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Apostila de Tópicos de Matemática - Eng. Básico UNIP

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NOTAS DE AULA 
 
TÓPICOS DE MATEMÁTICA 
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. LUIZ CARLOS MARTINS JR 
ENGENHARIA BÁSICA 
UNIVERSIDADE PAULISTA (UNIP) 
2016 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 1 
1. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
Algumas definições 
Segmentos congruentes: Dois segmentos são congruentes quando têm as mesmas medidas. 
Ângulos congruentes: Dois ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas. 
Ângulo agudo: menor que 90º. 
Ângulo obtuso: Maior que 90º. 
Ângulo reto: igual a 90º. 
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono. Perímetro do polígono é a soma de todos os lados do polígono. 
Diagonal de um polígono: é qualquer segmento de reta que une 2 vértices não consecutivos. 
Polígono regular: é um polígono onde todos os lados e ângulos são congruentes. 
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. 
Exemplos: Não são polígonos polígono convexo polígono não convexo polígono regular Nomenclatura: Os polígonos podem ser classificados segundo o número de lados. 
Polígono No de lados Polígono No de lados 
Triângulo 3 Quadrilátero 4 
Pentágono 5 Hexágono 6 
Heptágono 7 Octógono 8 
Eneágono 9 Decágono 10 
Undecágono 11 Dodecágono 12 
Triângulos 
Os triângulos são polígonos de três lados. Podem ser classificados segundo seus lados ou ângulos: 
 Quanto aos lados os triângulos podem ser eqüiláteros (todos os lados iguais), isósceles (dois lados iguais) ou escaleno (todos os lados diferentes). 
 Quanto aos ângulos os triângulos pode ser acutângulo (todos os ângulos agudos), obtusângulo (1 ângulo obtuso) ou retângulo (1 ângulo reto). 
 
 
 
 
Equilátero Isósceles Escaleno 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 2 
 
 
 
 
Acutângulo Obtusângulo Retângulo 
 
Algumas propriedades: 
 Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais. 
 Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. 
 Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais. 
 Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo. 
 Note que todo triângulo têm 3 bases, e portanto, 3 alturas (relativas a essas bases) 
 O triângulo eqüilátero é um polígono regular. 
 
Fórmulas para o cálculo da área de um triângulo 
 Considere o triângulo abaixo, onde: ቐ ܽ, ܾ, ܿ são os comprimentos dos lados ܣ, ܤ, ܥ são os vértices ܣመ, ܤ෠, ܥመ são as medidas dos ângulos nos respectivos vértices  
 
 
 
 
 
 Chamando de ܣ a área do triângulo, temos: 
 I: Fórmula Básica: ܣ = ௕௛ଶ 
 II: Fórmula do seno: ܣ = ௔௕ ୱ መଶ 
 III: Fórmula de Heron: ܣ = ඥ݌(݌ − ܽ)(݌ − ܾ)(݌ − ܿ) 
 onde ݌ = ௔ା௕ା௖ଶ é chamado de semi perímetro. Observações: 
 Note que a fórmula I necessita de 1 lado enquanto a fórmula II precisa de 2 lados e a fórmula 3 de 3 lados conhecidos. 
 O ângulo da fórmula II é formado pelos lados conhecidos a e b. 
Paralelogramo 
Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo: 
 Os lados opostos são congruentes;  Os ângulos opostos são congruentes;  A soma de dois ângulos consecutivos vale 180º;  As diagonais cortam-se ao meio. Fórmula para o cálculo da área de um paralelogramo: ܣ = ܾℎ 
ܣ ܥ 
ܤ 
ܾ 
ܿ ܽ ℎ 
ܾ 
ℎ 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 3 
Paralelogramos importantes: 
 Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos congruentes (e portanto retos). Obs: ficando claro que a figura trata-se de um retângulo, não é necessário indicar que os ângulos são todos de 90º. Área: ܣ = ܾℎ Propriedades: - lados opostos com a mesma medida - 4 ângulos retos - diagonais com mesma medida que se “cruzam” exatamente ao meio 
  Quadrado: É um paralelogramo com os 4 lados congruentes e os 4 ângulos congruentes. Logo, é ao mesmo tempo um losango (ver definição abaixo) e um retângulo. O quadrado é um polígono regular. Área: ܣ = ܾଶ Propriedades: - 4 lados com medidas iguais - 4 ângulos retos (90º ) - diagonais perpendiculares e de mesma medida 
  Losango: Paralelogramo que tem todos os 4 lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo reto. Sendo ܦ o comprimento da diagonal maior e ݀ a medida da diagonal menor, temos: Área: ܣ = ஽ௗଶ Propriedades: - 4 lados com mesma medida (congruentes) - ângulos opostos iguais (congruentes) - diagonais perpendiculares que se cruzam ao meio (bissectam) 
Trapézio 
Trapézio: é um quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor ܾ e base maior ܤ. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio. 
Área: ܣ = (௕ା஻)௛ଶ Os trapézios podem ser: escaleno quando todos os lados têm medidas diferentes; isósceles quando os lados não paralelos são congruentes (neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes); retângulo quando têm 2 ângulos consecutivos retos. 
 Trapézio escaleno Trapézio isósceles Trapézio retângulo 
ℎ 
ܾ 
ܾ 
ܾ 
ܦ ݀ 
ܾ 
ܤ 
ℎ 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos
Círculo e circunferência 
Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é denominamos de distância constante denominamos de ao lado. Círculo é a reunião da circunferência com seu interior.Vejamos alguns elementos da circunferência:
 Qualquer segmento que une o Centro a qualqueraio (r). 
 Qualquer segmento circunferência chama
 Dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência definem dois circunferência. 
 A corda que passa pelo centro da circunferência chamadiâmetro é a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do raio. Vamos indicar o diâmetro por d, logo 
 
