Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Teorema do campo conservativo e Teorema de Green Em toda esta seção o espaço considerado será o R2. 1.1 Conjuntos compactos no R2 Antes de tudo, recordamos uma nomenclatura bem utilizda para intervalos dos números reais R. Um intervalo do tipo (a, b) é chamado de aberto. Se for da forma[a, b] é um compacto (fechado e limitado). Mais ainda, um do tipo (a,+∞) é ilimitado, etc. Estes conceitos são naturalmente estendido pra subconjuntos de R2. Vejamos. Um disco aberto em R2 com centro em (x0, y0) e de raio r > 0 é o conjunto D○ = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 < r}. Acompanhando a notação, o disco fechado com mesmo centro e mesmo raio é o conjunto D = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ r}. (x ,y ) 0 0 r Disco aberto (x ,y ) 0 0 r Disco fechado O bordo( ∂) destes dois conjuntos é um círculo (não confundir com discos que são objetos geométricos bidimensionais). Usualmente, o bordo de uma figura em R2 é 1 2 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1 unidimensional, uma linha. Os bordos dos discos acima é o conjunto ∂D = C = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 = r}. Diz-se que Ω ⊂ R2 é um subconjunto aberto se para qualquer (x, y) ∈ Ω existe um disco centrado em (x, y) inteiramente contido em Ω. W Aberta W Fechada Diz-se que um conjunto Ω ⊂ R2 é fechado se seu conjunto complementar em R2 é aberto. Intuitivamente falando, um conjunto é fechado quando ele contém os pontos do seu bordo. Como ilustração, sugerimos graficamente nos desenhos acima, as duas situações. A região à esquerda é aberta e a região indicada à direita é fechada. Um conjunto Ω ⊂ R2 é limitado se ele está contido num disco centrado na origem e de raio R > 0. Ver figuras. W R (0,0) Limitada W (0,0) Ilimitada Definição 1.1. Uma região Ω ⊂ R2 é compacta se Ω é fechada limitada. 1.2 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R2) 3 W Compacta Iremos considerar regiões compactas cujos bordos podem ser parametrizados por curvas que possuem derivadas (exceto nos pontos de �quina�). Diremos que o bordo está parametrizado positivamente se no percurso feito a região limitada pelo bordo fica à esquerda. W Compacta Exercício 1.1. Classifique a região plana comparando-a com cada definição dada acima (aberta, fechada, limitada, etc). Parametrize o bordo de cada região (se existir) de modo que a região fique do lado esquerdo do percurso. ¬ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y}. Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 < x < y}. ® Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 < x < y < 1}. ¯ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}. ° Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x < y}. ± Ω = R2. ◻ 1.2 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R2) Seja Ω um aberto de R2. Iremos considerar dois conjuntos cujos elementos são objetos funcionais. O primeiro deles, denotado por F(Ω,R), é o conjunto constituído por todas funções f ∶ Ω→ R para as quais podemos calcular todas as derivadas parciais de todas as ordens. 4 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1 Observe que as funções de F(Ω,R) são aquelas com mesmo domínio Ω. E mais, os elementos de F(Ω,R) são as funções com as quais trabalhamos ao longo do curso. Por exemplo, se Ω = R2 − {(0,0)} (R2 perfurado na origem), a função f ∶ Ω→ R, f(x, y) = x2ye4x−y − sen(xy), pertence a F(Ω,R), pois qualquer que seja (x0, y0) ∈ Ω, podemos fazer a avaliação f(x0, y0). A função g ∶ Ω→ R, g(x, y) = 1 x2 + y2 , também pertence a F(Ω,R), pois, da mesma forma, qualquer que seja (x0, y0) ∈ Ω podemos avaliar g(x0, y0). Entretanto, a função h ∶ Ω→ R, h(x, y) = xy(x − 1)3 + y4 não pertence a F(Ω,R) pois (1,0) ∈ Ω mas não podemos fazer a avaliação de h(x, y) neste ponto. O domínio de h não é Ω. O conjunto F(Ω,R) tem uma estrutura natural de espaço vetorial. Isto é, podemos somar duas funções de F(Ω,R) e obter uma terceira função e multiplicar uma função de F(Ω,R) por um escalar λ ∈ R e obter uma outra função. Por exemplo, se F(Ω,R) é o conjunto descrito acima e f e g, são as funções já citadas, nós temos (f + g)(x, y) =∶ x2ye4x−y − sen(xy) + 1 x2 + y2 . Claro, (f + g) ∈ F(Ω,R). Agora, se λ = −4, a função λg(x, y) =∶ −4 x2 + y2 também pertence a F(Ω,R). Novamente, seja Ω um subconjunto aberto do R2. O segundo conjunto que iremos considerar, V(Ω,R2), é o conjunto constituído por todos os campos de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2. Portanto, os elementos de V(Ω,R2) são funções com duas funções coordenadas, F⃗ (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)). Exemplifiquemos. Suponha que Ω = R2. Considere o campo de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2, F⃗ (x, y) = (−y, x). Para vizualizar o campo devemos esboçar em cada ponto (x, y) um segmento orientado com início neste ponto que represente o vetor F⃗ (x, y) = (−y, x). A seguir um esboço deste campo de vetores. 