H lder Goes e Ubaldo Tonar   Matem tica para Concurso   7 Edi o   Ano 2004
625 pág.

H lder Goes e Ubaldo Tonar Matem tica para Concurso 7 Edi o Ano 2004


DisciplinaMatemática94.181 materiais2.096.296 seguidores
Pré-visualização50 páginas
na razão de 6 partes da primeira para 1 parte da 
segunda. Usando 15 litros de tinta branca, quantos litros da tinta azul claro 
ele obterá,
a) 16 b) 16,5 c) 17 d) 17,5 e) 18
1 1 ) T R T - Qual das seguintes razões não corresponde a 1,75.
6 - 7 49 92 175
a) 1- b) ~ c) \u2014 d) \u2014 e) --------
' 8 ' 4 28 52 7 100
12) T R E - Num teste com 20 questões, uma pessoa acertou 12 questões. 
Determine a razão do número de questões erradas para o número total de 
questões:
a) 2/5 b) 3/4 c) 2/3 d) 4/6 e) NDR
3 0 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
1 3 ) T R E - Um lote de terreno tem 8.000 m2 de área. Sabendo que a área 
construída é de 1.200 n r, determine a razão da medida da área livre para a 
medida da área do terreno.
a) 15/13 b) 7/9 c) 17/20 d) 14/11 e) NDR
R E S P O S T A S
0 1 ) 1/4 0 2 ) D
0 3 ) B 0 4 ) B
0 5 ) D 0 6 ) C
0 7 ) C 0 8 ) A
0 9 ) A 1 0 ) D
1 1 ) D 1 2 ) A
1 3 ) C
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 3 0 7
PROPORÇÃO
DEFINIÇÃO: Chamamos de proporção, a igualdade entre duas 
razões equivalentes, isto é, duas razões de mesmo quociente.
a c a c ,_ = \u2014= fe .e \u2014 = k
b d b d
sendo k um número real qualquer.
Notação: De uma maneira geral, sendo dados quatro números a, 
b , c e d com b ^ 0 e d =£ 0 poderemos ter as seguintes notações: \u2022
a _ c
\u2014 \u2014 \u2014 \u25a0 ' a : b = c : d a : b : : c : d
b d
a _ c
Se a, b, c e d formam uma proporção, isto é, se , dizemos
b d
que: a está para b assim como c está para d.
TERMOS DE UMA PROPORÇÃO
Toda proporção é formada por quatro números que são chamados
a __ c
de termos da proporção. Na proporção > temos:
1) a é o primeiro termo 5) a e c são os antecedentes
2) b é o segundo termo 6) b e d são os conseqüentes
3) c é o terceiro termo 7) b e c são os meios
4) d é o quarto termo 8) a e d são os extremos
3 0 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
a _ c
\u2014 \u2014 ~ b x c = a x d
b d
PROPRIEDADE RECIPROCA
A recíproca da propriedade fundamental é válida; veja por exem­
plo: 4 x 9 = 3 x 1 2 , como esses produtos são iguais, eles nos permite
escrever:
4 12
a c
De um modo geral se: b x c = a x d => \u201c r ou seja:
b d
\u25a0' l .......... .... ,. \u25a0* f k '
01 - Tendo-se a igualdade 7a = 8b, escrever a relação entre a e b. 
Solução:
a . 8 A relação entre a e b, isto é, \u2014 deve ser igual a ~ , pois se
a 8
tivermos \u201c = \u2014 , poderemos escrever 7a = 8b.
02 - Dada a igualdade 2x = 5y, escreva as relações entre y e x e entre x e y. 
R: 2/5 e 5/2
0^ - Formar uma proporção e calcular o valor de x, com os fatores 
7x x \u2014 42 x 2.
R: 12 ' _
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 0 9
T R A N S F O R M A Ç Õ E S D E U M A P R O P O R Ç Ã O
Qualquer proporção pode ser escrita de oito maneiras diferentes 
sem, contudo, alterá-la. São as trocas de posições dós seus termos, mas 
que não modificam a propriedade fundamental. Consiste em A l t e r n a r , 
I n v e r t e r e T r a n s p o r .
a _ c
Seja a proporção -------
b d
a ) Alternar: É trocar a posição dos meios ou dos extremos.
a __ c a _ b
i) Meios: ~ => \u2014 r
b d c d
a _ c d % c
ii) Extremos:----\u2014 =>\u2014 \u2014 \u2014
b d b a
b ) Inverter: E a troca, em cada razão, do antecedente pelo conse­
qüente.
a _ c b _d
b d a c
c ) Transpor: É trocar a posição das razões,
a __ c c __ a
\u2014 \u2014 - (Proporção transposta)
b d d b
d ) Alternar a Transposta:
c a c d
i) Meios: ------- ^ \u2014-------
d b a b
c a b a
ii) Extremos: \u2014 \u2014 \u2014 \u2014-----
d b d c
c _ a d __ b
e ) Inverter a Transposta: "7 - \u2014 => \u2014-----
d b c a
3 1 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
C Á L C U L O D E U M T E R M O D E S C O N H E C I D O
Baseado na propriedade fundamental, poderemos calcular o valor 
de um termo qualquer de uma proporção, quando são conhecidos os ou­
tros três.
