H lder Goes e Ubaldo Tonar   Matem tica para Concurso   7 Edi o   Ano 2004
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H lder Goes e Ubaldo Tonar Matem tica para Concurso 7 Edi o Ano 2004


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os termos da primeira razao por 5 e os
5x _ 2y _ z
da segunda por 2, no que resulta. \u201c \u2014 ~ ~ . Aplicando-se a proprieda-
5x + 2y + z _ 5x _ 2y _ z 
de da série de razões iguais vem: \u2014\u2014~ \u2014\u2014 \u2014 ~ ~~ \u2014 \u2014 no que resulta:
6 10 + 10+8 10 10 8 1
420 _ x 420 _ y 420 _ z
\u2014 \u201c 2 * ~ J e \u201c g \u25a0 Calculando x, y e z, encontramos: x = 30,
y \u2014 75 e z = 120.
Devemos agora, calcular a quarta proporcional dos números 30, 75
30 120 , 75x120
e 120. Então, temos: \u2014 \u2014\u25a0\u2014 => k ~ \u2014 \u2014 => k ~ 300.
75 k 30
x _ y _ z
64 - Se \u2014 \u2014 e x + 3y + 2z = 76. Calcule a terceira proporcional
entre x e y.
Solução:
Como precisamos de x, 3y e 2z para empregarmos o valor de sua 
soma que no caso é 76; multiplicaremos os termos da segunda razão por 3
x _ 3y __ 2z
e os da terceira por 2, no que resulta ~ \u2014 ~ \u201d . Aplicando-se a proprie-
x + 3y + 2 z _ x _ _ 3 y _ 2 z __ 76 _ x
dade das séries, v em :------------------- \u2014 ~~ \u2014 ~~~, então, temos: ~~~~~ e
2 + 9 + 8 2 9 8 19 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 2 5
76 _ y , que nos dá: x = 8 e y = 12. Veja que nào há necessidade de
calcularmos o z, pois o problema nos pede a terceira proporcional de x e
8 _ 12
y, isto é, de 8 e 12. Calculando-se, temos: ~ ~ T ~ => k = 18.
7 12 k
a __ b _ c
65 - Calcule a -1- b em --------- ~ sendo 2a + 3b \u2014 c = 42.
6 3 7
R: 27
a _ b _ c
66 - Calcular a e b em ----------T , sendo a \u2014 b + c = 22.
5 3 9 \u2019
R: 10 e 6
a _ 2b 1,5 c
67 - Dadas as razões------------------ e a relação a + 3b \u2014 2c = 100. Calcule
5 6 3 v
a + b + c.
R: 100
3 _ 5 _ 7 _ 4
68 - Calcular a e d na sér ie---- -- --------- ~ sendo b 4- c = 60.
a b c d
R: 15 e 20
a _ b x
69 - Na série de razões ^ \u2014 \u201c , sabendo-se que a + b = 13 e y \u2014 x = 1.
Calcular x e y.
R: x \u2014 2 e y = 3
70 - Repartir 40 em três partes, de modo que a primeira dividida por 2, a 
segunda por 3 e a terceira por 5, resulte sempre o mesmo quociente.
R: 8, 12 e 20.
3 2 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
71 - Sabendo-se que 5xy = 2yz = 8xz, calcule a quarta proporcional 
entre x, y e z, nesta ordem, se x + y + z = 150.
Solução:
Dividindo-se toda expressão 5xy = 2yz = 8xz por xyz, supondo
5xy _ 2yz _ 8xz
que nenhum deles sei a igual a zero, resulta: , aplicando-^ ; \u2019 xyz xyz xyz r
5 _ 2 _ 8 _
se a lei do cancelamento para efeito de simpliBcacão, temos: - \u201c .z x y
5+2+8 5 2 8
Aplicando-se a propriedade das séries, vem: ~ \u2014 \u201c ou
1 L - Í - - 1 1 - 1 15 _ 8
-i cn \u201c ; k a ~ e i trn ~ que resolvidas, nos dá: z = 50; x = 20 e150 z 150 x 150 y n
y = 80. Calculando-se a quarta proporcional de x, y e z; isto é, de 20, 80
20 50
e 50; tem o s:-------~~ => k = 200.
80 k
72 - Sabendo-se que 2xy = 3yz.= 4xz. Calcule x x y x z, sendo que 
x + y + z = 18.
R: 192
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
A quarta propriedade pode ser aplicada numa série de razoes iguais, 
generalizada.
3 3 3\u2022x a _ c _ £ a x c x e _ a __ c _ e
i) b \u201c d ~ ^ b x d x f ~ b3 \u201d dF \u201d f 3
4 4 4 4a _ c _ e _ _ g a x c x e x g a _ c __e _ g 
^ b ~ â ~ l ~ h ~ * b x d x f x h \u201d br _ dT \u201d" " F _ h?
De onde se conclui que: o antecedente e o seu respectivo conseqüente deverão 
ser elevados a um expoente igual ao número de raspes existente na série.
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 327
7 3 - 0 produto das idades de Paulo, Luiz e Roberto é 3.840. Sabendo que 
essas idades estão representadas pelas razões 3, 4 e 5 respectivamente. 
Calcule essas idades.
Solução:
Sejam x, y e z as idades de Paulo, Luiz e Roberto, respectivamente,
x __ y _ 2
temos que: x x y x z \u2014 3.840 e \u2014 \u2014 \u2014 \u2014 Baseado no que foi dito na
x x y x z _ x3 __ y 3 _ zJ
observação anterior, poderemos escrever---------------------------------
v 3 x 4 x 5 27 64 125
3.840 _ x 3 3.840 _ y3 3.840 z3-------------------------- \u2014 e ---------- ----- qUe resolvidas nos da: x = 12:
60 27 60 64 60 125 ^
y = 16 e z = 20.
x __ y _ z _ w
7 4 - S e x ^ y x z x w = 384 e ---- ------- \u2014 calcule x . y . 2 e w.
