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coordenadas esféricas,\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
\u3a6(\u3c1, \u3b8, \u3c6) = (\u3c1 sen\u3c6cos\u3b8, \u3c1 sen\u3c6sen\u3b8, \u3c1 cos\u3c6)
C = [0,1] × [0,2pi] × [0, pi] .
1
Johann Carl Friedrich Gauss, (\u22c6 Braunschweig, 30/04/1777 \u2212 „ Göttingen, 23/02/1855), foi ma-
temático, astrônomo, físico e inventor alemão. Contribuiu em diversas áreas, enre as quais, Teoria dos
números, Estatística, Análise matemática, Geometria diferencial, Geofísica, Eletroestática, Astrono-
mia e Óptica.
53
54 Teorema de Gauss Cap. 5
r
q
j
f
1
p
2p
C
Sabendo-se que a integral de cos \u3b8 em [0,2pi] é zero, podemos escrever
\u222dB divF\u20d7 (x, y, z)dV = \u222dB(z + 1)dxdy dz= \u222b pi
0
\u222b 2pi
0
\u222b 1
0
(\u3c1 cos\u3c6 + 1)\u3c12sen\u3c6d\u3c1d\u3b8 d\u3c6
= \u222b 1
0
\u222b 2pi
0
\u222b pi
0
\u3c13\ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd\ufffd\ufffd:
0
cos\u3c6sen\u3c6 d\u3c6d\u3b8 d\u3c1
+ \u222b pi
0
\u222b 2pi
0
\u222b 1
0
\u3c12sen\u3c6d\u3c1d\u3b8 d\u3c6
= 2
3
pi\u222b pi
0
sen\u3c6d\u3c6
= 4
3
pi.
Agora calculemos o \ufb02uxo de F\u20d7 através da superfície de bordo \u2202B. Para parametrizá-
la, é su\ufb01ciente considerar \u3c1 = 1 nas coordenadas esféricas,\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
\u3c3(\u3b8, \u3c6) = (sen\u3c6cos\u3b8, sen\u3c6sen\u3b8, cos\u3c6)
K = [0,2pi] × [0, pi] .
O campo de vetores ortonormal obtido por esta parametrização é
\u3c3\u3b8 × \u3c3\u3c6 = det\u23a1\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
e1 \u2212sen\u3c6sen\u3b8 cos\u3c6 cos \u3b8
e2 sen\u3c6cos \u3b8 cos\u3c6sen\u3b8
e3 0 \u2212sen\u3c6
\u23a4\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6= (\u2212sen2\u3c6cos \u3b8,\u2212sen2\u3c6sen\u3b8,\u2212sen\u3c6cos\u3c6).
O campo de vetores \u3c3\u3b8 × \u3c3\u3c6 aponta para o interior do sólido (teste em \u3b8 = 0 e \u3c6 = pi2 ),
portanto \u3b7\u20d7(u, v) = (sen2\u3c6cos \u3b8, sen2\u3c6sen\u3b8, sen\u3c6cos\u3c6).
s sq jx
Ÿ5.1 Teorema de Gauss 55
Avaliando \u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
F\u20d7 (\u3c3(u, v)) = (1, sen\u3c6 cos\u3c6sen\u3b8, cos\u3c6)
\u3b7\u20d7(u, v) = (sen2\u3c6cos \u3b8, sen2\u3c6sen\u3b8, sen\u3c6cos\u3c6)
\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9 = sen2\u3c6cos \u3b8 + sen3\u3c6cos\u3c6sen2 \u3b8 + cos2\u3c6sen\u3c6
.
Recordando que
\u222b 2pi
0
cos \u3b8 d\u3b8 = 0 = e \u222b pi
0
sen3\u3c6cos\u3c6d\u3c6 = 0,
a integral de superfície reduz-se a
\u222c
\u2202B\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9 = \u222b pi0 \u222b 2pi0 sen2\u3c6\ufffd\ufffd\ufffd:0cos \u3b8 d\u3b8 d\u3c6+ \u222b 2pi
0
\u222b pi
0
\ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd:
0
sen3\u3c6cos\u3c6 sen2 \u3b8 d\u3c6d\u3b8
+ \u222b pi
0
\u222b 2pi
0
cos2\u3c6sen\u3c6d\u3b8 d\u3c6
= 2pi\u222b pi
0
cos2\u3c6sen\u3c6d\u3c6
= 2pi ( \u2212 1
3
cos3\u3c6]pi
0
)
= 4
3
pi.
Fica veri\ufb01cado o Teorema de Gauss. \u25fb
Exemplo 5.2. O Teorema de Gauss
2
pode ser utilizado para calcular o \ufb02uxo de um
campo de vetores através de uma superfície com bordo quando tais cálculos são enfa-
donhos. Vejamos um exemplo.
Calculemos o \ufb02uxo do campo de vetores F\u20d7
através da superfície S com vetor \u3b7\u20d7 apon-
tando para fora da superfície, onde
F\u20d7 (x, y, z) = (x \u2212 z4, yx, z)
e S \u2236 { x2 + y2 = 1
0 \u2264 z \u2264 1 .
h
2
Em alguns textos, denominado Teorema do divergente.
56 Teorema de Gauss Cap. 5
Observe que S é um cilindro sem as tampas
inferior e superior.
