H lder Goes e Ubaldo Tonar   Matem tica para Concurso   7 Edi o   Ano 2004
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H lder Goes e Ubaldo Tonar Matem tica para Concurso 7 Edi o Ano 2004


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a propriedade, terem os:----------\u2014~ ,
X o
50 5 50x8
como x - y = 50 vem: \u2014 - \u2014 onde x = \u2014-\u2014 => x = 80.
x o o
80 _ 8 80 x 3
Substituindo o valor de x em - resulta - ondey\u2014\u2014~\u2014y j y j g
=r> y = 30.
25 - Calcular dois números cuja diferença é 10 e estejam entre si na razão 
de 9 para 7.
R: 45 e 35
x 5
f na proporção
R: 35 e 14
a 5
3 na proporção
R: 25 e 15
26 - Calcular x e y na proporção 9 , sendo x \u2014 y \u2014 21.
27 - Calcular a e b na proporção "\u2014 ~ , sendo a - b = 10.
b 3
y _ 12
28 - Achar os valores de x e y na proporção ~ \u201c > sabendo-se que y - x = 20.
R: x = 10 e y = 30
29 - A soma de três números é 1.523. O primeiro está para o segundo 
como 9 está para 4 e a diferença entre estes dois números é 425. Calcular 
o terceiro número.
R: 418
30 - A diferença de dois números é 104 e a sua razão 15/2. Achar esses 
números.
R: 120 e 16
3 1 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
31 - Dividir o número 72 em duas partes que estejam entre si como 4 está 
para 5.
R: 32 e 40
32 - A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é. igual a 90°. 
Calcular esses ângulos sabendo-se que eles estão entre si como 2 está para 3. 
R: 36a e 54°
Terceira Propriedade:
: EiiV; l;ò:dá: prÔpürçâà (oja .diferencfi).
\u2022 \u2022' v : ...sòMâ-(ou:;.di'fel:en :do^çânsequéntes;,' ássiiii;;çó.mó-.^ i
\u2022.. \u25a0 V \u2022. 7;;' i;c^ esira;p:Vrá\u2019 ò seu'rcs.£è£tíyò;.ço^
\u25a0; -a : ± G - \u2019 á ; :-:y . - 7 :
$ S % 'Hví
V-.: i
a _ b
33 - Na proporção ~ \u2014 ~ , s e a + b = 32, calcule o valor de a.
Solução:
a + b __ a
Aplicando-se, na proporção, a propriedade resulta -\u2122\u2014 \u25a0\u25a0 - ~ mas
32 a 32 x 3 
a + b = 32, então temos: ~ \u2014 \u2014-\u2014
8 3 8
a \u2014 12.
x _ y
34 - Calcular x e y na proporção ~ \u2014 ~ sabendo-se que y ~ x = 5-
O
R: 15 e 20
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 317
35 - Calcular x e y na proporção ~ ~ sendo x \u2014 y \u2014 21.
R: 35 e 14
x _ y
36 - Calcular x e y na proporção \u201d \u2014 ~ , sendo que x + y = 252.
R :119 e 133
a b
na proporção
R: 42 e 14
x _ y
37 - Calcular a e b na proporção ~ sendo a \u2014 b \u2014 28.
a __ b
38 - Dada a proporção \u2014 , calcule a + b, sabendo que 3a + 2b = 22.
3 12
Solução:
Veja que a relação que você tem é 3a + 2b = 22, então devemos 
fazer com que apareça o 3a e o 2b como antecedentes, para, em seguida, 
se aplicar a propriedade. Para tanto, multipliça-se a prkneira rázao por 3,
3a 2b
no que resulta ~ ; e a segunda razão por 2, no que resulta ~ . Lembre-
se que as razoes gozam das mesmas propriedades das frações, logo essas 
duas razões são equivalentes as razões dadas.
3a 2b
Podemos escrever: \u2014 - \u201c . Aplicando-se a propriedade, resulta:
J
3a + 2b a 22 a 22 x 3
~7\u2014 \u2014 ~~. Como 3a 4- 2b = 22 temos: TT \u2014 \u2014 a \u2014 \u2014~\u2014 =>a = 2.
