Prova 02 (substitutiva) de Algebra Linear

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo - CCA
Segunda prova de A´lgebra Linear
Alegre, 8 de novembro de 2012
Nome:
Justifique todas as respostas!
1. Considere o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0); v2 = (0, 0, 1, 1);
v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) (0,7 ponto) O vetor (2,-3,2,2) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique.
(b) (1 ponto) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual e´ a dimensa˜o deste espac¸o?
(c) (0,7 ponto) [v1, v2, v3, v4] = R4? Por queˆ?
2. (1,6 pontos) Considere os subespac¸os de R5:
W1 =
{
(x, y, z, t, w) ∈ R5/x + z + w = 0;x + w = 0} ;
W2 =
{
(x, y, z, t, w) ∈ R5/y + z + t = 0}
W3 =
{
(x, y, z, t, w) ∈ R5/2x + t + 2w = 0}
Determine uma base para o subespac¸o W1
⋂
W2
⋂
W3.
3. (2 pontos) Encontre os valores de k para os quais a matriz
A =
k − 3 0 30 k + 2 0
−5 0 k + 5

e´ na˜o invers´ıvel.
4. Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras,
demonstre. Se forem falsas, deˆ um contra-exemplo.
(a) (1 ponto) A matriz
(−1 2
0 3
)
pertence ao subespac¸o W =
[(
1 1
1 0
)
,
(
0 0
1 1
)
,
(
0 2
0 −1
)]
.
(b) (1 ponto) Se o conjunto {u, v, w} e´ LI enta˜o os vetores u-v, v-w e u-w sa˜o LI’s.
5. Dizemos que uma matrz A e´ ortogonal se AAT = ATA = I. Sejam P e Q matrizes
ortogonais de mesma ordem.
(a) (1 ponto) PQ e´ uma matriz ortogonal? Justifique sua resposta.
(b) (1 ponto) Quais os valores que detQ pode ter?
Boa prova!