1.3 Gradiente e rotacional em R2 5 (x,y) F(x,y) Da mesma forma, o conjunto dos campo de vetores V(Ω,R2) admite uma estrutura de espaço vetorial. Basta definir a soma de campo de vetores e o produto de um campo de vetores por um escalar da seguinte forma. Sejam F⃗ = (F1, F2) e G⃗ = (G1,G2) campo de vetores de V(Ω,R2) e λ um escalar. Definimos as operações coordenada a coordenada:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ (F⃗ + G⃗)(x, y) = (F1(x, y) +G1(x, y), F2(x, y) +G2(x, y)) (λ ⋅ F⃗ )(x, y) = (λF1(x, y), λF2(x, y)) . Exemplo 1.1. Considere F⃗ (x, y) = (xy, sen(x)) e G⃗(x, y) = (ey, sen(y)) campo de vetores em V(R2,R2) e λ = 3. Então (F⃗ + G⃗)(x, y) = (xy + ey, sen(x) + sen(y)) e λ F⃗ (x, y) = (3xy, 3sen(x)). Neste caso, Ω = R2. ◻ 1.3 Gradiente e rotacional em R2 Iremos considerar a sequência de operadores de derivação (transformação lineares) entre os espaços vetoriais definidos acima: F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R) O operador de derivação ∇ é nosso conhecido, ele é o gradiente: f ↦ ∇f , ∇f = ( ∂f ∂ x , ∂f ∂ y ) . 6 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1 Por simplicidade e economia de espaço, muitas vezes escrevemos apenas ∇f = (fx, fy). Como sabemos, este operador de derivação transforma funções f ∈ F(Ω,R) em campo de vetores de V(Ω,R2). Por exemplo se f(x, y) = x2y − ey, então ∇f(x, y) = ( ∂f ∂ x (x, y), ∂f ∂ y (x, y)) = (2xy, x2 − ey). O segundo operador de derivação, denominado rotacional e indicado por rot, trans- forma campo de vetores em funções. O cálculo é feito por um algoritmo formal. Se F⃗ = (F1, F2) é um campo de vetores de V(Ω,R2), então rot(F⃗ ) é a função em F(Ω,R) definida por rotF⃗ = det ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ∂ ∂ x F1 ∂ ∂ y F2 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = ∂F2 ∂ x − ∂F1 ∂ y . Exemplo 1.2. Considere o campo de vetores em R2, F⃗ (x, y) = (x2y − 3, xey). Por definição rotF⃗ (x, y) = det ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ∂ ∂ x x2y − 3 ∂ ∂ y xey ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = ∂ ∂ x (xey) − ∂ ∂ y (x2y − 3) = ey − 2xy. Observe que, de fato, o rotacional de um campo de vetores é uma função. ◻ A primeira relação que podemos estabelecer entre o operador gradiente e o operador rotacional envolve a composta de tais operadores. Proposição 1.1. Vale a seguinte relação entre os operadores de derivação: rot∇f ≡ 0, para toda função f ∈ F (Ω,R). 1.3 Gradiente e rotacional em R2 7 Prova Como as derivadas cruzadas de funções que estamos considerando a demons- tração é uma verificação direta. Vejamos rot∇f = rot( ∂f ∂ x , ∂f ∂ y ) = det ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ∂ ∂ x ∂f ∂ x ∂ ∂ y ∂f ∂ y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = ∂2f ∂ x∂ y − ∂2f ∂ y ∂ x= 0. ◻ Vale uma releitura deste fato em termos de Álgebra linear. A imagem do gradiente é um subespaço de V(Ω,R2), mais precisamente Im(∇) = {F⃗ ∈ V(Ω,R2); existef ∈ F(Ω,R) tal que F⃗ = ∇f} Por outro lado, o núcleo de rot é o subespaço Nuc(rot) = {F⃗ ∈ V(Ω,R2); rotF⃗ = 0}. O que foi mostrado acima transcreve-se na seguinte proposição. Proposição 1.2. Im(∇) ⊂ Nuc(rot). Na Física, um campo vetorial gradiente F⃗ , ou seja F⃗ = ∇f , também é chamado de campo conservativo e a função f de função potencial de F⃗ . Um fatorelevante desta teoria, é que, em geral, Im(∇) ⊊ Nuc(rot). Ou seja, existem campos de vetores cujo rotacional é nulo, mas eles não são campos gradien- tes! Estudaremos mais tarde, que a igualdade Im(∇) = Nuc(rot) depende do tipo de domínio Ω! Exercício 1.2. Calcule os operadores de derivação ∇ ou rot, quando cabível. O do- mínio considerado é Ω = R2. 1. f(x, y) = xexy. 2. F⃗ (, x, y) = (0, x). 3. F⃗ (x, y) = (x2, y2); 4. f(x, y) = x2 − y2. ◻ 8 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1 1.4 Integral de linha Nestas notas utilizaremos a seguinte terminologia. Ê Ω um aberto do R2; Ë Uma curva significa uma aplicação α ∶ [a, b] → Ω, α(t) = (α1(t), α2(t)), seccio- nalmente C1 (α é contínua e existe a derivada α′ exceto num número finito de pontos). Ì F ∶ Ω→ R2, F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y) um campo de vetores em V(Ω,R2). Definiremos uma integral denominada integral de linha de um campo de vetores F⃗ = (F1, F2) em V (Ω,R2) sobre uma curva α. Esta integral tem várias notações (depende do livro texto). Aqui, fixaremos a notação 1 ∫ α F⃗ (x, y)dl. Definimos a integral de linha de F⃗ = (F1, F2) sobre uma curva α ∶ [a, b]→ Ω, integral esta denotada por ∫α F⃗ (x, y)dl =∶ ∫ ba ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt. Observe que lançamos mãos do produto interno e da integral definida em Cálculo I para definir integral de linha. Na Física, esta integral corresponde ao trabalho realizado por uma força agindo sobre um corpo. Exemplo 1.3. Vejamos exemplos ilustrativos para as proposições que seguem. Consideremos o campo de vetores F ∶ R2 → R2, F (x, y) = (−y, x) e a curva α ∶ [0,1]→ R2, α(t) = (1 − t, t). Observe que α(0) = (1,0) e α(1) = (0,1). O traço (imagem) de α é uma curva plana Γ, mais precisamente, seu traço é o segmento de reta compreendido entre os pontos(1,0) e (0,1). Estes pontos constituem o bordo de Γ, ∂Γ = {(1,0), (01)}. Calculemos a integral de linha de F⃗ sobre α. 1 No livro texto (Guidorizzi) também é utilizado a notação ∫α F1dx + F2dy. 1.4 Integral de linha 9 ∫ α F⃗ (x, y)dl = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (1 − t, t), (−1,1)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨(−t,1 − t), (−1,1)⟩dt = ∫ 1 0 (t + 1 − t)dt= 1 Um fato relevante que pode ser mostrado, é que a integral de linha de F⃗ só depende do traço Γ, do ponto inicial e do ponto final, ou seja, da ordem dos pontos do bordo ∂Γ. Exemplifiquemos este fato. a( )t b( )s (0,1) (1,0) g( )t G P Considere uma outra curva com o mesmo traço Γ e mesmos pontos iniciais e finais. Por exemplo, γ ∶ [1,2]→ R2, γ(t) = (1 − (t − 1)2, (t − 1)2) . Calculemos a integral de F⃗ sobre γ. Para isto, necessitaremos da velocidade, γ′(t) =(−2(t − 1),2(t − 1)). Agora, ∫ γ F⃗ (x, y)dl = ∫ 2 1 ⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (1 − (t − 1)2, (t − 1)2) , (−2(t − 1),2(t − 1)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨(−(t − 1)2,1 − (t − 1)2), (−2(t − 1),2(t − 1)⟩dt = ∫ 1 0 2(t − 1)dt = (t − 1)2]2 1= 1. 