lista 11 stokes
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Assim, \ufb01ca veri\ufb01cado o teorema de Green. \u25fb
Exemplo 1.7. Considere o campo de vetores F (x, y) = (\u2212y, x) e a região
K = {(x, y) \u2208 R2; 1 \u2264 x2 + y2 \u2264 4}.
Esta região é um anel compacto cujo bordo \u2202K é a união de dois círculo, C1 e C2,
centrados na origem, um de raio r1 = 1 e outro de raio r2 = 2. Este bordo deve ser
orientado no sentido positivo, isto é, devemos considerar uma parametrização de cada
componente conexa do bordo de modo que ao fazermos o seu percurso, deixemos a
região do lado esquerdo. Tais parametrizações podem ser
\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
\u3b1 \u2236 [0,2pi]\u2192 R2, \u3b1(t) = (2cos(t),2sen(t))
\u3b2 \u2236 [0,2pi]\u2192 R2, \u3b2(t) = (cos(\u2212t),2sen(\u2212t)) .
A integral no bordo de raio r1 = 2 já foi calculada, seu valor é 8pi. No bordo de raio
r1 = 1 o valor segue abaixo:
\u222b
\u3b2
F\u20d7 dl = \u222b 2pi
0
\u27e8F\u20d7 (\u3b2(t)), \u3b2\u2032(t)\u27e9 dt
= \u222b 2pi
0
\u27e8(\u2212sen(\u2212t), cos(\u2212t)), (sen(\u2212t),\u2212cos(\u2212t))\u27e9 dt
= = \u222b 2pi
0
\u22121dt= \u22122pi.
Sendo assim, \u222b
\u2202K F\u20d7 dl = \u222bC1 F\u20d7 dl + \u222bC2 F\u20d7 dl = 8pi \u2212 2pi = 6pi.
Vejamos a integral de área. Novamente, aplicando a mudança de coordenadas
18 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
polares e sabendo que rotF\u20d7 (x, y) = 2 temos
\u222b \u222bR rotF\u20d7 dA = \u222b \u222bK 2dA= \u222b 2pi
0
\u222b 2
1
2r dr d\u3b8
= \u222b 2pi
0
3d\u3b8= 6pi.
Isto ilustra o teorema de Green. \u25fb
Exercício 1.4. Guidorizzi, vol. 3.
1. Página 194, números 2, 3, 4, 5 e 9.
2. Considere o campo de vetores F\u20d7 (x, y) = (0, x) e a curva \u3b1 cujo traço está indicado
na \ufb01gura. Calcule \u222b\u3b1 F\u20d7 (x, y)dl.
1 2
1
-4 -2-7
-7
P
-2
a( )t
3. Sejam
F\u20d7 (x, y) = ( \u2212y
x2 + y2 , xx2 + y2) e K = {(x, y) \u2208R2; x2 + y2 \u2264 1}.
Pergunta: porque não podemos utilizar o Teorema de Green neste campo de
vetores e neste compacto? \u25fb
2
Operadores de derivação
Estudaremos teoremas relacionados com a seguinte sequência de operadores de de-
rivação em espaços vetoriais. Aqui, \u2126 é um conjunto aberto em R3:
F(\u2126,R) \u2207Ð\u2192 V(\u2126,R) rotÐ\u2192 V(\u2126,R) divÐ\u2192 F(\u2126,R).
Os operadores de derivação indicados são, nesta ordem, gradiente (\u2207), rotacional (rot)
e divergente (div).
2.1 Os espaços F(\u2126,R) e V(\u2126,R3)
Seja \u2126 um aberto de R3. Iremos considerar dois conjuntos cujos elementos são
objetos funcionais.
O primeiro deles, denotado por F(\u2126,R), é o conjunto constituído por todas funções
f \u2236 \u2126\u2192 R para as quais podemos calcular todas as derivadas parciais de todas as ordens.
Tecnicamente falando, elas são chamadas de funções reais (pois o contra domínio é R)
com três variáveis reais (pois o domínio é \u2126, um subconjunto do R3, seus pontos
possuem três coordenadas). Todas estas informações estão sintetizadas na notação: F
vem da palavra função; o primeiro símbolo no parêntese é o domínio; o segundo símbolo
do parêntese é o contradomínio. Portanto, os elementos de F(\u2126,R) são funções reais
com mesmo domínio \u2126.
