lista 11 stokes
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escoamento de um \ufb02uido medido em m/s, então o \ufb02uxo de F\u20d7 através deS\u3c3 é de pi4m3/s. \u25fb
Exercício 3.3. Considere o campo de vetores F\u20d7 (x, y, z) = (x2,\u22121,1) e o cubo Q =[0,1] × [0,1] × [0,1].
38 Uma integral para cada espaço Cap. 3
1. Calcule fluxo (F\u20d7 ,S), onde S = \u2202Q e Q, onde o vetor normal \u3b7\u20d7 ao bordo \u2202Q
aponta para fora do cubo. Veja Exercício 4, do Livro texto, Guidorizzi, vol. p.
227.
2. Calcule \u222d
Q
divF\u20d7 (x, y, z)dxdydz.
Exercício 3.4. Exercício do livro texto, Cap. 10 Ÿ1, p. 230, números 1., 2., 3., 4. e 5.
4
Teoremas dos campos conservativos e
Teorema de Stokes
Continuaremos denotando um aberto em R3 por \u2126.
4.1 Revendo o conceito de superfície
Intuitivamente falando, uma superfície S é um subconjunto do R3 com \ufffdlargura\ufffd
e \ufffdcomprimento\ufffd mas sem \ufffdespessura\ufffd. Na Matemática existem vários procedimentos
para concretizar esta ideia de superfície. Entretanto, no Cálculo Vetorial, elas são
estabelecidas de três formas distintas. Vejamos.
\ufffd Grá\ufb01co de função de duas variáveis f(x, y).
\ufffd Superfície de nível de função de três variáveis g(x, y, z).
\ufffd Imagem de uma função \u3c3(u, v).
Exempli\ufb01quemos.
Exemplo 4.1. Seja f \u2236 R2 \u2192 R, f(x, y) = x2 \u2212 y2. O grá\ufb01co de f(x, y) é a superfície S
denominada sela: S = {(x, y, z) \u2208 R3; z = f(x, y)}
z
x
y
S
Mais ainda, a superfície S pode ser descrita como a curva de nível 0 da função
g \u2236 R3 \u2192 R, g(x, y, z) = z \u2212 x2 \u2212 y2.
39
40 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
z
x
y
g(x,y,z)
0
S
A mesma superfície S pode ser obtida como a imagem da função \u3c3 \u2236 R2 \u2192 R3,
\u3c3(u, v) = (u, v, u2 \u2212 v2).
z
x
y
S
u
v s( )u,v
Neste último caso, para destacar que a superfície é a imagem de \u3c3(u, v) (aplicação
denominada superfície parametrizada) indexamos na forma S\u3c3. \u25fb
Para os cálculos de integrais em uma superfície S necessitamos que ela seja descrita
como imagem de uma função \u3c3(u, v), ou seja, S\u3c3.
Exercício 4.1. Para cada superfície S descreva-a como S\u3c3, ou seja, determine uma
função \u3c3(u, v) cuja imagem seja S.
1. S é grá\ufb01co de f(x, y) = x + y.
2. S é o grá\ufb01co de f(x, y) = 2 \u2212 x2 \u2212 y2.
3. S é a curva de nível de g(x, y, z) = z \u2212 y3 + x2.
4. S é a curva de nível de g(x, y, z) = x \u2212 y2 \u2212 z2.
5. S é o grá\ufb01co de f(x, y) = x3y + 4ysen(x).
6. S é a curva de nível 1 de g(x, y, z) = x2 + y2.
7. S é a curva de nível de 3 de g(x, y, z) = x2 + y3 + z3. \u25fb
Ÿ4.2 Superfície compacta com ou sem bordo 41
4.2 Superfície compacta com ou sem bordo
As integrais sobre superfícies são de\ufb01nidas em superfícies compactas, isto é, em
superfícies que são \ufffdsegmentos\ufffd de superfícies como aquelas que foram apresentadas na
seção anterior, segmentos estes que estão a uma distância \ufb01nita da origem e incluem
seu bordo, caso exista. Para deixar claro, vejamos exemplos.
