comprimento da circunferência.............................................................................................55 
7.5 Congruência de arcos...........................................................................................................55 
7.6 Razões trigonométricas.........................................................................................................59 
7.7 Funções trigonométricas.......................................................................................................61 
7.8 Outras razões trigonométricas..............................................................................................67 
7.9 Relações trigonométricas......................................................................................................69 
 
Exercícios de vestibulares...........................................................................................................73 
 
Referências bibliográficas.........................................................................................................106 
 
 
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4 
1. Sequências 
Em nossas aulas estudaremos as sequências, na qual seus elementos estão dispostos em 
uma determinada ordem pré-estabelecida. 
1.1 Sequências numéricas 
 
Os elementos de uma sequência numérica devem ser apresentados entre parênteses, 
conforme os exemplos abaixo: 
 
• (2, 4, 6, 8, 10, 12,... ) é uma sequência de números pares positivos. 
• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números naturais. 
• (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10. 
• (10, 15, 20, 30,35,40) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e 
menores que 45. 
 
Existem dois tipos de sequências, as sequências finitas e as sequências infinitas: 
• Sequência finita é uma sequência numérica na que tem um último elemento, ou seja, tem fim, 
como por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 45. 
• Sequência infinita é uma sequência que não possui um último termo, ou seja, seus elementos 
seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números naturais. 
 
Denominamos o primeiro termo de uma sequência numérica por a1, o segundo termo por a2, o 
terceiro por a3 e assim segue. O último elemento de uma sequência finita é representado por 
an. A letra n determina o número de elementos da sequência. 
 
(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequência infinita. 
 
(a1, a2, a3, a4, ... , an) sequência finita. 
 
Os elementos de uma sequência numérica são determinados por uma lei matemática. Por 
exemplo: 
 
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que an = 2n + 1, n N*. 
 
a1 = 2.(1) + 1 = 2 + 1 = 3 
a2 = 2.(2) + 1 = 4 + 1 = 5 
a3 = 2.(3) + 1 = 6 + 1 = 7 
a4 = 2.(4) + 1 = 8 + 1 = 9 
 
 
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5 
a5 = 2.(5) + 1 = 10 + 1 = 11 
 
Portanto, a sequência será: (3,5,7,9,11). 
Exercícios sobre sequências numéricas 
1- Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos termos gerais estão expressosa 
seguir: 
 
a) 
2na n  
 
b) 
2 1na n 
 
c) 
1
na
n

 
 
2- Escreva os quatro primeiros termos da sequencia 
na nn .)1(
. 
 
3- Calcule o 15º termo da sequência cujo termo geral é: 
3 1na n 
. 
 
4- Calcule o 20º termo da sequência cujo termo geral é: 
2 1na n  
. 
 
5- Obtenha o décimo quarto termo da sequência em que 
n
nA
 102
. 
 
6- Determine o quarto termo da sequência, em que 
15.2  nnA
. 
 
7- Determine os sete primeiros termos de uma sequência tal que 
10 1nna  
. 
 
8- Determine o 5º termo da sequência 
1)2(  nna
. 
 
9- Qual a posição do termo de valor 20 na sequência dada por 
2 6na n  
? 
 
 
 
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6 
10- Qual a soma dos quatro primeiros termos da sequência dada por 
13 .( 1)nna n
 
? 
 
2. Progressão Aritmética 
Denominamos Progressão Aritmética (ou PA) qualquer sequência numérica cujo termo 
seguinte, é igual ao anterior somado com um valor constante, denominado razão. 
Por exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17,...) é uma PA de razão 3. 
2.1 Classificação de uma P.A: 
Uma progressão aritmética é dita crescente se um termo qualquer for maior que seu anterior, 
ou seja: an > an-1. 
Uma progressão aritmética é dita decrescente se um termo qualquer for menor que seu 
anterior, ou seja: an < an-1. 
Outra forma de determinar se a PA é crescente ou decrescente é a partir da sua razão, se r > 0 
a PA é crescente, se r < 0 a PA é decrescente. 
2.2 Termo Geral de uma PA 
Considere a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 
Conforme a definição, um termo é a2 = a1 + 1.r 
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r 
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r 
___________________________ 
an = an-1 + r = an = a1 + (n – 1) . r 
Denominamos a expressão: an = a1 + (n – 1). r como o termo geral da PA. 
Onde an é o termo de ordem n (n-ésimo termo), r é a razão e a1 é o primeiro termo da 
Progressão Aritmética. 
Cálculo da Razão de uma PA: 
Para saber a razão de uma PA qualquer (a1, a2, a3, ... , an, ...), podemos utilizar uma das 
expressões utilizadas para determinar o termo geral da PA: 
 
 
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7 
an = an-1 + r r = an - an-1 
Dessa maneira podemos deduzir que a razão é obtida a partir da diferença entre quaisquer 
termos consecutivos, como por exemplo: 
r = an – an-1 = an-1 – an-2 = … = a3 – a2 = a2 – a1 
Exemplos: 
Qual o centésimo termo da PA (1, 5, 9, 13, 17,...)? 
Primeiro termo: a1= 1 
Razão: r = a2 – a1 =5 – 1 = 4 
Como queremos o centésimo termo, n = 100 
Para calcular o centésimo termo, utilizaremos a expressão que nos dá o Termo Geral da PA. 
an= a1 + (n – 1) . r a100 = 1 + (100 - 1). 4 = 1 + 99.4 = 1 + 396 = 397. 
Portanto 397 é o centésimo termo da PA. 
Qual o número de termos da PA: (100, 98, 96,..., 22)? 
Como queremos saber o número de termos da PA, sabemos que esse número é dado por n, 
então essa é a incógnita que queremos encontrar. 
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 
Substituindo na fórmula do termo geral, temos: 
 22 = 100 + (n - 1). (- 2) 
 22 - 100 = - 2n + 2 
22 - 100 - 2 = - 2n 
 - 80 = - 2n 
n= 40 
 
Portanto, a PA possui 40 termos. 
2.3 Propriedades de uma P.A 
P1. Cada termo de uma PA pode ser dado pela média aritmética entre seu anterior e seu 
posterior. 
Exemplo: 
 
 
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8 
1. PA: (m, n, r); pela propriedade acima, temos: . 
2. Na PA ( 2,x,12) calcule o valor de x. 
Pela propriedade anterior, temos: 
P2. A soma dos termos equidistantes dos extremos de uma PA é constante. 
1. Exemplo: 
PA: (a, b, c, d, e, f), pela propriedade, temos: a+f = b+ e = c + d 
2. Qual o segundo termo da PA (3,t,15,21,27) 
Pela propriedade anterior, temos: 
t+21 = 3+27 
t+21 = 30 
t = 30 – 21 
t = 9 
Exercícios sobre Progressão Aritmética 
11- Escreva: 
 
a) Uma P.A de oito termos em que 
1 6a 
 e 
4r
. 
b) Uma P.A de sete termos em que 
1 4a 
 e 
2r
. 
c) Uma P.A de quatro termos em que 
1 2a a 
 e 
ar 
. 
 
12- Calcule o número real x de modo que a sequência (x+1, 3x-1, 2x+3,...) seja uma P.A. 
 
13- Encontre o termo geral das seguintes Progressões Aritméticas: 
 
a) (2, 7,...) 
b) (1, 9,...) 
c) (-1, 3,...) 
d) 
,...)5,3(
 
 
 
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9 
e) 






,...
4
11
,
3
7
 
 
14- Qual é o décimo quarto termo da P.A(4,10,...)? 
 
15- Qual é o quadragésimo número natural ímpar? 
 
16- Qual é o nono termo da P.A
,...)4,2,( mamaa 
? 
 
17- Calcule três números em P.A tais que sua soma seja 6 e seu produto 24. 
 