1) Cálculo de um dos meios:
04 - Calcular o valor de x na proporção 
Solução:
Como x é um dos meios, temos:
1 ~ 1 í 
2 ~ S
_ 2 - i 1 + 1
05 - Calcular o valor de x na proporção -----ÍL - 2.\u2014 á.
x 15
R : 2 0
2) Cálculo de um dos extremos:
' í/V VVn''érnò.-élguíií àq.biodúfi
3 _ 1 2
06 - Calcular o valor de x na proporção ~ \u2014
2 x
Solução:
2 x12
Como x é um dos extremos, podemos escrever x \u2014 ~ x
x 5 4
07 - Calcular o valor de x na proporção ^ .
R : 4
MAIEMÁTíCA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 311
08 - Calcular o valor de x na proporção ^ ^ = \u2014
_ - x 
3
R: 1/4
1 ^ 1 j.
QUARTA PROPORCIONAL
De um modo geral, designando-se por x a quarta proporcional en-
a _ c
tre os números a, b e c, teremos - \u2014, onde x é a quarta proporcional.
O
09 - Determinar a quarta proporcional dos números 7, 2 e 14.
7 _ 14
Solução: Chamando-se de x a quarta proporcional, temos: ~ \u2014 \u2014
2x14
Como x é extremo, podemos escrever: x = \u2014~\u2014 => x = 4.
10 - Calcule a quarta proporcional dos números 3,4 e 12.
R: 16
11 - Calcule a quarta proporcional dos números 4, 2 e 7.
R: 7/2
PROPORÇÃO CONTÍNUA
. . . . . . . . : .....
Umàíjpropòi\u2019Kíp'^con^iíày-'^ü\u2018áncio eI^\^§ssl»:ò$:_ípeios \u25a0:oú; \u25a0 \u2019
3 1 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Genéralizando-se temos:
a _ b . . . a _ c
------- (meios iguais) ou ~ \u2014 ~ (extremos iguais)
12 - Se 9, x e 49 formam uma proporção contínua, calcule o valor de x. 
R: 21
TERCEIRA PROPORCIONAL
Sejam a e b número dados. A terceira proporcional dos números a
a b X \u2014 Terceira Proporcional
e b será: \u2014 = \u2014 <
b X í b = Média proporcional ou geométrica, isto é, o
número que se repete
13 - Calcular a terceira proporcional dos números 5 e 15.
Solução: Chamando-se de x a terceira proporcional, temos:
5 15 15x15
\u2014 = \u2014 = X = 45
15 x 5
1 1
14 - Calcule a terceira proporcional dos números ~ £ ~ .
R: 4/3
15 - Calcule a terceira proporcional dos números 0,2 e 0,4
R: 4/5
16 - Calcule a terceira proporcional dos números 4 e 8, sendo o 4 a média 
proporcional ou geométrica.
R: 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 1 3
17 - Calcule a terceira proporcional dos números 6 e 2, sendo o 6 a média 
geométrica.
R: 18
PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES
Primeira Propriedade:
|odá--pM pqrç^.^ J
íi-irmiiro\u2019 çóü s^egiVj ^ ^ís/ulrimós . p
&quot;í.VJV.;..-.:';' \u25a0\u25a0/\u25a0r.-v'e'stá^para rytérb£jrò;:jp íi^^
. \ ;/\u25a0 r.:*
. . . . . . . . . . . . . . .
'\u25a0\u25a0:.}\u25a0-\u2018-'J'--:>» v>-\u2022- '\u25a0 ,\u25a0; .
18 - Calcular dois números cuja soma seja 54 e estejam entre si como 2 
está para 7.
Solução:
x 2
x + y = 54 e
y v
x 2
Aplicando a propriedade na proporção j teremos:
x + y _ 2 + 7 54 _ 9 54 x 2
------ --------- m s^ x + \u2014 54 então \u2014 \u2014 ~ donde x = --------- :=> x = 12
x 2 J \u25a0 x 2 \u25a0 9
Tendo-se o valor de x, poderemos encontrar o de y, substituindo o
x 2
12; tanto em x + y = 54, como em y . Nó que resulta: y 42
3 1 4 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
19 - Calcule um número cuja soma de seus dois algarismos é 9, sabendo 
que eles estão entre si na razão de 15 para 12.
R: 54
20 - As idades de um pai e a de um filho, somam 55 anos e estão na ra2ão 
de 8 para 3. Calcule a idade do filho.
R: 15
21 - Num número de dois algarismos, o valor absoluto do algarismo das 
dezenas está para o das. unidades como 3 está para 4. Calcule esse número, 
sabendo que a soma dos seus algarismos é 14.
R: 68
22 - A soma de dois números é 60 e o menor está para o maior assim 
como 5 está para 7. Calcule esses números.
R: 25 e 35
23 - Dada a fração 5/8, achar outra fração que lhe seja equivalente' e tenha 
para soma dos termos 39.
R: 15/24
Segunda Propriedade:
24 - Calcular dois números cuja diferença é 50 e estejam entre si como 8 
está para 3.
/ '
x _ 8
Solução: x \u2014 y =\u25a0 50 e \u2014 \u201c T
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 315
. , , x~ y__8-3Aplicando-se, na proporção,
Anderson
Anderson fez um comentário
O ruim desse é que ele fica com duas letras sobrepostas.
0 aprovações
João Matheus
João Matheus fez um comentário
Gh
0 aprovações
Carregar mais