Por exemplo, se \u2126 = R3 \u2212 {(0,0,0)} (R3 perfurado na origem), a função
f \u2236 \u2126\u2192 R, f(x, y, z) = x2ye4x\u2212y+z \u2212 zsen(xy),
pertence a F(\u2126,R), pois qualquer que seja (x0, y0, z0) \u2208 \u2126, podemos fazer a avaliação
f(x0, y0, z0). A função
g \u2236 \u2126\u2192 R, g(x, y, z) = 1
x2 + y2 + z2 ,
19
20 Operadores de derivação Cap. 2
também pertence a F(\u2126,R), pois, da mesma forma, qualquer que seja (x0, y0, z0) \u2208 \u2126
podemos avaliar g(x0, y0, z0). Entretanto, a função
h \u2236 \u2126\u2192 R, h(x, y, z) = xyz(x \u2212 1)3 + y4
não pertence a F(\u2126,R) pois (1,0,0) \u2208 \u2126mas não podemos fazer a avaliação de h(x, y, z)
neste ponto. O domínio de h não é \u2126.
O conjunto F(\u2126,R) tem uma estrutura natural de espaço vetorial. Isto é, podemos
somar duas funções de F(\u2126,R) e obter uma terceira função e multiplicar uma função deF(\u2126,R) por um escalar \u3bb \u2208 R e obter uma outra função. No contexto aqui considerado,
tal fato tem pouca relevância. Não nos deteremos neste aspecto.
O segundo conjunto que será considerado será o conjunto constituído pelos campos
de vetores em \u2126, conjunto este denotado por V (\u2126,R3). Aqui, o termo campo de vetores
será empregado para designar uma função de\ufb01nida (com domínio) em um subconjunto
\u2126 do R3 com valores em R3 (contradomínio). O símbolo utilizado é sugestivo: V vem
da palavra vetor; \u2126 é o domínio; R3 o contradomínio. Simbolicamente, um elemento
de V (\u2126,R3) é uma aplicação da forma
F\u20d7 \u2236 \u2126\u2192 R3, F\u20d7 (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) .
Não será explorado neste texto, mas, apenas para informação, podemos de\ufb01nir um
estrutura de espaço vetorial em V (\u2126,R3) de\ufb01nindo a soma de dois campos de vetores
e a multiplicação de um campo de vetores por um escalar.
2.2 Os operadores de derivação \u2207, rot e div
Examinemos a sequência de operadores de derivação entre os espaços considerados
na seção anterior:
F(\u2126,R) \u2207Ð\u2192 V(\u2126,R) rotÐ\u2192 V(\u2126,R) divÐ\u2192 F(\u2126,R)
¬ O operador gradiente já é conhecido. Se f(x, y, z) é uma função real então
\u2207f(x, y, z) = (\u2202f
\u2202x
(x, y, z), \u2202f
\u2202y
(x, y, z), \u2202f
\u2202z
(x, y, z))
O operador gradiente transforma funções em campos de vetores. Por economia
de espaço e facilidade de digitação, escreveremos
\u2207f = (fx, fy, fz)
Ÿ2.2 Os operadores de derivação \u2207, rot e div 21
Exemplo 2.1. Se f \u2208 F (R3,R), f(x, y, z) = xy + cos z, então
\u2207f(x, y, z) = (y, x,\u2212senz) \u2208 V (R3,R3) .
\u25fb
­ Observe que em R3, o operador de derivação rot, transforma campo de vetores em
campo de vetores. Seu cálculo é feito pelo seguinte algoritmo. Se F\u20d7 = (F1, F2, F3)
então
rotF\u20d7 = det
\u23a1\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
e1 \u2202/\u2202x F1
e2 \u2202/\u2202y F2
e3 \u2202/\u2202z F3
\u23a4\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6
= (\u2202F3\u2202y \u2212 \u2202F2\u2202z , \u2212\u2202F3\u2202x + \u2202F1\u2202z , \u2202F2\u2202x \u2212 \u2202F1\u2202y )
Exemplo 2.2. Considere o campo de vetores F\u20d7 \u2208 V(R3,R3),
F\u20d7 (x, y, z) = (x2 \u2212 y33z, xyz, x \u2212 ey).
