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para evitar este inconveniente devemos restringir o domínio. Por exemplo,
\u3c3 \u2236 [0,2pi] × [0, pi]\u2192 R3, \u3c3(u, v) = (cosusenv, senusenv, cos v).
5. Um plano em R3 também é uma superfície S\u3c3.
Por exemplo, se \u3a0 = {(x, y, z) \u2208 R3; 2x \u2212 y \u2212 4z = 3}. Neste caso, podemos
considerar
\u3c3 \u2236 R2 \u2192 R3, \u3c3(u, v) = (u,2u \u2212 4v \u2212 3, v).
Vejamos. Como x = u, y = 2u \u2212 4v \u2212 3 e z = v, por substituição, recuperamos a
equação de \u3a0 \u2236 2x\u2212y\u22124z = 3. (Você poderia construir muitos outros \u3c3\u2032s diferentes
deste).
6. Algumas superfícies S\u3c3 são de difícil vizualzação, apenas programas computa-
cionais grá\ufb01cos poderiam dar uma ideia de sua con\ufb01guração. Por exemplo,
\u3c3 \u2236 R2 \u2212 {(0,0)}\u2192 R3, \u3c3(u, v) = (ln (u2 + v2), eu2+v2 , uv \u2212 u5). \u25fb
32 Uma integral para cada espaço Cap. 3
Terminologia Descrever um subconjunto S de R3 como um subconjunto do tipo S\u3c3
signi\ufb01ca parametrizar S.
Exemplo 3.5. Parametrize o cilindro S = {(x, y, z) \u2208 R3. x2 + y2 = 1}. Considere
\u3c3 \u2236 R2 \u2192 R3, \u3c3(u, v) = (cosu, senu, v).
Por simplicidade, utilizaremos a seguinte notação em substituição às derivadas par-
ciais,
\u2202\u3c3
\u2202u
= \u3c3u e \u2202\u3c3
\u2202v
= \u3c3v
De fato. Como x = cosu, y = senu e z = v, então x2 + y2 = 1 e z é qualquer real. \u25fb
s
u
v
x
y
z
superfície
parametrizada
superfície
s
s
u
v
(u ,v )
0 0
dAdx dy
Ressaltamos que a avaliação \u3c3u(u0, v0) e \u3c3v(u0, v0) nos fornece vetores tangentes à
superfície S\u3c3 no ponto \u3c3(u0, v0).
Exemplo 3.6. Examinemos a superfície parametrizada
\u3c3 \u2236 R2 \u2192 R3, \u3c3(u, v) = (u2 \u2212 v, uv, u + v).
As derivadas parciais são
\u3c3u(u, v) = (2u, v,1) e \u3c3v(u, v) = (\u22121, u,1).
O ponto \u3c3(1,0) = (1,0,1) é um ponto da superfície \u3c3. Os vetores
\u3c3u(1,0) = (2,0,1) e \u3c3v(1,0) = (\u22121,1,1)
são vetores tangentes à superfície no ponto \u3c3(1,0) = (1,0,1). Para calcular a equação
do plano tangente \u3a0 à superfície neste ponto, precisamos do vetor normal ao plano,
que pode ser obtido por \u3b7\u20d7 = \u3c3u(1,0) × \u3c3v(1,0) = (\u22121,\u22123,2). Com isto, calculamos a
equação \u3a0 \u2236 \u2212x \u2212 3y + 2z = 1 utilizando o produto interno. \u25fb
Ÿ3.3 Integral de superfície 33
Feito todas as considerações, passemos à de\ufb01nição da integral de superfície. Para
isto seguiremos uma abordagem de \ufffdAnalise não standard\ufffd.
Sejam K uma região de Green R2, \u3c3 \u2236 K \u2192 R3 uma superfície parametrizada. A
superfície S\u3c3 também é compacta. O bordo \u2202S\u3c3 é a imagem do bordo \u2202K e seu percurso
é induzido por \u3c3 do percurso de \u2202K.
u
v
x
y
z
s
S
K
s
Seja dS a área in\ufb01nitesimal da imagem do retângulo in\ufb01nitesimal dxdy de K. O
fator de expansão de área in\ufb01nitesimal em cada ponto (u, v) \u2208 K é \u2223\u2223\u3c3u ×\u3c3v \u2223\u2223. Portanto,
a relação entre as áreas in\ufb01nitesimais \ufb01ca sendo
dS = \u2223\u2223\u3c3u × \u3c3v \u2223\u2223dudv
du
dv dS
s
Por de\ufb01nição, a integral de f(x, y, z) sobre a superfície S\u3c3 = \u3c3(K) é
\u222b \u222bS\u3c3 f(x, y, z)dS =\u2236 \u222b \u222bK f(\u3c3(u, v))\u2223\u2223\u3c3u × \u3c3v \u2223\u2223dudv.