18- Escreva uma P.A de três termos, de modo que a sua soma seja igual a -3 e seu produto 
seja igual a 8. 
 
19- Obtenha três números em P.A de modo que sua soma seja 12 e seu produto 48. 
 
20- Um estacionamento no centro de São Paulo cobra R$ 20,00 pela primeira hora de 
estacionamento. A partir da segunda, há um decréscimo dos preços segundo uma 
progressão aritmética. O preço da segunda hora é R$ 18,00 e o preço da quarta hora é R$ 
12,00. Assim, se um automóvel ficar estacionado 6 horas nesse estacionamento, qual valor 
deverá ser pago pelo proprietário do carro estacionado? 
 
21- Numa P.A de razão 5, o primeiro termo é igual a 4. Qual é a posição do termo igual a 44. 
 
22- Considere a P.A(100, 93, 86,...). Determine a posição do termo de valor 37. 
 
23- Quantos termos tem a P.A(4,7,10,...,157)? 
 
24- Quantos termos tem a P.A(-1,2,...,86)? 
 
25- Interpole cinco meios aritméticos entre 6 e 30. 
 
 
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26- Interpole oito meios aritméticos entre 26 e -1. 
 
27- Insira cinco meios aritméticos entre -5 e 13. 
 
28- Insira quatro meios aritméticos entre 0 e 2. 
 
29- Quantos múltiplos de 4 existem entre 15 e 200? 
 
30- Quantos números ímpares há entre 18 e 272? 
 
31- Um corpo, em queda livre, percorre 4,9m durante o 1º segundo. Depois disso, em cada 
segundo percorre sempre 9,8m a mais do que no segundo anterior. Quantos metros o 
corpo percorrerá em 8 segundos? 
 
32- Quantos são os múltiplos de 6 compreendidos entre 100 e 1000? 
 
33- Determine quantos múltiplos de 3 existem entre 1 e 100. 
 
34- Quantos múltiplos de 5 existem entre 100 e 1500? 
 
35- Quantos múltiplos de 6 maiores que 17 e menores que 972 existem? 
 
2.4 Soma dos n primeiros termos de uma PA 
Seja a PA genérica (a1, a2, a3,..., an-1, an). 
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an, pode ser deduzida a partir da 
propriedade P2: 
Temos: 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an 
 
 
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11 
Aplicando a propriedade P2: 
Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1) 
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo 
valor (são iguais à soma dos termos extremos a1 + an), de onde concluímos inevitavelmente 
que: 
2. Sn = (a1 + an). n, onde n é o número de termos da PA. 
Daí então vem finalmente que: 
 
Exemplo: Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A(4,7,10,...). 
31
3.94
).1(
10
10
1



A
A
rnAAn
 
175
2
10).314(
2
).(
10
1





S
S
naa
S
n
n
n
 
Exercícios sobre soma dos termos de uma P.A 
36- Calcule a soma dos trinta primeiros números ímpares positivos.37- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A(7,4,...). 
 
38- Calcule a soma dos cem primeiros números naturais pares. 
 
39- Determine a soma dos 25 primeiros termos da P.A (-7,-9,-11,...). 
 
 
 
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40- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.A em que o primeiro termo é 
2
1
 e a razão 
.
2
3
 
 
41- Obtenha a soma dos vinte primeiros termos de uma P.A, sabendo que 
21 A
 e 
3r
. 
 
42- Calcule a soma dos múltiplos positivos de 4 formados por dois algarismos. 
 
43- Calcule a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 16 e 91. 
 
44- Obtenha a soma dos múltiplos de 3 entre 13 e 100. 
 
45- Calcule a soma dos números ímpares compreendidos entre 100 e 258. 
 
46- Calcule a soma dos números pares compreendidos entre 200 e 357. 
 
 
47- Determine a soma dos números pares positivos, menores que 101. 
 
48- Qual é a soma de todos os números pares positivos de 2 a 450? 
 
49- Determine a expressão que fornece a soma dos n primeiros números ímpares positivos. 
 
50- (FGV-SP) Epaminondas corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-
se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67500 metros, quantos metros ele 
percorreu no final do 3º dia? 
 
 
 
 
 
 
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3. Progressão Geométrica 
Entenderemos por progressão geométrica -PG - como qualquer sequência de números reais 
ou complexos, onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior, multiplicado por uma 
constante denominada razão. 
Exemplos: 
 
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2 
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1 
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2 
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3 
3.1 Fórmula do termo geral 
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo 
termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever: 
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q
2 
a4 = a3 . q = (a1 . q
2
) . q = a1 . q
3 
................................................ 
................................................ 
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . q
n-1
 , que é denominada fórmula do termo geral da PG. 
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . q
j-k
 
Exemplos: 
a) Dada a PG (2, 4, 8,...), pede-se calcular o décimo termo. 
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela 
fórmula: 
a10 = a1 . q
9
 = 2 . 2
9
 = 2. 512 = 1024 
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 
320. Qual a razão desta PG? 
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4. q
8-4
 . Daí vem: 320 = 20. q
4
 
Então q
4 
=16 e portanto q = 2. 
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: 
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG. 
 
 
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3.2 Propriedades principais 
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e 
posterior. 
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G) 
Temos então: B
2
 = A . C; C
2
 = B. D; D
2
 = C. E; E
2
 = D. F etc. 
P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante. 
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) 
Temos então: A . G = B. F = C. E = D. D = D
2 
Exercícios sobre P.G 
51- Escreva: 
 
a) Uma P.G de cinco termos em que 
31 A
 e 
3q
. 
b) Uma P.G de cinco termos em que 
51 A
 e 
2q
. 
 
52- Determine x de modo que a sequência (x+6, 2-x, 2-4x,...) seja uma P.G. 
 
53- A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado formam, nessa ordem, uma P.G. 
Quanto mede o lado desse quadrado? 
 
54- Encontre três números em P.G, sendo 26 a sua soma e 216 o seu produto. 
 
55- Três números reais formam uma P.G de soma 13 e produto 27. Determine esses números. 
 
56- Encontre o termo geral da P.G(1, 5,...). 
 
57- Calcule: 
 
a) O quinto termo da P.G 






,...
3
4
,4,12
. 
b) O décimo termo da P.G (8,-16,32,...). 
 
58- Determine o oitavo termo da P.G (
,...)
16
1
,
32
1
,
64
1
. 
 
 
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15 
 
59- Insira seis meios geométricos entre 3 e 384. 
 
60- Insira sete meios geométricos entre 3 e 768. 
 
61- Insira cinco meios geométricos entre 4 e 256. 
 
62- Insira três meios geométricos entre 9 e 
.
9
1
 
 
63- Determine o primeiro termo de uma P.G em que 
312507 A
 e 
5q
. 
 
64- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 1536)? 
 
65- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 3072)? 
 
66- Em uma P.G cujo 1º termo é 2 e a razão é -3, qual é a posição do termo -486? 
 
67- Calcule a razão de uma P.G, sabendo que 
4055 A
, 
51 A
 e que a P.G possui 5 
termos. 
 
68- Numa P.G, dados 
21 A
, 
5q
 e 
1250nA
, calcule 
n
. 
 
69- Quantos termos possui a P.G onde 61 A , 
384nA
 e 2q . 
 
70- Em uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas a cada hora. Determinar o 
número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa colônia depois de 15 horas. 
 
 
 
 
 
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16 
3.3 Soma dos n primeiros termos de uma PG 
Seja a PG (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos 
considerar o que segue: 
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an 
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: 
Sn . q = a1. q + a2. q + .... + an-1. q + an. q. 
Logo, conforme a definição de PG podemos reescrever a expressão acima como: 
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an. q 
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: 
Sn. q = Sn - a1 + an. q 
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: 
 
Se substituirmos a n = a1. q
n-1
 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou 
seja: 
 
Exemplo: 
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8,...) 
Temos: 
 
Observe que neste caso a1 = 1. 
3.4 Soma dos termos de uma PG infinita 
Considere uma PG ILIMITADA (infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos 
considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos: 
 
 
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17 
 
 Exercícios sobre soma dos termos de uma P.G 
71- Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.G(-5, -5, -5,-5,...). 
 
72- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.G 
.,...
2
1
,
,2
1
,
2
1







 
 
73- Determine a soma dos termos da P.G (-8, -16, -32, -64, -128, -256, -512). 
 
74- Considere a P.G(7, 14, 28, 56,...). Calcule a soma dos oito primeiros termos dessa P.G. 
 
75- Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G(3, 6, 12,...). 
 
76- Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G(2, 4, 8,...). 
 
77- Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G(1, 3, 9,...). 
 
78- Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G(-3, -6, -12,...). 
 
79- Determine a soma dos dez primeiros termos da P.G(1000, 100, 10,...). 
 
80- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.G(2, 6, 18,...). 
 
81- Quantos termos tem a P.G finita (1, 3, 9,..., x), se a soma de todos os seus termos é 1093? 
 
82- Calcule a soma dos 9 primeiros termos da P.G(
...)2,2,2,2 3210
. 
 
83- Calcule a soma dos 5 primeiros termos da P.G(
...)3,3,3,3 3210
.MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
18 
84- Calcule a soma 108642 222221  . 
 
85- Determine a soma de cada P.G infinita: 
 
a) 






,...
18
1
,
6
1
,
2
1
 
b) 






,...
3
1
,1,3
 
c) 
 ,...25,50,100
 
d) 






,...
4
,
2
,
22
2 aaa
 
 
86- Calcule a soma dos infinitos termos da P.G(32, 8, 2,...). 
 
87- A soma dos termos da P.G 
,...)5,5,5,5( 32 aaa
é 3. Determine o valor de a. 
 
88- Escreva a fração geratriz das seguintes dízimas: 
 
a) 0,555... 
b) 0,121212... 
c) 3,44.... 
d) -2,66... 
 
89- Determine a fração geratriz da dízima periódica 1,49494949.... 
 
90- Qual é a geratriz da dízima periódica 2,718181818... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
19 
4. Matrizes 
As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, 
utilizadas na organização de dados e informações. Na álgebra, as matrizes são responsáveis 
pela solução de sistemas lineares. Chamamos ordem de uma matriz a relação entre linhas e 
colunas, uma matriz que tenha n linhas e m colunas é uma matriz da ordem n x m, para obter 
o número de elementos de uma matriz, basta multiplicar m.n. Observe os exemplos de 
matrizes abaixo: 
 
, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna), o número de elementos dessa matriz é 3 x 
1 = 3 
1 2
3 4
5 6
 
 
 
  
, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas), o número de elementos dessa matriz é 
3 x 2 = 6 
1 2
3 4
 
 
 
, matriz quadrada de ordem 2 x 2. O número de elementos dessa matriz é 2 x 2 = 4 
4.1 Representação genérica de uma matriz 
Seja A uma matriz qualquer de ordem m x n, podemos representar A por: 
 
Ou também, , onde i ∈ {1, · · · ,m} é o índice de linha e j ∈ {1, · · · , n} é 
o índice de coluna. 
Quanto aos elementos de cada matriz lê-se: 
a11: A um, um. 
a12: A um, dois. 










1
2
3
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
20 
A21: A dois, um. 
amn: A m, n. 
4.2 Lei de formação de uma matriz 
Chamamos lei de formação de uma matriz, a sentença matemática que determina quais serão 
cada um dos elementos da mesma, definida da maneira: (aij)m x n | Lei de Formação 
Por exemplo: temos que: (aij)2x3= 2j – i, é uma matriz 2x3 onde cada elemento é obtido através 
da lei 2j – i, vamos resolver a lei para cada elemento da matriz: 
(a11)= 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1 
(a12)= 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3 
(a13)= 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5 
(a21)= 2(1) – 2 = 2 – 2 = 0 
(a22)= 2(2) – 2 = 4 – 2 = 2 
(a23)= 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4 
Logo a matriz 11 12 13
21 22 23
1 3 5
0 2 4
a a a
A
a a a
   
    
   
4.3 Tipos de matrizes 
Matriz linha: Qualquer matriz com uma única linha. Esse tipo de matriz pode tem sempre 
ordem 1 x m. 
 
Por exemplo, a matriz A =[1, 2, 3, 4], do tipo 1 x 4. 
 
Matriz coluna: Qualquer matriz com uma única coluna. Esse tipo de matriz pode tem sempre 
ordem 1 x m. 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
21 
Por exemplo, a matriz 
1
2
3
B
 
 

 
  
do tipo 3 x 1. 
 
Matriz quadrada: Chamamos matriz quadrada de ordem n a toda matriz que tem o mesmo 
número de linhas e colunas. Por exemplo, a matriz 3 8
2 12
C
 
  
 
 é do tipo 2 x 2, isto é, 
quadrada de ordem 2. 
 Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é 
formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. 
 Veja: 
 
Observe a matriz a seguir: 
 
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1 
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1) 
 
Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. 
Por exemplo, . 
 
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal 
principal são nulos. Por exemplo: 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
22 
 
Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são 
iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por 
exemplo: 
 
 
Assim, para uma matriz identidade . 
 
Matriz transposta: matriz A
t
 obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas 
por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: 
 
 Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A
t
 é do tipo n x m. 
 Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A
t
 e a 2ª linha de A corresponde à 2ª 
coluna de A
t
. 
 
Exercícios sobre construção e definição de matrizes 
 
91- Dada a matriz: 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
23 
 
 
 
a- Qual é a sua ordem? 
b- Quantos elementos ela possui? 
c- Dê o valor dos seguintes elementos: 
31122111 ,,, aaaa
. 
d- Calcule o valor de 
33222113 aaaa 
. 
e- Ela é uma matriz quadrada? Justifique 
 
92- Dê o tipo de cada matriz: 
 
a) 
 81
 
 
b) 






5,04
97 
 
c) 










653
684
791
 
 
d) 















6867
5698
7735
43,051
 
 
93- Construa a matriz A=
22)( xija
, sendo 
jiaij 
. 
 
94- Construa a matriz A=
23)( xija
, sendo 
jiaij  2
. 
 













520
11142
418
A
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
24 
95- Construa a matriz A=
32)( xija
, sendo 
222 jiaij 
. 
 
96- Construa a matriz 
32)( xijcC  , com 2 jicij .
 
 
97- Determine a matriz A=
22)( xija
 tal que: 
 
a) 
ija
0, se 
ji 
 e 
ija
1, se 
ji 
. 
b) 
2iaij 
, se 
ji 
 e 
2jaij 
, se 
ji 
. 
 
98- Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal 
secundária da matriz 
33)( xijaA 
 em que 
jiaij  2
. 
 
99- Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 6? 
 
100- Dê a matriz transposta de: 
 
a) 











6
3
1
A
 
 
b) 











3
1
7
50
B
 
 
c) 


















101128
6483
1802
73,05,11
C 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
25 
4.4 Operações com Matrizes 
Igualdade de matrizes 
Sejam A e B duas matrizes reais, temos que A e B serão iguais se forem do mesmo tipo e se 
os elementos correspondentes forem iguais. Logo teremos: 
 
Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais 
1 2 1 4
, 
2 5 8 5
x
A B
y
   
    
     
, 
Solução: 
 2 4 2
2 8 10
x x
y y
  
 
   
 
Adição de matrizes 
Assim como nos números, equações e funções que vimos até agora, podemos realizar 
algumas operações com matrizes e a soma é uma delas, podemos somar duas matrizes desde 
que elas sejam de um mesmo tipo. Sejam A e B duas matrizes de ordem m x n, chamamos 
matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. 
 
Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A + B: 
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
 e 
aa a b b b
A B
a a a b b b
   
    
   
 
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
a a a b b b a b a b a b
A B
a a a b b b a b a b a b
       
        
       
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
26 
Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B: 
2 4 9 3 5 9
 e 
8 1 2 6 2 2
A B
    
    
      
 
Solução: 
2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9)
 =
8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)
A B
           
       
               
= 
5 1 0
 
2 1 -4
A B
 
   
 
 
 
Propriedades da adição 
 
Sendo A, B, C e O (matriz nula) são matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades: 
- Comutativa: A+B = B+A 
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C 
- Elemento neutro: A+O = O+A = A 
Subtração de matrizes 
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida 
subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B. 
 
Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A - B: 
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
 e 
a a a b b b
A B
a a a b b b
   
    
   
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
27 
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
a a a b b b a b a b a b
A B
a a a b b b a b a b a b
       
        
       
 
Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B: 
2 4 9 3 5 9
 e 
8 1 2 6 2 2
A B
    
    
      
 
Solução: 
2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9)
 =
8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)
A B
           
       
               
= 
1 9 18
 
14 3 0
A B
  
   
 
 
Multiplicação de uma Matriz por um número escalar 
 
Seja k um número escalar real qualquer, definimos que a multiplicação de k por uma matriz A 
será dada pela multiplicação de cada elemento de A pelo número real k, assim: 
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
. . .
. .
. . .
a a a a a a k a k a k a
A k A k
a a a a a a k a k a k a
     
        
     
 
Exemplo: seja A, a matriz dada abaixo, calcule 3.A: 
1 1
4 10
A
 
  
  
 
Solução: 
1 1 3.( 1) 3.1 3 3
3. 3.
4 10 3.( 4) 3.10 12 30
A
       
       
       
 
 
Matriz oposta 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
28 
Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. A matriz 
oposta é a multiplicação de uma matriz A por (-1), Então: 
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
( 1). ( 1).
a a a a a a a a a
A A A
a a a a a a a a a
       
            
       
 
Exemplo: 
1. Obtenha –A, dada a matriz 
1 1
3 9
A
 
  
 
, Então: 1 1 1 1
( 1) ( 1)
3 9 3 9
A A
    
        
    
 
Observe que, sempre que tivermos uma matriz oposta A+(-A) = O (Matriz Nula) 
Solução 
Temos acima que: 
 1 1 1 1
 e -
3 9 3 9
A A
    
    
    
, Então: 
1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 0 0
( ) (Matriz Nula)
3 9 3 9 3 ( 3) 9 9 0 0
A A O
            
             
            
 
Multiplicação de matrizes 
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A 
pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz: 
 
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os 
elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a 
seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo: 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
29 
 
 
O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da 
matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim: 
 
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade (I). 
 
Exercícios sobre operações com matrizes 
101- Calcule os valores de x e y nas seguintes igualdades: 
 
a) 











 
26
11
166
31
y
x 
 
b) 





 





 
01
1123
01
58 2 yx 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
30 
c) 












y
x
36
1002
816
2 2
 
 
102- Dada a matriz 












210
432
011
A
, obtenha a matriz X tal que a matriz X seja a soma da 
matriz A com a sua transposta. 
 
103- Considere as seguintes matrizes: 
 
32)( xijaA 
, definida por 
jiaij 
 e 
32)( xijbB 
, definida por 
jibij 
. Determine o 
elemento 
23C
 da matriz 
BAC 
. 
 
104- Dada a matriz 













500
121
432
A
, determine 
3IA
T 
. 
 
105- Sendo 
31)( xijaA 
 tal que 
jiaij  2
e 
31)( xijbB 
 tal que 
1 jibij
, calcule 
BA
. 
 
106- Se 








41
72
A
 e 





 

06
23
B
, determine a matriz X em cada caso: 
 
a) 
BXA 
 
b) 
ABX 
 
c) 
ABX 2
 
d) 
BXA 32 
 
 
107- Dadas as matrizes 







32
10
A
 e 









11
02
B
, calcule 
ABC 3
. Calcule o produto 
dos elementos da diagonal principal dessa matriz. 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
31 
108- Dadas as matrizes: 
A






 12
46 e 









53
21
B
 determine: 
 
a) 
AB 2
 
b) 
BA 32 
 
c) TT BA 2 
d) 
BA.
 
e) 
AB.
 
f) 2A 
g) 2B 
 
109- Dada a matriz 







20
01
A
, determine AA .32  . 
 
110- Dada a matriz 









 

100
001
012
A
, calcule 2A . 
 
111- (UFRJ) Seja 







10
11
A
. Determine o valor de 3A . 
 
112- Dadas as matrizes 







41
14
M
, 








14
41
N
 e 








51
32
P
, calcule 
PNM ).( 
. 
 
113- São dadas as matrizes 







13
12
A
 e 







01
43
B
. 
 
a) Calcule 
BA.
. 
b) Calcule 
..AB
 
c) Calcule 2A . 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
32 
4.5 Matriz Inversa 
Considere que A é uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos A de uma matriz inversível se 
existir uma matriz B, tal que: 
nA B B A I   
 
Nessas condições dizemos que B é inversa de A, e indicamos por A
-1
. 
Exemplos: 
Determine a Inversa de A, dado: 
1 2
4 2
A
 
  
 
 
Temos que A
-1
, é uma matriz quadrada de ordem 2, com elementos ainda desconhecidos, 
portanto: 
1
a b
A
c d
    
 
, tal que 
1
2A A I
 
, então: 
1
1 2 1 0 2 2 1 0
4 2 0 1 4 2 4 2 0 1
a b a c b d
A A
c d a c b d
                         
           
 
Para identificarmos a, b, c e d precisamos resolver, baseados no conceito de igualdade de 
matrizes:2 6 1 1 2
,
5 0 5 5
a c
a c
a c
 
  
 
 
2 6 0 1 1
,
5 1 5 10
b d
b d
b d
 
   
 
 
Portanto 1
1 1
5 5
2 1
5 10
A
 
 
  
 
  
 
Exercícios sobre matriz inversa 
114- Calcule a matriz inversa de: 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
33 
 
a) 







52
83
B
 
 
b) 








31
20
D
 
 
115- Dada a matriz 







11
32
A
, determine a matriz X tal que: X TAA  1 . 
 
116- São dadas as matrizes 







57
23
A
 e 








11
11
B
. Calcule 
1.  ABA
. 
 
117- Calcule 
21)(  AA
, sendo 







43
21
A
. 
 
118- Dada a matriz 





 

23
35
A
, determine o valor de 
AA 21 
. 
 
119- Calcule a matriz inversa de 







21
11
B
. Prove que a multiplicação da matriz 
B
 pela 
sua inversa é igual à matriz identidade. 
 
120- Dadas as matrizes 







11
12
A
 e 







12
01
M
: 
 
a) Determine 1M . 
b) Determine o traço da matriz 
MAM ..1
, sabendo que o traço de uma matriz é a soma dos 
elementos da diagonal principal. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
34 
5. Determinantes 
Uma das partes mais interessantes do estudo de matrizes são os Determinantes, esses são a 
associação de uma matriz quadrada com um número real, através dos determinantes podemos 
definir se uma matriz tem ou não matriz inversa, de forma que caso o determinante de uma 
matriz A seja igual a 0 (zero) a matriz A não é inversível. 
Para representação do determinante temos a inserção de uma nova simbologia. O 
determinante de uma matriz A, será dado como abaixo: 
Seja a b
A
c d
 
  
 
 uma matriz, seu determinante será representado por 
det
a b
A
c d

. 
5.1 Determinante de ordem 2 x 2 
Seja A uma matriz quadrada de ordem 2, o valor do determinante será dado por: 
det
a b a b
A A a d b c
c d c d
 
       
  
5.2 Regra de Sarrus 
Para obter o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, podemos utilizar a regra de 
Sarrus, para definirmos a regra de Sarrus vamos primeiro às definições de Diagonal Principal e 
Diagonal Secundária. Na figura abaixo temos as duas diagonais destacadas, de maneira que: 
 
 
Diagonal principal: a11, a22 e a33. 
 
