Notas de aula topografia - 02

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Curso de Edificações 
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IV - PLANIMETRIA 
1 - Estudo de Azimutes, Rumos, Deflexões e Ângulos Internos 
1.1 - Azimute (Az) 
 Chama-se de Azimute de um alinhamento ao 
ângulo que sua direção forma com a direção do Norte. Os 
azimutes variam de 0º a 360º, sendo medidos, no sentido 
horário, partindo-se da direção do Norte até a do 
alinhamento. 
Ex.: Az1 = 45º Az2 = 135º 
 Az3 = 225º Az4 = 315º 
 
 
1.2 - Rumo (R) 
 Chama-se de Rumo de um alinhamento ao ângulo 
que sua direção forma com a extremidade da linha 
meridiana (direção Norte-Sul) da qual esteja mais 
próximo, sendo medido para a direita ou para a esquerda, 
conforme se encontre mais próximo do Leste ou do 
Oeste, resultando em um valor entre 0º e 90º. 
Ex.: R1 = 45º NE R2 = 60º SE 
 R3 = 20º SW R4 = 50º NW 
 É imprescindível, ao expressar-se o rumo de um 
alinhamento, a identificação do quadrante no qual este 
esteja situado. 
 
1.3 - Relação entre Rumos e Azimutes 
 Tanto os Azimutes como os Rumos expressam a 
direção de um alinhamento com referência a uma mesma 
direção — direção da meridiana N-S. Deste modo, pode-
se correlacionar esses dois ângulos, a partir do ângulo 
formado pelas direções Norte e Sul na linha meridiana, 
que é de 180º. 
 
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1º Quadrante: os azimutes variam entre 0º e 90º. 
 R = Az 
Ex.: Az = 55º’ 
 R = 55º NE 
2º Quadrante: os azimutes variam entre 90º e 180º. 
 Az + R = 180º 
Ex.: Az = 130º 
 R = 180º – 130º 
 R = 50º SE 
 
3º Quadrante: os azimutes variam entre 180º e 270º. 
 Az – R = 180º 
Ex.: Az = 230º 
 R = 230º –180º 
 R = 50º SW 
4º Quadrante: os azimutes variam entre 270º e 360º. 
 R = 360º – Az 
Ex.: Az = 305º 
 R = 360º –305º 
 R = 55º NW 
 
Obs.: 
1 - O azimute e o rumo são 
tomados, isto é lidos, da origem 
visando-se o fim do alinhamento — 
são o azimute ou o rumo de vante; 
também podem ser lidos do fim 
para o início do alinhamento, 
obtendo--se o azimute ou rumo de 
ré, também chamados de 
recíprocos. 
2 - O azimute de um alinhamento e 
seu recíproco diferem entre si de 
180º. 
 
3 - O rumo de um alinhamento e seu recíproco, por sua vez, apresentam o mesmo valor angular, porém 
situando-se em quadrantes opostos diametralmente. 
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1.4 - Deflexões (D) 
 São ângulos originados pela 
mudança de direção de um 
alinhamento em relação ao anterior, 
em um determinado ponto. As 
deflexões podem ser: à esquerda 
(De) ou à direita (Dd), podendo variar 
de 0º a 180º, em ambos os sentidos. 
 
 
 D2 = 53º e D3 = 35º d D4 = 52º d 
1.5 - Relação entre Deflexões e Ângulos Internos 
 Um ângulo interno é definido pela direção formada por um alinhamento a partir do alinhamento 
anterior, estando, desta forma, matematicamente relacionado com a deflexão no mesmo vértice. 
 Para um caminhamento poligonal à esquerda, tem-se: 
Ai – De = 180º 
Ex.: D2 = 53º e 
 Ai2 = 180º + 53º = 233º 
Ai + Dd = 180º 
Ex.: D3 = 35º d 
 Ai3 = 180º - 35º = 145º 
 Ai4 = 128º 
 D4 = 180 –128 = 52º d 
 
 Quando o caminhamento poligonal for à direita: 
Ai – Dd = 180º 
Ex.: D7 = 53º d 
 Ai7 = 180º + 53º = 233º 
Ai + De = 180º 
Ex.: D6 = 35º e 
 Ai6 = 180º - 35º = 145º 
 Ai5 = 128º 
 D5 = 189º –128º = 52º 
 