10 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1 Portanto, parametrizações de Γ com mesmo ponto inicial e mesmo ponto final produzem o mesmo valor da integral de linha. Vejamos a mudança que ocorre no valor da integral de linha de F⃗ se a curva tem outro traço mas os mesmo pontos finais de α. O traço Π da curva β ∶ [0,1]→ R2, β(t) = (cos(pi 2 t) , sen(pi 2 t)) . é um arco de círculo com ponto inicial (1,0) e ponto final (0,1). A velocidade é β′(t) = (−pi 2 sen(pi 2 t) , pi 2 cos(pi 2 t)) . Vejamos o valor da integral de linha sobre β: ∫ γ F⃗ (x, y)dl = ∫ 2 1 ⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩ dt = ∫ 1 0 (pi 2 sen2 (pi 2 t) + pi 2 cos2 (pi 2 t)) dt = ∫ 1 0 pi 2 dt = pi 2 . Portanto, o valor é diferente do valor obtido anteriormente. Finalmente, examinemos a mudança que ocorre no valor integral de linha quando a curva tem o mesmo traço Γ mas pontos iniciais e finais opostos. A curva a seguir tem esta propriedade: α̃ ∶ [0,1]→ R2, α̃(t) = (t,1 − t). Calculando, ∫ α̃ F⃗ (x, y)dl = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (α̃(t)), α̃′(t)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (t,1 − t), (1,−1)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨(−1 + t, t), (1,−1)⟩dt = ∫ 1 0 (−1 + t − t)dt= −1 Portanto, o sinal da integral de linha é oposto ao de α. Resumamos em uma proposição estas propriedades. ◻ Proposição 1.3. Sejam F⃗ ∶ Ω→ R2 um campo de vetores, α ∶ [a, b]→ Ω, β ∶ [c, d]→ Ω e α̃ ∶ [a, b]→ Ω curvas em Ω. 1.5 Campos de vetores conservativos 11 1. Se α e β têm o mesmo traço e mesmos pontos iniciais e mesmos pontos finais, então ∫ α F⃗ (x, y)dl = ∫ β F⃗ (x, y)dl; 2. Se α e α̃ têm o mesmo traço e pontos iniciais e finais opostos, então ∫ α̃ F⃗ (x, y)dl = −∫ α F⃗ (x, y)dl. 1.5 Campos de vetores conservativos Quando o campo é conservativo o Teorema do campo conservativo estabelece que a integral de linha sobre uma curva α só depende dos pontos iniciais e finais não depende do traço! Enunciemos o primeiro teorema, relacionando ∇ e integral de linha: F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ Teo. do campo conservativo Será conveniente fixara seguinte notação: f(x, y)] ∂α =∶ f(α(b)) − f(α(a)). Esta notação indica a avaliação de f(x, y) no ponto final de α menos a avaliação de f(x, y) no ponto incial da curva. Não parece, mas o símbolo f(x, y)]α é uma integral, mais precisamente, �integral por avaliação�. O seguinte teorema denomina-se Teorema do campo conservativo, uma generaliza- ção do Teorema Fundamental do Cálculo visto no Cálculo I. Nos capítulo seguintes esta ideia ficará clara. Em essência, ele afirma que a integral de linha de um campo conservativo não depende de α, depende apenas dos pontos finais. Teorema 1.1. Sejam F⃗ ∶ Ω → R2, F⃗ = (F1, F2), um campo de vetores e α ∶ [a, b] → Ω uma curva. Se F⃗ é um campo conservativo com função potencial f ∶ Ω→ R2, então ∫α F⃗ (x, y)dl = f(x, y)] ∂α Prova Assuma que F⃗ é um campo conservativo, ou seja, existe f ∶ Ω → R2 tal que∇f = F⃗ . Por definição de integral de linha, regra da cadeia e Teorema Fundamental do 12 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1 Cálculo temos: ∫ α F⃗ (x, y)dl = ∫ b a ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt = ∫ b a ⟨∇(α(t)), α′(t)⟩ dt = ∫ b a d dt f(α(t))dt = f(α(t))]ba= f(α(b)) − f(α(a)). Isto termina a demonstração. ◻ Observação 1.1. Este teorema merece alguns comentários. 1. O Teorema do campo conservativo relaciona integral sobre um objeto �unidemen- dional� (linha) com a integral sobre um objeto �zero dimensional� (ponto). Esta relação entre integrais que diminui a dimensão de 1 sobre o objetode integração estará presente em toda estas notas. Estabelecer estas relações são os grande teoremas do Cálculo e possui inúmeras aplicações na Física e engenharias!!! 2. O campo de vetores examinado no Exemplo 1.3, p. 8, qual seja, F⃗ (x, y) = (−y, x), não é conservativo, pois α e β são curvas com os mesmos pontos iniciais e os mesmos pontos finais, mas as integrais de linha são diferentes. 3. Se a curva α é fechada, α(a) = α(b), e o campo de vetores é conservativo a sua integral de linha sobre α é zero. 4. Como identificar se um campo de vetores é conservativo utilizando o operador rotacional? A resposta é sofisticada. Vejamos um exemplo. Exemplo 1.4. Fixemos a região plana Ω = R2−{(0,0)} (a região aberta é R2 perfurado na origem). Considere o seguinte campo de vetores F⃗ ∈ V(Ω,R2), F (x, y) = ( −y x2 + y2 , xx2 + y2) . Vejamos o seu rotacional. rot(F⃗ ) = det ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ∂ ∂ x −y x2 + y2 ∂ ∂ y x x2 + y2 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = x2 + y2 − 2x2(x2 + y2)2 + x2 + y2 − 2y2(x2 + y2)2= 0. 