9 + 24 3 33 3 33
Substituindo o valor de a na proporção inicial, temos:
2 b , 12x 2
\u2014----- ;z>b \u2014-------- b \u2014 8.
3 12 3
Então: a + b = 10
3 1 8 HILDER GÓES \u2756 UBALDO TONAR
a b
39 - Se ~ \u2014 ~ e 5a \u2014 2b =2, calcule a e b.
3 6
R: 2 e 4
x _ y
40 - Se ~ \u2014 \u2014\u25a0 e 4x + 2y \u2014 20. Calcule o valor de x.
5 9
R: 2
x y
41 - Calcule o valor de x e y na proporção ~ = \u2014, sabendo que 5x + 3y = 33.
4 8
R: 3 e 6
Quarta Propriedade:
2
42 - Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é \u2014 e o
produto 150.
Solução:
x __ 2
- ~ J e x . y . = 150
x _ 2 . x y
Permutando-se os meios na proporção temos: \u2014 \u2014 ~ . Apli­
cando-se a propriedade, resulta: \u2014 \u2014 = \u2014 mas x . y - 150, então resulta
2 .3 4
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 1 9
x _ 2 , j £ _ 2
Substituindo-se o valor de x em ~ , temos: \u2014 y = 15.y o y o J
43 - Calcule dois números cujo produto é 288 e estão entre si como 2 está 
para 9.
R: 8 e 36
44 - Calcular dois números sabendo-se que o produto é 525 e estão entre 
si como 3 está para 7.
R: 15 e 35
45 - Achar dois números cujo produto é 315 e que estão na razão de 7/5.
R: 21 e 15 ^
46 - Calcule dois números sabendo que a razão entre eles é 4/9 e o produ­
to vale 900.
R: 20 e 45
Quinta Propriedade:
a __ c
Seja a proporção ~ ~ . Elevando-se os dois membros à potência 
b d
mv e m : | - | - ( t I no que resulta ^ ^
3 2 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Seja a proporção > elevando-se ambos os membros à segun-
4 _ 16
da potência, por exemplo, resulta: ~ ~ . Como 9 x 16 ~ 4 x 36, concluí-
4 __ 16
mos que ~ \u2014 \u201c continua sendo uma proporção.
2 _ 4
Sexta Propriedade:
a _ c
Seja a proporção Extraindo-se a raiz n de cada membro
b d
b Vd °U V b \u201c ^/d\u2018
4 _ 16
Seja a proporção \u2014 \u2014 Extraindo-se a raiz quadrada de todos
41 4í 6 2 4 -.
os termos, vem: ~~ ^\u201c no que resulta \u201c ~ ~ que continua sendo
uma proporção, pois 3 x 4 = 2 x 6.
a _ b
47 - Calcular a e b n a proporção ~ ~ ~ sabendo que a2 + b 2 - 125.
/ í *T
2 u2 a _ b
Solução: Elevando-se cada razão ao quadrado, tem os:----------- .
* . \u2022 49 196
\u25a0 a2 + b2 _ a2'
Aplicando a terceira propriedade resulta:----------------- , mas a2 + b2 =125.
r ^ F 49 + 196 49
125 _ a2 .
Então, temos: -^ 7 \u2014 \u2014 , simplificando os termos da primeira razão por
MATEMÁTICA PARA CONCURSO \u2014 PROPORÇÃO 321
5 resulta: \u2014 . Como os conseqüentes são iguais, implica que os an­
tecedentes são iguais, logo a3 = 25 => a = 5.
5 _ bSubstituindo-se o valor de a na proporção inicial, temos \u201c \u2014 \u201c 
b = 10.
x _ y
48 - Determinar os valores de x e y na proporção ~ - \u2014 , sabendo-se que
x2 + f - 20. 
