Notas de aula topografia - 04

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VI - CÁLCULO DE ÁREAS E COORDENADAS DE VÉRTICES 
1 - Considerações iniciais 
 Os cálculos das áreas levantadas topograficamente podem ser realizados por métodos gráfico, 
analítico ou mecânico. A utilização de um ou outro método pode estar associada à figura levantada e aos 
dados disponíveis, além mesmo da precisão desejada. A área levantada compreende geralmente duas 
parcelas: a área da poligonal e a área extra-poligonal. 
2 - Métodos analíticos 
 Os métodos analíticos fornecem o valor da área através de cálculos apenas a partir dos dados de 
campo, o que leva a valores bem precisos. São utilizados métodos distintos para avaliação de áreas de 
poligonais e extra-poligonais. 
2.1 - Método de Gauss – áreas de poligonais 
 O método de Gauss possibilita a avaliação de áreas de poligonais empregando as coordenadas 
de seus vértices, calculadas a partir dos dados do levantamento. 
 As coordenadas de um vértice definem sua posição em relação a um sistema de eixos 
coordenados. Podem ser referenciadas em relação a um sistema local ou global. neste contexto 
trataremos de coordenadas locais, mas a metodologia empregada é aplicável a ambas as situações. 
a) Cálculos das projeções dos alinhamentos 
 Sejam 1 e 2 dois alinhamentos definidos pelos vértices 1, 2 e 3 na figura abaixo. As projeções de 
cada alinhamento segundo os eixos coordenados x (abscissas) e y (ordenadas) são obtidas pelas 
projeções ortogonais, sobre o sistema de eixos, de seus vértices inicial e final. Assim, a projeção de 1 
sobre o eixo x é 1x e sobre o eixo y, 1y. Analogamente, a projeção de 2 sobre o eixo x é 2x e sobre o eixo 
y é 2y . Desta maneira, 
1x = 1 sen α = 1 cos β 
1y = 1 cos α = 1 sen β 
2x = 2 sen δ = 2 cos γ = 2 sen ϕ 
2y = 2 cos δ = – 2 sen γ = – 2 cos ϕ 
 
 Somando-se todas as projeções dos alinhamentos de uma poligonal segundo as direções 
definidas pelos eixos coordenados tem-se seu desenvolvimento nas direções x e y. No caso da poligonal 
ser fechada, a soma das projeções em uma mesma direção é evidentemente nula, visto que os vértices 
inicial e final são coincidentes. Se o somatório das projeções em uma mesma direção não resultar em 
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zero, a diferença encontrada pode ser distribuída por cada alinhamento, a fim de eliminar o erro cometido 
nas medições efetuadas no levantamento. A verificação do erro e sua compensação é feita como 
mostrada abaixo: 
Ex = Σx’n Ey = Σy’n ET = E x yE2 2+ 
Cx = 
− E
 
x 
Σllll
 Cy = 
− E 
 
y
Σllll
 EADM = ± 0,001 ET 
xn = x’n + Cx n yn = y’n + Cy n 
em que: x’n e y’n , projeções diretas do n-ésimo alinhamento da poligonal sobre os eixos x e y, 
x’n e y’n , projeções corrigidas do n-ésimo alinhamento da poligonal sobre os eixos x e y, 
Ex e Ey , erro do levantamento nas direções x e y, 
n , extensão do n-ésimo alinhamento da poligonal, 
Cx e Cy , correção por unidade de comprimento da poligonal em cada direção, 
ET e EADM , erro total cometido e erro máximo admissível no levantamento. 
b) Cálculo das coordenadas dos vértices do polígono 
 As coordenadas de um ponto estabelecem sua posição em relação à origem do sistema de eixos 
coordenados. A coordenada x, ou coordenada na direção do eixo x, define a distância do ponto ao eixo y, 
enquanto que a coordenada y expressa a distância do ponto ao eixo x. 
 Um alinhamento pode ser definido a partir das coordenadas de seus vértices. Conhecidas as 
coordenadas iniciais, podem-se calcular as coordenadas finais acrescentando ou diminuindo o valor das 
projeções do alinhamento. Desta forma, 
conhecendo-se X1 e Y1 , coordenadas iniciais do alinhamento 12 (coordenadas do vértice 1), 
Az1 e Az2 ,os azimutes dos alinhamentos 12 e 23 , 
R1 e R2 ,os rumos dos alinhamentos 12 e 23 , 
1 e 2 , as extensões dos 2 alinhamentos, 
as coordenadas dos demais 
vértices são dadas por 
X2 = X1 + 1x X3 = X2 + 2x 
Y2 = Y1 + 1y Y3 = Y2 + 2y 
Generalizando, as coordenadas de 
qualquer vértice são 
Xn = X(n−1) + (n−1)x 
Yn = Y(n−1) + (n−1)y 
 