1.5 Campos de vetores conservativos 13 Calculemos duas integrais de linha com as curvas possuindo pontos iniciais e pontos finais iguais, mas com traços diferentes. Caso a resposta das integrais sejam diferentes o campo não é conservativo. (1,0)(-1,0) a( )t b( )t Considere as curvas α, β ∶ [0, pi]→ Ω, α(t) = (cos(t), sen(t)) e β(t) = (cos(−t), sen(−t)). Os traços são diferentes e os pontos iniciais e pontos finais são iguais. Calculemos a integral de linha sobre α: ∫ α F⃗ (x, y)dl = ∫ pi 0 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt = ∫ pi 0 ⟨(−sen(t), cos(t)), (−sen(t), cos(t))⟩ dt = ∫ pi 0 (cos2(t) + sen2(t)) dt= pi. Agora vejamos a integral de linha sobre β: ∫ β F⃗ (x, y)dl = ∫ pi 0 ⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩ dt = ∫ pi 0 ⟨(−sen(−t), cos(−t)), (sen(−t),−cos(t))⟩ dt = ∫ pi 0 − (cos2(t) + sen2(t)) dt= −pi. Como as integrais de linha são diferentes, pelo teorema acima, F⃗ não é campo conser- vativo, embora seu rotacional seja zero. ◻ Historicamente, este exemplo é importante. Com ele, fica constatado que o domí- nio de uma função pode modificar as propriedades da função de modo radical. Para garantir que um campo de vetores cujo rotacional é nulo seja um campo conservativo, devemos examinar o seu domínio!! 14 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1 Um subconjunto Ω de R é simplesmente conexo se toda curva fechada α em Ω pode ser deformada continuamente em Ω, sem rupturas, a um ponto de Ω. Intuitivamente falando, simplesmente conexo é um conceito que procura transmitir a ideia sobre um conjunto Ω não ter �buracos�. Ver figuras a seguir. x y z x y z simplesmente conexo não simplesmente conexo a( )t (1,0) não simpesmente conexo À direita, o domínio é Ω = R2. O traço da curva α é o círculo unitário canônico S1. Claro, a curva pode ser continuamente deformada, sem rupturas, ao ponto (1,0). À esquerda, o domínio é Ω = R2 − {(0,0)} (o R2 perfurado na origem). O traço da curva α é o círculo unitário canônico S1. Para deformar a curva continuamente, sem rupturas, ao ponto (1,0), em algum instante a curva deve �passar� pelo (0,0) que não pertence a Ω. A deformação não pode ser realizada inteiramente dentro de Ω. Logo, ele não é simplesmente conexo. Teorema 1.2. Seja F⃗ um campo de vetores em V (Ω,R2) tal que rotF⃗ ≡ 0. Se o domínio Ω é simplesmente conexo, então F⃗ = ∇f , para algum f ∈ F (Ω,R2). Como R2 é simplesmente conexo, um campo de vetores ser irrotacional e ser campo conservativo são conceitos equivalentes. Corolário 1.1. Um campo de vetores F⃗ ∶ R2 → R2 tem rotacional nulo se, e somente se, F⃗ = ∇f , para alguma função f ∶ R2 → R. Exemplo 1.5. Considere Ω o subconjunto obtido do R2 menos o semi-eixo não positivo de ox. Mais precisamente Ω = R2 − {(x,0) ∈ R2; x ≤ 0}. Este conjunto é simplesmente conexo. W 1.6 Teorema de Green 15 Considere o campo de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2, F (x, y) = ( −y x2 + y2 , xx2 + y2) . Como vimos anteriormente, rotF⃗ ≡ 0. Logo, neste domínio F⃗ é campo conservativo, isto é, existe uma função f ∶ Ω→ R tal que F⃗ = ∇f . Pelo Teorema do campo conservativo, a integral de linha de F⃗ sobre qualquer curva fechada α ∶ [a1, a2] → Ω, isto é, α(a1) = α(a2) cuja imagem está contida em Ω, tem integral nula. ◻ Exercício 1.3. Guidorizzi, vol. 3. 1. Página 148, números 1, 2, 6, 7 e 8. 2. Página 154, números 1, 2, 3 e 4. 3. Página 169, números 1, 3 e 4. ◻ 4. Calcule as integrais de linha de F (x, y) = ( −y x2 + y2 , xx2 + y2) . sobre sa curvas Γ e Π com ponto inicial e final (0,2) e percurso indicado. 1 2 4 -4 -2-7 -5 G 1 2 1 -4 -2-7 -7 P -2 1.6 Teorema de Green Nesta seção, apresentaremos o Teorema de Green que relaciona integral de área (integral sobre um objeto bidimensional) com integral de linha (integral sobre um objeto unidimensional). Esta relação é via o operador rotacional. V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ Teo. de Green 16 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1 Precisamos de uma terminologia. Diz-se que uma região K num aberto Ω de R2 é uma região de Green 2 se o seu bordo ∂K está parametrizado de modo que, na direção do percurso, a região K está do lado esquerdo. R R E mais, a parametrização de cada componente do bordo, digamos α ∶ [a1, a2] → Ω, é tal que α(a1) = α(a2) (curva fechada). Enunciemos o Teorema de Green. Teorema 1.3. Seja Ω um aberto de R2. Se F ∈ V (Ω,R2) e K ⊂ Ω uma região de Green em Ω, então ∫∂K F⃗ dl = ∫ ∫K rotF⃗ dA. Exemplo 1.6. Considere o campo de vetores F (x, y) = (−y, x) e a região compactaK = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 4}. Esta região é um disco compacto cujo bordo ∂K é o círculo de raio r = 2 centrado na origem. Este bordo deve ser orientado no sentido positivo, isto é, devemos considerar uma parametrização tal que ao fazermos o seu percurso, deixemos a região do lado esquerdo. Uma tal parametrização pode ser α ∶ [0,2pi]→ R2, α(t) = (2cos(t),2sen(t)). Calculemos ∫ ∂K F⃗ dl = ∫ 2pi0 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt= ∫ 2pi 0 ⟨(−2sen(t),2cos(t)), (−2sen(t),2cos(t))⟩ dt = = ∫ 2pi 0 4dt= 8pi. 2 George Green Sneinton, (⋆ 14/07/1793 − 31/05/1841) foi um matemático e físico inglês. 