Exemplo 4.2. Seja S superfície de nivel 0 de g \u2236 R3 \u2192 R, g(x, y, z) = z \u2212 x2 \u2212 y2. S é
o parabolóide esboçado a seguir. Caso queiramos apresentar a superfície na forma S\u3c3,
ou seja, apresentar como imagem de uma aplicação \u3c3 \u2236 R2 \u2192 R3, é su\ufb01ciente considerar
\u3c3(u, v) = (u, v, u2 + v2). A sua equação cartesiana é S \u2236 z = x2 + y2. Ela não é uma
superfície compacta, pois podemos escolher pontos da superfície tão longe da origem
quanto queiramos.
z
y
x
g(x,y,z)
0
Se considerarmos o \ufffdsegmento\ufffd desta superfície de\ufb01nida por
S \u2236 { z = x2 + y2
z \u2264 1 ,
obtemos uma superfície com bordo.
z
y
x
1
S
bordo
de S
42 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
Esta superfície com bordo também pode ser apresentada como S\u3c3, para isto, é su\ufb01ciente
considerar o compacto K = {(u, v) \u2208 R2; u2+v2 \u2264 1} e \u3c3 \u2236 K \u2192 R3, \u3c3(u, v) = (u, v, u2+v2).
z
y
x
1
S
bordo
de S
K
u
v
s( )u,v
bordo
de K
O bordo de K é aplicado no bordo de S\u3c3. Box
Exemplo 4.3. Existem superfícies compactas sem bordo. Por exemplo, a superfície
esférica canônica S2 \u2236 x2 + y2 + z2 = 1 não tem bordo.
z
x
y
Os pontos de S2 estão a uma distân-
cia \ufb01nita da origem. Da mesma forma,
utilizando coordenadas esféricas, podemos
apresentá-la como S\u3c3. Para isto, basta de-
\ufb01nir a aplicação \u3c3 \u2236 [0,2pi] × [0, pi] \u2192 R3,
\u3c3(u, v) = (senv cosu, senv senu, cos v) (\ufb01ze-
mos a substituição \u3c1 = 1, u = \u3b8 e v = \u3c6, para
seguir a notação (u, v)).
z
x
y
1
u
v
u
v
2p
p
K
s( )u,v
Vale a observação. A imagem do bordo \u2202K por \u3c3 é uma curva no espaço que percorre
do polo norte ao polo sul, ida e volta. Portanto, a integral de linha de qualquer campo
de vetores F\u20d7 (x, y, z) sobre uma parametrização de \u3c3(\u2202K) é zero.
Ÿ4.2 Superfície compacta com ou sem bordo 43
s( )K
K
Desta esfera podemos obeter uma superfície com bordo, por exemplo,
S \u2236 { 1 = x2 + y2 + x2
z \u2265 \u221212 .
z
-1/2
bordo
de S
S
v
u
2p
2p/3
s( )u,v
s( )K
Neste caso, a superfície com bordo pode ser escrita como S\u3c3, onde a relação \u3c3(u, v)
é a mesma, mas o domínio é K\u2032 = [0,2pi] × [0, 23pi]. \u25fb
Exercício 4.2. Parametrize as superfícies, isto é, escreva-as como S\u3c3.
1. S \u2236 { 1 = x2 + y2
0 \u2264 z \u2264 1 .
2. S \u2236 { 1 = x2 + y2 + z2\u22121
2 \u2264 z \u2264 12 .
3. S \u2236 { z2 = 1 + x2 + y2
0 \u2264 z \u2264 2 .
4. S \u2236 { z = xy
1 \u2265 x2 + y2 .
5. S é a superfície obtida pela revolução em torno do eixo oz do grá\ufb01co de z = (y\u22121)2,
1 \u2264 y \u2264 2 no plano yz.
z
y
1 2
z=y
2
6. Parametrize as superfícies.
(a) S \u2236 { z = x2 + y2
1 \u2265 (x \u2212 1)2 + (y \u2212 1)2 . (b) S \u2236 { 1 = x24 + y29 + z2z \u2264 0 .