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c) Cálculo da área poligonal: no método de Gauss, calcula-se a área da poligonal a partir das áreas 
compreendidas entre cada alinhamento e um dos eixos coordenados (na demonstração seguinte, eixo y), 
obtendo-se, deste modo, a partir de trapézios, retângulos ou triângulos, a área procurada. 
 Na figura abaixo, a área do polígono 1234, pode ser calculada como 
S1234 = (SY3Y223 + SY4Y334) − (SY4Y114 + SY1Y221) 
S1234 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y2 3 2 3 3 4 3 4 4 1 1 4 1 2 2 12 2 2 2
+
− +
+
−








−
+
− +
+
−








 
S1234 =
 
[ ]{
[ ]}
 
 
 
1
2 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 4 4 3 4 4
4 1 4 4 1 1 1 4 1 2 1 1 2 2 2 1
X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y
X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y
− + − + − + − −
− − + − + − + −
 
S1234 = { } 
 
1
2 2 3 3 2 3 4 4 3 4 1 1 4 1 2 2 1
− + − + − + − +X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 
S1234 = )( ( ){ } 
 
1
2 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
Y X Y X Y X Y X X Y X Y X Y X Y+ + + − + + + 
Por fim, generalizando a expressão, 
tem-se 
S1234 = )( ( ){ } 
 
1
2 1 1
Σ ΣY X X Yn n n n+ +− 
 
 
2.2 - Método dos trapézios −−−− áreas extra-poligonais 
 O cálculo de áreas compreendidas entre os lados de uma poligonal e um contorno irregular, i. e., 
não linear, como a margem de um curso d’água ou lago, uma estrada etc., pode ser feito analiticamente 
a partir da decomposição da área integral em outras menores, aproximadamente trapezoidais, sem que 
se cometa em erro considerável na apreciação do valor real. 
 Na figura a seguir vê-se uma exemplificação desta situação. A área delimitada pela lado 12 da 
poligonal e pela linha curva (levantada por coordenadas), foi dividida em trapézios, cujas áreas somadas 
integralizam a área extra-poligonal levantada. 
 
S = Σ(ÁREAS DOS TRAPÉZIOS) 
S = S1 + S2 +… + S9 + S10 
 
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S = 
y y y y y y y y0 1
1
1 2
2
8 9
9
9 10
102 2 2 2
+
+
+
+
+
+
+
 x x + x xL 
S = ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 
 
 x + x + + x + x 2 9 10
1
2 1 0 1 1 2 8 9 9 10
y y y y y y y y+ + + +L 
Se x1 = x2 = … = x10 , 
S = ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 
 
 x + + + + 
1
2 0 1 1 2 8 9 9 10
y y y y y y y y+ + + +L 
S = ( ) ( )[ ] 
 
 x + 2 + + 1
2 0 10 1 2 8 9
y y y y y y+ + +L 
Generalizando a expressão acima para um número n de trechos, tem-se 
S = ( ) ( )[ ] 
 