1.6 Teorema de Green 17 Examinemos o outro membro da relação de Green, aplicando a mudança de coor- denadas polares e sabendo que rotF⃗ (x, y) = 2. ∫ ∫K rotF⃗ dA = ∫ ∫K 2dA= ∫ 2pi 0 ∫ 2 0 2r dr dθ = ∫ 2pi 0 4dθ= 8pi.Assim, fica verificado o teorema de Green. ◻ Exemplo 1.7. Considere o campo de vetores F (x, y) = (−y, x) e a região K = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}. Esta região é um anel compacto cujo bordo ∂K é a união de dois círculo, C1 e C2, centrados na origem, um de raio r1 = 1 e outro de raio r2 = 2. Este bordo deve ser orientado no sentido positivo, isto é, devemos considerar uma parametrização de cada componente conexa do bordo de modo que ao fazermos o seu percurso, deixemos a região do lado esquerdo. Tais parametrizações podem ser ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ α ∶ [0,2pi]→ R2, α(t) = (2cos(t),2sen(t)) β ∶ [0,2pi]→ R2, β(t) = (cos(−t),2sen(−t)) . A integral no bordo de raio r1 = 2 já foi calculada, seu valor é 8pi. No bordo de raio r1 = 1 o valor segue abaixo: ∫ β F⃗ dl = ∫ 2pi 0 ⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩ dt = ∫ 2pi 0 ⟨(−sen(−t), cos(−t)), (sen(−t),−cos(−t))⟩ dt = = ∫ 2pi 0 −1dt= −2pi. Sendo assim, ∫ ∂K F⃗ dl = ∫C1 F⃗ dl + ∫C2 F⃗ dl = 8pi − 2pi = 6pi. Vejamos a integral de área. Novamente, aplicando a mudança de coordenadas 18 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1 polares e sabendo que rotF⃗ (x, y) = 2 temos ∫ ∫R rotF⃗ dA = ∫ ∫K 2dA= ∫ 2pi 0 ∫ 2 1 2r dr dθ = ∫ 2pi 0 3dθ= 6pi. Isto ilustra o teorema de Green. ◻ Exercício 1.4. Guidorizzi, vol. 3. 1. Página 194, números 2, 3, 4, 5 e 9. 2. Considere o campo de vetores F⃗ (x, y) = (0, x) e a curva α cujo traço está indicado na figura. Calcule ∫α F⃗ (x, y)dl. 1 2 1 -4 -2-7 -7 P -2 a( )t 3. Sejam F⃗ (x, y) = ( −y x2 + y2 , xx2 + y2) e K = {(x, y) ∈R2; x2 + y2 ≤ 1}. Pergunta: porque não podemos utilizar o Teorema de Green neste campo de vetores e neste compacto? ◻ 2 Operadores de derivação Estudaremos teoremas relacionados com a seguinte sequência de operadores de de- rivação em espaços vetoriais. Aqui, Ω é um conjunto aberto em R3: F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R) rotÐ→ V(Ω,R) divÐ→ F(Ω,R). Os operadores de derivação indicados são, nesta ordem, gradiente (∇), rotacional (rot) e divergente (div). 2.1 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R3) Seja Ω um aberto de R3. Iremos considerar dois conjuntos cujos elementos são objetos funcionais. O primeiro deles, denotado por F(Ω,R), é o conjunto constituído por todas funções f ∶ Ω→ R para as quais podemos calcular todas as derivadas parciais de todas as ordens. Tecnicamente falando, elas são chamadas de funções reais (pois o contra domínio é R) com três variáveis reais (pois o domínio é Ω, um subconjunto do R3, seus pontos possuem três coordenadas). Todas estas informações estão sintetizadas na notação: F vem da palavra função; o primeiro símbolo no parêntese é o domínio; o segundo símbolo do parêntese é o contradomínio. Portanto, os elementos de F(Ω,R) são funções reais com mesmo domínio Ω. Por exemplo, se Ω = R3 − {(0,0,0)} (R3 perfurado na origem), a função f ∶ Ω→ R, f(x, y, z) = x2ye4x−y+z − zsen(xy), pertence a F(Ω,R), pois qualquer que seja (x0, y0, z0) ∈ Ω, podemos fazer a avaliação f(x0, y0, z0). A função g ∶ Ω→ R, g(x, y, z) = 1 x2 + y2 + z2 , 19 20 Operadores de derivação Cap. 2 também pertence a F(Ω,R), pois, da mesma forma, qualquer que seja (x0, y0, z0) ∈ Ω podemos avaliar g(x0, y0, z0). Entretanto, a função h ∶ Ω→ R, h(x, y, z) = xyz(x − 1)3 + y4 não pertence a F(Ω,R) pois (1,0,0) ∈ Ωmas não podemos fazer a avaliação de h(x, y, z) neste ponto. O domínio de h não é Ω. O conjunto F(Ω,R) tem uma estrutura natural de espaço vetorial. Isto é, podemos somar duas funções de F(Ω,R) e obter uma terceira função e multiplicar uma função deF(Ω,R) por um escalar λ ∈ R e obter uma outra função. No contexto aqui considerado, tal fato tem pouca relevância. Não nos deteremos neste aspecto. O segundo conjunto que será considerado será o conjunto constituído pelos campos de vetores em Ω, conjunto este denotado por V (Ω,R3). Aqui, o termo campo de vetores será empregado para designar uma função definida (com domínio) em um subconjunto Ω do R3 com valores em R3 (contradomínio). O símbolo utilizado é sugestivo: V vem da palavra vetor; Ω é o domínio; R3 o contradomínio. Simbolicamente, um elemento de V (Ω,R3) é uma aplicação da forma F⃗ ∶ Ω→ R3, F⃗ (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) . Não será explorado neste texto, mas, apenas para informação, podemos definir um estrutura de espaço vetorial em V (Ω,R3) definindo a soma de dois campos de vetores e a multiplicação de um campo de vetores por um escalar. 