Diagonal secundária: a13, a22, a31. 
 
Para aplicação prática da regra de sarrus, devemos repetir as duas primeiras colunas do 
determinante e traçar a partir delas três diagonais principais e três diagonais secundárias. 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
35 
 
O determinante será calculado por meio da diferença entre a soma do produto das três 
diagonais principais e a soma do produto das três diagonais secundárias. Conforme abaixo: 
 
Somatório da Diagonal principal 
(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32) 
 
Somatório da Diagonal secundária 
(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33) 
 
Cálculo do Determinante 
D = {(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)} – {(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . 
a21 . a33)} 
Exemplo: 
1. Calcule o determinante de
1 1 2
2 3 0
2 3 4
A
 
 
 
 
  
 utilizando a regra de Sarrus: 
 
1 1 2 1 1 2 1 1
( ) 2 3 0 2 3 0 2 3
2 3 4 2 3 4 2 3
Det A     
   
Somatória das diagonais principais: 
[1.( 3).4] (1.0.2) (2.2.3) 12 0 12 0p         
 
Somatória das diagonais secundárias: 
(1.2.3) (1.0.3) [2.( 3).( 2)] 6 0 12 18s         
 
Regra de Sarrus: 
Det(A) = p – s =0 – 18= -18 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
36 
5.3 Teorema de Laplace 
O teorema de Laplace consiste num método de calcular o determinante de matrizes quadradas 
de ordem n ≥ 2 utilizando o cofator. 
 
Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada é o número: 
 
Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n ≥ 2 utilizando o Teorema 
de Laplace, devemos proceder da seguinte forma: 
 
1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M. 
 
2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator. 
 
3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos 
elementos da fila pelos seus respectivos cofatores. 
 
Como já dispomos de métodos práticos para o cálculo do determinante de matrizes quadradas 
de ordem 2 e 3, é interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou 
igual a 4. 
 
Para melhor explicação do método vamos a um exemplo numérico de sua aplicação. 
 
Exemplo 
1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prático de Sarrus e o 
Teorema de Laplace. 
 
Solução 
Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2. 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
37 
Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator: 
 
 
Logo, o determinante será a soma desses produtos, ou seja: 
D = – 6 + 3 +( – 1) = – 4. 
 
Observe que nesse caso o dispositivo prático de Sarrus torna o cálculo do determinante bem 
mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente. 
Exercícios sobre determinantes 
121- Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes: 
 
a) 
 2A
 
 
b) 





 

41
23
B
 
 
c) 









16
34
C
 
 
d) 





 

32
46
D
 
 
e) 









23
6
1
2
1
E
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
38 
f) 





 

23
32
F
 
 
122- Calcule o determinante da matriz 
22)( xijaA 
 tal que 
jiaij 23 
. 
 
123- Se 







20
11
A
, encontre o valor do determinante de 
AA .22 
. 
 
124- (Vunesp-SP) Dadas as matrizes 







42
31
A
 e 







13
21
B
, calcular o determinante da 
matriz 
BA.
. 
 
125- Resolva as equações: 
 
a) 
0
75
2





 xx
 
 
b) 
12
13
22


x 
 
c) 
38
2
43
122 xxx

 
 
d) 
x
x
x 0
2
4
43

 
 
126- Utilizando a Regra de Sarrus calcule o determinante das seguintes matrizes: 
 
a) 











432
314
523
A
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
39 
 
b) 












524
132
030
B
 
 
c) 











552
287
402
C
 
 
127- Calcule o determinante das matrizes: 
 
a) 
33)( xijAA 
 tal que 
jiAij 32 
. 
b) 
33)( xijBB 
 tal que 
jiBij 23 
. 
c) 
33)( xijCC 
 tal que 
jiCij 
. 
 
128- Se 
33)( xijAA  tal que jiaij  , calcule o valor de Adet e 
tAdet
.
 
 
129- Determine o valor de x para que: 
 
a) 
0
321
412
31


x
 
 
b) 
3
025
112
312

 x
 
 
c) 
0
213
42
142
x
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINOMÉDIO REGULAR - 2015 
 
40 
130- Para que valores de x o determinante 










101
00
10
x
x
 é positivo? 
 
131- Dada a matriz 














321
401
132
A
, determine: 
 
a) 
)( 12acof
 
b) 
)( 31acof
 
c) 
)( 22acof
 
d) 
)( 13acof
 
e) 
)( 23acof
 
f) 
)( 33acof
 
 
132- Dada a matriz 













662
542
301
A
, determine a soma dos cofatores dos elementos da 
2ª linha. 
 
133- (UFSC) Dada a matriz 















2244
0731
0085
0010
A
, calcule o determinante dessa matriz. 
 
134- Utilizando o Teorema de Laplace calcule o determinante das seguintes matrizes: 
 
a) 







87
43
A
 
 
b) 







35
41
B
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
41 
 
c) 











401
312
001
C
 
 
d) 














1012
3121
1312
1010
D 
 
e) 













1010
2101
4312
0101
E 
135- Resolva as equações: 
 
a) 0
1011
1021
10
1511
2













xx
 
 
b) 0
5070
436
33
0040
2













x
xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
42 
6. Sistemas Lineares 
6.1 Equações lineares 
 Chamamos equações lineares a toda equação da forma: 
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b de maneira que a1, a2, a3,... , an são números reais, que são 
chamados coeficientes das incógnitas x1, x2, x3,... , xn, e b é um número real chamado termo 
independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). 
Seja k o grau das incógnitas, a equação é denominada linear, se e somente se, k = 1. 
Exemplos 
1. São equações lineares 
 
a) x + y = 3 
b) 2x – y = 0 
c) y +3x = 7 
 
2. Não são equações lineares 
 
a) x² - 4x = - 2 
b) 2x³ – y = 7 
c) x² + y² = 1 
 
6.2 Sistemas lineares 
Um conjunto de equações lineares da forma: 
 
é denominado um sistema linear de m equações e n incógnitas. 
 Um sistema linear tem n soluções, representadas pela n-upla de números reais (r1, r2, 
r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
43 
Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções da seguinte forma: 
 Sistema linear possível: quando admite solução. 
 Sistema linear impossível: quando não admite solução. 
Um sistema linear possível pode ser classificado em: 
 Determinado: quando admite uma única solução. 
 Indeterminado: quando admite infinitas soluções. 
 