 Corda 
Fórmulas: 
 Área do círculo de raio r:  Comprimento da circunferência de raio r: Para calcular o comprimento de um arco de circunferência e/ou a área de um setor circular, usamos as fórmulas acima e regra de 3 simples e direta: 
 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é denominamos de centro da circunferência (ponto O). A distância constante denominamos de raio (indicado por ݎ). Veja figura 
é a reunião da circunferência com seu interior. Vejamos alguns elementos da circunferência: 
Qualquer segmento que une o Centro a qualquer ponto da circunferência chama
Qualquer segmento de reta que une dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência chama-se corda. 
Dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência definem dois 
passa pelo centro da circunferência chama-se diâmetro é a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do raio. Vamos indicar odiâmetro por d, logo ݀
Corda Diâmetro
Outros nomes 
Área do círculo de raio r: ܣ = ߨݎଶ Comprimento da circunferência de raio r: ܥ = 2ߨݎ 
Para calcular o comprimento de um arco de circunferência e/ou a área de um setor circular, usamos as fórmulas acima e regra de 3 simples e 
Arco 
 Geometria plana e espacial 
Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 4 
é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse da circunferência (ponto O). A ). Veja figura 
r ponto da circunferência chama-se 
que une dois pontos quaisquer e distintos de uma 
Dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência definem dois arcos de 
se diâmetro. Assim, o diâmetro é a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do = 2ݎ. 
Diâmetro 
 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos
Exercícios em aula 
1) Encontre a fórmula para a altura 2) Encontre a fórmula para a área de um apótema. 3) Encontre a fórmula para a área de um hexágono regula4) Um terreno retangular tem 72m de perímetro. O comprimento é o dobro da largura. Calcule sua área. 5) Qual é a área de um paralelogrsabendo-se que eles formam um ângulo de 120º?6) Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: a) 20 cm2. b) 10 cm2.
7) Num triângulo ABC, ܾ =8) Sabendo que BD=12, qual a área 
9) Determine a área do quadrado de diagonal igual a 7 10) As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?11) Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?12) Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm?13) Qual é a área de uma coroa circular com raio
Área do setor: ࡿ = ࢻ࢘૛૛ ou Comprimento do arco: ࡸ =
ܵ 
ܮ
 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
 
Encontre a fórmula para a altura ℎ e a área ܣ de um triângulo eqüilátero de lado Encontre a fórmula para a área de um polígono regular em função do semi perímetro p e da 
Encontre a fórmula para a área de um hexágono regular de lado ܽ. Um terreno retangular tem 72m de perímetro. O comprimento é o dobro da largura. Calcule 
Qual é a área de um paralelogramo no qual dois lados consecutivos medem 7 cm e 5 cm, se que eles formam um ângulo de 120º? Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área 
. c) 24 cm2. d) 18 cm2. e) 12 cm2. 
= √3 e ܿ = √2 e a área vale √଺ସ . Calcule a medida do ângulo Sabendo que BD=12, qual a área do quadrilátero e do segmento circular abaixo.
 Determine a área do quadrado de diagonal igual a 7 cm. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm?área de uma coroa circular com raio externo de 20 cm e largura de 5 cm? 
(ߙ em radianos) 
ou ࡿ = ࡸ࢘૛ = ࢻ࢘ 
ܮ 
 Geometria plana e espacial 
Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 5 
 
 
de um triângulo eqüilátero de lado ܽ. polígono regular em função do semi perímetro p e da 
 Um terreno retangular tem 72m de perímetro. O comprimento é o dobro da largura. Calcule 
amo no qual dois lados consecutivos medem 7 cm e 5 cm, 
Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área 
. Calcule a medida do ângulo ܣመ. e do segmento circular abaixo. 
 
As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície? Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm? Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm? de 20 cm e largura de 5 cm? 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos
Exercícios propostos 
1) Calcule a área, em cm2transversos iguais a 0,5dm. 2) Calcule a área do triângulo eqüilátero de 36 3) Numa figura retangular a diagonal mede 10cm e um dos lad4) Uma piscina tem 8m de comprimento, 4m de largura e 1,20m de profundidade. Desejacolocar azulejos quadrados de 0,20m de lado nas paredes laterais e no fundo da piscina. Quantos azulejos serão necessários? 5) Vamos calcular a área de um losango, sabendo qudiagonal menor mede 2,4 cm. 6) Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura mede 5 cm. Calcule a área deste trapézio.7) Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato rete, para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o número mínimo de cerâmicas que serão usadas é igual a:a) 3100 b) 2100. c) 1500. 8) A figura ao lado representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a: 
a) 3√3 b) 2√3 9) Um arco de circunferência mede 300º, e seu comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros?a) 157 b) 284 c) 382 d10) O perímetro de um setor circular de lperímetro de um quadrado de lado a) గଷ b) 2 14) Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e medi
Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a ܣܤതതതത. Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, deverá ser: a) 31 b) 32 c) 33 11) Na figura ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence a hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paraleDECF. 
 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
2, de um trapézio isósceles de bases iguais a 12 cm e 40mm e lados transversos iguais a 0,5dm. Calcule a área do triângulo eqüilátero de 36 cm de perímetro. Numa figura retangular a diagonal mede 10cm e um dos lados mede 6cm. Calcule sua área.Uma piscina tem 8m de comprimento, 4m de largura e 1,20m de profundidade. Desejacolocar azulejos quadrados de 0,20m de lado nas paredes laterais e no fundo da piscina. Quantos azulejos serão necessários? Vamos calcular a área de um losango, sabendo que sua diagonal maior mede 5 cm e a diagonal menor mede 2,4 cm. Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura mede 5 cm. Calcule a área deste trapézio. Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato retangular medindo 10 m por 4 m e, para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o número mínimo de cerâmicas que serão usadas é igual a: b) 2100. c) 1500. d) 1000. e) 500. representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono 
 c) ଷ√ଷଶ d) √3 e) √ଷଶ Um arco de circunferência mede 300º, e seu comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros? a) 157 b) 284 c) 382 d) 628 e) 764 O perímetro de um setor circular de lado R e ângulo central medindo perímetro de um quadrado de lado R. Então ߙ é igual a: c) 1 d) ଶగଷ e) గଶ Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e medidas:
 AD = 20 m; AB = 60 m; BC = 16 m Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a . Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, 
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 Na figura ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao catetoBC e o ponto F pertence a hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, calcule 
 
 Geometria plana e espacial 
Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 6 
, de um trapézio isósceles de bases iguais a 12 cm e 40mm e lados 
os mede 6cm. Calcule sua área. Uma piscina tem 8m de comprimento, 4m de largura e 1,20m de profundidade. Deseja-se colocar azulejos quadrados de 0,20m de lado nas paredes laterais e no fundo da piscina. 
e sua diagonal maior mede 5 cm e a 
Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua 
angular medindo 10 m por 4 m e, para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi 
representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono 
Um arco de circunferência mede 300º, e seu comprimento é 2 km. 
e ângulo central medindo ߙ radianos é igual ao 
das: 
Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a . Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, 
Na figura ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence a hipotenusa AC, de tal a área do paralelogramo 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 7 
12) Há um conhecido quebra cabeças que consiste em formar um quadrado com as partes de um triângulo eqüilátero como mostram as figuras. Partindo-se de um triângulo com 24cm de perímetro, determine o perímetro do quadrado formado. 
 13) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida? 
 a) 100. b) 20. c) 5. d) 10. e) 14. 14) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo? 15) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio? 16) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro? 17) As bases de um trapézio isósceles medem respectivamente 4cm e 12cm. Determinar a área desse trapézio sabendo que o perímetro do trapézio é igual a 26 cm. 18) Determinar a área de um círculo sabendo que o comprimento de sua circunferência é igual a 8π cm. 19) Determinar a área de coroa determinada por duas circunferências concêntricas de raios 15cm e 12cm. 20) A área de uma sala com a forma da figura abaixo é de: 
 a) 30 m2 b) 26,5 m2 c) 28 m2 d) 24,5 m2 e) 22,5 m2 21) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros. 22) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2) não aproveitada da chapa? 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos
a) 40 - 20 π b) 400 -23) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da 
a) గଶ + 2 b) ߨ + 24) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimensões: ܣܤത
Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno?25) Na figura a seguir tempontos A e B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45°.A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a:
a) ଷସ ቀߨ − √ଶଶ ቁ b) ଷଶ ቀగସ26) Considere a região R, pintada de preto, quadrado de lado medindo 4 cm.nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, determine a área da região R.
27) A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados.
 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
 - 20 π c) 100 - 100 π d) 20 - 20 e) 400 Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é:
 2 c) ߨ + 3 d) ߨ + 4 
Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as ܣܤതതതതࡱ࢘࢘࢕! ࡵ࢔ࢊ࢏ࢉࢇࢊ࢕࢘ ࢔ã࢕ ࢊࢋࢌ࢏࢔࢏ࢊ࢕. = 25 m, 
 Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno?Na figura a seguir tem-se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm.pontos A e B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45°. A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a: 
 