 x + 2 + + 1
2 0 1 2 2 1
y y y y y yn n n+ + +− −L FÓRMULA DE BEZOUT 
3 - Métodos gráficos 
 O emprego dos métodos gráficos consiste em calcular a área a partir do desenho da figura 
levantada em campo. Dividiremos os métodos gráficos aqui apresentados em: geométrico, de 
equivalência gráfica e divisão da área em quadrículos. 
3.1 - Método Geométrico 
 O polígono é dividido em figuras geométricas regulares (geralmente triângulos, retângulos, 
trapézios etc.), cujas áreas são calculadas pelas expressões usuais da Geometria Plana. As medidas 
podem ser obtidas em campo, durante o levantamento,ou no desenho. 
 No exemplo ao lado, o polígono 
ABCDE é dividido nos triângulos ABE, 
BCE e CDE. Daí 
SABCDE = SABE + SBCE + SCDE 
SABCDE = ½ L5h1 + ½ L2h2 + ½ d2h3 
 Os lados da poligonal foram 
obtidos no levantamento, enquanto que 
as demais medidas foram obtidas no 
desenho. 
3.2 - Equivalência gráfica 
 Este método consiste em reduzir o polígono original, sucessivamente, até que se obtenha uma 
figura mais simples, cuja área seja a mesma que a da figura inicial. 
 No exemplo abaixo tem-se a redução de um pentágono a um triângulo (redução de Garceau). A 
Fig. 1 mostra o polígono original, do qual deseja-se calcular a área. 
PROCEDIMENTO EMPREGADO: 
PASSO 1: Pelo vértice A leva-se uma linha auxiliar paralela à diagonal BE , até encontrar o lado BC (ou 
seu prolongamento); nesta intersecção tem-se o ponto A’, vértice do polígono A’CDE, cuja área 
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é equivalente à de ABCDE. As áreas S1 e S2 são iguais: a área S1 foi acrescida ao polígono 
original e S2 foi excluída, assim SABCDE = SA’CDE — Fig. 2. 
PASSO 2: No polígono A’CDE, traça-se por C uma auxiliar paralela a CE , até encontrar D’ sobre o lado 
′A C ou em seu prolongamento. O polígono resultante A’D’E é um triângulo cuja área é 
equivalente ao pentágono ABCDE inicial. As áreas S3 (acrescida na ao polígono A’CDE) e S4 
(subtraída) evidentemente são iguais — Fig. 3. 
PASSO 3: Calcula-se a área do triângulo A’D’E equivalente à do pentágono ABCDE — Fig. 4. 
Assim , SABCDE = SA’D’E = ½ L h 
 
3.3 - Divisão da área em quadrículos 
 Desenha-se a figura da qual se deseja conhecer a área em um papel quadriculado (usualmente 
milimetrado). O número total de quadrículos do papel abrangidos pela poligonal desenhada, multiplicado 
pela área de cada um equivale à área total. Para facilitar a contagem, apenas quadrículos inteiros são 
considerados; aqueles que estiverem mais da metade dentro da figura são tomadas por inteiro, os que 
estiverem menos que a metade, são desprezados, havendo uma compensação entre as áreas que se 
tomam a mais e a menos. 
 No exemplo abaixo, tem-se: 
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ESCALA: E = 1/200 
DIMENSÃO DO QUADRÍCULO: 
• no desenho: 
 = 2,5 mm 
• em campo: 
L = 2,5 mm x 200 
L = 500 mm = 0,5 m 
ÁREA DE UM QUADRÍCULO: 
a = L2 
a = (0,5 m)2 = 0,25 m2 
NÚMERO DE QUADRÍCULOS: 
n = 662 
ÁREA DA FIGURA: 
A = n a = 662 x 0,25 m2 = 
 
 
165,50 m2 
4 - Método mecânico - planimetragem 
 O planímetro é um ‘integrador’ mecânico que fornece automaticamente a área de uma superfície 
qualquer. O planímetro polar de Amsler é constituído basicamente por 3 (três) partes: 2 hastes, uma fixa 
e outra móvel, e de um tambor integrante, de onde partem as duas hastes. 
 