44 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
4.3 Teorema do campo conservativo
Apresentaremos o teorema associado ao operador de derivação gradiente,
F (\u2126,R3) \u2207Ð\u2192 V (\u2126,R3) .
que, em essência, nada difere da apresentação feita para campos de vetores em R2. A
integral de linha do campo de vetores F\u20d7 \u2208 V (\u2126,R3) sobre a curva \u3b1 \u2236 [a1, a2] \u2192 \u2126 é
de\ufb01nida por
\u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y, z)dl =\u2236 \u222b a2
a1
\u27e8F\u20d7 (\u3b1(t)), \u3b1\u2032(t)\u27e9dt.
Exemplo 4.4. Considere:\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
F\u20d7 \u2236 R3 \u2192 R3, F\u20d7 (x, y, z) = (z, x2, y);
\u3b1; [0,1]\u2192 R3, \u3b1(t) = (1, t2, t) .
A integral de linha reduz-se a uma integral estudada em Cálculo I. Calculemos:
\u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y, z)dl = \u222b a2
a1
\u27e8F\u20d7 (\u3b1(t)), \u3b1\u2032(t)\u27e9dt
= \u222b 1
0
\u27e8(t,1, t2), (0,2t,1)\u27e9dt
= \u222b 1
0
(2t + t2)dt
= t2 + 1
3
t3]1
0= 4
3
.
As propriedades de integral de linha são iguais as já listadas para campos de vetores
em R2. \u25fb
Proposição 4.1. Sejam F\u20d7 \u2236 \u2126\u2192 R3 um campo de vetores, \u3b1 \u2236 [a1, a2]\u2192 \u2126, \u3b2 \u2236 [b1, b2]\u2192
\u2126 e \u3b1\u303 \u2236 [c1, c2]\u2192 \u2126 curvas em \u2126.
1. Se \u3b1 e \u3b2 têm o mesmo traço e mesmos pontos iniciais e mesmos pontos \ufb01nais,
então \u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y)dl = \u222b
\u3b2
F\u20d7 (x, y)dl;
2. Se \u3b1 e \u3b1\u303 têm o mesmo traço e pontos iniciais e \ufb01nais opostos, então
\u222b
\u3b1\u303
F\u20d7 (x, y)dl = \u2212\u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y)dl.
Ÿ4.4 Teorema de Stokes 45
Diz-se que um campo de vetores F\u20d7 \u2208 V (\u2126,R3) é um campo de vetores conservativo
se F\u20d7 = \u2207f , para alguma função f \u2208 F (\u2126,R3). A função f é denominada função
potencial. O Teorema do campo conservativo é semelhante àquele para o R2.
Teorema 4.1. Sejam F\u20d7 \u2236 \u2126 \u2192 R3, um campo de vetores e \u3b1 \u2236 [a1, a2] \u2192 \u2126 uma curva.
Se F\u20d7 é um campo conservativo com função potencial f \u2236 \u2126\u2192 R2, então
\u222b
\u3b1
F\u20d7 (x, y, z)dl = f(x, y, z)]
\u2202\u3b1
Finalmente, existe um critério para identi\ufb01car quando o campo é conservativo.
Teorema 4.2. Sejam \u2126 um aberto em R3 e F\u20d7 \u2236 \u2126 \u2192 R3 um campo de vetores. Se
rotF\u20d7 = 0\u20d7 e \u2126 é simplesmente conexo, então F\u20d7 é conservativo.
Exemplo 4.5. Vejamos exemplos de conjuntos simplesmente conexos em R3.
1. \u2126 = R3 é simplesmente conexo.
2. \u2126 = R3 \u2212 {(0,0,0)} é simplesmente conexo (R3 perfurado na origem).
3. \u2126 = R3 \u2212 oz não é simplesmente conexo (R3 menos o eixo oz). \u25fb
x
y
z
x
y
z
simplesmente
conexo
não simplesmente
conexo
4.4 Teorema de Stokes
Nesta seção examinaremos a relação entre o operador de derivação rot,
V (\u2126,R3) rotÐ\u2192 V (\u2126,R3) ,
e as integrais associadas a cada espaço,