Tudo sobre Funções (nível superior)

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Sumário
I Funções 3
1 Conceito 3
2 Lei de formação de uma função 3
2.1 Observações: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Maneiras de representar uma função 4
3.1 Verbalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Numericamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Visualmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 Algebricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Crescimento de uma função 5
4.1 Função Crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Função Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3 Função Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Modelo Linear 6
6 Funções definidas por partes 7
7 Simetria 7
7.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8 Tipos de Funções 8
8.1 Funções Potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8.1.1 Relembrando operações com potência . . . . . . . . . . . 9
8.2 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8.3 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8.4 Funções Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8.5 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8.6 Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.7 Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.7.1 Propriedades: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.8 Funções Transcendentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8.9 Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8.9.1 Tipologia de Função: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8.10 Funções Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9 Transformação de funções 14
9.1 Deslocamento vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.2 Deslocamento Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.3 Expansão/Compressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
9.4 Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 Combinação de função 16
II Exercícios 18
11 Respostas 19
III Exercícios Aplicados no Software Geogebra 20
12 Respostas 20
IV Referências 23
2
Parte I
Funções
1 Conceito
Toda característica que pode ser expressa por meio de uma medida é chamada
de grandeza. São exemplos de grandeza: massa, comprimento, volume, área,
etc. A variação da medida de uma grandeza associada a um objeto depende
da variação das medidas de outras grandezas. Como exemplo, dizemos que a
pressão do mar depende da profundidade. Portanto dizemos que a pressão é
uma função da profundidade.
O conceito de função esta ligado à ideia de relação de dependência entre
duas grandezas. Com isso dizemos que uma função é uma forma especial de
relacionar grandezas.
Dizemos que uma variável y é dada em função de uma variável x se, e somente
se, a cada valor de x corresponde a um único valor de y.
2 Lei de formação de uma função
A condição que estabelece a relação entre os valores de x e y, quando y é função
de x, é chamada lei de formação de função. Essa relação de dependência é
representada por:
y = f (x)
A seguir na figura 1, é representado um quadrado com suas devidas diago-
nais(na cor verde). Para obter a quantidade de diagonais através de cálculos
matemáticos, é necessário utilizar a fórmula d = n(n−3)2 na qual d é a quantidade
de diagonais na figura e n o número de lados da figura.
Com isso estabelecemos a relação entre o número de diagonais d e o número
de lados n do polígono. Dizemos assim que essa fórmula é a lei de formação da
função que relaciona d com n.
Figura 1: Diagonais do quadrado
2.1 Observações:
1. Na função y = f (x)estão relacionadas duas variáveis: y é a variável de-
pendente e x é a variável independente.
3
2. A relação y = f (x) pode ser lida como: �y é função de x�.
3. O domínio da função é dado por y, a imagem de f é o conjunto de todos
os valores possíveis de f(x).
Quando conhecemos a lei de formação da função e queremos obter o valor que
a variável dependente assume para determinado valor da variável independente,
basta efetuar uma substituição na fórmula correspondente. Assim, voltando ao
exemplo do número de diagonais do polígono, obtemos:
d = f (n) =
n (n− 3)
2
Aplicando a fórmula para o caso do quadrado, ou seja, substituindo n por 4,
temos:
d = f (4) =
4(4− 3)
2
⇔ d = 2
Portanto o quadrado possui duas diagonais.
3 Maneiras de representar uma função
Existem quatro maneiras de se representar uma função:
1. Verbalmente
2. Numericamente
3. Visualmente
4. Algebricamente
3.1 Verbalmente
Nada mais é que descrever a função por meio de palavras.
Usando o exemplo anterior, o das diagonais, temos o seguinte:
Para se obter o número de diagonais de um determinado polígono, usa-se
a fórmula, na qual o número de diagonais do polígono é obtido pela subtração
da quantidade de lados do mesmo por 3, seguindo por uma multiplicação pelo
número de vértices e finalizando com uma divisão por 2, assim obtemos o número
de diagonais do polígono.
3.2 Numericamente
Este meio de representação faz uso de uma tabela que relaciona a variável inde-
pendente com a dependente.
Também usando o exemplo das diagonais, obtemos:
4
n d = f(n)
4 d = 4(4−3)2 ⇔ 2
5 d = 5(5−3)2 ⇔ 5
6 d = 6(6−3)2 ⇔ 9
7 d = 7(7−3)2 ⇔ 14
8 d = 8(8−3)2 ⇔ 20
3.3 Visualmente
Amelhor forma de se representar visualmente uma função é por meio de gráficos.
