Fisica Geral 3

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L. H. C. 1
Fisica Geral e Experimental III –Eletromagnetismo
REVISA˜O III
1 Corrente e Resisteˆncia
1.1 Corrente Ele´trica
Corrente ele´trica = movimento de cargas
Exemplos: relaˆmpagos, controle dos mu´sculos do corpo, armazenamento da informac¸a˜o,
corrente de part´ıculas solares, linhas de transmissa˜o, ....
Os ele´trons no interior de um fio meta´lico se movimentam em direc¸o˜es aleato´rias de forma
que para um plano imagina´rio o fluxo l´ıquido e´ zero (passara˜o nos dois sentidos) isto produz
corrente ele´trica zero. Quando ligamos as extremidas a uma bateria, os ele´trons que atra-
vessam o plano em um determinado sentido sera´ maior que no sentido oposto e isto produz
uma corrente ele´trica no fio.
Considerando que por uma determinada sec¸a˜o reta de um condutor passa uma quantidade
de cargas dq em um intervalo dt, a corrente i neste plano e´ definida por:
i =
dq
dt
.
A carga que passa por este plano em um intervalo de tempo entre 0 e t e´
q =
∫
dq =
∫ t
0
i dt
Em regime estciona´rio, qualquer que seja a localozac¸a˜o ou orientac¸a˜o do plano imagina´rio,
a corrente e´ a mesma.
A unidade de corrente no SI e´ o C/s que recebe o nome de ampe`re, representado pelo
s´ımbolo (A). Apesar da grandeza corrente ele´trica ser um escalar, usamos uma seta para
representarmos o sentido da corrente.
O sentido da corrente ele´trica e´ aquele em que as part´ıculas positivamente carregadas se
moveriam quando fossem forc¸adas por um campo ele´trico. Em uma bateria, estes portadores
de carga fossem positivos, sairiam do terminal positivo e entrariam no terminal negativo.
Isto e´ uma convenc¸a˜o pois na realidade sabem que os portadores de carga sa˜o os ele´trons e
possuem carga negativa.
A seta da corrente e´ desenhada no sentido em que portadores de carga positivos se moveriam,
mesmo que os portadores sejam negativos e se movam no sentido oposto.
1.2 Densidade de Corrente Ele´trica
Para estudar o fluxo de cargas em um ponto no interior do condutor devemos utilizar a
densidade de corrente ~J . Esta grandeza e´ um vetor e possui a mesma direc¸a˜o e o mesmo
sentido que a velocidade das cargas (se considerarmos positivas).
Densidade de corrente = (corrente ele´trica)/(unidade de a´rea)
2 FATESF
Assim a corrente total de atravessa uma superf´ıcie com vetor unidade de a´rea d ~A e´ i =
∫
~J ·d ~A
. Se a corrente e´ uniforme e perpendicular a` superf´ıcie,
i =
∫
JdA = J
∫
dA = J A ou J =
i
A
.
A unidade de densidade de corrente n o SI e´ o ampe`re por metro quadrado (A/m2).
1.3 Velocidade de Deriva
Como ja´ comentado, nos condutores os ele´trons se movem aleatoriamente sem uma direc¸a˜o
preferencial. Quando existe uma corrente, eles continuam a se mover aleatoriamente, mas
apresentam uma direc¸a˜o preferencial chamada de velocidade de deriva vd no sentido oposto
ao campo ele´trico que produziu a corrente. Isto ocorre pois o campo ele´trico (mo´dulo) e´
dado por E = F
q
e os ele´trons esta˜o sujeitos a uma forc¸a (mo´dulo) F = eE.A velocidade de
deriva e´ muito baixa pois ocorrem muitas coliso˜es com os a´tomos presos na rede.
Considerando n o nu´mero de portadores de carga no comprimento L de um fio com a´rea
A, enta˜o o nu´mero de portadores por unidade de volume sera´ (nAL) e a carga total sera´
q = (nAL) e. Se vd e´ a velocidade de deriva, o tempo t para que uma carga atravesse o
comprimento L sera´ dado por t = L/vd. Desta forma, a carga total que atravessa uma sec¸a˜o
reta do fio no untervalo t sera´ :
i =
q
t
=
(nAL) e
L/vd
= nAevd; ou vd =
i
nA e
=
J
n e
→ ~J = (n e) ~vd
Exemplo 1: Qual a velocidade de deriva de um ele´tron em um fio de cobre de raio 0, 815mm,
com uma corrente de 1A?
Considerando 1 ele´tron livre para cada a´tomo de cobre, a densidade de ele´trons e´ igual a`
densidade de a´tomos de cobre, na, (nu´mero de ele´trons por unidade de volume).
na =
ρNA
M
Um (1) mol de cobre pesa 63, 5g e possui NA ( nu´mero de Avogadro ) de a´tomos. A densidade
do cobre e´ ρ = 8, 93 g/cm3.
