H lder Goes e Ubaldo Tonar   Matem tica para Concurso   7 Edi o   Ano 2004
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H lder Goes e Ubaldo Tonar Matem tica para Concurso 7 Edi o Ano 2004


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N H Í M I
1 4
Resolver os sistemas abaixo relacionados:
x +1> 4
04-
05
06-
07-
[3x + 1 > 2x 4- 2
2x + 2 > x + 6 
4x ~~ 2 > 3x +1
2x - 3 <1 
2x ~ 3 > - 9
09-
10
11-
12
J2x \u2014 3<5x~15 
[ôx - 1 0 > 25
: 2x \u2014 6 < 3x +1 
3x + 1 < 5x \u2014 3
3(x - 3) > 2^x -
2(x - 1) < 3(x + 2)
3(x - 2) - 2(x - 4) < 5 
: 5(x - 2) > 2(x - 2)
Í5x. - 2 < 18 
08 \u2019 [2x + 1 > 3
x - 2 4\u2014 < \u2014 
x \u20141 5
13 _ | x +1 1\u2014 > \u2014 
x - 2 2
Respostas:
04) x > 3
08) 1 < x < 4
12) 2 < x < 3
05) x > 4
09) x > 4
13) \u2014 4 < x < 6
06) x > 4
10) x > 2
07) - 6 < x < 1
11) x > 6
MATEMÁTICA PARA CONCURSO-SISTEMA DE INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 1 13
1
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Uma equação é do segundo grau quando se apresenta sob a forma 
ax2 + bx + c = 0 para quaisquer valores atribuídos a a, b e c, mas a =£ 0. 
Na forma ax2 + bx + c \u2014 0, temos: 
x é a incógnita ou variável 
a e b os coeficientes 
c o termo independente.
Exemplo: Na equação x2 \u2014 3x + 2 = 0, temos 
a = 1; b - - 3 e c \u2014 2
Uma equação do segundo grau é dita incompleta se, pelo menos 
b = 0 o u c = 0 o u b = c = 0,
Logo, as equações incompletas serão da forma: 
para c = 0 temos ax2 + bx = 0
para b = 0 tem os ax2 + c = 0
para b = c = 0 temos ax2 = 0
Resolveremos, a seguir, os dois primeiros tipos de equações incom­
pletas do segundo grau.
EQUAÇÃO DA FORMA: ax2 + bx = 0 
Solução:
Colocando x em evidência, temos: x(ax + b) = 0
Observe que temos um produto igual a zero, mas para que um
produto seja igual a zero, é necessário que pelo menos um de seus fatores
seja igual a zero, isto é: x = 0 ou ax + b - 0.
De ax + b \u2014 0, temos ax = \u2014b, logo: x = -------
a
Então, as raízes da equação da forma ax2 + bx \u2014 0 são: x\u2019 = 0 e
1 1 4 HILDER GÓES \u2756 UBAUDO TONAR
01 - Resolver a equação: 3x2 \u2014 18x = 0.
Solução:
Colocando-se x em evidência, temos: 
x(3x - 18) = 0
Então ou x = 0 ou 3x \u2014 18 = 0 
Resolvendo-se a equação 3x \u2014 18 = 0, resulta: 
3x - 18 = 0 
3x = 18 
x = 6
Logo, as raÍ2és da equação são: x!\u2014 0 e x\u201d= 6
Resolver as equações abaixo relacionadas:
02 - x3 - 9x = 0
03 - 2x3 + 8x = -0
04 - 25x2 - lOOx = 0
05 - x 2 - 7x = 0
06 - x2 \u2014 óx = 0
07 - 2x2 - 4x = 0
08 - 9x2 ~ 4x = 0
09 - 4x2 - 20x = 0
10 - 3x2 + 18x = 0
11 \u2014 x2 + 3x = 0
Respostas:
02 - x> (1 O e xJ = 9 0 3 - x \u2019 li o e x\u2019 = _ 4
04- xJ = 0 e x5 _= 4 05 - x\u2019 = 0 e x\u2019 = 7
06 - xJ = 0 e x\u2019 = 6 i
o = o e x\u2019 = 2
08 - x* = 0 e x5 - 2/ 73 09 - x\u2019 = 0 e x\u2019 = 5
\u25a0o = 0 e x\u2019 \u2014 - 6 11 - x\u2019 = 0 e x&quot; = 3
EQUAÇÃO DA FORMA: ax2 + c = 0 
Solução:
Transpondo a constante c para o segundo membro, resulta: ax2 = \u2014 c 
Dividindo ambos os membros da equação pelo coeficiente a, temos:
2 c
x = -----
a
Extraindo a raÍ2 quadrada de ambos os membros, vem: x = ±
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÁO DO SEGUNDO GRAU 1 1 5
c
b) Se \u2014 ~ < 0, isto é, negaüvo, a equação não terá solução no
3
conjunto dos números reais, estando fora, portanto, do objetivo desse 
livro.