Da mesma forma das anteriores, faço uso do exemplo das diagonais.
No eixo x, está representado o número de lados, e no y o de diagonais.
3.4 Algebricamente
A representação algébrica é aquela que mais estamos acostumados a trabalhar,
a de fórmula explícita (com letras e números).
Como nos demais usaremos o exemplo da diagonal.
d = f (n) =
n (n− 3)
2
4 Crescimento de uma função
O crescimento de uma função é de extrema importância ao analisarmos o gráfico
da mesma. Pois, desta maneira podemos observar as variações existentes entre
as variáveis correspondentes, logo a relação de dependência entre essas.
O crescimento pode ser de três tipos:
5
4.1 Função Crescente
Se, aumentarmos os valores da variável independente, os valores da imagem
também aumentarão. Isso pode ser visualizado na cor azul do gráfico desta
seção.
4.2 Função Constante
Se, aumentarmos os valores da variável independente, os valores da imagem não
se alteram. No gráfico esta representado pela cor verde, cuja função é dada por
y = 2.
4.3 Função Decrescente
Se, aumentarmos os valores da variável independente, os valores da imagem
diminuirão. No gráfico a função que esta decrescendo é a f(x) = −0.5x, de cor
vermelha.
5 Modelo Linear
Funções que no plano cartesiano são representadas por retas, são ditas funções
afins ou linear. Toda função afim tem uma lei de formação dada por: y =
f (x) = ax+ b, onde a é o coeficiente angular da reta e b é a intercessão com o
eixo y, e sendo a,b∈ IR .
No gráfico anterior todas as funções são ditas lineares, e em todas as suas
formas(crescente, decrescente, constante).
6
6 Funções definidas por partes
Nada mais são que funções definidas por fórmulas diferentes em distintas partes
de seu domínio.
No exemplo a seguir é representada um função definida por partes.
f (x) = y =
{
x+ 1
x+ 2
se x < 3
se x ≥ 3
A linha de cor azul, representa a primeira parte da função que vale para
qualquer valor de x inferior a 3, e a linha de cor vermelha, representa a segunda
parte da função, que vai de 3 fechado à infinitopositivo.
7 Simetria
Há dois tipos de simetria:
Par se f (−x) = f (x) ou ímpar se f (−x) = −f (x) .
7.1 Observações
1. Toda função que x for elevado a um expoente par, será uma função par.
2. Toda função que x for elevado a um expoente ímpar, será uma função
ímpar.
3. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.
4. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
Abaixo estão representados os gráficos de uma função pary = x2+2(em verme-
lho) e de uma função ímpary = x
1
5
(em azul).
7
8 Tipos de Funções
Há 10 tipos de funções:
1. Potência
2. Polinomiais
3. Racionais
4. Algébricas
5. Trigonométricas
6. Exponenciais
7. Logarítmicas
8. Transcedentais
9. Inversas
10. Modulares
8.1 Funções Potenciais
É toda função que tem como base a fórmula f (x) = xn, para todo n constante.
A seguir, são representados gráficos de funções com o n par e ímpar.
8
8.1.1 Relembrando operações com potência
• xaxb = xa+b
• (xa)b = xab
• xa
xb
= xa−b
• x−a= 1xa
• x1/a= a√x
O primeiro gráfico é de funções pares, e perceba, que quanto maior o n, mais y se
aproxima dos valor de −1 ou 1 para x, formando assim assíntotas verticais. Já o
segundo gráfico é de funções impares, e perceba que quando n vai aumentando,
criando assíntotas horizontais para os valores de x, portanto se aproximando de
−1 e 1 para y.
8.2 Funções Polinomiais
É dada pela função f (x) = anx
n+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0, no qual n não
é negativo e a0, a1,..., an, são os coeficientes. Um exemplo de função polinomial,
é a: f(x) =x4 + 3x3 + x− 2, que esta representada graficamente a seguir.
9
8.3 Funções Racionais
Nada mais são que a divisão de dois polinômios.
A seguir esta plotado o gráfico da função f(x) = 2x
3−3
x4+x2−0.5 .
8.4 Funções Algébricas
São funções formadas a partir de operadores algébricos. Tem-se como exemplo
a função: f (x) = 2
(
x+
√
x5 + 7
)
, que esta apresentada a seguir.
