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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 3
	SISTEMAS DE EQUAÇOES LINEARES
Objetivo desta Aula
Após a leitura dessa aula, você:
Identificar um sistema de equações lineares;
Usar o Teorema de Roché-Capelli para discutir os tipos de soluções possíveis para os sistemas de equações lineares;
Usar o Método de Eliminação de Gauss;
Aprender a resolver sistemas homogêneos.
	Muitas vezes para se obter a solução de um problema de natureza prática é necessário que se determine a solução de um Sistema de Equações Lineares. Um dos métodos que iremos abordar para a resolução desses sistemas é o de eliminação gaussiana que se torna bastante adequado quando se utiliza o computador. 
Muitas vezes para se obter a solução de um problema de natureza prática é necessário que se determine a solução de um Sistema de Equações Lineares. Um dos métodos que iremos abordar para a resolução desses sistemas é o de eliminação gaussiana que se torna bastante adequado quando se utiliza o computador.  
Por fim, leia atentamente toda a aula e preste bastante atenção nos exemplos, pois, estes nortearam a forma de resolver os exercícios propostos.
Equações lineares
Toda equação linear nas variáveis x e y no plano cartesiano é da forma: ax+by = c, para a, b e c constantes. Sabemos que geometricamente esta equação é representada por uma reta.
No espaço uma equação linear nas variáveis ou incógnitas x, y e z é a da forma: ax+by+cz = d, com a, b, c, e d números reais.
Geometricamente esta equação é representada por um plano no espaço R3.
No espaço n-dimensinal toda equação linear nas variáveis ou incógnitas x1, x2, ..., xn, é da forma 
a1 x1+a2x2+a3x3+...+anxn = b,
em que: a1, a2, ... , an são números reais denominados de coeficientes das variáveis e b é denominado de termo independente.
Um Sistema Linear com m equações e n incógnitas é um conjunto de m equações lineares com n variáveis, representado por:
Equações lineares 
Por exemplo,
É um sistema linear nas variáveis x, y, z e w com duas equações e quatro incógnitas.
Resolver o sistema é determinar os valores das variáveis envolvidas que atendam simultaneamente a todas as equações.
Forma matricial do sistema
Todo sistema linear está associado a uma equação matricial conforme a descrição a seguir:
A matriz A é denominada de matriz dos coeficientes, X é o vetor das incógnitas e B é o vetor dos termos independentes.
Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial AX=b.
Matriz Ampliada no Sistema
É obtida acrescentando-se a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes.
Observe no exemplo anterior, a matriz ampliada do sistema
Forma Matricial do Sistema
Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. De forma geral, um sistema de equações lineares pode ser classificado como:
Sistema Possível e Determinado (SPD); possui apenas uma única solução
Sistema Possível e Independente (SPI); possui infinitas soluções
Sistema Impossível (SI); não possui solução.
Teorema de Rouché-Capelli
A seguir apresentaremos o Teorema de Rouché-Capelli que nos fala sobre o tipo de solução (SPD, SPI OU SI) que um dado sistema linear possui:
“Um sistema Linear com m equações e n incógnitas possui solução se e somente o posto da matriz ampliada for igual ao posto da matriz dos coeficientes , isto é ,
Se p = n então, o sistema terá solução única (SPD).
Se p < n então, o sistema terá infinitas soluções (SPI). Neste caso, para resolvê-lo, basta escolher (n-p) variáveis e obter as outras p variáveis em função destas.”
Atenção
Se o sistema linear não possui solução (SI). 
Método de Eliminação de Gauss
Este método é um dos mais adotados devido ao menor número de operações elementares que envolve. Ele consiste em reduzir a matriz ampliada do sistema, por operações elementares, a uma matriz que só difere da forma escalonada na seguinte condição:
“Toda coluna que contiver o primeiro elemento não nulo de uma linha deve ter todos abaixo deste iguais a zero”
Após a redução da matriz ampliada a esta forma, a solução final do sistema é obtida por substituição.
Observe como fica a resolução do sistema do exemplo se adotarmos o método de eliminação gaussiana:
Sistema Linear Homogêneo
É um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero. O vetor dos termos independentes b é o vetor nulo, isto é, o sistema é da forma:
Matricialmente, descrevemos um sistema homogêneo por: 	
Onde: A é a matriz dos coeficientes, X é o vetor das incógnitas e b o vetor nulo.
Observe que, como sempre (Justifique!!!), um sistema homogêneo nunca será impossível pois sempre admite a solução trivial
Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com m = n, pode ser representado pela equação matricial A X = b, sendo A a matriz dos coeficientes (quadrada de ordem n).
Se a matriz A for inversível, isto é, se existir a matriz inversa , significa que o sistema é possível e determinado.
Síntese da Aula
Nesta aula você:
Identificou, discutiu e resolveu um sistema de equações lineares;
Aprendeu o método de Eliminação de Gauss;
Identificou um sistema homogêneo e determinou a sua solução.