6.3 Método do escalonamento 
Um sistema linear é dito escalonado quando está disposto nas seguintes formas: 





10
43
yx
yx 








700
150
22
zyx
zyx
zyx
 
O processo de resolução de um sistema linear que envolve a eliminação de incógnitas é 
denominado método do escalonamento. 
Exemplo: Escalone e resolva o seguinte sistema linear: 





95
824
yx
yx . 
Primeiro multiplicamos a segunda equação por -4 para eliminamos a incógnita x: 
2
95
4422
95
36820244












y
yx
y
yx
yyxx 
Como já achamos o valor de y, basta substituir esse valor na outra equação: 
12  xy
 
 
6.4 Matrizes associadas a um sistema linear 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
44 
Podemos associar determinadas matrizes a um sistema linear, sendo essas de dois tipos, a 
matriz incompleta e a matriz completa. 
Matriz incompleta 
 Seja o sistema linear abaixo: 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
  

  
   
 
Podemos associar ao sistema dado uma matriz A, chamada incompleta, quando formada 
apenas pelos coeficientes das incógnitas, conforme abaixo: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c
a b c
 
 

 
   
Matriz completa 
Seja o mesmo sistema linear utilizado acima, podemos associar ao sistema dado uma matriz B, 
chamada matriz completa, de maneira que basta adicionar uma ultima coluna à matriz A, com 
os termos independentes de cada equação. 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c
a b c
 
 

 
   
 
6.5 Regra de Cramer 
Consideremos um sistema linear de n equações e n incógnitas:     
    
    
   
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
31 1 32 2 33 3 3n n 3
n1 1 n2 2 n3 3 n
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a x b
 
a x a x a x ... a







  n n nx b
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
45 
Como vimos esse sistema linear pode ser associado a uma matriz incompleta A, de maneira 
que cada um de seus coeficientes seja um elemento da matriz, seja a matriz A, existe um 
determinante D, tal que: 


 

11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
D a a a a
a a a a
 
Seja Dxi o determinante da matriz que se obtém do sistema 
dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita 
xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... 
, bn, assim sendo: 
Segundo a regra de Cramer: 
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n 
equações e n incógnitas são dados por frações cujo 
denominador é o determinante D dos coeficientes das 
incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja: 
 ii
Dx
x
D
 
Exemplos 
Para resolver um sistema linear pelo método de escalonamento, precisamos ter conhecimentos 
de algumas propriedades fundamentais dos sistemas lineares, pertinentes à equivalência de 
dois ou mais sistemas lineares. 
1. A permutação entre as linhas de um sistema linear não alteram o sistema em si, uma vez 
que sua solução permanece a mesma. 
Exemplo 
Os sistemas de equações lineares 
 

 
 x 3y 7
5x 2y 1
 e  

 
5x 2y 1
 x 3y 7
 
São sistemas lineares equivalentes, fica óbvio que a dupla ordenada (1, 2) satisfaz a 
ambos. 


 



 




1 12 13 1
2 22 23 2
1 3 32 33 3
2 3
11 1 13 1
21 2 23 2
2 31 3 33 3
1 3
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33
 
n
n
n
n n n nn
n
n
n
n n n nn
n
b a a a
b a a a
Dx b a a a
b a a a
a b a a
a b a a
Dx a b a a
a b a a
a a a b
a a a b
Dx a a a 

3
1 2 3n n n n
b
a a a b
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
46 
2. Podemos multiplicar a um sistema linear qualquer valor k, e podemos garantir que seu 
resultado não será alterado. 
Exemplo 
Os sistemas de equações lineares 
 

 
 x 3y 7
5x 2y 1
 e  

 
 x 3y 7
10x 4y 2
 
 
O segundo sistema tem a segunda linha sendo o dobro do sistema anterior, no entanto, 
afirmamos que esses sistemas lineares são equivalentes, a dupla ordenada(1, 2) 
satisfaz a ambos. 
 
3. Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação 
qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra 
na qual foi aplicada a transformação T2. 
 
Exemplo: 
Os sistemas 
 

 
 15x 3y 22
 5x 2y 32 
 e  

 
 15x 3y 22
 9y -74
 
 
São obviamente, pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira 
equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ). 
Seja o sistema de equações lineares: 





 x + 3y - 2z = 3 (e1) 
2x - y + z = 12 (e2) 
4x + 3y - 5z = 6 (e3) 
 
 
SOLUÇÃO: 
1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem: 





2x - y + z = 12
 x + 3y - 2z = 3 
4x + 3y - 5z = 6 
 
 
2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformaçãoT2 - 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
47 
somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido 
- uso da transformação T3 - vem: 





2x - y + z = 12
 7y - 2z = 6 
4x + 3y - 5z = 6 
 
 
3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a 
equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem: 





2x - y + z = 12
 -7y + 5z = 6 
 5y - 7z =-18 
 
 
4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem: 





2x - y + z = 12
 -35y+25z = 30 
 35y -49z =-126 
 
 
5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado 
obtido, vem: 





2x - y + z = 12
 -35y+25z = 30 
 -24z = -96 
 
6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: 



96
z= 4
24
, ou seja, z = 4. 
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas: 
 
Teremos: 
- 35y + 25(4) = 30 

 y = 2. 
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica: 
2x - 2 + 4 = 12 

 x = 5. 
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever 
que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
48 
ordenado (5,2,4) : 
S = { (5, 2, 4) } 
Verificação: 
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos: 
5 + 3(2) - 2(4) = 3 
2(5) - (2) + (4) = 12 
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6 
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado. 
 
Exercícios sobre sistemas Lineares 
136- Dada a equação 
534  yx
, determine a solução em que 
5y
. 
 
137- Verifique se (3,-4,5) é solução da equação 
45  zyx
. 
 
138- Determine o valor de k para que (-1, 0,1) seja solução da equação 
53  zykx
. 
 
139- Ache duas soluções da equação: 
0
2
1
 yx
. 
 
140- Calcule a, de modo que (-1, a+1, 2) não seja solução da equação 
042  zyx
. 
 
141- Verifique se cada um dos pares ordenados é solução para este sistema: 








02
022
0
zyx
zyx
zyx
 
a) (0,0,0) 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
49 
b) (0, 1, -1) 
c) (1,1,1) 
 
142- Quais as matrizes incompletas e completas dos sistemas abaixo? 
a) 








253
0
12
cba
ca
cba
 
b) 











542
13
02
2
tzyx
tzy
tyx
tzyx
 
 
143- Represente o sistema 





523
2
yx
yx na sua forma matricial e, depois, resolva-o. 
 
144- Resolva os sistemas a seguir utilizando a Regra de Cramer: 
 
a) 





652
443
yx
yx 
 
b) 





25
72
yx
yx 
 
c) 





1
323
yx
yx 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
50 
d) 








3233
932
22
zyx
zyx
zyx
 
 
e) 








5
023
1
zyx
yx
zyx
 
 
f) 








42
032
632
zyx
zyx
zyx
 
 
145- Escalone, e resolva se possível, os sistemas: 
 
a) 





623
2
yx
yx 
 
b) 





25
72
yx
yx 
 
c) 





1
323
yx
yx 
 
d) 





423
26
yx
yx 
 
146- (Fuvest-SP) 








186
2354
1432
z
zy
zyx
, o valor de x é igual a: 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
51 
 
a) 27 
b) 3 
c) 0 
d) -2 
e) 1 
 
147- A solução do sistema 








733
822
542
zyx
zyx
zyx
 é: 
 
a) (-1, -2,2) 
b) (-1, 2, -2) 
c) (1,-2,-2) 
d) (1, 2, -2) 
e) (1,-2,2) 
 
148- (FUVEST-SP) Dado o sistema linear abaixo: 
 








1
83
74
zy
yx
zx
 
 
Calcule o valor de 
zyx 
. 
 
149- A soma de dois números inteiros é 10 e a diferença entre eles é 2. Quais são esses 
números? 
 
150- (Faap-SP) Ache dois números reais cuja soma é 9 e cuja diferença é 29. 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
52 
 
151- Certa escola de ensino médio tem 107 alunos nas 1ª e 2ª séries, 74 nas 2ª e 3ª séries e 
91 nas 1ª e 3ª séries. Qual o total de alunos dessa escola? 
 
152- (UEL-PR) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00, dois artigos A mais um C 
custam R$ 105,00 e a diferença de preço entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. 
Qual é o preço do artigo C? 
 
153- Classifique os sistemas em impossível, possível e determinado ou possível e 
indeterminado: 
a) 





523
45
yx
yx 
b) 








9333
02
6
zyx
zyx
zyx
 
154- Determine o valor de a para que o sistema 





93
155
ayx
yx seja possível e determinado. 
 