R: 2 e 4
a b
49 - Calcule os valores de a e b na proporção ------ - , sabendo-se que
3 12
a2 + b2 = 68.
R: 2 e 8
a _ b
50 - Determinar a e b na proporção ~ ~ s sabendo-se que a2 \u2014 b2 = 12. 
R: 4 e 2
a _ b
51 - Calcular a e b na proporção \u2014 \u2014 \u2014 , sabendo-se que a2 + b2 = 100.
3 4
R: 6 e 8
a _ b
52 - Calcular a e b na proporção ~ \u2014 sabendo-se que 2a2 + b2 = 44.
R: 2 e 6
a _ b
53 - Calcular a e b na proporção ~ ~ , sabendo-se que 2a2 + b2 = 24.
R: 2 e 4
322 HILDER GÓES * UBAXDO TONAR
Sétima Propriedade:
a _ c a _ d
54 - Sabendo-se que ~ \u2014 \u201c e \u201c \u2014 \u2014 , calcule a se c + d = 18.
. 1 3 9
Solução: Aplicando-sé a propriedade nas duas proporções, resulta:
c d c + d c 18 c 9x18
_____ c omo c + d = 18, temos t---- - - \u2014 ^ c = \u2014 \u2014'
9 18 \u2019 9 + 18 9 27 9 27
a _ c
=> c = 6. Levando o valor de c = 6 para a proporção \u201d ~~ teremos:
6x3
a \u2014 \u2014:\u2014 a \u2014 2
a _ m m __ b
55 - Calcular a e b nas proporções -------e \u2014 \u2014 ~ 5 sendo a + b = 45.
7 3 3 8
R: 21 e 24
x a- y __ a
56 - Calcular x e y nas proporções e \u2014 \u2014 \u2014 5 sendo x + y = 33.
R: 21 e 12
SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS
a _ c _ e _ g 
b~ d~~f ~"h"'
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 2 3
PROPRIEDADES DAS SERIES DE RAZÕES IGUAIS
a c e a + c + e. a c e
Sendo: \u2014 \u2014 \u2014 ~ ~~ temos: ----------- ------ \u2014 \u2014 \u2014 \u2014
b d f b + d + f b d f
x _ Y _ 257 - Dadas as razões > calcular x , y e z, sabendo-se que
x + y + z = 150.
Solução:
Aplicando-se a propriedade, temos:
x + y +z __ x _ y _ z
2 + 5 + 8 2 \u2122 5 _ 8
150 _ x 150 y 150 __ z
Como x + y + z = 150, resulta: \u2014~ \u2014 \u2014 ou -----\u2014 \u2014 ou ----- \u2014 \u2014
7 15 2 15 5 15 8
que resolvidas nos dá: x = 20; y = 50 e z = 80.
1 - 1 - 1 
x y z58 - Calcular x, y e z em v sendo x + y + z = 60.
R: 20, 28 e 12
x _ y _ z
59 - Sendo ~ \u2014 \u2014 \u2014 \u2014, calcular x, sabendo que x + y + z = 64. 
R: 8
a __ b __ c
60 - Sendo ~ ~~ 20 ~ *14 5 ca c^u a^r sabendo que a + b + c 
R: 40
7 _ 2 5
61 - Sendo \u2014 \u2014 ~ e a+b + c \u2014 70, calcule a + c,
a b c
R: 60
324 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
x _ y y _ 2
62 - Calcule x nas proporções ~ ~ e \u2014 \u2014 \u2014 s sendo x + y + z = 60. 
R: 15
x _ y _ z
63 - Dadas as razões \u2014 \u2014 \u2014 \u2014 \u2014 e sabendo-se que 5x + 2y + z = 420,
2 5 8 ^ 1
calcule a quarta proporcional entre x, y e z.
Solução:
Como precisamos de 5x, 2y e z para empregarmos o valor de sua 
soma, isto é, 420, multiplicaremos
Anderson
Anderson fez um comentário
O ruim desse é que ele fica com duas letras sobrepostas.
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João Matheus
João Matheus fez um comentário
Gh
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