Exemplo 3.7. Seja K = {(u, v) \u2208 R2; u2 + v2 \u2264 4}.
Considere a superfície parametrizada \u3c3 \u2236 K \u2192 R3, \u3c3(u, v) = (u, v, uv). Como
\u3c3u(u, v) = (1,0, v) e \u3c3v(u, v) = (0,1, u),
então \u3c3u(u, v)× \u3c3v(u, v) = (\u2212v,\u2212u,1). Sendo assim, o fator de expansão de área in\ufb01ni-
tesimal \ufb01ca sendo \u2223\u2223\u3c3u × \u3c3v \u2223\u2223 = \u221a1 + u2 + v2.
34 Uma integral para cada espaço Cap. 3
Se desejarmos integrar a função f(x, y, z) = 11+x2+y2 sobre S\u3c3, realizamos as operações
\u222cS\u3c3 f(x, y, z)dS = \u222cK f(\u3c3(u, v))\u2223\u2223\u3c3u × \u3c3v \u2223\u2223dudv.
= \u222cK f(u, v, uv)\u221a1 + u2 + v2dudv
= \u222b 2pi
0
\u222b 1
0
\u221a
1 + r2
1 + r2 r dr d\u3b8
= 2pi (\u221a2 \u2212 1) .
Utilizamos coordenadas polares na resolução. \u25fb
Observe que quando f(x, y, z) \u2261 1, a integral de superfície é nos fornece a área deS\u3c3. Portanto, de\ufb01nimos a área da superfície S\u3c3 como sendo a integralização de todos
os dS, temos
área(S\u3c3) =\u222cS\u3c3 dS =\u222cK \u2223\u2223\u3c3u × \u3c3v \u2223\u2223dxdy.
Exemplo 3.8. Seja K = {(u, v) \u2208 R2; u2+v2 \u2264 4}. Considere a superfície parametrizada
\u3c3 \u2236 K \u2192 R3, \u3c3(u, v) = (u, v, uv). Como vimos no Exercício 3.7, o fator de expansão de
área in\ufb01nitesimal é \u2223\u2223\u3c3u × \u3c3v \u2223\u2223 = \u221a1 + u2 + v2.
Calculemos a área da superfície.
área(\u3c3(K)) = \u222cK\u221a1 + u2 + v2dudv
= \u222b 2pi
0
\u222b 2
0
\u221a
1 + r2 r drd\u3b8
= \u222b 2pi
0
1
3
(1 + r2) 32 )]2
0
d\u3b8
= \u221a500 \u2212\u221a32
3
pi.
Na resolução da integral utilizamos a troca de coordenadas polares. \u25fb
Exercício 3.2. Exercícios do livro texto Guidorizzi, vol. 3.
1. Esboce a superfície S\u3c3 para cada superfície parametrizada indicada (p. 208.)
(a) \u3c3(u, v) = (u, v, u2 + v2), onde (u, v) \u2208 R2. Calcule a equação cartesiana do
plano tangente à superfície S\u3c3 no ponto \u3c3(1,1).
Ÿ3.4 Fluxo de F\u20d7 através de S\u3c3 35
(b) \u3c3(u, v) = (1, u, v), onde 0 \u2264 u \u2264 1 e 0 \u2264 v \u2264 1.
(c) \u3c3(u, v) = (u, v,1 \u2212 u \u2212 v), onde u \u2264 0, v \u2264 0 e u + v \u2264 1. Calcule a área da
superfície S\u3c3. Descreva a superfície S\u3c3 utilizando as variáveis x, y e z do
R3.
(d) \u3c3(u, v) = (u,\u221a1 \u2212 u2 \u2212 v2, v), onde u2 + v2 \u2264 1.
(e) \u3c3(u, v) = (vcosu, vsenu, v), onde 0 \u2264 u \u2264 2pi, 1 \u2264 v \u2264 2. Calcule a área da
superfície S\u3c3 e a integral de superfície de f(u, v, z) = z sobre S\u3c3.
(f) \u3c3(u, v) = (u, v,1 \u2212 u2), onde u \u2265 0, v \u2265 0 e u + v \u2264 1. Calcule a equação
cartesiana do plano tangente à superfície S\u3c3 no ponto \u3c3(1,1).
2. Calcule a integral de superfície (p. 219)
\u222cS\u3c3 f(x, yz)dS.
(a) f(x, y, z) = x e \u3c3(u, v) = (u, v, u2 + v), onde 0 \u2264 u \u2264 1 e u2 \u2264 v \u2264 1.
(b) f(x, y, z) = xy e \u3c3(u, v) = (u \u2212 v, u + v,2u + v + 1) onde 0 \u2264 u \u2264 1 e 0 \u2264 v \u2264 u.
(c) f(x, y, z) = x2 + y2 e \u3c3(u, v) = (u, v, u2 + v2), u2 + v2 \u2264 1.