J 1 2 3 4 .
R: 2, 4, 6 e 8
17 25 '26 30
7 5 - Se a xbx c xd = 26.851.500 e \u2014 \u2014 ~ \u2014-------- . Calcule a + b \u25a0+ c + d.
a b c d
R: 294
3 15 6 9
7 6 - S e a x b x c x d = 7.680 e --- -----\u2014 \u2014 Calcule a.
a b c d
R: 4
77 - Numa proporção a soma dos extremos é 12 e a soma dos meios é 9 e 
o produto dos quatros termos é 400. Calcule os quatro termos.
Olhe: Qualquer problema que der o produto dos quatro termos da 
proporção, recorra sempre à propriedade fundamental.
Solução:
a _ c
Seja 7" \u2014 ~ temos a + d = 12; b + c \u2014 9 e a x b x c x d = 400. 
b d
3 2 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
A propriedade fundamental nos diz que, a x d = b x c, então, 
substituindo em a x b x c x d = 400 a x d por b x c tem-se: b x c x b x c = 
400 ou b2 x c2 = 400, logo b x c = 20 onde implica que a x d = 20 pois a x 
d = b x c.
S e b x c = 2 0 e b + c = 9, vê-se facilmente que os números são 
b = 4 e c = 5. Por analogia se a x d = 20 e a + d = 12, conclui-se que os
10 _ 5
números são: a = 10 e d = 2. Logo \u2014 \u2014
& 4 2
Atente que essa proporção poderia ser escrita de outra forma.
78 - Numa proporção a soma dos extremos é 17, a soma dos meios é 13 e 
o produto dos quatro termos é 1.764. Achar a proporção.
79 - Determinar os quatro termos de uma proporção contínua, sabendo- 
se que o produto de seus quatro termos é 1.296 e que o primeiro termo é 
igual a 1/3 da soma dos meios.
R: 4, 6, 6 e 9
8 0 - 0 produto de quatro termos de uma proporção é 14.400. Achar os 
conseqüentes sabendo que os antecedentes são 15 e 40.
R: 3 e 8
8 1 - 0 produto dos quatro termos de uma proporção contínua é 10.000. 
O quarto termo é o dobro da média proporcional e o quádruplo do pri­
meiro termo. Escrever a proporção.
5 10
R: \u2014 = \u2014
10 20
82 - A soma de três números é 39 e o produto 729. O segundo é média 
proporcional ou geométrica entre os dois outros. Calcule os três números. 
R: 3, 9 e 27
matemática. PARA. CONCURSO\u2014PROPORÇÃO 329
83 - Escrever uma proporção, sabendo que a soma de seus termos é igual 
a 65 e que cada um dos três últimos termos é igual a 2/3 do seu respectivo 
precedente.
27 12
R; 18 \u201c s
84 - Dois números não nulos tais que o valor absoluto de sua diferença 
está para 1 assim como a sua soma está para 7 e assim como o seu produto 
está para 24. Calcule o produto destes números.
Ri 48
85 - Achar dois números tais que a sua soma, sua diferença e seu produto 
sejam proporcionais a 5, 3 e 8, respectivamente.
R: 2 e 8
86 - Achar dois números tais que a sua soma, sua diferença e o produto 
dos quadrados dos números sejam, respectivamente, proporcionais a 17,9 
e 2.704.
R: 4 e 13.
87 - Dividir 180 em três partes tais que a metade da primeira, a terça parte 
da segunda e um quarto da terceira, sejam iguais.
R: 40, 60 e 80.
88 - Numa proporção a soma dos meios é 7 e a dos extremos é 8 e a soma 
dos quadrados de todos os termos é 65. Escrever a proporção.
6 4
R: - = -
3 2
3 3 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
26'
PROPORÇÃO - Q uestões de C oncursos
01) CJF \u2014 À sucessão x, yt z é formada com números inversamente 
proporcionais a 12, 8 e 6 e o fator de proporcionalidade é 24. O valor 
de x, y, z é:
a) 2, 3, 6 b) 3, 5, 7 c) 2,4 , 6 d) 3, 6, 8 e) 2, 3, 4
02) TRE \u2014 A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como 
cinco está para dois. Calcule essas idades, sabendo que a diferença entre 
elas é de 21 anos.
a) 37 e 16 anos b) 36 e 15 anos c) 49 e 28 anos
d) 35 e 14 anos e) 33 e 12 anos
X Y Z
03) AFRE - 1 = - ~ ~ e 2x + 3y \u2014 z = 42, então 3x + 2y + z é igual a:
a) 91 b) 93 c) 95 d) 97 e) 99
04) TRE \u2014 Sabendo-se que 2 e 8 são antecedentes e 4 e 16 são conseqüen­
temente, a proporção assim formada é:
2 8 4 8 2 16 2 8 16 4
a) \u2014 \u2014 \u2014 b) \u2014 \u2014 \u2014 c) \u2014 _ \u2014 d) \u2014 e) \u2014 \u2014 ~~
M 6 4 y 2 16 1 8 4 \u2019 4 16 J 2 8
05) TRE \u2014 A razão entre dois números é
Anderson
Anderson fez um comentário
O ruim desse é que ele fica com duas letras sobrepostas.
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João Matheus
João Matheus fez um comentário
Gh
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