2.2 Os operadores de derivação ∇, rot e div Examinemos a sequência de operadores de derivação entre os espaços considerados na seção anterior: F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R) rotÐ→ V(Ω,R) divÐ→ F(Ω,R) ¬ O operador gradiente já é conhecido. Se f(x, y, z) é uma função real então ∇f(x, y, z) = (∂f ∂x (x, y, z), ∂f ∂y (x, y, z), ∂f ∂z (x, y, z)) O operador gradiente transforma funções em campos de vetores. Por economia de espaço e facilidade de digitação, escreveremos ∇f = (fx, fy, fz) 2.2 Os operadores de derivação ∇, rot e div 21 Exemplo 2.1. Se f ∈ F (R3,R), f(x, y, z) = xy + cos z, então ∇f(x, y, z) = (y, x,−senz) ∈ V (R3,R3) . ◻ Observe que em R3, o operador de derivação rot, transforma campo de vetores em campo de vetores. Seu cálculo é feito pelo seguinte algoritmo. Se F⃗ = (F1, F2, F3) então rotF⃗ = det ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ e1 ∂/∂x F1 e2 ∂/∂y F2 e3 ∂/∂z F3 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (∂F3∂y − ∂F2∂z , −∂F3∂x + ∂F1∂z , ∂F2∂x − ∂F1∂y ) Exemplo 2.2. Considere o campo de vetores F⃗ ∈ V(R3,R3), F⃗ (x, y, z) = (x2 − y33z, xyz, x − ey). Calculemos, rotF⃗ = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ e1 ∂ ∂x x 2 − y3z e2 ∂ ∂y xyz e3 ∂ ∂z x − ey ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (−e y − xy, −y3 − 1, yz − 3y2z) . ® O operador de derivação denominado divergente transforma campos de vetores em funções reais. Segue sua definição. Se F⃗ = (F1, F2, F3), então divF⃗ = ∂F1∂x + ∂F2∂y + ∂F3∂z . Exemplo 2.3. Se F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (x2 − y33z, xyz, x− ey), um cálculo simples nos dá divF⃗ (x, y, z) = 2x + xz. ◻ Proposição 2.1. Valem as seguintes relações entre os operadores de derivação. ^ rot∇f(x, y, z) ≡ 0⃗, para toda função f ∈ F (Ω,R). D div rot F⃗ (x, y, x) ≡ 0 para todo campo de vetores F⃗ ∈ V (Ω,R3). 22 Operadores de derivação Cap. 2 Prova As identidades seguem do fato das funções reais aqui consideradas possuem �derivadas cruzada� iguais. Verifiquemos o primeiro item. Seja f ∈ F (Ω,R). Temos ∇f = (fx, fy, fz) . Calculemos o rotacional deste campo de vetores. rot∇ f = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ e1 ∂ ∂x fx e2 ∂ ∂y fy e3 ∂ ∂z fz ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (fyz − fzy, −fxz + fzx, fxy − fyx) = (0,0,0). Verifiquemos o segundo item. Como visto acima, se F⃗ = (F1, F2, F3) temos div rot F⃗ = div ((F3)y − (F2)z, −(F3)x + (F1)z, (F2)x − (F1)y)= ����(F3)xy − (F2)xz −����(F3)yx + (F1)yz + (F2)zx − (F1)zy= 0. ◻ Exercício 2.1. O domínio de todas as funções a seguir são Ω = R3. 1. Aplique, quando cabível, um dos (ou mais) operadores de derivação. â F⃗ (x, y, z) = (xyz, yx + x2, cos(xz)). â f(x, y, x) = (ezy2 − 3x + tg(z)) â f(x, y, z) = ln(x 2 + y2 + z2). â F⃗ (x, y, z) = (xy, yz, zx). 2. Mostre que os seguintes campos de vetores em R3 não são campos gradientes. ! F⃗ (x, y, z) = (y, z, x). ! F⃗ (x, y, z) = (yz, xz, xy). ! F⃗ (x, y, z) = (x 3 + y2 + z, y2 + z, z). ! F⃗ (x, y, z = (0, x,0).) 3. Mostre que os seguintes campos de vetores não são campos rotacionais. , F⃗ (x, y, z) = (x, y, z). , F⃗ (x, y, z) = (ex+y, ez, ey). , F⃗ (x, y, z) = (0,2x + 3y + 4z,−2)., F⃗ (x, y, z) = (cos (xy), sen (xy), z). 3 Uma integral para cada espaço 3.1 Visão geral I Antes de continuarmos, devemos compreender como os teoremas que serão apresen- tados − Teorema dos campos conservativos, Teorema de Stokes e Teorema de Gauss − são generalizações do Teorema Fundamental do Cálculo apresentado em Cálculo I. Fa- remos uma releitura do TFC, agora dentro deste contexto de operadores de derivação. Seja Ω = (a, b) um intervaloaberto de R. Denote por F (Ω,R) o conjunto constituído por todas as funções f ∶ Ω → R que possuem todas as derivadas. São elementos deste espaço vetorial as inúmeras funções estudadas em Cálculo I: f(x) = x3 − x (polinômios), f(x) = senx, f(x) = ex, etc. Pela teoria vista em Cálculo I, definimos o seguinte operador de derivação: F (Ω,R) ddxÐ→ F (Ω,R) . Como sabemos, esta aplicação é a derivada: f ↦ df dx . Portanto, ela transforma funções em funções. Fixado um intervalo [a1, a2] ⊂ Ω, denote o bordo deste intervalo por ∂[a, b]. Este bordo é o conjunto ordenado constituído pelos pontos a1 e a2, ou seja, ∂[a1, a2] ={a1, a2}. Uma observação é crucial para entendermos os futuros teoremas: 1. o intervalo [a1, a2] é unidimensional (somente tem comprimento); 2. o bordo ∂[a1, a2] tem uma dimensão a menos, são dois pontos (zero dimensional). Não foi dito quando da apresentação de Cálculo I, pois era desnecessário. Mas será dito agora. No espaço vetorial do lado esquerdo F (Ω,R) ddxÐ→ F (Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ Teo. Fundamental do Calculo . 23 24 Uma integral para cada espaço Cap. 3 vamos definir uma �integral� (chamaremos assim), sobre dois pontos, g(x)]{a1,a2} = g(a2) − g(a1) No espaço vetorial do lado direito temos a integral usual ∫[a1,a2] h(x)dx = ∫ a2a1 h(x)dx. A relação entre as duas integrais, o operador de derivação e o operador de bordo é estabelecida pelo TFC, que segue descrito em duas notações,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ ∫[a1,a2] dfdxdx = f(x)]∂[a1,a2] ∫ a2a1 f ′(x)dx = f(a2) − f(a1) . Observe d dx está no integrando e ∂ está no argumento de integração. Uma integral é sobre um intervalo unidimensional e a outra sobre dois pontos, objeto zero dimensional. Uma integração envolve funções do espaço vetorial à direita e a outra envolve funções do espaço vetorial à esquerda. Exemplo 3.1. Seguindo a notação ∫[0,1] 3x2dx = x3] ∂[0,1] = 1. ◻ Está ideia de reduzir uma integral sobre um objeto de dimensão n para uma integral sobre um objeto de dimensão n − 1 