ቀగସ − √3ቁ c) ଽସ ቀగଶ − √2ቁ d) ଽଶ ቀగସ − √2ቁ Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, determine a área da região R. 
 A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados. 
 Geometria plana e espacial 
Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 8 
20 e) 400 - 100 π Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e região hachurada é: 
 e) 2ߨ + 1 
Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as m, ܤܥതതതത = 24 m, ܥܦതതതത = 15 m. 
Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno? se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm. Os 
 
ቁ e) ଽସ ቀగଶ − 1ቁ exibida a seguir, construída no interior de um se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 
A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos
A área do terreno, em kma) 215 b) 210 c) 200 d) 220 e) 205
28) A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados.
a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 29) Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo. Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é (Use: π=3,1). a) 24,8 b) 25,4 c) 26,2 d) 28,8 e) 32,430) Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo de 120°, está situado um terreno triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na seguir: 
A área desse terreno, em ma) 225. b) 22531) O ponto O é o centro de uma circunferência de raio ,calcule área da região sombreada.
 
A base de um retângulo é o dobro de sua altura.Determine suas dimensões, em cm, sendo 72 cm2 sua área. 
 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
 A área do terreno, em km2, é igual a: a) 215 b) 210 c) 200 d) 220 e) 205 
A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados.
 a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 π e) 48 πse 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros 
b) 25,4 c) 26,2 d) 28,8e) 32,4Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo de 120°, está situado um terreno triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na 
 A área desse terreno, em m2, é a) 225. b) 225√2. c) 225√3. d) 450√2. e) 450√3.O ponto O é o centro de uma circunferência de raio ݎ, conforme a figura. Se a região sombreada. 
A base de um retângulo é o dobro de sua altura.Determine suas dimensões, em cm, sendo 
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A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 9√3 cm2. A área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados. 
π e) 48 π se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros 
b) 25,4 c) 26,2 d) 28,8 e) 32,4 Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo de 120°, está situado um terreno triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na figura a 
√2. c) 225√3. d) 450√2. e) 450√3. , conforme a figura. Se ݎ = 4 cm 
A base de um retângulo é o dobro de sua altura.Determine suas dimensões, em cm, sendo 
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32) Determine a área das seguintes figuras (em cm2): 
a) b) 
c) d) 33) Abaixo temos um resumo das fórmulas dos polígonos regulares de 3, 4 e 6 lados. Todos inscritos e circunscritos a circunferências de raios r e R. Prove cada uma dessas fórmulas. Note que todas estão em função comprimento de cada lado L. 
 
 
 
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Respostas dos exercícios propostos 
1) 24 cm2 2) 36√3 cm3 3) 48cm² 4) 1520 azulejos 5) 6 m2 6) 38,5 m2 7) d 8) e 9) c 10) b 11) ଺ଷଶହ u.a. 12) 16√3ర cm 13) Alternativa E 14) Perímetro = 18cm Área = 9√3 cm2 15) 25 unidades de área. 16) 24 cm. 17) base=12 e altura=6. 18) 24 cm2 19) 16π cm2 20) Alternativa B 21) A = 84 cm2 22) Alternativa E 23) Alternativa B 24) $ 24.000,00 25) Alternativa C 26) (12 – ߨ) cm2 27) Alternativa B 28) Alternativa A 29) Alternativa D 30) Alternativa C 31) 4(ߨ − 2) cm2 32) 81π cm2 33) a) 48cm² b) 48cm² c) 91cm² d) 150cm² 
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2. ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DE FIGURAS ESPACIAIS 
Poliedro é um sólido limitado externamente por regiões planas poligonais no espaço. As regiões planas 
poligonais que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. 
As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Exemplos de poliedros são o cubo, o paralelepípedo, o 
prisma e a pirâmide. Exemplos de sólidos que não são poliedros são o cilindro, o cone e a esfera. 
 
 Um poliedro é convexo se qualquer reta o corta em no máximo dois pontos. Um poliedro que não é convexo pode ser chamado de não convexo ou de côncavo. Os poliedros acima são convexos. Os poliedros abaixo são não convexos. 
 
Poliedros regulares 
Um poliedro convexo é regular quando: 
 Suas faces são polígonos regulares e congruentes.  Em todos os seus vértices concorre o mesmo número de arestas. Num poliedro regular, percebe-se imediatamente que: 
 Todas as faces têm o mesmo número de arestas (pois as faces são congruentes);  Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo número de arestas; É possível provar que existem apenas 5 poliedros regulares: 
 
 Tetraedro hexaedro octaedro dodecaedro icosaedro 
 
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Prisma 
Um prisma é um poliedro convexoinferior paralelas e congruentes. Essas faces são chamadas de bases.Num prisma temos os seguintes elementos:
 bases (polígonos);  faces (paralelogramos);  arestas das bases (lados das bases);  arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases);  vértices (pontos de encontro das arestas);  altura (distância entre os planos das bases).Quando as arestas laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é chamado de reto; caso contrário, de 
 
Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases.
 um prisma é triangular um prisma é quadrangular um prisma é pentagonal um prisma é hexagonal Etc 
Prisma triangular Prisma quadrangular
 Base:Triângulo Base:Quadrado Um cuidado especial: Algumas vezes o prisma pode se apresentar “deitado”, ou seja, com uma das bases voltada para o lado de baixo. Ele continua sendo um pri
 
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convexo com uma face superior e uma face . Essas faces são chamadas de bases. Num prisma temos os seguintes elementos: 
faces (paralelogramos); arestas das bases (lados das bases); arestas laterais (lados das faces que não pertencem às 
vértices (pontos de encontro das arestas); altura (distância entre os planos das bases). laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é ; caso contrário, de oblíquo. 
 
Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases. Assim:
triangular quando suas bases são triângulos; quadrangular quando suas bases são quadriláteros;pentagonal quando suas bases são pentagonais; hexagonal quando suas bases são hexagonais. 
Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal
 
 Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono
Um cuidado especial: Algumas vezes o prisma pode se apresentar “deitado”, ou seja, com uma das bases voltada para o lado de baixo. Ele continua sendo um prisma! 
Prisma Reto Prisma Oblíquo 
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laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é 
 
Assim: 
quando suas bases são quadriláteros; 
Prisma hexagonal 
 
Base:Hexágono 
Um cuidado especial: Algumas vezes o prisma pode se apresentar “deitado”, ou seja, com uma das 
 
Altura do prisma 
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Tipos especiais de prisma:
Cubo: é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.chamado de hexaedro regular. 
Paralelepípedo: é um prisma cujas bases são paralelogramosparalelogramos). Um paralelepípedo reto retângulo tem todas as faces formadas por retângulos.
 Paralelepípedo oblíquo 
Prisma regular: um prisma é regular se é reto eem todo prisma regular as faces laterais são retângulos congruentes entre si.
Área total e volume de um prisma
Chamando do ܣ a área total do prisma, seja, ܣ௟ é a soma das áreas de todas as faces laterais do prisma, temos que:
lembrando que as faces laterais são todas retângulos.Chamando ܸ o volume do prisma e 
Veja o Princípio de Cavallieri. 
 
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Tipos especiais de prisma: 
que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base. Por ser um polígono regular, o cubo também é 
 
: é um prisma cujas bases são paralelogramos (logo, tod. Um paralelepípedo reto retângulo tem todas as faces formadas por retângulos.
 Paralelepípedo reto Paralelepípedo reto retângulo
: um prisma é regular se é reto e seus polígonos das bases são regulares.Note que em todo prisma regular as faces laterais são retângulos congruentes entre si. 
 
Área total e volume de um prisma 
a área total do prisma, ܣ௕ a área de uma base e ܣ௟ de área lateral do prisma, ou é a soma das áreas de todas as faces laterais do prisma, temos que: 
ܣ = 2ܣ௕ + ܣ௟ lembrando que as faces laterais são todas retângulos. o volume do prisma e ℎ sua altura, temos que: 
ܸ = ܣ௕ ∙ ℎ 
 
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que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular Por ser um polígono regular, o cubo também é 
, todas as faces de são . Um paralelepípedo reto retângulo tem todas as faces formadas por retângulos. 
 Paralelepípedo reto retângulo 
seus polígonos das bases são regulares. Note que 
de área lateral do prisma, ou 
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Pirâmides 
Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, 
fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmen
num ponto qualquer do polígono. O ponto V
Elementos de uma pirâmide
Base: é a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide.Vértice: é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.Altura: distância do vértice da pirâmide ao plano da base. Faces laterais: são regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base. Arestas Laterais: são segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.Apótema: É a altura de cada face lateral.
Classificação 
As pirâmides podem ser classificadas de acordo com sua base:
Uma pirâmide triângulos também recebe o nome especial de regular a todas as pirâmides cujas faces são triângulos retângulos eqüiláteros.Podemos também classificar uma pirâmide como congruentes – ou oblíqua – quando suas arestas laterais não são congruentes.
 
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Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V
fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V
do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide. 
 
Elementos de uma pirâmide 
é a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide. é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide. istância do vértice da pirâmide ao plano 
ão regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois 
ão segmentos que têm um no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base. É qualquer um dos lados do 
É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais. cada face lateral. 
As pirâmides podem ser classificadas de acordo com sua base: 
Uma pirâmide triângulos também recebe o nome especial de tetraedro. Chamamos de a todas as pirâmides cujas faces são triângulos retângulos eqüiláteros.Podemos também classificar uma pirâmide como reta – quando todas as arestas laterais são quando suas arestas laterais não são congruentes.
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o plano horizontal) e um ponto V localizado 
tos que têm uma extremidade em V e a outra 
 . Chamamos de tetraedro a todas as pirâmides cujas faces são triângulos retângulos eqüiláteros. quando todas as arestas laterais são quando suas arestas laterais não são congruentes. 
apótema 
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Área total e volume de um pirâmide
Chamando do ܣ a área total da pirâmide, base e ܣ௟ de área lateral da pirâmide, ou seja, das áreas de todas as faces laterais da pirâmide, temos que:
ܣ = ܣ௕ +lembrando que as faces laterais são todas triângulos.Chamando ܸ o volume da pirâmide e que: 
ܸ = 13 ܣ௕
Decomposição do prisma em 3 pirâmides e mesmo volume 
Relação entre unidades de volume
1m3 = 1000 litros
Exercícios em aula 
1) Num paralelepípedo retângulo, o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm. Sabendo que a área total é 424 cm2, calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo.2) Ao serem retirados 128 litros de uma caixa d'ága) Calcule o comprimento das arestas da referida caixab) Calcule a sua capacidade em litros.3) Calcule a área total e o volume de um prismade 18 cm de perímetro. 4) O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule a altura dessa pirâmide. 5) Considere prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um ha) Calcule a área total. 
Tetraedro regular 
 
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Área total e volume de um pirâmide 
a área total da pirâmide, ܣ௕ a área da de área lateral da pirâmide, ou seja, ܣ௟ é a soma das áreas de todas as faces laterais da pirâmide, temos que: 
+ ܣ௟ faces laterais são todas triângulos. o volume da pirâmide e ℎ sua altura, temos 
∙ ℎ 
Decomposição do prisma em 3 pirâmides e mesmo volume
Relação entre unidades de volume 
= 1000 litros 1dm3 = 1 litro 1cm3 = 1mililitro(ml)
Num paralelepípedo retângulo, o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm. Sabendo , calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo.Ao serem retirados 128 litros de uma caixa d'água de forma cúbica, o nível da água baixa em 20cm.Calcule o comprimento das arestas da referida caixa Calcule a sua capacidade em litros. Calcule a área total e o volume de um prisma de 12 cm de altura cuja base é um triângulo regular 
O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule a altura dessa pirâmide. sma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado.
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 Decomposição do prisma em 3 pirâmides e mesmo volume 
litro(ml) 
Num paralelepípedo retângulo, o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm. Sabendo , calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo. o nível da água baixa em 20cm. 
cuja base é um triângulo regular 
O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base. 
exágono regular de 6cm de lado. 
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b) Calcule o volume. 
 6) A base de uma pirâmide tem 225cm² de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm² de área. Determine a altura da pirâmide. 
 