(d) f(x, y, z) = y e \u3c3(u, v) = (u, v,1 \u2212 u2), onde 0 \u2264 u \u2264 1 e 0 \u2264 v \u2264 \u221au.
3.4 Fluxo de F\u20d7 através de S\u3c3
Iremos de\ufb01nir uma medida importante para a Física e as engenharias: \ufb02uxo de um
campo de vetores através de uma superfície. Esta medida reduz-se ao cálculo de uma
integral de superfície, mas para justi\ufb01car a de\ufb01nição, precisamos de um conceito de
Álgebra linear.
F
m
< >F ,m
Sejam µ\u20d7 e F\u20d7 vetores em R3. Vamos supor que µ\u20d7 seja unitário, ou seja, \u2223\u2223µ\u20d7\u2223\u2223 = 1. O
vetor F\u20d7 tem uma componente horizontal (ortogonal a µ\u20d7) e outra vertical (na direção
de µ\u20d7). Como µ é unitário, a componente vertical se escreve como \u3bbµ\u20d7, onde \u3bb = \u27e8F\u20d7 , µ\u20d7\u27e9.
36 Uma integral para cada espaço Cap. 3
Fixemos K, um compacto de Green em R2, e \u3c3 \u2236 K \u2192 R3 uma superfície parametri-
zada. Como sempre, S\u3c3 é a imagem de \u3c3.
dS
F(u,v)
(u,v)
m
s
Seja dS a área da região in\ufb01nitesimal da superfície em \ufffdtorno\ufffd do ponto \u3c3(u, v) e
µ\u20d7 o vetor unitário ortogonal â superfície no ponto \u3c3(u, v) obtido por
µ\u20d7 = 1\u2223\u2223\u3c3u × \u3c3v \u2223\u2223\u3c3u × \u3c3v
A componente vertical de F\u20d7 é a única que colabora para o \ufb02uxo do campo de vetores
através da região. Então, a quantidade de \ufb02uxo do campo de vetores pela região é, por
de\ufb01nição, \u27e8F\u20d7 , µ\u20d7\u27e9dS.
A soma de todas estas quantidades de \ufb02uxos, é a integral de superfície
fluxo (F\u20d7 ,S\u3c3) =\u2236 \u222cS\u3c3\u27e8F\u20d7 , µ\u20d7\u27e9dS.
Vejamos como devemos calcular este \ufb02uxo. Como
\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
µ\u20d7 = 1\u2223\u2223\u3c3u×\u3c3v \u2223\u2223 \u3c3u × \u3c3v´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
\u3b7\u20d7
dS = \u2223\u2223\u3c3u × \u3c3v \u2223\u2223dudv
,
o cálculo do \ufb02uxo reduz-se à integral
\u222cS\u3c3\u27e8F\u20d7 , µ\u20d7\u27e9dS = \u222cK\u27e8F\u20d7 (\u3c3(u, v)), \u3b7\u20d7(\u3c3(u, v))\u27e9dudv.
Ÿ3.4 Fluxo de F\u20d7 através de S\u3c3 37
Exemplo 3.9. Calculemos fluxo (F\u20d7 ,S\u3c3), onde\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
F\u20d7 (x, y, z) = (\u2212y, z, x)
\u3c3(u, v) = (u, v, uv)
K = {(u, v) \u2208 R2; x2 + y2 \u2264 1}
.
Precisamos calcular o campo normal à superfície:
\u3b7\u20d7(\u3c3(u, v)) = \u3c3u × \u3c3v = det\u23a1\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
e1 1 0
e2 0 1
e3 v u
\u23a4\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6 = (\u2212v,\u2212u,1).
A função que deve ser integrada sobre K é
\u27e8F\u20d7 (\u3c3(u, v)), \u3b7\u20d7(\u3c3(u, v))\u27e9 = \u27e8F\u20d7 (u, v, uv), \u3b7\u20d7(u, v, uv)\u27e9= \u27e8(\u2212v, uv, u), (\u2212v,\u2212u,1)\u27e9= v2 \u2212 u2v + u.
Logo, utilizando mudança de coordenadas polares:
fluxo (F\u20d7 ,S\u3c3) = \u222cK(\u2212v2 \u2212 v2u + u)dudv
= \u222b 1
0
\u222b 2pi
0
(r3cos2\u3b8 \u2212\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd:0r4cos2\u3b8 sen\u3b8 +\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd:0r2cos \u3b8)d\u3b8 dr
= \u222b 1
0
(r3)\u222b 2pi
0
cos2\u3b8d\u3b8 dr
= 1
4 \u222b 2pi0 1 + cos2\u3b82 d\u3b8
= 1
4
\u239b\u239d\u3b82 + sen2\u3b82 ]
2pi
0
\u239e\u23a0= pi
4
.
Não trabalhamos com unidades físicas, mas se F\u20d7 for um campo de velocidade as-
sociado a um