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Matemática Básica
Aula 1: Conjuntos Numérico
Objetivo desta Aula
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
Identificar os diferentes tipos de conjuntos numéricos e realizar operações.
Na teoria dos conjuntos, existem três noções aceitas sem definição: conjunto, elemento e pertinência.
Conjunto nos transmite a ideia de coleção. Por exemplo:
Conjunto das vogais do nosso alfabeto;
Conjunto das letras da palavra ARARA;
Conjuntos dos números ímpares positivos.
Imediatamente, pensaríamos nos conjuntos:
a) A = {a,e,i,o,u}
b) B = {a,r}
c) C = {1,3,5,7,...}
Você não deve esquecer que:
Os conjuntos são representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto;
 Os elementos são representados por letras minúsculas;
Os elementos de um conjunto são escritos entre chaves e separados por vírgulas. Note que não repetimos elementos em um conjunto e que a ordem dos elementos é irrelevante;
Na letra c, lançamos mão de um recurso, a saber (...), para indicar que não existe um último elemento nesse conjunto.
Cada membro de um conjunto é chamado de elemento.
Descrição de um conjunto
Descrição pela enumeração de seus elementos:
A = {a,e,i,o,u}
Descrição por compreensão:
A = { x I x tem a propriedade P}
Exemplos:
A = { x I x é vogal do nosso alfabeto}
B= { x I x é cor da bandeira brasileira}
C= { x I x é um número ímpar positivo}
Podemos ainda ter o conjunto vazio e o conjunto unitário. O conjunto vazio é aquele que não apresenta elementos. Já o conjunto unitário é aquele que possui apenas um único elemento.
Para esclarecer melhor essa ideia, consideremos os exemplos:
Exemplo:
A = { x I x é uma pessoa com mais de 400 anos}
A = { x I x é um número primo par e positivo}
Quando tratamos de conjuntos, é necessário que deixemos claro quem é o nosso universo.
Por exemplo, se vou falar sobre jogadores de futebol, é importante deixar claro qual o clube; se vou comentar a respeito de palavras, é importante mencionar de que língua estamos falando, alunos de qual colégio, estados de qual país, etc.
Representamos o universo pela letra U.
Conjuntos Iguais
Quais são os conjuntos iguais?
Dois conjuntos são ditos iguais quando apresentam os mesmos elementos.Em outras palavras, podemos dizer que se todo elemento pertencente a um conjunto A pertence também a um conjunto B e vice-versa, então A=B. Em símbolos, poderíamos escrever:
Exemplos:
Subconjuntos
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento pertencente ao conjunto A pertence também ao conjunto B. Obs.: Dizer que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B é o mesmo que dizer:
A está contido em B (relação de inclusão); utilizamos o símbolo .
A é uma parte de B. Simbolicamente: 
Obs.: A relação de inclusão é definida para dois conjuntos. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Para negar a inclusão, utilizaremos o símbolo (não está contido).
Exemplos: 
Operações com conjuntos:
União ou Reunião
Dados dois conjuntos A e B, denominamos união de A e B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A ou B. 
Simbolicamente: 
Propriedades da união
Interseção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, denominamos de interseção entre A e B e representamos por ao conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. Simbolicamente
Observação: Quando a interseção entre dois conjuntos é vazia, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos.
Propriedades da interseção
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) (idempotente)
b) (elemento neutro)
c) (comutativa)
d) (associativa)
Obs.: Quando a interseção entre dois conjuntos: é vazia, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos.
Exemplos: 
Dados os conjuntos:
A = {1,2,5.6} e B = {1,5,9,10}
Temos: 
Diferença de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Simbolicamente: 
Exemplos:
Complementar de B em relação à A
Dados dois conjuntos A e B, tais que , chama-se complementar de B em relação à A o conjunto A – B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Exemplos:
A = {1,2,3,4,5,6} e B = {1,2,3,4}
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,...}
Nesse conjunto são definidas duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação. Isso significa que, dados dois números naturais, a e b, é sempre possível encontrar um outro número natural c = a+b e também um número c = a.b.
