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relevante desta teoria, é que, em geral, Im(\u2207) \u228a Nuc(rot). Ou seja,
existem campos de vetores cujo rotacional é nulo, mas eles não são campos gradien-
tes! Estudaremos mais tarde, que a igualdade Im(\u2207) = Nuc(rot) depende do tipo de
domínio \u2126!
Exercício 1.2. Calcule os operadores de derivação \u2207 ou rot, quando cabível. O do-
mínio considerado é \u2126 = R2.
1. f(x, y) = xexy.
2. F\u20d7 (, x, y) = (0, x).
3. F\u20d7 (x, y) = (x2, y2);
4. f(x, y) = x2 \u2212 y2. \u25fb
8 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
1.4 Integral de linha
Nestas notas utilizaremos a seguinte terminologia.
Ê \u2126 um aberto do R2;
Ë Uma curva signi\ufb01ca uma aplicação \u3b1 \u2236 [a, b] \u2192 \u2126, \u3b1(t) = (\u3b11(t), \u3b12(t)), seccio-
nalmente C1 (\u3b1 é contínua e existe a derivada \u3b1\u2032 exceto num número \ufb01nito de
pontos).
Ì F \u2236 \u2126\u2192 R2, F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y) um campo de vetores em V(\u2126,R2).
De\ufb01niremos uma integral denominada integral de linha de um campo de vetores
F\u20d7 = (F1, F2) em V (\u2126,R2) sobre uma curva \u3b1. Esta integral tem várias notações
(depende do livro texto). Aqui, \ufb01xaremos a notação
1
\u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y)dl.
De\ufb01nimos a integral de linha de F\u20d7 = (F1, F2) sobre uma curva \u3b1 \u2236 [a, b]\u2192 \u2126, integral
esta denotada por
\u222b\u3b1 F\u20d7 (x, y)dl =\u2236 \u222b ba \u27e8F\u20d7 (\u3b1(t)), \u3b1\u2032(t)\u27e9dt.
Observe que lançamos mãos do produto interno e da integral de\ufb01nida em Cálculo I para
de\ufb01nir integral de linha. Na Física, esta integral corresponde ao trabalho realizado por
uma força agindo sobre um corpo.
Exemplo 1.3. Vejamos exemplos ilustrativos para as proposições que seguem.
Consideremos o campo de vetores
F \u2236 R2 \u2192 R2, F (x, y) = (\u2212y, x)
e a curva
\u3b1 \u2236 [0,1]\u2192 R2, \u3b1(t) = (1 \u2212 t, t).
Observe que \u3b1(0) = (1,0) e \u3b1(1) = (0,1). O traço (imagem) de \u3b1 é uma curva plana
\u393, mais precisamente, seu traço é o segmento de reta compreendido entre os pontos(1,0) e (0,1). Estes pontos constituem o bordo de \u393, \u2202\u393 = {(1,0), (01)}. Calculemos
a integral de linha de F\u20d7 sobre \u3b1.
1
No livro texto (Guidorizzi) também é utilizado a notação \u222b\u3b1 F1dx + F2dy.
Ÿ1.4 Integral de linha 9
\u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y)dl = \u222b 1
0
\u27e8F\u20d7 (\u3b1(t)), \u3b1\u2032(t)\u27e9 dt
= \u222b 1
0
\u27e8F\u20d7 (1 \u2212 t, t), (\u22121,1)\u27e9 dt
= \u222b 1
0
\u27e8(\u2212t,1 \u2212 t), (\u22121,1)\u27e9dt
= \u222b 1
0
(t + 1 \u2212 t)dt= 1
Um fato relevante que pode ser mostrado, é que a integral de linha de F\u20d7 só depende
do traço \u393, do ponto inicial e do ponto \ufb01nal, ou seja, da ordem dos pontos do bordo
\u2202\u393. Exempli\ufb01quemos este fato.
a( )t
b( )s
(0,1)
(1,0)
g( )t
G
P
Considere uma outra curva com o mesmo traço \u393 e mesmos pontos iniciais e \ufb01nais.
Por exemplo,
\u3b3 \u2236 [1,2]\u2192 R2, \u3b3(t) = (1 \u2212 (t \u2212 1)2, (t \u2212 1)2) .
Calculemos a integral de F\u20d7 sobre \u3b3. Para isto, necessitaremos da velocidade, \u3b3\u2032(t) =(\u22122(t \u2212 1),2(t \u2212 1)). Agora,
\u222b
\u3b3
F\u20d7 (x, y)dl = \u222b 2
1
\u27e8F\u20d7 (\u3b3(t)), \u3b3\u2032(t)\u27e9 dt
= \u222b 1
0
\u27e8F\u20d7 (1 \u2212 (t \u2212 1)2, (t \u2212 1)2) , (\u22122(t \u2212 1),2(t \u2212 1)\u27e9 dt
= \u222b 1
0
\u27e8(\u2212(t \u2212 1)2,1 \u2212 (t \u2212 1)2), (\u22122(t \u2212 1),2(t \u2212 1)\u27e9dt
= \u222b 1
0
2(t \u2212 1)dt
= (t \u2212 1)2]2
1= 1.
10 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
Portanto, parametrizações de \u393 com mesmo ponto inicial e mesmo ponto \ufb01nal produzem
o mesmo valor da integral de linha.
Vejamos a mudança que ocorre no valor da integral de linha de F\u20d7 se a curva tem
outro traço mas os mesmo pontos \ufb01nais de \u3b1. O traço \u3a0 da curva
\u3b2 \u2236 [0,1]\u2192 R2, \u3b2(t) = (cos(pi
2
t) , sen(pi
2
t)) .