155- Determine o valor de k de modo que o sistema 





kyx
yx
63
12 seja impossível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
53 
7. Trigonometria na circunferência 
Considere o ponto de origem do plano, e a partir dele uma medida denominada raio que mede 
uma unidade, sendo assim com o movimento de rotação do raio pela origem temos a 
circunferência trigonométrica. 
7.1 Arcos e Ângulos 
Considere a circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B. 
Então, tomando um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. A circunferência fica dividida em 
duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência: 
Arco de circunferência AMB, e 
Arco de circunferência AM'B. 
 
 A partir de agora consideraremos apenas os arcos orientados do ciclo trigonométrico com 
origem no ponto A=(1,0) , que são chamados arcos trigonométricos. O ponto A=(1,0) é 
chamado origem dos arcos. 
 
Os eixos x e y do sistema cartesiano dividem a circunferência trigonométrica em quatro 
quadrantes, que são partes iguais, com angulação 90º cada uma. Assim, na figura acima, I Q 
representa o primeiro quadrante, II Q o segundoquadrante e assim por diante. 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
54 
7.2 Medidas de arcos e ângulos 
Existem maneiras diferentes de se medir ângulos e arcos, nesse curso utilizaremos as mais 
usuais, graus e radianos. 
Grau 
Graus é a forma como usualmente medimos ângulos, esses tem medida igual a 1/360 da 
circunferência que contém o arco. Assim sendo uma circunferência tem medida 360
o 
 
Radiano 
O radiano (notação: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um 
arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco. A circunferência 
toda contém 2π raios, o que significa que seu comprimento é igual a 2πr e que a medida dela 
(correspondente ao arco de uma volta) é de 2π rad. 
7.3 Conversão entre graus e radianos 
Podemos relacionar determinados valores inicialmente em graus para radianos e vice-versa, 
para isso utilizaremos procedimentos matemáticos simples, sim a partir de uma regra de três 
simples podemos converter de graus para radianos e de radianos para graus, observe. 
Para todos os efeitos, temos que 2π r tem o mesmo valor que 360
o
, assim sendo, temos 
facilmente que: πr = 180
o
, utilizaremos essa notação e nossas conversões. Observe o 
exemplo: 
Exemplo 
1. Converta 45
o 
em radianos: 
Solução: 
Considerando que as 180
o
 equivale a π rad, sabemos que 45
o
 tem um valor x rad 
correspondente em radianos, assim sendo, podemos dizer: 
 
   
     

180 180
4
45 445
o
o
x
x xx 
Então temos que 45
o
 equivalem a

4
 rad.
 
 
2. Converta 

3
 radianos em graus 
Solução: 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
55 
Da mesma forma temos que πr = 180
o
, então podemos relacionar as medidas de 

3
 
para x graus. 
 
    

      

180
180 3 180 180
. 60
1 3
3 3
o
x
x xx 
Então, temos que 

3
 radianos equivalem a 60
o
. 
 
7.4 Comprimento da circunferência 
 
O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como 
todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro 
foi concluído que a razão entre os comprimentos de qualquer circunferência pelo seu 
respectivo diâmetro será sempre uma mesma constante. 
E essa constante foi provada pelo matemático grego Arquimedes de Siracura que seria 
aproximadamente 3,14, e como esse valor não era exato foi estipulado que poderia ser 
representado pela letra do alfabeto grego 

, facilitando os cálculos. 
Sendo C o comprimento da circunferência, temos: 
rC ..2
, onde r é o raio da 
circunferência. 
 
7.5 Congruência de arcos 
Dois arcos são considerados côngruos (ou congruentes) quando têm a mesma posição no 
círculo trigonométrico, diferindo-se apenas no número de voltas inteiras. 
Então, se um arco mede α rad, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α + 
2kπ em que k ∈ Z. Na figura abaixo exibimos vários arcos côngruos ao arco de 60º ou de π/3 
rad. 
Como por exemplo, temos um arco de 60º (ou π/3 rad) 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
56 
 
E abaixo, seus côngruos: 
 
Para identificar os valores representantes na primeira volta de um ângulo côngruo, basta 
subtrair o valor de 360º quantas vezes forem necessárias, até que  0 360o . 
Exemplo 
1. Encontre o representante côngruo de 1200º. 
Solução: 
Reduzindo uma volta: 1200º - 360º = 840º 
Como 840 > 360, podemos continuar reduzindo. 
Reduzindo mais uma volta, temos: 840º - 360º = 480º. 
Repetindo o procedimento, temos: 480º - 360º = 120º. 
Como 
 0 120 360o o
, temos que o representante côngruo a 1200º na primeira 
volta do ciclo trigonométrico é 120º. 
 
Exercícios sobre trigonometria na circunferência 
 
156- Converta em radianos: 
 
 
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57 
 
a) 30º 
b) 60º 
c) 120º 
d) 210º 
e) 225º 
f) 300º 
g) 315º 
h) 330º 
 
157- Converta em graus: 
 
a) 
rad
3
4
 
b) 
rad
8

 
c) 
rad
6
7
 
d) 
rad
12

 
e) 
rad
4
7
 
 
158- Expresse: 
 
a) 12º para radianos 
b) 75º para radianos 
c) 
5

 para graus 
d) 
12
5
 para graus 
 
159- Um atleta percorre um terço de uma pista circular, correndo sobre a linha de uma 
circunferência. Determine a medida do arco percorrido em graus e radianos. 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
58 
 
160- Calcule o comprimento das seguintes circunferências: 
 
a) Raio igual a 10 cm 
b) Raio igual a 7,5cm 
c) Diâmetro igual a 18 cm 
d) Diâmetro igual a 21 cm 
 
161- Ronycleisson dá 8 voltas em torno de uma pista circular de diâmetro 28 m. Qual a 
distância percorrida por Ronycleisson? 
 
162- A bicicleta é um veiculo com duas rodas presas a um quadro movido pelo esforço de um 
ciclista por meio de pedais. Em alguns lugares ela é bastante utilizada no dia a dia por ser 
um meio de transporte barato, ecológico e saudável. 
 
a) Se as rodas de uma bicicleta tiverem 60 cm de diâmetro, qual a distância, em metros, 
que ela percorrerá dando uma volta inteira? 
b) Se a roda dianteira der 1600 voltas, quantos quilômetros a bicicleta percorrerá? 
 
163- Determine a que quadrante pertencem os seguintes arcos: 
 
a) 1300º 
b) 440º 
c) -1640º 
d) 
4
21
 
e) 
7
8
 
f) 
6
37
 
 
164- Quantas voltas completas dá e em que quadrante pára um móvel que, partindo da 
origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de: 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
59 
a) 1810º? 
b) 2350º? 
c) -1200º? 
d) 
rad
8
17
? 
 
165- (UFGD-MS) Um dispositivo mecânico pode girar no sentido horário e anti-horário, e um 
contador registra o ângulo, em graus, que mede o quanto o dispositivo girou em relação ao 
ponto de partida. Se o contador marca um ângulo de 5000º negativos, o ângulo positivo 
correspondente é: 
 
a) 32º 
b) 320º 
c) 13º 
d) 40º 
e) 328º 
 
7.6 Razões trigonométricas 
Conhecemos as definições de seno, cosseno e tangente para o triângulo retângulo, agora 
iremos ampliar esses conceitos à área onde eles foram originalmente concebidos, o circulo 
trigonométrico, ou a circunferência de raio unitário. 
Seno 
 
No plano cartesiano consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio 
unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante que 
determina um arco AM correspondente ao ângulo central a. Chamamos de seno do ângulo a, à 
medida da projeção ortogonal de AM no eixo y, indicamos por sen(a). 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
60 
O sinal dos senos será positivo no primeiro e segundo quadrante, e negativo no terceiro e 
quarto: 
 
Cosseno 
Considerando o mesmo sistema anterior, chamamos de cosseno do ângulo a, à medida da 
projeção ortogonal de AM no eixo x, indicamos por cos (a). 
 