12 - Resolver a equação: x2 \u2014 49 = 0.
Solução: Passando - 49 para o segundo membro, temos: x2 = 49 
Extraindo a raiz quadrada, vem: x = ± VÍ9, portanto x ~ ± 7 
Assim: x\u2019 = \u2014 7 e x\u201d = 7 são as raizes da equação.
Resolver as equações abaixo relacionadas:
1 3 - 2 x 2 - 3 2 = 0 1 8 - 2 5 x 2 - 1 6 - 0
1 4 - 3 x ? - 3 = 0 1 9 - l II o
1 5 - x 2 - 2 5 = 0 i
oCO oii'3-
>
1
1 6 - ( x - 3 ) ( x + 3 ) = 0 2 1 X 2 - 5 = 0
1 7 - 9 x 2 - 1 = 0 2 2 - i VO II o
Respostas:
13 - x ? ---- 4 e x\u201d = 4 14 - x* = \u2014 1 e x\u201d = 1
15 - x\u2019 = - 5 e x>} \u2014 5 16 - x\u2019 = \u2014 3 e x\u201d = 3
17 -x \u2019 = -1 1 3 e x\u201d = 1/3 18 - x \u2019 = - 4 / 5 e x\u201d = 4/5
19 - x \u2019 = \u2014 6 e x\u201d = 6 2 0 - x 5= - 2 e x\u201d = 2
21- x\u2019 = - 75 e x\u201d = V5 22 - x\u2019 = - 3 / 2 e x\u201d = 3/2
116 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
EQUAÇÃO COMPLETA DO SEGUNDO GRAU
Como já vimos, é toda equação da forma ax- + bx + c = 0. 
A sua fórmula resolutiva é
23 - Resolver a equação: x2 ~ 8x + 15 = 0. 
Solução:
Aplicando a fórmula, vem:
x \u2014
8 + ^64 - 4(1) (15)
2 x l
8 ± Vó4 - 60 8 ± s[Ã 8 ± 2
2 2 2
no que resulta:
f 8 - 2 M 8 +2 c
x = ---------= 3 e x \u2014--------~5
2 2
24 - Resolver a equação: x2 \u2014 9x + 18 = 0. 
Solução:
Aplicando a fórmula, temos: -
x =
9 ± a/B1 - 7 2 9 ± -y/õ 9 ± 3
2
no que resulta:
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 117
Resolver as equações abaixo relacionadas:
/
25 - x2 \u2014 3x + 2 \u2014 0 30 - x(x \u2014 3) + 2 \u2014 0
26 - x2 - 5x + 6 \u2014 0 31 - x(x \u2014 2) = 3(x \u2014 2)
x2 3x
27 - x 2 - 7x + 12 = 0 3 2 - \u2014 .=------ 3
6 2
&quot;1
28 - \u2014 x2 + 6x - 5 = 0 33 - 2x2 - \u2122 + - = 0
2 4
2x2 1 4x 12x 1
29 - x 2 + 2x - 8 = 0 3 4 - ------------+ ------------ = x -----
5 6 3 5 2
Respostas:
25 - x> = 1 e x\u201d = 2 2 6 - x \u2019 = 2 e x&quot; = 3
27 - x\u2019 = 3 e x\u201d = 4 28 - x\u2019 = 1 e x\u201d = 5
29 - x\u2019 = - 4 e x\u201d = 2 3 0 - x \u2019 = l e x\u201d = 2
31 - x\u2019 = 2 e x\u201d = 3 32 - x\u2019 = 3 e x\u201d = 6
1 1 1
33 - x* = - e x\u201d = - 34 - xs = - e x\u201d = 5
4 2 6
Veja Com Atenção:
Quando numa equação do segundo grau o coeficiente do termo do 
2a grau, isto é ,o a for igual a 1, como por exemplo: x2 \u2014 7x + 12 \u2014 0
Devemos, para maior facilidade, aplicar a fórmula: x2 \u2014 Sx + P = 0
onde P representa o produto das raízes e \u2014 S, o simétrico da soma das raízes.