1.6 - Relação entre Deflexões e Azimutes 
 Matematicamente, a diferença entre os azimutes de dois alinhamentos consecutivos é igual à 
deflexão formada entre eles. Daí, tem-se 
Azn = Azn–1 + Ddn ou Azn = Azn–1 – Den 
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onde Azn , azimute obtido no vértice ‘n’ da poligonal, 
 Azn–1 , azimute obtido no vértice ‘n–1’ da poligonal, 
 Den ou Ddn , deflexão no vértice ‘n’ da poligonal. 
Ex.: Az1 = 105º 
 D2 = 53º 
 Az2 = Az1 – D2 
 Az2 = 105º – 53º = 52º 
 D3 = 35º 
 Az3 = Az2 + D3 
 Az3 = 52º + 35º = 87º 
 
1.7 - Relação entre Azimutes e Ângulos Internos 
1.7.1 - Cálculo de Azimutes a partir de Ângulos Internos 
 O azimute de um alinhamento pode ser obtido a partir do azimute do alinhamento anterior e do 
ângulo interno formado pelos dois alinhamentos, através da seguinte expressão: 
 Azn = Azn–1 ±±±± Ain ±±±± 180º 
sendo: Azn , o azimute no vértice de ordem ‘n’, 
 Azn–1 , o azimute no vértice de ordem ‘n–1’, 
 Ain , o ângulo interno no vértice de ordem ‘n’. 
 Obs.: + Ai , quando o caminhamento perimétrico for a direita, 
 – Ai , quando o caminhamento perimétrico for a esquerda, 
 +180º , quando a soma ou a diferença dos dois primeiros termos for menor que 180º e 
 –180º , quando a soma ou a diferença dos dois primeiros termos for maior que 180º. 
1.7.2 - Cálculo de Ângulos Internos a partir de Azimutes 
 O ângulo interno em um vértice de uma poligonal pode ser calculado pelo azimutes obtidos neste 
vértice e no anterior, conforme as expressões abaixo: 
Para caminhamento perimétrico à direita: Ain = Azn – Azn–1 ±±±± 180º 
Para caminhamento perimétrico à esquerda: Ain = Azn–1 – Azn ±±±± 180º 
Onde os termos das expressões são definidos como no item anterior. 
 
 
Exemplo 
 Uma poligonal, levantada por caminhamento à esquerda, apresenta os dados abaixo: 
Az1 = 220º Ai2 = 45º Ai3 = 225º Az4 = 40º Ai5 = 95. 
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Calcule: Ai1 Az2 Az3 Ai4 Az5 
Cálculo de Az2 Cálculo de Az3 Cálculo de Az5 
Az2 = Az1 – A2 ± 180º Az3 = Az2 – A3 ± 180º Az5 = Az4 – A5 ± 180º 
Az2 = 220º– 45º + 180º Az3 = 355º– 225º + 180º Az5 = 40º– 95º + 180º 
Az2 = 355º Az3 = 310º Az5 = 125º 
Cálculo de Ai1 Cálculo de Ai4 
Ai1 = Az5 – Az1 ± 180º Ai4 = Az3 – Az4 ± 180º 
Ai1 = 125º – 220º + 180º Ai4 = 310º – 40º – 180º 
Ai1 = 85º Ai4 = 90º 
1.8 - Verificação e compensação de erro angular no levantamento de poligonais 
 No levantamento de poligonais através de ângulos internos ou deflexões, pode-se cometer um 
erro de forma que os ângulos lidos em campo não possibilitem seu fechamento geométrico, isto é, os 
valores obtidos não obedecem à geometria da figura levantada. Neste caso, deve-se compensar o erro 
cometido, sempre que este seja compatível com erro máximo admissível para o levantamento. 
 O erro total admissível é dado por E n= ε , 
sendo n, a quantidade de vértices (ou de ângulos medidos) do polígono, 
 ε, o erro admissível por ângulo. 
 O erro admissível por ângulo ε depende da precisão requerida para os trabalhos realizados. Para 
levantamentos regulares esta precisão varia de 10” a 1’; uma referência usual é tomar o valor de ε igual à 
precisão do teodolito empregado. 
 Caso o erro cometido seja menor que o erro admissível no levantamento, a compensação é feita 
distribuindo uma parte desse em cada um dos ângulos a ser compensado. O valor a ser compensado é 
dado pela expressão 
C E
 n
=
−
 
onde: C, é o valor a ser acrescido ou subtraído em cada ângulo 
 E, é o erro total cometido 
 n, é o número de vértices da poligonal. 
1.8.1 - Levantamentos por ângulos internos 
 A soma dos ângulos internos de um polígono regular deve satisfazer à expressão 
 ΣAi = 180º (n-2). 
 Assim, em poligonais fechadas, a soma dos ângulos internos deve obedecer à expressão acima. 
Algumadiferença entre o somatório dos ângulos obtidos em campo e o fornecido pela Geometria 
constitui o erro ocorrido no levantamento. Então, 
 E = ΣAiLIDOS – ΣAiGEOM. 
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 E = ΣΣΣΣAiLIDOS – 180º (n-2) 
onde: E, é o erro angular cometido no levantamento, 
 ΣAiLIDOS , soma dos ângulos internos do polígono levantado em campo, 
 n, número de vértices (ou de lados) do polígono. 
 