é uma das mais profícuas quando da aplicação da Matemática. Vejamos o que foi apresentado anteriormente quando trabalhamos com duas variá- veis (x, y). Seja Ω um aberto de R2. Nas aulas anteriores apresentamos os operadores de derivação F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R) rotÐ→ F(Ω,R). Destacamos que os Teorema do campo conservativo e o Teorema de Green estão asso- ciados ao seguintes esquemas. F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ Teo. campo conservativo V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ Teo. de Green Para descrever os dois teoremas, consideramos: 3.1 Visão geral I 25 * uma integração definida para elementos do espaço vetorial à esquerda, qual seja, f(x)](v1,v2) = f(p2) − f(p1), onde p1 = (x1, y1) e p2 = (x2, y2); * a integração de linha para elementos do espaço vetorial no centro, ∫ α F⃗ (x, y)dl; * a integração usual de área para elementos do espaço vetorial à direita, ∫K f(x, y)dxdy, onde K é um compacto em R2 e f(x, y) está definida em todos os pontos de K. ¶ O Teorema do campo conservativo estabelece que se α ∶ [a1, a2]→ Ω então ∫α∇f(x, y)dl = f(x, y)] ∂α . onde ∂α = {α(a1), α(a2)}. · O Teorema de Green estabelece que ∫K rot F⃗ (x, y)dxdy = ∫∂K F⃗ (x, y)dl. onde ∂K está parametrizada de modo que o percurso deixa a região K à esquerda. Exemplo 3.2. Sejam f(x, y) = x2 − y e α ∶ [0,2] → R2, α(t) = (2 − t, t2). Um cálculo simples nos dá ∇ f(x, y) = (2x,−1) e α′(t) = (−1,2t). Calculemos a integral de linha ∫ α ∇f(x, y)dl = ∫ 2 0 ⟨∇f(α(t)), α′(t)⟩dt = ∫ 2 0 ⟨(2t,−1), (−1,2t)⟩dt = ∫ 2 0 −4t dt= −8. 26 Uma integral para cada espaço Cap. 3 Por outro lado, f(x, y)] ∂α = f(α(2)) − f(α(0)) = f(0,4) − f(2,0)= −8. Não precisamos realizar os cálculos em ambos membros, o Teorema do campo conser- vativo nos dá a resposta. ◻ Exemplo 3.3. Sejam F⃗ (x, y) = (x2, xy3), um campo em V (R2,R2), e Ko retângulo compacto K = [0,1] × [1,2]. Um cálculo simples nos dá rot F⃗ (x, y) = y3. Calculemos ∬K rot F⃗ (x, y)dxdy = ∫ 10 ∫ 21 y3dydx= ∫ 1 0 15 4 dx= 4. Vejamos o resultado da integral do segundo membro da identidade de Green. ∫ ∂K F⃗ (x, y)dl. (0,1) (1,1) (1,2)(0,2) K Observe que a parametrização do bordo ∂K deve ter um percurso de modo que a região considerada permaneça à esquerda. Recordamos uma propriedade que facilita (e muito) os cálculos envolvidos: não importa qual a parametrização que consideramos para cada lado do retângulo, o importante é que o ponto inicial e final sejam os mesmos. Vejamos então parametrizações simples. � Parametrização do lado determinado pelos vértices (0,1) e (1,1): α(t) = (t,1), onde 0 ≤ t ≤ 1. � Parametrização do lado determinado pelos vértices (1,1) e (1,2): β(t) = (1, t + 1), onde 0 ≤ t ≤ 1. 3.1 Visão geral I 27 � Parametrização do lado determinado pelos vértices (1,2) e (0,2): δ(t) = (1 − t,2), onde 0 ≤ t ≤ 1. � Parametrização do lado determinado pelos vértices (0,2) e (0,1): γ(t) = (0,2 − t), onde 0 ≤ t ≤ 1. Calculemos. ∫ ∂K F⃗ (x, y)dl = ∫∂α⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt + ∫∂β⟨F⃗ (β(t)), β′′(t)⟩dt+∫ ∂δ ⟨F⃗ (δ(t)), δ′′(t)⟩dt + ∫ ∂γ ⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩dt ∫ 1 0 t2dt + ∫ 1 0 (t + 1)3dt + ∫ 1 0 −(1 − t)2dt = 1 3 + 4 − 1 4 − 1 3= 15 4 . ◻ Exercício 3.1. Exercício do Livro t,exto Guidorizzi vol. 3, p. 195. ✠ Sejam F⃗ (x, y) = (0, x) e K um compacto como no Teorema de Green. Mostre que área(K) = ∫ ∂K F⃗ (x, y)dl ✠ Calcule a área da região limitada pela curva x = 1− sen t, y = 1− cos t, 0 ≤ t ≤ 2pi, e o eixo ox. ✠ Sabendo-se que uma região compacta K tem área 3, calcule ∫ ∂K F⃗ (x, y)dl, onde F⃗ (x, y) = (2x + y,3x − y). ✠ Calcule ∫ ∂K F⃗ (x, y)dl, onde K = [−1,1] × [0,1] e F⃗ (x, y) = (4x3y3, 3x4y2 + 5x). 28 Uma integral para cada espaço Cap. 3 P a r a d e i x a r c l a r o o s t e o r e m a s q u e s e r ã o a p r e s e n t a d o s −Teo r e m a d o c a m p o c o n s e r v a t i v o , T e o r e m a d e S t o k e s e T e o r e m a d e G a u s s −ant e c i p a m o s a i d e i a g e r a l . A b a i x o s e g u e m o s o p e r a d o r e s d e d e r i v a ç ã o q u e i r e m o s c o n s i d e r a r , a s i n t e g r a i s e n v o l v i d a s e o s n í v e i s d e r e l a ç ã o . F(Ω, R ) ∇ Ð→ V(Ω, R ) ro t Ð→ V(Ω, R ) d iv Ð→ F(Ω, R ) ↕ ↕ ↕ ↕ f (x,y, z)] {p 1 ,p 2 } ∫ αF⃗( x ,y ,z )dl ∬ S⟨F⃗ (x,y, z),η⟩ d S ∭ Bf (x,y, z)dV ↖ TC C ↗ ↖ St o k e s ↗ ↖ Ga u s s ↗ A i n t e g r a i s e s t ã o r e l a c i o n a d a s c o m a s d i m e n s õ e s d o s o b j e t o s : P o n t o {a 1}; L i n h a α , ( o b j e t o s u n i d i m e n s i o n a i s ) , s u p e r f í c i e S ( o b j e t o s b i d i m e n s i o n a i s q u e p r e c i s a m o s d e fi n i r ) e s ó l i d o B(ob j e t o s t r i d i m e n s i o n a i s ) . O b s e r v e q u e q u a n d o o o b j e t o g e o m e t r i c o t e m b o r d o , o b o r d o d o o b j e t o , t e m u m a d i m e n s ã o a m e n o s . 