O campo de vetores \u3b7\u20d7 induz de modo natu-
ral um percurso no bordo. Mecanicamente
falando, se nos posicionarmos como o campo
de vetores \u3b7\u20d7, o percurso deixa a superfície S
do lado esquerdo.
h
Não podemos aplicar o Teorema de Gauss,
pois S não borda um sólido. Mas se conside-
rarmos a superfície obtida pela união de S, S1
(tampa superior) e S2 (tampa inferior), tere-
mos um sólido B com bordo \u2202B = S \u222aS1\u222aS2.
O campo de vetores \u3b7\u20d7 apontando para fora
do cilindro nas duas superfícies (tampas) in-
duz nos seus bordos o percurso inverso, basta
examinar quais os percursos que deixam a su-
perfícies S1 e S2 do lado esquerdo.
h
h
h
S
S
S
1
2
Agora, pelo Teorema de Gauss temos
\u222dB divF\u20d7 (x, y, z)dV = \u222c\u2202B\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS= \u222cS\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS +\u222cS1\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS +\u222cS2\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS.
Portanto, o \ufb02uxo que desejamos calcular é
\u222cS\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS = \u222dB divF\u20d7 (x, y, z)dV \u2212\u222cS1\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS \u2212\u222cS2\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS.
Utilaremos as seguintes parametrizações para as integrais no membro esquerdo da
última igualdade.
B \u2236 { \u3a8(r, \u3b8, z) = (r cos \u3b8, r sen\u3b8, z)C \u2236 [0,1] × [0,2pi] × [0,1] .
S1 \u2236 { \u3c3(u, v) = (ucos v, u senv,1)K1 \u2236 [0,1] × [0,2pi] .
S1 \u2236 { \u3c3(u, v) = (ucos v, u senv,0)K2 \u2236 [0,1] × [0,2pi] .
Ÿ5.1 Teorema de Gauss 57
\u222dB divF\u20d7 (x, y, z)dV = \u222dB(2 + x)dV= \u222b 1
0
\u222b 1
0
\u222b 2pi
0
(2 + r\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd:0sen\u3b8)r d\u3b8 dz dr
= \u222b 1
0
\u222b 1
0
4pir dz dr= 1.
O \ufb02uxo pela tampa superior S1 deve ser calculado utilizando \u3b7\u20d7 = \u3c3u × \u3c3v = (0,0, u).
De fato, estes campo de vetores aponta para fora do sólido B.
\u222cS1\u27e8F\u20d7 (\u3c3(u, v)), \u3b7\u20d7\u27e9dS = \u222cK1 ududv= \u222b 2pi
0
\u222b 1
0
ududv= 2pi.
O campo de vetores \u3b7\u20d7 para o cálculo do \ufb02uxo pela tampa inferior S2 deve ser adaptado,
pois \u3c3u × \u3c3v = (0,0, u) aponta para o interior do sólido B. Logo, devemos tomar
\u3b7\u20d7 = (0,0,\u2212u) no cálculo a seguir.
\u222cS2\u27e8F\u20d7 (\u3c3(u, v)), \u3b7\u20d7\u27e9dS = \u222cK1 0dudv= 0.
Portanto, \u222cS\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS = pi.
Apenas para simples veri\ufb01cação, calculemos diretamente o \ufb02uxo solicitado,
\u222cS\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS.
Parametrizemos a superfície S,
S \u2236 { \u3c3(u, v) = (cosu, senu, v)K \u2236 [0,2pi] × [0,1] .
Calculemos \u3c3u × \u3c3v = (cosu, senu,0). Este campo de vetores aponta para fora do
cilindro. Logo, podemos considerar \u3b7\u20d7 = (cosu, senu, 0). Sendo assim,
\u222cS\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS = \u222b 10 \u222b 2pi0 (cos 2u \u2212 v4\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd:0cosu +\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd:0sen2ucosu) dudv= \u222b 2pi
0
cos2udu
= \u222b 2pi
0
1 +\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd: 0cos2u
2
du= pi.
Isto termina a veri\ufb01cação. \u25fb
58 Teorema de Gauss Cap. 5
Exercício 5.1. Calcule o \ufb02uxo \u222c
\u2202B\u27e8F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS
onde \u3b7\u20d7 aponta para o exterior do sólido B.
1. { F\u20d7 (x, y, z) = (xy, yz, z2)B \u2236 0 \u2264 x \u2264 1, 0 \u2264 y \u2264 x, 0 \u2264 z \u2264 4 .
Resp.
38
3 .
2. { F\u20d7 (x, y, z) = (\u22122xy, y2,3z)B \u2236 x2 + y2 + z2 \u2264 1, z \u2265 x + y .
Resp. 2pi.
3. { F\u20d7 (x, y, z) = (x, y, z2)B \u2236 x2 + y2 + z2 \u2264 1 .
Resp.
8
3pi.
4. { F\u20d7 (x, y, z) = (3xy,\u221232y2, z)B \u2236 x2 + y2 \u2264 1, x2 + y2 \u2264 z \u2264 5 \u2212 x2 \u2212 y2 .
Resp. 4pi.
5. { F\u20d7 (x, y, z) = (x3, y3, z3)B \u2236 [0,1 × [0,1] × [0,1] .