63, 5 g/mol −→ 6, 02× 1023 atomos/mol
8, 93 g/cm3 −→ na
na =
(8, 93 g/cm3) (6, 02× 1023 atomos/mol)
63, 5 g/mol
= 8, 47× 1022 a´tomos de cobre por cm3,
que e´ a igual (n) a densidade de ele´trons por cm3; ou ainda, n = 8, 47× 1028 ele´trons / m3
, assim,
vd =
(1C/s)
(8, 47× 1028 eletrons/m3)pi(0, 000815m)2 (1, 6× 10−19C
vd = 3, 54× 10−5m/s
Exemplo 2: Quanto tempo demora um destes ele´trons para deslocar 1 metro?
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Resposta:
3, 54× 10−5m −→ 1 (s)
1 m −→ x (s)
R: Demora x = 2, 82× 104s = 7 horas e 50 min. para deslocar 1 metro!
1.4 Resisteˆncia e Resistividade
Quando aplicamos a mesma difrenc¸a de potencial entre dois pontos, em diferentes materiais,
obtemos diferentes correntes ele´tricas. O responsa´vel por isto e´ a resisteˆncia ele´trica. Ela e´
definida por
R =
V
i
A unidade de resisteˆncia ele´trica e´ o ohm que teˆm como s´ımbolo Ω e e´ igual a 1 Volt / 1
Ampe`re. Quando utilizamos uma resisteˆncia ele´trica em um circuito, ela recebe o nome de
resistor e usamos o s´ımbolo ( −/\/\/\− ).
Em vez de falarmos da resisteˆncia R de um componente, podemos falar da resistividade ρ
de um material que e´ definida como ρ = E
J
. E´ uma propriedade do material e cada material
possui um determinado valor. A unidade de resistividade e´ o ohm-metro (Ω ·m).
O inverso da resistividade e´ a condutividade σ que representa uma medida da capacidade que
um material permita que portadores de carga fluam atrave´s dele. Assim, σ = 1
ρ
e ~J = σ ~E.
Os valores de resistividade ou condutividade sa˜o obtidos em tabelas.
1.5 Ca´lculo da Resisteˆncia a partir da Resistividade
Como ja´ visto anteriormente, para um fio de comprimento L e sec¸a˜o transversa de a´rea A,
no qual aplicamos uma diferenc¸a de potencial V , o campo ele´trico e´ calculado por E = V/L
e a densidade de corrente e´ dada por J = i/A. Da definic¸a˜o de resistivade, ρ = E
J
, podemos
escrever:
ρ =
E
J
=
V/L
i/A
Usando R = V
i
, a resisteˆncia de um material e´ diretamente proporcional ao seu comprimento
L e inversamente proporcional a` sua a´rea A. A dependeˆncia do tipo de material e´ dado pelo
valor da resistividade. Assim,
R = ρ
L
A
A resistividade de cada material possui variac¸a˜o quase linear com a temperatura e depende
de uma constante α chamada de coeficiente de temperatura da resistividade. Depende de
cada material e seus valores sa˜o tabelados. A fo´rmula emp´ırica para obter a variac¸a˜o de
resistividade quando ocorre uma variac¸a˜o de temperatura e´:
ρ− ρ0 = ρ0α (T − T0),
onde os valores ρ0 e T0 sa˜o valores de resistividade tomados como refereˆncia a` temperatura
de To = 293K
4 FATESF
1.6 Lei de Ohm
A lei de Ohm e´ a afirmac¸a˜o de que a corrente que atravessa um dispositivo e´ sempre direta-
mente proporcional a` diferenc¸a de potencial aplicado ao dispositivo.
Um dispositivo obedece a` lei de Ohm se a resisteˆncia do dispositivo na˜o depende do valor
absoluto nem da polaridade da diferenc¸a de potencial aplicada.
Um material obedece a` lei de Ohm se resistividade do material na˜o depende do mo´dulo nem
da direc¸a˜o do campo ele´trico aplicado.
E´ frequente ouvir-se a afirmac¸a˜o de que V = R i e´ uma expressa˜o matema´tica da lei de Ohm.
Isso na˜o e´ verdade! A equac¸a˜o e´ usada para definir o conceito de resisteˆncia e se aplica a
todos os dispositivos que conduzem corrente ele´trica, mesmo aos que na˜o obedecem a` lei de
Ohm.
1.7 Poteˆncia em Circuitos Ele´tricos
Quando ligamos uma bateria a um componente que pode ser um resistor, construimos um
um circuito ele´trico. A bateria mante´m uma diferenc¸a de potencial V entre os seus termi-
nais. Isto indica que no componente ligado a` bateria, tambe´m existe a mesma diferenc¸a de
potencial.
A quantidade de carga dq que atravessa o circuito em um intervalode tempo dt e´ igual a
i dt. Ao completar o circuito, a carga dq tem seu potencial reduzido de V e, portanto, sua
energia potencial e´ reduzida de um valor dado por:
dU = dq V = i dt V.