Propriedades: para todos a, b e c naturais temos:
(a + b) + c = a + (b + c) (associativa)
a + b = b + a (comutativa)
a + 0 = a (elemento neutro da adição)
(ab)c = a(bc) (associativa da multiplicação)
ab = ba (comutativa da multiplicação)
a.1 = a (elemento neutro da multiplicação)
a(b + c) = ab + ac (distributiva da multiplicação em relação à adição)
Observe que a subtração nem sempre é possível no conjunto dos números naturais, o que justifica a ampliação do conjunto N.
Conjunto dos números inteiros
Conjunto dos números racionais
Conjunto dos números racionais
Dízimas periódicas simples
1/3= 0,333... (período 3)
2/7= 0,285714285714...(período 285714)
Cálculo da fração geratriz de uma dízima periódica simples
a) Vamos calcular a fração geratriz da dízima 0,444...
Seja x = 0,444... multiplicando os dois membros da equação por 10, teremos:
10 x = 4,444...Subtraindo da segunda equação a primeira teremos:
10 x – x = 4,444...-0,444...
9 x = 4     
x = 4/9
Obs.: Note que o fato de multiplicarmos a equação por 10 ocorre porque a dízima apresenta apenas 1 algarismo no seu período. Se o período fosse composto de dois algarismos, multiplicaríamos por 100 e assim por diante. Veja o próximo exemplo:
Vamos calcular a fração geratriz da dízima 0,343434...
Seja x = 0,343434...
Multiplicando os dois membros da equação por 100, teremos:
100 x = 34,3434...
Subtraindo da segunda equação a primeira, teremos:
100 x – x = 34,3434...-0,3434...
99 x = 34   x  = 34/99
Regra para determinação da fração geratriz de uma dízima periódica: escrevemos uma fração onde o numerador é o período e o denominador é formado por um número que possui somente algarismos nove tanto quanto forem os algarismos do período.
Exemplos:
1) 0,111... =  1/9     2) 0,525252... =  52/99     3) 2,345345345... = 2 + 345/999
Dízima periódica composta
São aquelas que apresentam um algarismo ou um grupo de algarismos antes do período.
Exemplos:
1) 0,2333...
2) 0,12444...
3) 0,3451212...
Para determinarmos a fração geratriz de uma dízima periódica composta, podemos utilizar o mesmo recurso utilizado para as simples. Vejamos:
1) 0,2333...
 
X = 0,2333... (multipliquemos a equação por 10 com a finalidade de transformar a dízima composta em simples)
10 x = 2,333... (multipliquemos por 10, pois a dízima simples possui um único algarismo no período)(I)
100x = 23,333...(II)
De (II)- (I): 100 x -10x = 23,333...-2,333...
90x = 21   
x = 21/90 = 7/30
X = 0,12444...(multipliquemos a equação por 100 com o propósito de transformar a dízima composta em simples)
100 x  = 12,444... (I) (multipliquemos a equação por 10, pois a dízima tem um algarismo no período)
1000x =124,44...(II)
De (II) - (I): 1000x -100x = 124,444...-12,444...
900 x = 112
x = 112/900 = 28/225
Regra para determinação de uma dízima periódica composta
A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração que tem para numerador a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e para denominador um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Ex: a) 0,2333...   X = 23-2/90 = 21/90 = 7/30
0,123434...   X = (1234-12)/9900 = 1222/9900
Números Irracionais
Existem números cuja representação decimal é infinita, mas não é periódica. Esses números são chamados de números irracionais. A união do conjunto dos números racionais com o conjuntosdos números irracionais nos fornece o conjunto dos números reais.
R= Q U I
1) 1,2345678910111213...
2) 3,40400400040000400000...
Operações com intervalos
Sejam os intervalos A = [1,5[ e B = ]-1,2], vamos determinar:
A U B		
	
A U B = ]-1,5[
Síntese da Aula
Nessa aula você:
Aprendeu a reconhecer os principais conjuntos numéricos, bem como a realizar operações entre esses conjuntos. Aprendeu ainda as relações de pertinência e inclusão e a diferença entre elas.