 
Exemplo 
No levantamento de uma poligonal, obtiveram-se os seguintes ângulos internos: 
Ai1 = 121 12’ 20” Ai2 = 82 55’ 15” Ai3 = 116 33’ 15” Ai4 = 134 24’ 55” Ai5 = 84 54’ 40” 
Verificar a existência de erro no levantamento e fazer sua compensação. 
Cálculo do erro cometido 
ΣAi = 540º 00’ 25” 
E = 540º 00’ 25” – 180º (5 – 2) 
E = 540º 00’ 25” – 540º = 25” 
Valor a ser compensado por ângulo 
C = − ′′ = − ′′25
5
5 (a compensação é feita retirando-se 5” de cada ângulo lido) 
Ângulos compensados 
Ai1 = 121 12’ 15” Ai2 = 82 55’ 10” Ai3 = 116 33’ 10” Ai4 = 134 24’ 50” Ai5 = 84 54’ 35” 
1.8.2 - Levantamentos por deflexões 
 Em poligonais fechadas, as deflexões totais à esquerda e à direita devem resultar em um giro no 
terreno de 360º. Então, tem-se 
se o caminhamento for à esquerda ΣDd − ΣDe = 360º, ou 
se o caminhamento for à direita ΣDe − ΣDd = 360º. 
 Caso o primeiro termo nas expressões acima difira de 360º, esta diferença será considerada 
como o erro a ser compensado em cada uma das deflexões, ou seja 
para o caminhamento à esquerda E = (ΣΣΣΣDd −−−− ΣΣΣΣDe) – 360º, ou 
para o caminhamento à direita E = (ΣΣΣΣDe −−−− ΣΣΣΣDd) – 360º. 
Exemplo 
No levantamento de uma poligonal fechada composta por 3 lados, foram lidas as seguintes deflexões: 
D1 = 92º 31’ D2 = 135º 43’ D3 = 131º 49’. 
Fazer a distribuição do erro angular do levantamento, considerando que as deflexões sejam à esquerda. 
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Cálculo do erro cometido 
O caminhamento perimétrico sendo à direita, tem-se 
E = (ΣDe − ΣDd) – 360º 
E = (360º 03’ − 0º 00’) – 360º = 360º 03’ – 360º = + 3’ 
C = − ′ = − ′3
3
1 (deve-se subtrair 1’ de cada deflexão) 
Deflexões compensadas 
D1 = 92º 30’ e D2 = 135º 42’ e D3 = 131º 48’ e 
Exemplo 
Em um levantamento poligonal, obtiveram-se as seguintes deflexões, com o caminhamento à esquerda: 
D1 = 90º d, D2 = 150º d, D3 = 30º e, D4 = 149º d. 
Compensar o erro cometido no levantamento. 
Cálculo do erro cometido 
E = (ΣDd − ΣDe) – 360º 
E = (389º − 30º) – 360º = 359º – 360º = –1º 
C = = = ′ 1
4
0 25 15
o
o
, (deve-se somar 15’ às deflexões à direita e subtrair 15’ das deflexões à esquerda) 
Deflexões compensadas 
D1 = 90º 15’ d D2 = 150º 15’ d D3 = 29º 45’ e D4 = 149º 15’ d 
 
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2 - Estudo da Declinação Magnética 
2.1 - Declinação magnética (δδδδ) 
 Denomina-se de meridiano ou de linha meridiana à linha que liga os pólos Norte e Sul da Terra. 
Quando se trata dos pólos geográficos, tem-se a meridiana geográfica; caso trate-se dos pólos 
magnéticos, tem-se a meridana magnética. 
 A direção da linha meridiana em um local é feita, no caso de determinação da meridiana 
geográfica, através de observações astronômicas ou, em se tratando da meridiana magnética, com o 
emprego de instrumentos dotados de uma agulha magnética (bússolas e declinatórias). 
 A meridiana geográfica tem sua direção constante, o mesmo não ocorrendo com a meridiana 
magnética, esta tendo direção variável de um ponto da superfície terrestre a outro. A Declinação 
Magnética é o ângulo formado entre o meridiano geográfico (também denominado de verdadeiro ou 
astronômico) e o meridiano magnético. 
 