Calculemos,
rotF\u20d7 = det\u23a1\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
e1
\u2202
\u2202x x
2 \u2212 y3z
e2
\u2202
\u2202y xyz
e3
\u2202
\u2202z x \u2212 ey
\u23a4\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6 = (\u2212e
y \u2212 xy, \u2212y3 \u2212 1, yz \u2212 3y2z) .
® O operador de derivação denominado divergente transforma campos de vetores
em funções reais. Segue sua de\ufb01nição. Se F\u20d7 = (F1, F2, F3), então
divF\u20d7 = \u2202F1\u2202x + \u2202F2\u2202y + \u2202F3\u2202z .
Exemplo 2.3. Se F\u20d7 \u2236 R3 \u2192 R3, F\u20d7 (x, y, z) = (x2 \u2212 y33z, xyz, x\u2212 ey), um cálculo simples
nos dá divF\u20d7 (x, y, z) = 2x + xz. \u25fb
Proposição 2.1. Valem as seguintes relações entre os operadores de derivação.
^ rot\u2207f(x, y, z) \u2261 0\u20d7, para toda função f \u2208 F (\u2126,R).
D div rot F\u20d7 (x, y, x) \u2261 0 para todo campo de vetores F\u20d7 \u2208 V (\u2126,R3).
22 Operadores de derivação Cap. 2
Prova As identidades seguem do fato das funções reais aqui consideradas possuem
\ufffdderivadas cruzada\ufffd iguais.
Veri\ufb01quemos o primeiro item. Seja f \u2208 F (\u2126,R). Temos
\u2207f = (fx, fy, fz) .
Calculemos o rotacional deste campo de vetores.
rot\u2207 f = det\u23a1\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
e1
\u2202
\u2202x fx
e2
\u2202
\u2202y fy
e3
\u2202
\u2202z fz
\u23a4\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6 = (fyz \u2212 fzy, \u2212fxz + fzx, fxy \u2212 fyx) = (0,0,0).
Veri\ufb01quemos o segundo item. Como visto acima, se F\u20d7 = (F1, F2, F3) temos
div rot F\u20d7 = div ((F3)y \u2212 (F2)z, \u2212(F3)x + (F1)z, (F2)x \u2212 (F1)y)= \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd(F3)xy \u2212 (F2)xz \u2212\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd(F3)yx + (F1)yz + (F2)zx \u2212 (F1)zy= 0.
\u25fb
Exercício 2.1. O domínio de todas as funções a seguir são \u2126 = R3.
1. Aplique, quando cabível, um dos (ou mais) operadores de derivação.
â F\u20d7 (x, y, z) = (xyz, yx + x2, cos(xz)).
â f(x, y, x) = (ezy2 \u2212 3x + tg(z)) â f(x, y, z) = ln(x
2 + y2 + z2).
â F\u20d7 (x, y, z) = (xy, yz, zx).
2. Mostre que os seguintes campos de vetores em R3 não são campos gradientes.
! F\u20d7 (x, y, z) = (y, z, x).
! F\u20d7 (x, y, z) = (yz, xz, xy). ! F\u20d7 (x, y, z) = (x
3 + y2 + z, y2 + z, z).
! F\u20d7 (x, y, z = (0, x,0).)
3. Mostre que os seguintes campos de vetores não são campos rotacionais.
, F\u20d7 (x, y, z) = (x, y, z).
, F\u20d7 (x, y, z) = (ex+y, ez, ey). , F\u20d7 (x, y, z) = (0,2x + 3y + 4z,\u22122)., F\u20d7 (x, y, z) = (cos (xy), sen (xy), z).
3
Uma integral para cada espaço
3.1 Visão geral I
Antes de continuarmos, devemos compreender como os teoremas que serão apresen-
tados \u2212 Teorema dos campos conservativos, Teorema de Stokes e Teorema de Gauss \u2212
são generalizações do Teorema Fundamental do Cálculo apresentado em Cálculo I. Fa-
remos uma releitura do TFC, agora dentro deste contexto de operadores de derivação.
Seja \u2126 = (a, b) um intervalo