 
O sinal dos cossenos será positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e 
terceiro: 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
61 
Tangente 
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular 
ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta 
tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AMcorrespondente ao ângulo a. 
 
Quando o arco é apresentado no segundo ou terceiro quadrantes, podemos representá-los no 
primeiro ou quarto quadrante, dessa maneira, por exemplo, caso queiramos indicar a tangente 
de um ângulo a no segundo quadrante, basta ver tg (a + 180º), sendo que esses valores de 
tangente são equivalentes. Assim como os valores de um ângulo a no terceiro quadrante, são 
equivalentes aos valores da tangente no primeiro quadrante, nesse caso basta ver a tg (a -
180º). Com isso podemos deduzir que o sinal da tangente será positivo no primeiro e terceiro 
quadrante, e negativo no segundo e quarto. 
 
 
7.1 Funções trigonométricas 
Podemos associar nossos conhecimentos adquiridos recentemente com funções, no caso das 
funções trigonométricas, essas têm um grupo específico de funções, as funções 
trigonométricas, que estudaremos de agora em diante. 
Função seno 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
62 
Definição 
Denominamos função seno a função f: →, que a cada número real x, associa o seno desse 
número: f: →, f(x) = sen x 
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = . 
Imagem de f(x) = sen x; Im (sen x) = [-1,1], pois o raio no círculo trigonométrico mede 1. 
 
Sinal da Função 
Assim como já vimos, referente ao sinal dos senos, o valor de sen(x) será positivo no primeiro e 
segundo quadrante, e negativo no terceiro e quarto, assim como em seus valores côngruos. 
Gráfico 
Chamamos ao gráfico da função seno de senóide, para sua construção podemos utilizar o 
meio de construção através de pontos notáveis e tabela. 
 
Função cosseno 
Definição 
Denominamos função cosseno a função f:  →, que a cada número real x, associa o cosseno 
desse número: f:  →, f(x) = cos x. 
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) =  
Imagem de f(x) = cos x; Im (cos x) = [-1,1]. 
Sinal da Função 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
63 
O sinal de f(x) = Cos (x) será positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e 
terceiro quadrantes. 
Gráfico 
Chamamos ao gráfico da função cosseno de cossenóide, para sua construção podemos utilizar 
o meio de construção através de pontos notáveis e tabela. 
 
 
Função tangente 
Definição 
 
Denominamos função tangente a função f: →, que a cada número x associa a tangente 
desse número: f: →, f(x) = tg x. 
Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = / x ½ 
Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = . 
 
Sinal da Função 
 
O sinal da função tg (x) será positivo no primeiro e terceiro quadrante, e negativo no segundo e 
quarto. 
 
Gráfico 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
64 
Chamamos o gráfico da função tangente de Tangentóide, também podendo ser construído 
ponto a ponto. 
 
 
Exercícios sobre seno, cosseno e tangente 
 
166- Determine o valor do seno e do cosseno dos seguintes arcos: 
 
a) 
3
2
 
b) 240º 
c) 300º 
d) 135º 
e) 225º 
f) 150º 
g) 
6
 
h) 
2
7
 
i) 
21
 
j) 
2
29
 
 
167- Calcule o número 
3
4
cos
3
2
3
4
3
2
cos





sen
sen
A . 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
65 
168- Calcule o número 
4
3
4
3
cos
4
5
cos
4
7


sen
sen
B


 . 
 
169- Calcule o valor da expressão 
xsen
xxsen
A
3
8cos4
2


, para 
2

x
. 
 
170- Calcule o valor de 
º2460cosº330 sen
. 
 
171- (FEI-SP) Qual é o valor da expressão 
)31.(cos
2
7  





 seny
? 
 
172- Determine o valor da expressão: 













2
3
2
15
10cos
 sensenA
. 
 
173- O fenômeno da maré em determinado ponto da costa brasileira pode ser obtido pela 
expressão: 







4
5
.
6
cos.2
2
21
)(

ttP
, em que t é o tempo decorrido após o inicio da 
operação 
)0( t
, e P(t) é a profundidade da água no instante t. Qual é a profundidade 
aproximada da água no inicio da operação? 
 
174- Determine o valor de: 
 
a) 
º900tg
 
b) 
º1500tg
 
c) 
11tg
 
d) 
º150tg
 
e) 
º240tg
 
f) 
º300tg
 
g) 
3
16
tg
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
66 
175- Ache o valor de 
4
3
º510cos

tg
. 
 
176- Que número é maior: 
º70tg
 ou 
º760tg
? Justifique sua resposta. 
 
177- Simplifique a expressão: 
 2
4
.3 tgtgA 
. 
 
178- Determine o valor numérico da expressão: 
2
º60
)º15(
3cos)º30( 


 x
tg
xtg
xxsen
, para 
º60x
. 
 
179- Construa a partir de 
senxy 
 os gráficos das funções indicadas abaixo. Escreva o 
domínio e determine o conjunto imagem: 
 
a) 
senxxf  2)(
 
b) 
senxxf  1)(
 
c) 
senxxf 1)(
 
d) 
senxxf )(
 
 
180- Construa o gráfico da função dada por 
2
)(
x
senxf 
, destacando o domínio, o conjunto 
imagem e o período. 
 
181- Construa a partir de 
xxf cos)( 
 os gráficos das funções indicadas abaixo. Escreva o 
domínio e determine o conjunto imagem: 
 
a) 
xxf cos1)( 
 
b) 
xxf cos1)( 
 
c) 
xxf cos)( 
 
d) 
xxf cos2)( 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 
 
67 
182- Determine o período de cada uma das seguintes funções: 
 
a) 
xseny 6
 
b) 
3
x
seny 
 
c) 
xy 8cos
 
d) 
xy 6cos1
 
 
7.8 Outras razões trigonométricas 
 
Secante 
 Podemos calcular a secante de um arco através da relação: 
x
x
cos
1
sec 
. 
 
Cossecante 
Podemos calcular a cossecante de um arco através da relação 
senx
x
1
seccos 
. . 
 
Cotangente 
Podemos calcular a cotangente de um arco através da relação 
tgx
gx
1
cot 
. 
 
Exercícios sobre outras razões trigonométricas 
 
183- Determine o valor da tangente e da cotangente dos seguintes arcos: 
 
a) 0º 
b) 30º 
 
 
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68 
c) 
3

 
d) 
2

 
e) 
2
 
f) 
2
3
 
g) 
4
7
 
h) 
4
5
 
 
184- Determine o valor da secante e da cossecante dos seguintes arcos: 
 
a) 0º 
b) 30º 
c) 45º 
d) 
4
17
 
e) 120º 
f) 
2
3
 
g) 150º 
h) 

 
 
185- Calcule a cotangente, a secante e a cossecante dos seguintes arcos: 
 
a) 
4

 
b) 150º 
c) 270º 
d) 
2
5
 
 
186- Calcule: 
 
 
 
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69 
a) 
º45secº60sec 
 
b) 
º45sec.2º30sec.3 
 
c) 
2
3
seccos
4
seccos.2


 
 
187- Obtenha o valor de: 
 
a) 
)º180(sec8)º60(sec 3 
 
b) 
2
º30seccos.3
º60seccos3 
 
 
7.9 Relações trigonométricas 
Dentro da trigonometria, há algumas relações que são fundamentais em problemas do 
cotidiano. Veremos algumas dessas relações: 
No círculo trigonométrico, o eixo horizontal é representado pelo seno e o eixo vertical, pelo 
cosseno. Ao determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do círculo, temos sua 
projeção no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traçarmos um segmento de reta do eixo das 
origens do círculo até o ponto determinado, formamos um ângulo 

, como mostram os 
esquemas a seguir: 
 
Com base no triângulo retângulo formado, vamos aplicar os fundamentos do Teorema de 
Pitágoras: 
 
 
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