 A declinação magnética pode ser Ocidental ou a Oeste, 
quando a extremidade Norte do meridiano magnético situar-se à 
esquerda, isto é, a oeste da extremidade Norte do meridiano 
verdadeiro. 
 
 A declinação magnética é denominada Oriental ou a 
Leste, quando a extremidade Norte do meridiano magnético 
situar-se à direita, ou seja, a leste da extremidade Norte do 
meridiano verdadeiro. 
 
Exemplo 
Efetuar os cálculos solicitados nos itens a e b, empregando as expressões dadas abaixo: 
 AzM = AzV + δδδδ (W) 
 
 AzM = AzV −−−− δδδδ (E) 
 
a) Determinado alinhamento apresenta um azimute magnético de 230° 20’. Qual é o azimute verdadeiro 
deste alinhamento, se a declinação magnética for de 1° 38’ E? 
 Como a declinação é a leste, tem-se: 
 AzM = AzV − δ ∴ 230° = AzV − 1° 38’ 
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 AzV = 230° + 1° 38’ ∴ AzV = 231° 38’ 
b) Qual é o azimute magnético do alinhamento cujo azimute verdadeiro é de 23° 20’, e tendo a declinação 
magnética local um valor de 1° 38’ W? 
 Como a declinação é a oeste, tem-se: 
 AzM = AzV + δ ∴ AzM = 23° 20’ + 1° 38’ 
 AzM = 24° 58’ 
2.2 - Variação magnética (v) 
 Com o decorrer do tempo, a declinação magnética pode sofrer uma variação no seu valor. A esta 
mudança no valor da declinação magnética em um determinado local, com o passar do tempo, 
denomina-se variação magnética. 
 A declinação magnética pode ser a Oeste ou a Leste. Quando os sentidos da declinação e da 
variação magnética forem iguais, isto é, ambos a oeste ou ambos a leste, a declinação magnética 
aumentará com a passagem do tempo. Sendo opostos os sentidos da declinação e da variação 
magnéticas, ocorre diminuição no valor da declinação. 
 Nos levantamentos topográficos geralmente é significatante a variação magnética ocorrida em 
períodos de anos, não se considerando as mudanças diárias que possam ocorrer no valor da declinação. 
Mudanças em períodos curtos não poderiam mesmo ser mensuradas com exatidão, dada a pouca 
precisão que as bússolas oferecem. 
 Para um determinado local, os valores tanto da declinação quanto da variação magnéticas 
podem ser encontrados em efemérides. Mapas apresentando estes valores trazem um conjunto de 
curvas (isogônicas e isopóricas) com a finalidade de fornecer tais dados. As curvas isogônicas 
representam o lugar geométrico de pontos que apresentam um mesmo valor para a declinação 
magnética, já as as curvas isopóricas são representativas do lugar geométrico dos pontos que têm igual 
valor de variação magnética. 
 A declinação magnética pode ser calculada 
pela expressão 
 δ2 = δ1 ± v (t2 – t1), 
onde δ1 e δ2 , são as declinações magnéticas em 
um local nas datas t1 e t2 respectivamente, 
 v, é a variação magnética no local. 
 
Exemplo 
Calcular o valor da declinação magnética conforme solicitado abaixo: 
a) δ1988 = 5° 23’ W e v = 3’ W/ano; δ1995 = ? 
Como δ1988 e v têm o mesmo sentido (a oeste), tem-se: 
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δ1995 = δ1988 + (1995 – 1988) v 
δ1995 = 5° 23’ + 7 x 3’ = 5° 23’ + 21’ 
δ1995 = 5° 44’ W 
b) δ1988 = 5° 23’ W e v = 3’ E/ano; δ1995 = ? 
Como δ1988 e v têm sentidos distintos, tem-se: 
δ1995 = δ1988 – (1995 – 1988) v 
δ1995 = 5° 23’ – 7 x 3’ = 5° 23’ – 21’ 
δ1995 = 5° 02’ W 
Obs.:O sentido da declinação permanece a oeste, visto que a variação total ocorrida no período, 
21’, é menor que o valor inicial da declinação. 
c) δ1978 = 2° 03’ W e v = 13’ E/ano; δ1995 = ? 
Comoδ1978 e v têm sentidos distintos, tem-se: 
δ1995 = δ1978 – (1995 – 1978) v 
δ1995 = 2° 03’ – 17 x 13’ = 2° 03’ – 221’ = 2° 03’ – 3° 41’ 
δ1995 = - 1° 38’ ∴ δ1995 = 1° 38’ E 
Obs.: A variação total ocorrida no período, 3° 41’, é maior que o valor inicial da declinação; como 
conseqüência o sentido da declinação passa a ser a leste.