Exercícios propostos 
1) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo, na posição horizontal, de lados 0,8 m e 1,2 m. Um objeto, ao ser imerso completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075 m. Qual o volume desse objeto? 2) Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é 20 cm e que o lado do polígono da base mede 16 cm, calcule a área de papelão necessária para construir essa embalagem. Admita que se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e para que seja 
possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa. (Use 73,13  ) 
3) Uma piscina tem a forma e as dimensões indicadas na figura. As arestas que convergem em cada 
um dos pontos A, B, E, A’, B’ e E’ são mutuamente perpendiculares, e as arestas '',, CBBCAE e 
''EA são verticais. Qual a capacidade da piscina, em litros? Dado: 1 m3=1000 l 
 4) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedoreto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é: a) 16 m b) 17 m c) 18 m d) 19 m e) 20 m 
5) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2 de área lateral. Seu volume vale: 
a) 16 m3 b) 32 m3 c) 64 m3 d) 4√3 m3 e) 16√3 m3 
6) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6 480°, então o número de lados da base do prisma é a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15 
7) Uma folha de papel colorido, com forma de um retângulo de 12 cm de largura e 15 cm de comprimento, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular 
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regular cuja aresta da base mede 8 cm e cuja altura mede 3 cm. Levando em conta que não deve haver desperdício de papel, quanto sobrará de papel colorido?8) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem. Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H. 
9) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, com 60 faces triangulares. Calcule o número de vértices desse cristal. 10) Observe a pirâmide regular hexagonal ABCDEFV representada a 
representa a altura da pirâmide e vale 2 cm. Sabendo que o apótema da base vale área total e o volume dessa pirâmide.
11) Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular de 9 cm de altura, cuja aresta da base é 24 cm.
12) Uma pirâmide regular hexagonal tem aresta da base igual a 
que a altura da pirâmide é 6
13) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cmaresta da base? 14) Calcule o volume do sólido abaixo, em litros:
15) Um agricultor construiu um reservatório para captar a água da chuva, em forma de um cubo acoplado a uma pirâmide, comostra a figura ao lado. Calcule quantos litros de água são necessários para encher completamente este reservatório
a) 800 litros b) 8000 litros c) 8400 litros d) 1200 litros e) 12000 litros 16) Calcular a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o
 
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regular cuja aresta da base mede 8 cm e cuja altura mede 3 cm. Levando em conta que não deve el, quanto sobrará de papel colorido? Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem. Determine o volume da pirâmide de base hexagonal 
 geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, com 60 faces triangulares. Calcule o número de vértices desse 
Observe a pirâmide regular hexagonal ABCDEFV representada a seguir, onde o segmento VO 
representa a altura da pirâmide e vale 2 cm. Sabendo que o apótema da base vale área total e o volume dessa pirâmide. 
 Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular de 9 cm de altura, cuja aresta da base é 24 cm. 
Uma pirâmide regular hexagonal tem aresta da base igual a 34 cm. Calcule o volume, sabendo 
3 cm. 
Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de volume e 34 cm de altura. Qual a medida da 
Calcule o volume do sólido abaixo, em litros: 
 um reservatório para captar a água da chuva, em forma de um cubo acoplado a uma pirâmide, como . Calcule quantos litros de água são necessários para encher completamente este reservatório 
Calcular a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o perímetro da base mede 9cm.
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regular cuja aresta da base mede 8 cm e cuja altura mede 3 cm. Levando em conta que não deve 
Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem. Determine o volume da pirâmide de base hexagonal 
geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, com 60 faces triangulares. Calcule o número de vértices desse 
seguir, onde o segmento VO 
representa a altura da pirâmide e vale 2 cm. Sabendo que o apótema da base vale 32 , calcule a 
Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular de 9 cm de 
cm. Calcule o volume, sabendo 
cm de altura. Qual a medida da 
perímetro da base mede 9cm. 
2 m 
5 m 
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17) Determinar a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular2cm o raio do círculo circunscrito à
18) Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo
da área total. Calcular a altura19) Sendo 192m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e na base, calcule a altura da pirâmide.20) Se a altura de uma pirâmide hexagonal regular tem medida igual a aresta da base, volume. 21) Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de altura, sendo a base um losango cujas dmedem 6cm e 10cm. 22) Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros de lado 4, em centímetros quadrados.23) Determine a razão entre o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta da base e amedem a e o volume de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado medindo a. 24) De uma pirâmide regular de base quadrada sabeda pirâmide mede 6dm. Calcule:a) a aresta da base (a); d) a aresta lateral (L); e) a área lateral (A25) Calcule a área lateral e a área total de uma 82cm e cuja aresta da base mede 36cm.26) Calcule a medida da área lateral de uma pirbase mede 64m² e a altura da pir27) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja 
altura e cuja aresta da base medem, cada uma, 
CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enchetotal de: a) 6 moldes b) 8 moldes 
28) O volume de uma pirâmide triangular regular é 27altura é igual ao semiperímetro da base. 29) Uma pirâmide tem por base um ret
125 da outra. Determine as dimensaltura mede 5cm e que a sua projebase. 30) Um prisma reto com 1,5 m de altura tem seção transversatotal desse prisma e seu volume.
31) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de alta) Determine sua área lateral.b) Calcule seu volume. Use 3 algarismos significativos. 
 
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Determinar a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular de 7cm de apótema, sendo 2cm o raio do círculo circunscrito à base. 
Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 8cm e área lateral igual a 
rea total. Calcular a altura desta pirâmide. Sendo 192m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e m23na base, calcule a altura da pirâmide. Se a altura de uma pirâmide hexagonal regular tem medida igual a aresta da base, 
Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de altura, sendo a base um losango cujas d
Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros de lado 4, em centímetros quadrados. Determine a razão entre o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta da base e ae o volume de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado 
De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32dm² e que o apótema da pirâmide mede 6dm. Calcule: b) o apótema da base (m); c) a altura da pirâmide;d) a aresta lateral (L); e) a área lateral (AL); f) A área total (Area total de uma pirâmide triangular regularcuja aresta82cm e cuja aresta da base mede 36cm. rea lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendoe a altura da pirâmide é igual a uma das diagonais da baEm uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja 
altura e cuja aresta da base medem, cada uma, 2a . Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche
a) 6 moldes b) 8 moldes c) 24 moldes d) 32 mold
O volume de uma pirâmide triangular regular é 27 3 m³. Calcule a aresta da base, sabendo que a ao semiperímetro da base. mide tem por base um retângulo cujas somas das dimensões vale 34
da outra. Determine as dimensões da base e a área total da pirâmide, sabendo que a sua 
altura mede 5cm e que a sua projeção sobre a base é o ponto de intersec
Um prisma reto com 1,5 m de altura tem seção transversal como mostra a figura. Detetotal desse prisma e seu volume. 
 
Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm.Determine sua área lateral. Calcule seu volume. Use 3 algarismos significativos. 
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de 7cm de apótema, sendo 
8cm e área lateral igual a 53 
m o raio do círculo inscrito 
Se a altura de uma pirâmide hexagonal regular tem medida igual a aresta da base, a, calcule o seu 
Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais 
Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos 
Determine a razão entre o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta da base e altura e o volume de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado a e altura 
se que a área da base é 32dm² e que o apótema 
b) o apótema da base (m); c) a altura da pirâmide; ); f) A área total (At). mide triangular regular cuja aresta lateral mede 
mide quadrangular regular, sabendo que a área da da base. Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja 
se essas informações, é 
CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um 
24 moldes d) 32 moldes 
. Calcule a aresta da base, sabendo que a 
s vale 34cm sendo uma delas 
mide, sabendo que a sua 
o ponto de intersecção das diagonais da 
l como mostra a figura. Determine a área 
ura. A aresta da base mede 4cm. 
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Respostas do exercícios propostos 
1) O volume do objeto é igual a 0,072 m3. 2) 4060,8 cm2. 3) RESP: 845 mil litros 4) d 5) e 6) c 7) sobrarão 36cm2 de papel. 
8) 1327 cm3 9) 32 vértices 
10) At = 24(2 + 3 ) cm2 e V = 316 cm3 11) Al = 720 cm2, At = 1296 cm2 e V = 1728 cm3 12) V = 432 cm3 13) Aresta ou lado = 3 cm 14) V = 300 litros 15) E 16) √6 cm 17) Área lateral = 21√3 cm2 Área total = 24√3 cm2 18) Altura = 2√5 cm 19) Altura = 4√2 m 
20) Volume = ௔య√ଷଶ 21) Volume = 120 cm3 
22) Volume = ଷଶ√ଶଷ cm3 23) 6 24) a) 4√2 dm b) 2√2 dm c) 2√7 dm d) 2√11 dm e) 48√2 cm2 f) 16൫3√2 + 2൯ dm2 25) Área total = 108൫40 + 3√3൯ cm2 Área lateral = 4320 cm2 26) Área lateral = 192 m2 27) C 28) Aresta da base = 6 m 29) Dimensões da base: 24cm e 10cm ; Área total = 10൫37 + 12√2൯ cm2 30) Área total = 141m2 Volume = 67,5m3 
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Cilindro, cone e esfera 
Um cilindro circular é um sólido geométrico circulares congruentes e uma face lateral que liga as duas contidos em planos paralelos. Quando as linhas que formam a face lateral são perpendiculares às bases dizemos que o cilindro é reto
Cilindro 
 Um cilindro é chamado de eqüilátero quando sua altura é igual ao diâmetro da sua base: 
O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360º de uma região retangular em torno de um eixo 
Existem também os cilindros não circulares. Nesteparalelas, mas não são círculos e sim outras curvas fechadascilindro elíptico. Note que as bases são elipses.
Fórmulas: Sendo ݎ o raio da base e 
 Área Lateral do cilindro circular reto:  Volume do cilindro: ܸ =
 
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é um sólido geométrico não poliédrico que apresenta duas bases paralelas circulares congruentes e uma face lateral que liga as duas bases. As bases são círculos congruentes Quando as linhas que formam a face lateral são perpendiculares às reto, caso contrário, dizemos que é oblíquo. 
 Cilindro Reto Cilindro Oblíquo 
Um cilindro é chamado de eqüilátero quando sua altura é igual ao diâmetro da sua base: 
 O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360º de uma região retangular em torno de um eixo conte
 Existem também os cilindros não circulares. Neste caso, as bases continuam congruentes e paralelas, mas não são círculos e sim outras curvas fechadas suaves (sem quinas)cilindro elíptico. Note que as bases são elipses. 
 o raio da base e ℎ a altura do cilindro 
Área Lateral do cilindro circular reto: ܣ = 2ߨݎℎ = ܣ௕ℎ 
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que apresenta duas bases paralelas As bases são círculos congruentes Quando as linhas que formam a face lateral são perpendiculares às 
 
Um cilindro é chamado de eqüilátero quando sua altura é igual ao diâmetro da sua base: ℎ = 2ݎ 
O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma contendo um de seus lados. 
, as bases continuam congruentes e suaves (sem quinas). Abaixo temos um 
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Cone 
Um cone é um sólido geométrico classificado como não poliedro que apresenta uma única base circular e uma face lateral. 
 Elementos de um cone  O vértice de um cone é o ponto para o qual concorrem todos os segmentos de reta que formam a superfície lateral desse sólido.  Geratriz é cada um dos segmentos de reta que tem uma extremidade no vértice do cone e a outra na circunferência que envolve a base.  A base de um cone é formada pelo círculo no qual ele se apóia e pela circunferência que delimita esse círculo.  O eixo do cone é a reta definida pelos centros de todas as seções paralelas à base, ou ainda, é a reta definida pelo vértice do cone e pelo centro de sua base.  A altura do cone é a distância do vértice do cone ao plano que contém a sua base. 
 Podemos classificar o cone em reto ou oblíquo. Um cone particular é o cone eqüilátero que tem é 
um cone reto com a geratriz igual ao diâmetro: ݃ = 2ܴ 
 Os cones vistos são chamados na verdade de cone circular, pois a base é um círculo. Podemos 
generalizar o conceito de cone permitindo que a base tenha outras formas: Considere uma região plana 
limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Denominamos 
cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um 
ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região. 
 
Fórmulas: Sendo ܣ௕ a área da base, ℎ a altura, ݎ o raio da base e ݃ a geratriz do cone, temos 
 Área Lateral do Cone Circular Reto: ܣ = ߨݎ݃ 
 Volume do Cone: ܸ = ଵଷܣ௕ℎ 
Cone Equilátero 
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Sólidos truncados 
Uma seção paralela a base da pirâmide ou do cone divide o sólido em duas partes, sendo uma delas semelhante ao sólido original; Achamamos tronco. Para facilitar, quando falarmos em admitir que as bases do tronco são paralelas (apesar de existirem troncos co
Tronco de Pirâmide
Tronco de pirâmides Você pode observar que as faces laterais do tronco de pirâmides são trapézios. Seja S1 a base maior e S2 a base menor, conforme figura ao lado e demonstrar por semelhança de pirâmides (sugestão: demonstre!) que: 
Tronco de cones É importante notar que a superfície lateral é um segmento de coroa circularraios que definem a coroa é denominada geratriz do tronco.
É possível mostrar que: ቊܸ = గ௛ଷ (ܣ௟௔௧௘௥௔௟Existem algumas relações importantemaior e S2 a área de base menordo cone) e h a altura do tronco, então:
Usando semelhança de triângulos é possível encontrar outras relações. 
 
