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Aula 5: Capacitância Curso de Física Geral III F-328 1º semestre, 2014 F328 – 1S2014 1 Capacitores Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor . A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo elétrico por ele formado . Capacitância F328 – 1S2014 2 Quatro capacitores carregados formando uma “Bateria”. Esse sistema foi usado por Daniel Gralath para armazenar energia potencial no campo elétrico existente no interior dos capacitores - 1756. Daniel Bernoulli, e Alessandro Volta, mediram a força entre placas de um capacitor, e Aepinus em 1758 foi quem que supôs que era uma lei de inverso-de-quadrado. (Em 1785 - Lei de Coulomb). Réplica do sistema de Gralath exitente no museu de Ciência da Cidade de Leiden (Holanda). História – Garrafa de Leiden e bateria F328 – 1S2014 3 Capacitores O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos condutores que o compõem, independentemente das suas formas. Outros capacitores Capacitor de placas paralelas Capacitância F328 – 1S2014 4 Capacitores Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à diferença de potencial entre elas, ou seja: CVQ = onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então: A constante depende apenas da geometria do capacitor. No SI a capacitância é medida em farads (F). 1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V Importante: pF/m85,80 =ε 1 farad = µ F10 6− , V QC = C Capacitância F328 – 1S2014 5 Esquema de cálculo Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria, o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através da lei de Gauss: ϕ = E(r ) ⋅ nˆ dA S ∫ = qint ε0 De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial entre as duas placas como: ∫ ⋅−=−= f i r r if ldrEVVV ! ! !!! )( E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde podemos extrair C. CVQ = Cálculo da Capacitância F328 – 1S2014 6 Capacitor de placas paralelas EdV = d AC 0ε= 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ !! ∫ ⋅−=− f i r r if ldrEVV ! ! !!! )( Nota-se que a capacitância é proporcional a um comprimento e só depende de fatores geométricos do capacitor. CVq= A qE 0ε = Capacitância: Exemplos F328 – 1S2014 7 ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛= a b L QV ln 2 0πε CVQ = ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ = a b LC ln 2 0πε Capacitor cilíndrico ∫ ⋅−=− f i r r if ldrEVV ! ! !!! )( Lr QE 02 επ = (L>> b) L L superfície gaussiana 0 int ε qAdE S =⋅=Φ ∫ !! Capacitância: Exemplos F328 – 1S2014 8 Capacitor esférico ab abQV −= 04πε CVQ = ab abC − = 04πε ∫ ⋅−=− f i r r if ldrEVV ! ! !!! )( 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ !! 2 04 r QE επ = S Capacitância: Exemplos F328 – 1S2014 9 Esfera isolada b a a ab abC − = − = 1 44 00 πεπε ∞→b aC 04πε= )( aR = Exemplo numérico: pF/m85,80 =ε F101,1 10−×≈C , + E ! + + + + + + + + + + ∞→b a mR 1= Capacitância: Exemplos F328 – 1S2014 10 Carregando o capacitor Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao capacitor. Assim, em função de V cargas +Q e –Q irão se acumular nas placas do capacitor estabelecendo entre elas uma diferença de potencial –V que se opõe à diferença de potencial da bateria e faz cessar o movimento de cargas no circuito. , CVQ = Capacitância F328 – 1S2014 11 Associação de capacitores em paralelo VCqVCqVCq 332211 e, === VCCCqqqqq )( 321321 ++=⇒++= 321 CCCCeq ++= ∑= i ieq CC ou Como VCq eq= Associação de capacitores F328 – 1S2014 12 Associação de capacitores em série 332211 e, VCqVCqVCq === ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++=++= 321 321 111 CCC qVVVV 321 1111 CCCCeq ++= ∑= i ieq CC 11 ou Como eqC qV= : Associação de capacitores F328 – 1S2014 13 Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. Este trabalho fica armazenado sob a forma de energia potencial na região do campo elétrico entre as placas. Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma placa para a outra é então: qd C qqdVdW ′ ′ =′′= C qqd C qdWW q 2 2 0 =′ ′ == ∫∫ 2 2 2 1 2 CV C qU == qd ′ q′ q′ E ! ld ! dq’ - - - - - - - - - - Energia armazenada no campo elétrico F328 – 1S2014 14 Densidade de energia Em um capacitor de placas paralelas sabemos que: d AC 0ε= 2202 2 1 2 1 dE d ACVU ε== EdV =e 2 02 1 E Ad Uu ε=≡ (Apesar de a demonstração ter sido feita para o capacitor de placas paralelas, esta fórmula é sempre válida!) volume potencialenergia =u Energia no capacitor F328 – 1S2014 15 Exercício: energia de uma esfera Considere um condutor esférico de raio R carregado com uma carga q. Qual a energia total neste condutor? Duas interpretações: a) Energia potencial de um capacitor esférico de raio R: C qU 2 2 1= b) Integração da densidade de energia u: +q – q c) Qual o raio R0 que contém metade da energia total? RC 04πε= R qU 0 2 8πε = 2 04 )( r qrE πε = 2 02 1 Eu ε= U = 1 2 ε0 E 2 (r)4πr 2 dr R ∞ ∫ = q2 8πε0 R RR RRRr dr r drURU R R R 21 2 111(...) 2 1(...) 2 1)( 0 0 220 0 =⇒=−⇒=⇒= ∫∫ ∝ F328 – 1S2014 16 d x A, εo V=Ax a) Qual é o trabalho W necessário para aumentar em x a separação das placas? - É a energia adicional que apareceu no volume Ax, que antes não existia. Então: QEx A QxAE xAExAuUW 2 1 2 1 2 1 0 0 2 0 == ==== ε ε ε A QE 00 εε σ == b) Qual é a força de atração entre as placas? - Como xFW = E ! QEF 2 1= Uma nova visão de U F328 – 1S2014 17 Visão atômica Dielétricos são materiais isolantes que podem ser polares ou não-polares. + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - E0= 0 E0 E0 E ´E - - - + + + E ! E ′ ! 0E ! 0E !00 !! =E E ′ ! σ ′+ 0E ! 0E ! dielétrico não-polar um dielétrico polar: molécula de água E ! p! σ ′− Dielétricos F328 – 1S2014 18 Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um capacitor, se V é mantido constante, a carga das placas aumenta; se Q é mantida constante, V diminui. Como Q = CV, ambas as situações são compatíveis com o fato de que o dielétrico entre as placas do capacitor faz a sua capacitância aumentar. Vimos: C0=ε0L, onde L é uma função que depende apenas da geometria e tem dimensão de comprimento. Então, na presença de um dielétrico preenchendo totalmente o capacitor: Cd = κε0L = κC0, onde κ >1 No vácuo, κ =1 Capacitores com dielétricos Dielétricos F328 – 1S2014 19 Material Constante dielétrica Resistência Dielétrica (kV/mm) Ar (1 atm) 1,00054 3 Poliestireno 2,624 Papel 3,5 16 Pirex 4,7 14 Porcelana 6,5 5,7 Silício 12 Etanol 25 Água (20º) 80,4 Água (25º) 78,5 Dielétricos F328 – 1S2014 20 0 ˆ)( ε qqdAnrE S ′−=⋅∫ !! A qE 0 0 ε = A qqE 0ε ′−= A qE 0 0 κεκ = κ qqq =′− qdAnrD A =⋅∫ ˆ)( !! é o vetor de deslocamento elétrico. Então, na lei de Gauss expressa com o vetor , aparecem apenas as cargas livres (das placas). D !)()( 0 rErD !!!! κε≡ , onde ∴ 0 0 ˆ)( ε qdAnrE S =⋅∫ !!(a): (b): =E Em (b): 0 ˆ)( κε qdAnrE S =⋅∫ !! Ou: A qq 0ε ′−= q− q+ κ q+ q− q′+ q′− (a) (b) superfície gaussiana superfície gaussiana 0E ! E ! Lei de Gauss com dielétricos F328 – 1S2014 21 Exemplo Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1.24 cm, V0=85.5 V, b=0.78 cm, . a) C0 sem o dielétrico; b) a carga livre nas placas; c) o campo E0 entre as placas e o dielétrico; d) o campo Ed no dielétrico; e) a ddp V entre as placas na presença do dielétrico; f) A capacitância C com o dielétrico. Calcule: 2.61κ = superfície gaussiana II superfície gaussiana I Dielétricos: Exemplo F328 – 1S2014 22 Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328-Física Geral III Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) Lista de exercícios do Capítulo 25 F328 – 1S2014 23
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