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Aula-05-Capacitância

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Aula 5: Capacitância 
Curso de Física Geral III 
F-328 
1º semestre, 2014 
F328 – 1S2014 1 
 Capacitores 
 Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de 
formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor . 
 A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo 
elétrico por ele formado . 
Capacitância 
F328 – 1S2014 2 
 Quatro capacitores carregados formando uma “Bateria”. 
Esse sistema foi usado por Daniel Gralath para armazenar energia 
potencial no campo elétrico existente no interior dos capacitores - 
1756. 
 Daniel Bernoulli, e Alessandro Volta, mediram a força entre 
placas de um capacitor, e Aepinus em 1758 foi quem que supôs que 
era uma lei de inverso-de-quadrado. (Em 1785 - Lei de Coulomb). 
Réplica do sistema de 
Gralath exitente no 
museu de Ciência da 
Cidade de Leiden 
(Holanda). 
História – Garrafa de Leiden e bateria 
F328 – 1S2014 3 
Capacitores 
 O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em 
geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos 
condutores que o compõem, independentemente das suas formas. 
Outros capacitores 
Capacitor de placas paralelas 
Capacitância 
F328 – 1S2014 4 
Capacitores 
 Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam 
superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à 
diferença de potencial entre elas, ou seja: 
CVQ =
onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então: 
 
 
 A constante depende apenas da geometria do capacitor. 
 No SI a capacitância é medida em farads (F). 
1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V 
 Importante: pF/m85,80 =ε
1 farad = µ F10 6−
, 
V
QC =
C
Capacitância 
F328 – 1S2014 5 
Esquema de cálculo 
 Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria, 
o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior 
através da lei de Gauss: 
 
ϕ =

E(r ) ⋅ nˆ dA
S
∫ =
qint
ε0
 De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de 
potencial entre as duas placas como: 
∫ ⋅−=−=
f
i
r
r
if ldrEVVV
!
!
!!! )(
 E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde 
podemos extrair C. 
CVQ =
Cálculo da Capacitância 
F328 – 1S2014 6 
Capacitor de placas paralelas 
EdV =
d
AC 0ε=
0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫
!!
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if ldrEVV
!
!
!!! )(
 Nota-se que a capacitância é proporcional a um comprimento e 
só depende de fatores geométricos do capacitor. 
CVq=
A
qE
0ε
=
Capacitância: Exemplos 
F328 – 1S2014 7 
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=
a
b
L
QV ln
2 0πε
CVQ =
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
=
a
b
LC
ln
2 0πε
 Capacitor cilíndrico 
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if ldrEVV
!
!
!!! )(
Lr
QE
02 επ
=
(L>> b) 
L 
L 
superfície 
gaussiana 
0
int
ε
qAdE
S
=⋅=Φ ∫
!!
Capacitância: Exemplos 
F328 – 1S2014 8 
Capacitor esférico 
ab
abQV −=
04πε
CVQ =
ab
abC
−
= 04πε
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if ldrEVV
!
!
!!! )(
0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫
!!
2
04 r
QE
επ
=
S
Capacitância: Exemplos 
F328 – 1S2014 9 
 Esfera isolada 
b
a
a
ab
abC
−
=
−
=
1
44 00 πεπε
∞→b
aC 04πε=
)( aR =
 Exemplo numérico: 
pF/m85,80 =ε F101,1 10−×≈C , 
+ 
E
!
+ 
+ + 
+ 
+ 
+ + 
+ 
+ 
+ 
∞→b
a
mR 1=
Capacitância: Exemplos 
F328 – 1S2014 10 
Carregando o capacitor 
 Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma 
bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao 
capacitor. Assim, em função de V 
cargas +Q e –Q irão se acumular nas placas 
do capacitor estabelecendo entre elas uma 
diferença de potencial –V que se opõe à 
diferença de potencial da bateria e faz cessar o 
movimento de cargas no circuito. 
, CVQ =
Capacitância 
F328 – 1S2014 11 
 Associação de capacitores em paralelo 
VCqVCqVCq 332211 e, ===
VCCCqqqqq )( 321321 ++=⇒++=
321 CCCCeq ++=
∑=
i
ieq CC
ou 
Como VCq eq=
Associação de capacitores 
F328 – 1S2014 12 
 Associação de capacitores em série 
332211 e, VCqVCqVCq ===
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++=++=
321
321
111
CCC
qVVVV
321
1111
CCCCeq
++= ∑=
i ieq CC
11
ou 
Como 
eqC
qV= : 
Associação de capacitores 
F328 – 1S2014 13 
 Um agente externo deve realizar 
trabalho para carregar um capacitor. 
Este trabalho fica armazenado sob a 
forma de energia potencial na região 
do campo elétrico entre as placas. 
 Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um 
capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma 
placa para a outra é então: 
qd
C
qqdVdW ′
′
=′′= C
qqd
C
qdWW
q
2
2
0
=′
′
== ∫∫
2
2
2
1
2
CV
C
qU ==
qd ′
q′ q′
E
!
ld
!
dq’ 
- - - - - - - - - - 
Energia armazenada no campo elétrico 
F328 – 1S2014 14 
 Densidade de energia 
 Em um capacitor de placas paralelas sabemos que: 
d
AC 0ε=
2202
2
1
2
1 dE
d
ACVU ε==
EdV =e 
2
02
1 E
Ad
Uu ε=≡
(Apesar de a demonstração 
ter sido feita para o 
capacitor de placas 
paralelas, esta fórmula é 
sempre válida!) 
volume
potencialenergia =u
Energia no capacitor 
F328 – 1S2014 15 
Exercício: energia de uma esfera 
 Considere um condutor esférico de raio R carregado com uma carga q. 
Qual a energia total neste condutor? 
 Duas interpretações: 
a)  Energia potencial de 
um capacitor esférico 
de raio R: 
C
qU
2
2
1=
b) Integração da densidade de energia u: 
+q 
– q 
c) Qual o raio R0 que contém metade da energia total? 
RC 04πε=
R
qU
0
2
8πε
=
2
04
)(
r
qrE
πε
=
2
02
1 Eu ε=
 