10
8.5 Funções Trigonométricas
Para falarmos de funções trigonométricas, primeiro temos que fazer uma revisão
das principais identidades trigonométricas.
• sen = cohip
• cos = cahip
• tg = sencos
• cossec = 1sen
• sec = 1cos
• cotg = cossen= 1tg
Agora, é só analisarmos os seus respectivos gráficos. O primeiro é de seno,
cosseno e tangente; o segundo cossecante, cotangente e secante.
11
8.6 Funções Exponenciais
São aquelas formadas pela expressão f (x) = nx, para todo n positivo. Para
melhor compreensão da matéria, vamos expor algumas propriedades básicas de
expoentes:
• nx+y = nxny
• nx−y= nxny
• (nx)y = nxy
• (nm)x = nxmx
Abaixo estão representadas graficamente algumas funções exponenciais.
8.7 Funções Logarítmicas
Tem como base a função f(x) = loga x, este tipo de função é inversa da expo-
nencial mas, isso estudaremos logo mais. Antes de nos aprofundarmos vamos
relembrar algumas regras de logaritmo.
8.7.1 Propriedades:
• loga(xy)= loga x+ loga y
• loga(xy ) = loga x− loga y
• loga (xn) = n loga x
Agora, vamos plotar algumas funções no gráfico.
12
8.8 Funções Transcendentais
Segundo James Stewart(2012), funções transcendentais: �São as funções não
algébricas. O conjunto das funções transcendentais inclui as funções trigonomé-
tricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas, mas também inclui
um vasto número de funções que não se tem nome.�.
8.9 Funções Inversas
Podemos dizer que uma função f(x) = y :A → B relaciona elementos do con-
junto Acom elementos do conjunto B. Dependendo da função, ela admitirá a
chamada função inversa, que é representada por y−1 : B → A. Para que a fun-
ção admita inversa, ela tem que ser injetora, sobrejetora e bijetora, estas três
categorias, são chamadas de tipologia de função.
8.9.1 Tipologia de Função:
• Função injetora
Uma função f(x) : A → B é injetora se dois elementos distintos quaisquer de
A correspondem a duas imagens distintas em B. Resumidamente temos:x1 6=
x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2).
Observação:
1. Graficamente, temos que numa função injetora cada y do conjunto imagem
é imagem de um único x do domínio da função.
• Função sobrejetora
Uma função f(x) = y : A→ B é sobrejetrora quando todo elemento do contra-
domínio B é imagem de pelo menos um elemento do domínio A. Em símbolos:
Im(y) = CD(y).
Observação:
13
1. Graficamente, temos uma função sobrejetora quando percebemos que o
conjunto imagem da função coincide com o contradomínio dado da função.
• Função Bijetora.
Uma função é bijetora quando é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Toda função que é bijetora admite inversa. Assim dada uma função f(x) =
y : A→ B existe uma função y−1(x) : B → A denominada inversa da função y.
Como o próprio nome diz, na função inversa, os papéis das variáveis se
invertem. Assim, para obtermos a lei de formação da inversa de uma função
dada, o procedimento é o seguinte: trocamos as variáveis(x por y e y por x), e
isolamos y.
Observação:
1. Os gráficos de duas funções inversas f e f−1 são simétricos em relação ao
eixo y.
8.10 Funções Modulares
Todas as funções modulares tem como base a função: f(x) = |x| .E para sua
resolução é necessário �abri-lo�. Com isso |x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0 , ou também
pode ser definido por |x| =
√
x2.
O módulo aplicado a uma função, muda apenas a parte do gráfico que tem
imagem negativa. Observe no gráfico a seguir:
9 Transformação de funções
Para transformar uma função antiga em uma nova, faz-se o uso de operações
matemáticas, muitas vezes as mais básicas(soma, subtração, multiplicação e
divisão), com isso a antiga mais a(s) operação(ões) matemática(s), resultam em
uma nova função. Esta nova, poderá movimentar-se (deslocamentos) nos eixos
e/ou sofrer reflexão ou expansão.
14
9.1 Deslocamento vertical
• y = f(x) + n, desloca o gráfico em n unidades para cima.
• y = f(x)− n, desloca o gráfico em n unidades para baixo.
No exemplo a seguir, y = f(x) = x2, representado em preto. Perceba que
quando somamos n à f(x), aquele que no caso será igual a 2(n = 2), a função
representada em vermelho �andara� duas unidades para cima no eixo y. Já
quando subtraímos duas unidades (n = −2), o gráfico agora em azul desloca-se
para baixo em duas unidades.