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Uma seção paralela a base da pirâmide ou do cone divide o sólido em duas partes, sendo uma o original; A parte que sobra, a que não é semelhante ao sólido original, . Para facilitar, quando falarmos em tronco de pirâmide admitir que as bases do tronco são paralelas (apesar de existirem troncos com bases não paralelas). 
 Tronco de Pirâmide Tronco de Cone 
Você pode observar que as faces laterais do tronco de pirâmides são trapézios. a base menor, conforme figura ao lado e ℎ a altura do tronco, é possível demonstrar por semelhança de pirâmides (sugestão: demonstre!) que: ܸ = ௛ଷ ൫
 
É importante notar que a superfície lateral é um segmento de coroa circularraios que definem a coroa é denominada geratriz do tronco. 
 
(ܴଶ + ܴݎ + ݎଶ)
= ߨ (ܴ + ݎ)   
importantes as áreas das bases, alturas e volumes: Sendo base menor de um tronco de pirâmide (ou de cone), e sendo H a altura da pirâmide (ou do cone) e h a altura do tronco, então: 
ܵଶܵଶ = ൬
ℎ
ܪ൰
ଶ e ௧ܸ௥௢௡௖௢௧ܸ௢௧௔௟ = ൬
ℎ
ܪ൰
ଷ 
Usando semelhança de triângulos é possível encontrar outras relações. 
h 
H 
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Uma seção paralela a base da pirâmide ou do cone divide o sólido em duas partes, sendo uma parte que sobra, a que não é semelhante ao sólido original, e tronco de cone vamos m bases não paralelas). 
 Tronco de Cone 
Você pode observar que as faces laterais do tronco de pirâmides são trapézios. a altura do tronco, é possível 
൫ܵଵ + ඥܵଵܵଶ + ܵଶ൯ 
É importante notar que a superfície lateral é um segmento de coroa circular e a diferença entre os 
: Sendo S1 a área da base de um tronco de pirâmide (ou de cone), e sendo H a altura da pirâmide (ou 
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Esfera 
Define-se como superfície esféricaponto fixo (denominado centro) é Rlimitados pela superfície esférica, bem como os que a compõem.
A esfera pode ser vista como o sólido obtido pela rotação de um círculo por qualquer reta que passa por seu diâmetro. Partes da esfera 
 Calota esférica Para visualizar melhor uma cunha e um fuso esférico, façamos dois cortes em uma laranja com uma faca passando pelo centro da fruta. O pedaesférica, e a casca contida nesse pedaço dá a ideia de fuso esférico.
 Fórmulas Sendo ݎ o raio de uma esfera, temos:
 Área da Superfície Esférica:  Volume da Esfera: ܸ =
 Área da Calota: ܣ = 2ߨݎ
 Volume da Calota: ܸ =
 Área do Fuso: regra de 3 Volume da Cunha: regra de 3
 
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superfície esférica o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a um ponto fixo (denominado centro) é R (denominado raio). Define-se como esferalimitados pela superfície esférica, bem como os que a compõem. 
 A esfera pode ser vista como o sólido obtido pela rotação de um círculo por qualquer reta que 
 érica Fuso esférico 
Para visualizar melhor uma cunha e um fuso esférico, façamos dois cortes em uma laranja com uma faca passando pelo centro da fruta. O pedaço limitado por esses cortes lembra uma cunhaesférica, e a casca contida nesse pedaço dá a ideia de fuso esférico. 
 Cunha Fuso 
o raio de uma esfera, temos: 
sférica: ܣ = 4ߨݎଶ 
= ସଷ ߨݎଷ ߨݎℎ 
= గ௛మ(ଷ௔ି௛)ଷ Área do Fuso: regra de 3 Volume da Cunha: regra de 3 
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o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a um esfera o conjunto de pontos 
A esfera pode ser vista como o sólido obtido pela rotação de um círculo por qualquer reta que 
 Cunha esférica 
Para visualizar melhor uma cunha e um fuso esférico, façamos dois cortes em uma laranja com ço limitado por esses cortes lembra uma cunha 
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Exercícios em aula 
1) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é
a) 2ߨ. b) 7. c) (7ߨ)/3. d) 8. e) 8/3.2) Um reservatório de água tem forma de um cone circular reto, de eixo Quando o nível de água atinge a metade da altura do tanque, o volume ocupado é igual a capacidade do tanque? 3) Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando12 cm. Qual o volume do copo?4) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6m de raio e 1,25m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60º cmaior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é deaproximadamente: a) 2,0 b) 2,8 c) 3,0 d) 3,8 5) Uma indústria de bolas de borracha quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 bolas com 3cm de raio cada, conforme a figura. total de material utilizado para o fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em cm2. 6) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo α de 72º, como mostra a figura. Calcule a) a área do fuso esférico determinado por b) O volume da cunha esférica determinada por 
7) Um recipiente na forma de um cone retocamadas que não se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de óleo e metade da altura da parte de água, como ilustrado a seguir.camada de óleo? 
a) 32cm3 b) 34cm3 c) 36cm8) Complete a tabela com as fórmulas de área e volume de sólidos no final deste material.
 
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tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de petróleo: 
 Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é 
)/3. d) 8. e) 8/3. Um reservatório de água tem forma de um cone circular reto, de eixo vertical e vértice para baixo. Quando o nível de água atinge a metade da altura do tanque, o volume ocupado é igual a 
Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um raio de volume do copo? A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6m de raio e 1,25m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60º com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de
a) 2,0 b) 2,8c) 3,0 d) 3,8 e) 4,0 indústria de bolas de borracha quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 bolas com 3cm de raio cada, conforme a figura. Calcule a quantidade total de material utilizado para o fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em 
Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob de 72º, como mostra a figura. Calcule a área do fuso esférico determinado por α. O volume da cunha esférica determinada por α. 
 Um recipiente na forma de um cone reto invertido esta preenchido com água e óleo, emcamadas que não se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de óleo e metade da altura da parte de água, como ilustrado a seguir. Se o volume do recipiente e 54
 c) 36cm3 d) 38cm3 e) 40cm3 Complete a tabela com as fórmulas de área e volume de sólidos no final deste material.
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tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está 
 
vertical e vértice para baixo. Quando o nível de água atinge a metade da altura do tanque, o volume ocupado é igual a π. Qual a 
se um semicírculo que tem um raio de 
A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6m de raio e 1,25m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz om a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de 
indústria de bolas de borracha quer produzir embalagens cilíndricas para quantidade total de material utilizado para o fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em 
Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob 
invertido esta preenchido com água e óleo, em duas camadas que não se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de óleo e metade da altura Se o volume do recipiente e 54 cm3, qual o volume da 
Complete a tabela com as fórmulas de área e volume de sólidos no final deste material. 
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Exercícios propostos 
1) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura. 
 Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4πR2 cm2, calcule, em função de π e de R: a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico); b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia. 2) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = √10. O volume desse sólido é: 
 