U = 1
2
ε0 E
2 (r)4πr 2 dr
R
∞
∫ =
q2
8πε0 R
RR
RRRr
dr
r
drURU
R
R
R
21
2
111(...)
2
1(...)
2
1)( 0
0
220
0
=⇒=−⇒=⇒= ∫∫
∝
F328 – 1S2014 16 
d 
x A, εo V=Ax a) Qual é o trabalho W necessário para 
aumentar em x a separação das placas? 
 - É a energia adicional que apareceu no 
volume Ax, que antes não existia. Então: 
QEx
A
QxAE
xAExAuUW
2
1
2
1
2
1
0
0
2
0
==
====
ε
ε
ε
A
QE
00 εε
σ ==
 b) Qual é a força de atração entre as placas? 
 - Como xFW =
E
!
QEF
2
1=
Uma nova visão de U 
F328 – 1S2014 17 
 Visão atômica 
 Dielétricos são materiais isolantes que 
podem ser polares ou não-polares. 
+ - + - + - + - 
+ - + - + - + - 
+ - + - + - + - 
E0= 0 E0 E0 
E ´E 
- 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
E
!
E ′
!
0E
!
0E
!00
!!
=E
E ′
!
σ ′+
0E
!
0E
!
dielétrico não-polar 
um dielétrico polar: molécula de água 
E
!
p!
σ ′−
Dielétricos 
F328 – 1S2014 18 
 Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um 
capacitor, se V é mantido constante, a carga das placas aumenta; se 
Q é mantida constante, V diminui. Como Q = CV, ambas as situações 
são compatíveis com o fato de que o dielétrico entre as placas do 
capacitor faz a sua capacitância aumentar. 
 Vimos: C0=ε0L, onde L é uma função que depende apenas da 
geometria e tem dimensão de comprimento. 
 Então, na presença de um 
dielétrico preenchendo totalmente o 
capacitor: Cd = κε0L = κC0, onde κ >1 
No vácuo, κ =1 
 Capacitores com dielétricos 
Dielétricos 
F328 – 1S2014 19 
 Material Constante 
dielétrica 
Resistência 
Dielétrica (kV/mm) 
Ar (1 atm) 1,00054 3 
Poliestireno 2,624 
Papel 3,5 16 
Pirex 4,7 14 
Porcelana 6,5 5,7 
Silício 12 
Etanol 25 
Água (20º) 80,4 
Água (25º) 78,5 
Dielétricos 
F328 – 1S2014 20 
0
ˆ)(
ε
qqdAnrE
S
′−=⋅∫
!!
 
A
qE
0
0 ε
=
A
qqE
0ε
′−=
A
qE
0
0
κεκ
=
κ
qqq =′−
qdAnrD
A
=⋅∫ ˆ)(
!!
é o vetor de deslocamento elétrico. 
 Então, na lei de Gauss expressa com o vetor , aparecem apenas 
as cargas livres (das placas). 
D
!)()( 0 rErD
!!!! κε≡
, 
onde 
∴
0
0 ˆ)( ε
qdAnrE
S
=⋅∫
!!(a): 
(b): 
=E
Em (b): 
0
ˆ)(
κε
qdAnrE
S
=⋅∫
!!
Ou: 
A
qq
0ε
′−=
q−
q+
κ
q+
q−
q′+
q′−
(a) 
(b) 
superfície 
gaussiana 
superfície 
gaussiana 
0E
!
E
!
Lei de Gauss com dielétricos 
F328 – 1S2014 21 
 Exemplo 
 Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1.24 cm, 
 V0=85.5 V, b=0.78 cm, . 
a) C0 sem o dielétrico; 
b) a carga livre nas placas; 
c) o campo E0 entre as placas 
 e o dielétrico; 
d) o campo Ed no dielétrico; 
e) a ddp V entre as placas na 
 presença do dielétrico; 
f) A capacitância C com o 
 dielétrico. 
Calcule: 
2.61κ =
superfície 
gaussiana II 
superfície 
gaussiana I 
Dielétricos: Exemplo 
F328 – 1S2014 22 
Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina : 
(http://www.ifi.unicamp.br). 
Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328-Física Geral III 
Aulas gravadas: 
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) 
 ou 
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) 
Lista de exercícios do Capítulo 25 
F328 – 1S2014 23

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