9.2 Deslocamento Horizontal
• y = f(x+ n), desloca o gráfico em n unidades para a esquerda.
• y = f(x− n), desloca o gráfico em n unidades para a direita.
No exemplo a seguir, a função em preto é dada por, y = f(x) = x, perceba
que quando adicionamos n a y, o gráfico (em vermelho) move-se para a es-
querda(no caso duas unidade). Já quando subtraímos ele vai para a direita em
duas unidades (função em azul).
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9.3 Expansão/Compressão
• y = nf(x), expande o gráfico verticalmente por um fator de n.
• y = f( xn ), expande o gráfico horizontalmente por um fator de n.
• y = 1nf(x), comprime o gráfico verticalmente por um fator de n.
• y = f(nx), comprime o gráfico horizontalmente por um fator de n.
Tudo isso nada mais é que aumentar ou diminuir a amplitude da função
9.4 Reflexão
• y = −f(x), reflete o gráfico em torno do eixo x.
• y = f(−x), reflete o gráfico em torno do eixo y.
A função y = f(x) =
√
x + 1 esta representada em preto no gráfico a seguir,
quando refletida em torno de x, passa a ser a função y = −√x − 1 na cor
vermelho. Quando refletida em torno de y passa a ser y =
√−x+1, representada
na cor azul.
10 Combinação de função
A combinação de funções nada mais é que a união de duas função f e p para obter
novas. Para isso faz-se uso de operação matemáticas básicas(soma, subtração,
multiplicação, divisão).
• (f + p)(x) = f(x) + p(x)
• (f − p)(x) = f(x)− p(x)
• (fp)(x) = f(x)p(x)
•
(
f
p
)
(x) = f(x)p(x) . Esta combinação vale para todo p(x) 6= 0.
16
Outra forma de combinar funções, mas esta originará outra totalmentedistinta
das primordiais, é através da chamada composição de funções.
Esta combinação de função é expressa da seguinte forma: (f ◦ p)(x) =
f(p(x)), que é lida como �f de p em x� ou �f bola de p�.
O domínio de f ◦ p é o conjunto de todos os x no domínio de p tais que p(x)
está no domínio de f .
A seguir esta representado o gráfico da função f(x) =
√
x+ 2 representado
em vermelho e p(x) = x2 − 1 em azul. Quando elaboramos a composição de
(f ◦ p)(x) = f(p(x)) obtemos uma nova função definida por: g(x) = f(p(x)) =√
x2 − 1 + 2, no gráfico representado em preto.
Para chegarmos no resultado g(x) =
√
x2 − 1 + 2, basta substituirmos na
equação f(x), onde aparece a variável x pela função p(x),abaixo segue o passa
a passo.
f(x) =
√
x+ 2
g(x) =
√
p(x) + 2
g(x) =
√
x2 − 1 + x
Graficamente temos:
17
Parte II
Exercícios
1. Determine o domínio de cada uma das funções abaixo:
a) y = 1x2+2
b) y =
√
x+
√
x+ 2
c) y =
√
3x− x2
2. Determine onde as funções são positivas e negativas:
a) y = 3x2 − 6
b) y = x2 + 2x+ 3
c) y = x
2−4
(x−1)3
3. Sejam f(x) = 2x2 + 3x, g(x) =
√
3x2 + 4, h(x) = 1x . Determine:
a) f(x) + g(x)
b) f(x).g(x)
c) f(g(x))
d) h(g(0))
4. De acordo com o gráfico abaixo, responda:
a) A lei da função que gera o gráfico para o domínio [0,5]
b) A lei da função que gera o gráfico para o domínio [5,10]
c) A lei da função que gera o gráfico para o domínio [10,15]
d) A lei da função que gera o gráfico para o domínio [15,20]
5. Seja f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = −2,
determine o produto abc.
6. Um caderno é lançado ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t
segundos após o lançamento, seja h = −t2 + 4t+ 6. Determine:
a) O instante que o caderno atinge a altura máxima;
b) A altura máxima atingida pelo caderno
c) Quantos segundos depois do lançamento ele toca o solo;
7. As seguintes funções dão as populações de 4 cidades, com o tempo T em
anos:
1) P = 600(1, 12)T 2)P = 1000(1, 03)T 3)P = 200(1, 08)T 4)P = 900(0, 9)T
a) Qual cidade tem maior taxa percentual de crescimento? Qual é sua
taxa?
b) Qual cidade tem maior população inicial? Que população é essa?
c) Alguma cidade está diminuindo de tamanho? Qual é sua taxa percen-
tual de redução?