é um arco de círculo com ponto inicial (1,0) e ponto \ufb01nal (0,1). A velocidade é
\u3b2\u2032(t) = (\u2212pi
2
sen(pi
2
t) , pi
2
cos(pi
2
t)) .
Vejamos o valor da integral de linha sobre \u3b2:
\u222b
\u3b3
F\u20d7 (x, y)dl = \u222b 2
1
\u27e8F\u20d7 (\u3b3(t)), \u3b3\u2032(t)\u27e9 dt
= \u222b 1
0
(pi
2
sen2 (pi
2
t) + pi
2
cos2 (pi
2
t)) dt
= \u222b 1
0
pi
2
dt
= pi
2
.
Portanto, o valor é diferente do valor obtido anteriormente.
Finalmente, examinemos a mudança que ocorre no valor integral de linha quando a
curva tem o mesmo traço \u393 mas pontos iniciais e \ufb01nais opostos. A curva a seguir tem
esta propriedade:
\u3b1\u303 \u2236 [0,1]\u2192 R2, \u3b1\u303(t) = (t,1 \u2212 t).
Calculando,
\u222b
\u3b1\u303
F\u20d7 (x, y)dl = \u222b 1
0
\u27e8F\u20d7 (\u3b1\u303(t)), \u3b1\u303\u2032(t)\u27e9 dt
= \u222b 1
0
\u27e8F\u20d7 (t,1 \u2212 t), (1,\u22121)\u27e9 dt
= \u222b 1
0
\u27e8(\u22121 + t, t), (1,\u22121)\u27e9dt
= \u222b 1
0
(\u22121 + t \u2212 t)dt= \u22121
Portanto, o sinal da integral de linha é oposto ao de \u3b1. Resumamos em uma proposição
estas propriedades. \u25fb
Proposição 1.3. Sejam F\u20d7 \u2236 \u2126\u2192 R2 um campo de vetores, \u3b1 \u2236 [a, b]\u2192 \u2126, \u3b2 \u2236 [c, d]\u2192 \u2126
e \u3b1\u303 \u2236 [a, b]\u2192 \u2126 curvas em \u2126.
Ÿ1.5 Campos de vetores conservativos 11
1. Se \u3b1 e \u3b2 têm o mesmo traço e mesmos pontos iniciais e mesmos pontos \ufb01nais,
então \u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y)dl = \u222b
\u3b2
F\u20d7 (x, y)dl;
2. Se \u3b1 e \u3b1\u303 têm o mesmo traço e pontos iniciais e \ufb01nais opostos, então
\u222b
\u3b1\u303
F\u20d7 (x, y)dl = \u2212\u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y)dl.
1.5 Campos de vetores conservativos
Quando o campo é conservativo o Teorema do campo conservativo estabelece que a
integral de linha sobre uma curva \u3b1 só depende dos pontos iniciais e \ufb01nais não depende
do traço! Enunciemos o primeiro teorema, relacionando \u2207 e integral de linha:
F(\u2126,R) \u2207Ð\u2192 V(\u2126,R2)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
Teo. do campo conservativo
Será conveniente \ufb01xara seguinte notação:
f(x, y)]
\u2202\u3b1
=\u2236 f(\u3b1(b)) \u2212 f(\u3b1(a)).
Esta notação indica a avaliação de f(x, y) no ponto \ufb01nal de \u3b1 menos a avaliação de
f(x, y) no ponto incial da curva. Não parece, mas o símbolo f(x, y)]\u3b1 é uma integral,
mais precisamente, \ufffdintegral por avaliação\ufffd.
O seguinte teorema denomina-se Teorema do campo conservativo, uma generaliza-
ção do Teorema Fundamental do Cálculo visto no Cálculo I. Nos capítulo seguintes
esta ideia \ufb01cará clara. Em essência, ele a\ufb01rma que a integral de linha de um campo
conservativo não depende de \u3b1, depende apenas dos pontos \ufb01nais.
Teorema 1.1. Sejam F\u20d7 \u2236 \u2126 \u2192 R2, F\u20d7 = (F1, F2), um campo de vetores e \u3b1 \u2236 [a, b] \u2192 \u2126
uma curva. Se F\u20d7 é um campo conservativo com função potencial f \u2236 \u2126\u2192 R2, então
\u222b\u3b1 F\u20d7 (x, y)dl = f(x, y)]
\u2202\u3b1
Prova Assuma que F\u20d7 é um campo conservativo, ou seja, existe f \u2236 \u2126 \u2192 R2 tal que\u2207f = F\u20d7 . Por de\ufb01nição de integral de linha, regra da cadeia e Teorema Fundamental do
12 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
Cálculo temos:
\u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y)dl = \u222b b
a
\u27e8F\u20d7 (\u3b1(t)), \u3b1\u2032(t)\u27e9 dt
= \u222b b
a
\u27e8\u2207(\u3b1(t)), \u3b1\u2032(t)\u27e9 dt
= \u222b b
a
d
dt
f(\u3b1(t))dt
= f(\u3b1(t))]ba= f(\u3b1(b)) \u2212 f(\u3b1(a)).
Isto termina a demonstração. \u25fb
Observação 1.1. Este teorema merece alguns comentários.
1. O Teorema do campo conservativo relaciona integral sobre um objeto \ufffdunidemen-
dional\ufffd (linha) com a integral sobre um objeto \ufffdzero dimensional\ufffd (ponto). Esta
relação entre integrais que diminui a dimensão de 1 sobre o objeto