a) 52π b) 43π c) 4π d) 5π e) 3π 3) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho. 
 a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote π = 3. b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido? 4) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm, recortando-se um setor circular de ângulo θ = 2π/3 radianos e juntando os lados. A área da base do chapéu, em cm2, é: a) 140π b) 110π c) 130π d) 100π e) 120π 5) O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cada alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja, 
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aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos alvéolos de um adulto é igual a 1 618 cm3, o número aproximado de alvéolos dessa pessoa, considerando π = 3, é: a) 1 618 × 103. b) 1 618 × 104. c) 5 393 × 102. d) 4 045 × 104. e) 4 045 × 105. 6) Considere o triângulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém o lado AB gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é : a) 256π b) 298,6π c) 307,2π d) 316π e) 328,4π 7) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. 
 Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e usando a aproximação π = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente, a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360. 
8) Um reservatório de forma cônica para armazenamento de água tem capacidade para atender às necessidades de uma comunidade por 81 dias. Esse reservatório possui uma marca a uma altura h para indicar que a partir desse nível a quantidade de água é suficiente para abastecer a comunidade por mais 24 dias. O valor de h é 
 
a) ℎ = ଶଽ ܪ b) ℎ = ଶଷ ܪ c) ℎ = ଼ଶ଻ √ܪ d) ℎ = ቀ ଵଵ଴ቁଷ √ܪ e) ℎ = ଵଶ ܪ 9) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura a seguir. 
 A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura 
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do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é: a) 9π m3. b) 18π m3. c) 27π m10) Duas esferas de raios iguais a r são colocadas no interior de um tubo de ensaio sob a forma de um cilindro circular reto de raio da base r e altura 4r. No espaço vazio compreendido entre as esferas, a superfície lateral e as bases, superior e inferior, do tubo de ensaio, colocavolume desse líquido é: a) (2/3) πr3 b) (3/4) πr3 11) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal ma15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obterFigura 2. Se a área da base deste novo sólido é 
12) Dado um copo em forma de cilindro e outro de forma cônica, de mesma base e altura. Se eu encher completamente copo cônico com água e derramar toda essa água no copo cilíndrico, quantas vezes terei que fazê-lo para encher completamente esse copo? a) Apenas uma vez. b) Duas vezes. c) Três vezes. d) Uma vez e meia. e) É impossível saber, pois não se sabe o volume de cada sólido. 13) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h.Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comporde vinho, é correto afirmar que a razão x/h é igual a: 
a)  36 b)  33 c) 2 314) Um cilindro circular reto e um cone reto possuem a mesma altura h e o mesmo raio r da base. Uma semiesfera é retirada do interior do cilindro e é acrescentada no topo do cone, gerando os sólidos S1 e S2 , conforme mostra a figura.
Se os volumes desses sólidos são representados,respectivamente, por Vol(Safirmar que: a) Vol(S1) = Vo(S2) se e somente se h = 2r. b) Vol(S1) = Vo(S2) se e somente se r = 2h. 
 
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do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é: . c) 27π m3. d) 36π m3. e) 45π mDuas esferas de raios iguais a r são colocadas no interior de um tubo de ensaio sob a forma de um cilindro circular reto de raio da base r e altura 4r. No espaço vazio compreendido entre as esferas, a ateral e as bases, superior e inferior, do tubo de ensaio, coloca
 c) (4/3) πr3 d) 2 πr3 e) 4 πr3 Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça letamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obterFigura 2. Se a área da base deste novo sólido é ଶଷ da área de B, determine seu volume.
Dado um copo em forma de cilindro e outro de forma cônica, de mesma base e altura. Se eu encher completamente copo cônico com água e derramar toda essa água no copo cilíndrico, quantas vezes lo para encher completamente esse copo? uma vez. b) Duas vezes. c) Três vezes. d) Uma vez e meia. e) É impossível saber, pois não se sabe o volume de cada sólido. Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h.
se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comporde vinho, é correto afirmar que a razão x/h é igual a: 2 3
3 d) 3 e) 
 4 3
3 Um cilindro circular reto e um cone reto possuem a mesma altura h e o mesmo raio r da base. Uma semiesfera é retirada do interior do cilindro e é acrescentada no topo do cone, gerando os sólidos S1 e S2 , conforme mostra a figura. 
 sólidos são representados, respectivamente, por Vol(S
) se e somente se h = 2r. ) se e somente se r = 2h. 
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do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é: . e) 45π m3. Duas esferas de raios iguais a r são colocadas no interior de um tubo de ensaio sob a forma de um cilindro circular reto de raio da base r e altura 4r. No espaço vazio compreendido entre as esferas, a ateral e as bases, superior e inferior, do tubo de ensaio, coloca-se um líquido. Então, o 
ciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça letamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da da área de B, determine seu volume. 
 Dado um copo em forma de cilindro e outro de forma cônica, de mesma base e altura. Se eu encher completamente copo cônico com água e derramar toda essa água no copo cilíndrico, quantas vezes 
uma vez. b) Duas vezes. c) Três vezes. d) Uma vez e meia. 
Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. 
se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade 
Um cilindro circular reto e um cone reto possuem a mesma altura h e o mesmo raio r da base. Uma semiesfera é retirada do interior do cilindro e é acrescentada no topo do cone, gerando os sólidos 
sólidos são representados, respectivamente, por Vol(S1) e Vol(S2), é correto 
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c) Vol(S1) = Vo(S2) para quaisquer valores de r e h. d) Vol(S1) > Vo(S2) para quaisquer valores de r e h. e) Vol(S1) < Vo(S2) para quaisquer valores de r e h. 15) Uma chapa com forma de um setor de raio 20 cm e ângulo de x graus é manuseada para se transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm então o valor de x é:
a) 60° b) 75° c) 80° 16) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625na forma de um cone circularfigura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfícdo álcool até o fundo do vasilhame.
Volume do cone: Vcone = 2r h3 
Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H? a) 5 cm. b) 7 cm. c) 8 cm. 17) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera.Analisando as características das fassim construída é igual a 
a) 15 b) 12 c) 24 
18) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.
 
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) para quaisquer valores de r e h. quaisquer valores de r e h. ) para quaisquer valores de r e h. Uma chapa com forma de um setor de raio 20 cm e ângulo de x graus é manuseada para se transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm então o valor de x é:
 d) 85° e) 90° Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625  cm3 de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfícdo álcool até o fundo do vasilhame. 
2r h3 
 se essas informações, qual é o valor da distância H? 8 cm. d) 12 cm. e) 18 cm. construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. as características das figuras geométricas envolvidas, conclui
 d) 3 3 60 e) 36 30 
de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.
 Geometria plana e espacial 
Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 29 
Uma chapa com forma de um setor de raio 20 cm e ângulo de x graus é manuseada para se transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm então o valor de x é: 
 
Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície 
construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele 
iguras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera 
de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura. 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 30 
 a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada

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