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11 Respostas
Exercício 1:
a)
R√
3
b)[2,+∞)
c)[0, 3]
Exercício 2:
a) f(x) < 0 se x ∈ (−√2,√2) e f(x) > 0 se x ≤ −√2 ou x ≥ √2
b) f(x) > 0 para todo x ∈ R
c) f(x) > 0 para x ∈ (−2, 1) U (2,+∞) e f(x) < 0 para x ∈ (−∞, 2] U (1, 2]
Exercício 3:
a) 2x2 + 3x+
√
3x2 + 4
b) (2x2 + 3x)
√
3x2 + 4
c) 6x2 + 8 + 3
√
3x2 + 4
d)
1
2
Exercício 4:
a) y = 4x− 20
b) y = 0
c) y = 20x− 200
d) y = 100
Exercício 5:
abc = −70
Exercício 6:
a) 2 segundos
b) 10 metros
c) aproximadamente 5 segundos
Exercício 7:
a) A, 12%
b) B, 1000
c) D, 10%
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Parte III
Exercícios Aplicados no Software
Geogebra
1. Plote no software a função f(x) = x4 e plote juntamente com a função,
sua reflexão no eixo x e y, e desloque duas unidades para cima, baixo,
esquerda e direita. Com isso faça uma análise do resultado obtido. Se
necessário, faça uma revisão nos dois últimos assuntos.
2. A função g(x) e f(x), são dadas respectivamente por x+32 e 2x
2 − 1. Ob-
tenha f(g(x)) e plote os gráficos das três funções.
3. As funções seno, cosseno e tangente, são as três funções bases de trigo-
nometria. Com base nesta afirmação, elabore uma função que use uma
função trigonométrica básica. Com isso analise seu movimento pelos ei-
xos, e se possível elabore uma tabela para os valores de 0, pi/2, pi, 2pi/3 e
2pi , correspondendo a seus valores. Não se esqueca de colocar o gráfico
com o incremento de pi/2.
12 Respostas
Exercício 1:
Perceba que quando transformamos a função f(x), o máximo do raio de
deslocamento dela será o número a ser somado/subtraído. E também analise
que quando a função é de expoente par, sua reflexão no eixo y ficará na mesma
posição da função original.
Exercício 2:
20
Quando plotamos a função f(x) = 2x2 − 1, perceba que nada mais é que
a função x2, deslocada uma unidade para baixo e comprimida horizontalmente
em duas unidades. Já g(x) = x+32 é a função x deslocada três unidades para a
esquerda e comprimida em duas unidades verticalmente.
Para combinar as funções no Geogebra, basta escreve-la como f(g(x)), e ele
já lhe dará ela pronta e plotada, caso queira combinar manualmente e depois
plotar, o resultado será o mesmo. Se não conseguiu desenvolver a combinação,
olhe a resolução a seguir:
f(g(x)) = 2{g(x)}2 − 1
f(g(x)) = 2(
x+ 3
2
)2 − 1
Perceba que nesta combinação de função, o gráfico da função f(x) é bem
parecido com o da f(g(x)), mas nem sempre isso ocorre. Isso só ocorreu, pois o
expoente de x não foi alterado com relação ao expoente de x da f(x).
Exercício 3:
21
A função trigonométrica escolhida por mim, foi a função f(x) = sen(x),
g(x) = cos(x), p(x) = tg(x), após seleciona-la, coloque no software e plotei. Com
isso obtive as três funções. Após plotar e analisar minunciosamente, elaborei a
tabela.
0 pi/2 pi 2pi3 2pi
sen 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tg 0 0 0
22
Parte IV
Referências
STEWART, J. Cálculo. vol 1, Ed 6. 2010.
KOLB, C.W. Matemática 3. vol 3. 2013.
LONGEN, A. Matemática 2. vol 2. 2013.
FURTADO, E. M. Matemática 1. vol 1. 2013.
DIÓGENES, E.M.L. Matemática e suas Tecnologias. vol 1 e 2. 2012.
THOMAS, G.B. Cálculo. vol 1. ed 10. 2006.
23