Pela lei de conservac¸a˜o de energia, a poteˆncia P e´ associada a taxa de transfereˆncia de
energia dU/dt , assim,
P =
dU
dt
= i V ; ou ainda;P = i2R ou ainda;P =
V 2
R
A unidade de poteˆncia e´ o volt-ampe`re tambe´m escrito com Watt (W ) ou Joule/segundo
(J
s
).
1.8 Exerc´ıcios
1) Um condutor tem uma corrente permanente de 2, 0A. (a) Qual a carga que flui atrave´s
da a´rea de sua sec¸a˜o reta, em 5, 0min? (b) Quantos ele´trons passam pela a´rea de sec¸a˜o reta
durante este intervalo de tempo? R: (a) 600C (b) 3, 75× 1021 ele´trons.
2) A quantidade de carga que passa pela sec¸a˜o transversa de um fio e´ dada por q(t) =
(6, 5 C
s2
) t2 + 3, 5C, para t variando de 0, 0 ate´ 8, 0 s. (a) Qual e´ a expressa˜o da corrente
ele´trica i(t) neste intervalo de tempo? (b) Qual o valor da corrente no instante t = 3, 4 s?
R: (a) i(t) = (6, 5 C
s2
) t; (b) i(3, 4 s) = 44 A.
3) Um fio condutor de 10, 0m e resisteˆncia de 0, 2 Ω e´ percorrido por uma corrente de 5 A
(a) Qual a diferenc¸a de potencial no fio ? (b) Qual o campo ele´trico no fio? (a) 1 V (b) 0,1
V/m
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4) O fus´ıvel de um circuito ele´trico e´ um fio projetado para fundir, abrindo o circuito, se
a corrente ultrapassar um certo valor. Suponha que o material a ser usado em um fus´ıvel
funda quando a densidade de corrente ultrapassa 440 A/cm2. Que diaˆmetro de fio cil´ındrico
deve ser usado para fazer um fus´ıvel que limite a corrente a 0, 50 A? R: Usando J = i / A
enta˜o r =
√
i
pi J
= 1, 9× 10−4m→ d = 0, 38 mm.
5) Qual a poteˆncia dissipada num resistor de 10, 0 Ω, se a queda de potencial no resistor for
de 50V ? R: 250 W
6) Um resistor de 10, 0 Ω esta´ projetado para dissipar 5, 0 W de poteˆncia. (a) Qual a
corrente ma´xima que o resistor pode tolerar? (b) Qual a voltagem que, aplicada a este
resistor, provocara´ esta corrente ma´xima?R; (a) 0, 707 A; (b) 7, 07 V
7) Um cubo de cobre tem 2, 0 cm de aresta. Se o cubo for estirado em um fio calibre 14
(d = 1, 628 mm), qual sera´ a sua resisteˆncia? R: 0, 0314 Ω.
8) Um fio de 4, 00 m de comprimento e 6, 00 mm de diaˆmetro tem uma resisteˆncia de
15, 0 mΩ. Uma diferenc¸a de potencial de 23, 0 V e´ aplicada a`s extremidades do fio. (a)
Qual e´ a corrente no fio? (b) Qual e´ o mo´dulo da densidade de corrente? (c) Calcule a
resistividade do material do fio. (d) Identifique o material com o aux´ılio de uma Tabela de
resistividade. R: (a) 1, 63 kA; (b) 54, 1 MA/m2; (c) 10, 6× 10−8 Ω.m; (d) platina.
9) Na figura abaixo, e´ mostrado o potencial ele´trico V (x) ao longo de um fio de cobre
percorrido por uma corrente uniforme. No ponto de potencial mais alto, Vs = 12, 0µV em
x = 0. O ponto de potencial nulo ocorre em xs = 3, 0m. O fio tem um raio de 2, 0mm.
Qual e´ a corrente no fio? R: Como V = i R = iρL/A; ρ (cobre) = 1, 69 × 10−8Ω.m; para
L = xs → V = Vs. Substituindo em i = AVsρ xs = pi r
2 Vs
ρ xs
= 3, 0mA.
10) Em uma laˆmpada comum pode-se ler as seguintes especificac¸o˜es de valor nominal: 120 V
e 60 W . Qual o valor de sua resisteˆncia? R: 240 Ω
11) Um fio de cobre de calibre 12 (raio = 1,03 mm) esta´ dentro de uma calha de modo que na˜o
e´ poss´ıvel medir o seu comprimento. Medindo sua resiteˆncia, encontrou-se o valor de 23, 0 mΩ
quando a temperatura era de 20o C. Qual e´ o comprimento do fio? R: l = ρL/A = 4, 5 m.
	Corrente e Resistência
	Corrente Elétrica
	Densidade de Corrente Elétrica
	Velocidade de Deriva
	Resistência e Resistividade
	Cálculo da Resistência a partir da Resistividade
	Lei de Ohm
	Potência em Circuitos Elétricos
	Exercícios