No caso da equação x2 \u2014 7x + 12 = 0, você deverá tentar desco­
brir dois números que multiplicados dê 12 e somados dê 7.
Siga o seguinte roteiro:
Primeiramente, olhe para o sinal do produto, se ele for positivo 
você deverá concluir que as raízes possuem o mesmo sinal, isto porque:
1 1 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Se ele for negativo, é porque as raízes possuem sinais contrários, 
isto porque:
Em seguida veja o sinal da soma das raízes, se ele for positivo é 
porque a soma das raízes deverá ser-negativa; e se ele for negativo é por­
que a soma das raízes deverá ser positiva pois \u2014 S indica o simétrico da 
soma das raízes da equação.
Então, na resolução de uma equação do tipo x2 \u2014 7x + 12 = 0 não 
há necessidade <le ser recorrer a fórmula já conhecida.
Conclua que xJ = 3 e xM = 4 pois 3 x 4 = 12 e 3 + 4 = 7.
35 - Resolva as equações abaixo relacionadas:
a) x3 \u2014 5x + 6 = 0- d) x2 \u2014 12x + 20 = 0
b) x~ - 9x + 20 = 0 e) x2 - 6x - 16 = 0
c) x2 + 4x - 21 = 0 f) X 2 - l lx + 28 = 0
Respostas:
a) x\u2019 = 2 e x\u201d = 3 d )x , = 2 e x \u201d = 10
b) x5 = 4 e x\u201d = 5 e) x\u2019 = \u2014 2 e x\u201d = 8
c) x\u2019 = - 7 e x\u201d = 3 f) x\u2019 = 4 e x\u201d = 7
EXISTENCIA DAS RAIZES
Depende, do sinal de À = b2 \u2014 4ac. 
para Á > 0 a equação terá duas raízes reais e disdntas; 
para Á = O.a equação terá duas raízes reais e iguais; 
para Á < 0 a equação não possui raiz real
36 - Determine os valores de m para que a equação abaixo admita raízes 
reais e desiguais. 3x2 \u2014 6x + m = 0 
Solução:
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 
b2 - 4ac > 0.
Como a = 3; b = ~ 6 e c = m, temos:
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 1 1 9
(\u2014 6)1 - 4 x 3 x m > 0
36 \u2014 12m > 0 \u2014 t2m > \u2014 36 => m < 3
Logo, m deverá ser menor do que 3, para que a equaçào admita 
raízes reais e distintas.
36 - Determine o valor de m para que a equação x2 - 6x + 3m = 0 admita 
raízes reais e iguais.
Rj 3
37 - Determinar os valores de m na equação x2 \u2014 lOx + 2m \u2014 1 = 0 para 
que suas raízes sejam reais e desiguais.
R: m > 13
38 - Qual o valor de k para que a equação x2 \u2014 4x + k \u2014 3 = 0 tenha raízes 
reais e desiguais.
R: k < 7
39 - Dada a equaçào 3kx2 \u2014 2x \u2014 1 = 0 determinar k para que eía tenha 
raízes reais iguais.
40 - Determinar k na equaçào 4x2 \u2014 8x + 2k = 0, para que a equaçào 
possua raízes desiguais.
R: k < 2
41 - Determinar o valor de m para que a equação abaixo admita raízes 
iguais, x2 + 2x 4- 2mx + m2 = 0
1R: m = - -
42 - Calcular m na equação mx3 \u2014 2mx + 3 de modo que ela possua duas 
raízes reais
Anderson
Anderson fez um comentário
O ruim desse é que ele fica com duas letras sobrepostas.
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João Matheus
João Matheus fez um comentário
Gh
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