 A haste móvel possui em sua extremidade livre um traçador com o qual se percorre o contorno 
do desenho e o valor total do percurso é acumulado no integrante. Este valor fornece a área em termos 
de unidades de área de desenho, que relacionada com a escala adotada permite o cálculo da área real 
da superfície planimetrada. 
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VII - TAQUEOMETRIA 
1 - Considerações iniciais 
 A Taqueometria é a parte da Topografia que se ocupa das medidas indiretas de distâncias e 
diferenças de nível entre os diversos pontos topográficos no terreno. 
 Os levantamentos taqueométricos apresentam-se vantajosos em relação aos topométricos por 
serem de realização mais rápida, principalmente em terrenos acidentados, em vista de dispensar a 
realização de medidas de distâncias a trena e por propiciar maior independência na escolha dos pontos 
topográficos. Como desvantagem, a Taqueometria apresenta menor precisão na obtenção de cotas do 
que o método de Nivelamento Geométrico. 
2 - Cálculo de distâncias horizontais e diferenças de nível 
 
‘a-a’ fio (retículo) superior 
‘b-b’ fio (retículo) inferior 
‘h-h’ fio (retículo) médio 
‘h-h’ e ‘v-v’ fios axiais 
retículos estadimétricos na ocular da luneta do teodolito 
 
 
 
G = fs - fi 
fm = fs fi+
2
 
2.1 - Distância horizontal 
 A distância horizontal entre a estação do instrumento e o ponto visado é dada por: 
 D = C G cos2 αααα ∴ D = 100 (fs −−−−fi) cos2 αααα, 
em que: C, constante estadimétrica do teodolito (geralmente C = 100), 
 G, número gerador (G = fs - fi), 
 D, distância reduzida ao horizonte entre a estação e o ponto visado, 
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 fs, leitura da mira no fio estadimétrico superior da luneta, 
 fm, leitura da mira no fio estadimétrico médio da luneta, 
 fi, leitura da mira no fio estadimétrico inferior da luneta, 
 α, ângulo de inclinação da luneta do teodolito em relação ao plano horizontal. 
2.2 - Diferença de nível 
 Para o cálculo da diferença de nível entre a estação do instrumento e o ponto visado, ou cálculo 
da cota do ponto visado, tem-se, 
 N = C 
2
G sen 2αααα ∴ N = 50 (fs −−−− fi) sen 2αααα 
 
Para z < 90° 
α = 90° − z 
CP − CE = hi + N − fm 
 ou 
CP = CE + hi + N − fm 
 
 
Para z > 90° 
α = 90° − z 
CP − CE = hi − N − fm 
 ou 
CP = CE + hi − N − fm 
 
onde: CE , cota da estação do instrumento, 
CP , cota do ponto visado, 
hi, altura do instrumento (distância vertical do eixo óptico do teodolito ao solo). 
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Exercício 
 Calcular a distância reduzida e a diferença de nível entre os pontos A e B, com os dados 
fornecidos abaixo: 
 hi = 1,47 m A �- - - - - - - - - - - - - - - - - - -� B 
a) z = 93° 12’ Solução: α = 90° − 93° 12’ 
fs = 1.060 mm α = − 3° 12’ (inclinação da luneta p/ baixo) 
fm = 910 mm G = fs − fi = 1.060 − 760 = 300 mm 
fi = 760 mm D = 100 G cos2 α = 100 x 300 cos2 (3° 12’) 
 = 30.000 x (0,9984)2 = 29.904 mm 
 D = 29,90 m 
N = 50 G sen 2α = 50 x 300 sen (6° 24’) 
 = 15.000 x 0,1115 = 1672,5 mm 
N = 1.673 mm 
CB − CA = hi − N - fm = 1.470 − 1.673 − 910 
CB − CA = − 1.113 mm 
b) z = 86° 48’ Solução: α = 90° − 86° 48’ 
fs = 2.657 mm α = 3° 12’ (inclinação da luneta p/ cima) 
fm = ? G = fs − fi = 2.657 − 2.507 = 150 mm 
fi = 2.507 mm D = 100 G cos2 α = 100 x 150 cos2 (3° 12’) 
 = 15.000 x (0,9984)2 = 14.952 mm 
D = 14,95 m 
fm = 0,5 (fs + fi) N = 50 G sen 2α = 50 x 150 sen (6° 24’) 
= 0,5 (2.657 + 2.507) = 7.500 x 0,1115 
fm = 2.582 mm N = 836 mm 
CB − CA = hi + N - fm = 1.470 + 836 − 2.582 
CB − CA = − 276 mm