3.2 Um pouco de Álgebra Linear 29 3.2 Um pouco de Álgebra Linear Justificaremos algumas definições que serão colocadas adiante utilizando conheci- mentos de Álgebra linear. Considere a transformação linear T ∶ R2 → R3, T (x, y) = (x + 2y, y,2x + y). Pergunta Qual a área da imagem do quadrado [0,1] × [0,1]? (1,0) (0,1) (0,0) (1,1) T(0,0) T(1,0) T(0,1) T(1,1) T Não podemos utilizar o mesmo algoritmo para transformaç�es lineares do R2 para o R2. Vejamos. Como T (e1) = (1,0,2) e T (e2) = (1,1,1), a matriz de T na base canônica fica sendo [T ] = [T (e1) T (e2)] = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 1 1 0 1 2 1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . Como [T ] não é quadrada, é uma matriz 3 × 2, não podemos calcular determinantes. Um algoritmo para calcular a área será computar o produto vetorial η⃗ = T (e1) × T (e2). Como sabemos, além deste vetor ser ortogonal à T (e1) e T (e2), sua norma é a área do retângulo imagem do quadrado indicado. Sabendo-se dos valores T (e1) = (1,0,2) e T (e2) = (1,1,1), então η⃗ = T (e1) × T (e2) = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ e1 1 1 e2 0 1 e3 2 1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (−2,1,1). Como ∣∣η⃗∣∣ = √6 e o quadrado original [0,1]× [0,1] tem área 1, sua imagem por T é um paralelogramo de área √ 6. Mais ainda. Considere o retângulo compacto K = [a, b] × [c, d]. Sua área é A1 =(b−a) ⋅(d−c). A imagem T (K) é um paralelogramo com área A2 = √6A1. Este número√ 6, é o fator que relaciona a área da figura original com a área da imagem. 30 Uma integral para cada espaço Cap. 3 Geralmente. A transformação linear T transforma o plano R2 num plano (super- fície) do R3 (que é um subespaço de dimensão 2). Uma região compacta K do R2 é transformada numa região compacta do plano imagem de T . Se A1, é a área desta região em R2, sua imagem tem área A2 e a relação da áreas é A2 = √6A1. T A A 1 2 Uma transformação linear T ∶ R2 → R3 transforma o R2 (um espaço de dimensão 2) num plano (subespaço) do R3 de dimensão 2 desde que η⃗ = T (e1) × T (e2) não seja o vetor nulo. 3.3 Integral de superfície Passemos à definição de superfície parametrizada e de superfície. Seja Ω um subconjunto do R2. Uma aplicação σ ∶ Ω → R3 será chamada superfície parametrizada. Para evitar ambiguidades, a partir deste momentos os pares ordenados de R2 serão indicados por(u, v) e os ternos ordenados de R3 por (x, y, z) O lugar geométrico Sσ constituído pelos pontos da imagem de σ será denominado superfície: Sσ = {σ(u, v) ∈ R3; (u, v) ∈ Ω}. s u v x y z superfície parametrizada superfície Observe que a superfície Sσ em R3, em geral não é um plano, mas, fisicamente falando, a dimensão de uma superfície é igual a 2, ela tem �largura� e �comprimento�, mas não �espessura�. 3.3 Integral de superfície 31 Exemplo 3.4. Examinemos alguns exemplos. 1. Considere a superfície parametrizada σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (u, v, u2 + v2). Neste caso, podemos facilmente identificar a superfície Sσ, é o parabolóide z = x2 + y2. Vejamos. Como x = u, y = v e z = u2 + v2, segue que z = x2 + y2. 2. Considere o gráfico de f ∶ R2 → R, f(x, y) = x2 − y2. Como sabemos, seu gráfico é um subconjunto do R3 que chamamos sela. Esta sela é uma superfície Sσ, pois ela é a imagem da superfície parametrizada σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (u, v, u2 − y2). 3. Em geral, se g ∶ Ω → R, onde Ω é um subconjunto do R2, o gráfico de g(x, y) é um superfície Sσ, pois basta considerar σ ∶ Ω→ R3, σ(u, v) = (u, v, g(u, v)). Esta técnica para construir σ é usual. No exemplo do item 1., a superfície Sσ é o gráfico da função f ∶ R2 → R, f(x, y) = x2 + y2. 4. A esfera S2 = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = 1} é também uma superfície Sσ, é suficiente considerar a parametrização esférica (aqui, θ = u e φ = v): σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (cosusenv, senusenv, cos v). Neste caso, a superfície parametrizada σ �recobre� a esfera um número infinito de vezes.para evitar este inconveniente devemos restringir o domínio. Por exemplo, σ ∶ [0,2pi] × [0, pi]→ R3, σ(u, v) = (cosusenv, senusenv, cos v). 5. Um plano em R3 também é uma superfície Sσ. Por exemplo, se Π = {(x, y, z) ∈ R3; 2x − y − 4z = 3}. Neste caso, podemos considerar σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (u,2u − 4v − 3, v). Vejamos. Como x = u, y = 2u − 4v − 3 e z = v, por substituição, recuperamos a equação de Π ∶ 2x−y−4z = 3. (Você poderia construir muitos outros σ′s diferentes deste). 6. Algumas superfícies Sσ são de difícil vizualzação, apenas programas computa- cionais gráficos poderiam dar uma ideia de sua configuração. Por exemplo, σ ∶ R2 − {(0,0)}→ R3, σ(u, v) = (ln (u2 + v2), eu2+v2 , uv − u5). ◻ 32 Uma integral para cada espaço Cap. 3 Terminologia Descrever um subconjunto S de R3 como um subconjunto do tipo Sσ significa parametrizar S. Exemplo 3.5. Parametrize o cilindro S = {(x, y, z) ∈ R3. x2 + y2 = 1}. Considere σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (cosu, senu, v). Por simplicidade, utilizaremos a seguinte notação em substituição às derivadas par- ciais, ∂σ ∂u = σu e ∂σ ∂v = σv De fato. Como x = cosu, y = senu e z = v, então x2 + y2 = 1 e z é qualquer real. ◻ s u v x y z superfície parametrizada superfície s s u v (u ,v ) 0 0 dAdx dy Ressaltamos que a avaliação σu(u0, v0) e σv(u0, v0) nos fornece vetores tangentes à superfície Sσ no ponto σ(u0, v0). Exemplo 3.6. Examinemos a superfície parametrizada σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (u2 − v, uv, u + v). As derivadas parciais são σu(u, v) = (2u, v,1) e σv(u, v) = (−1, u,1). O ponto σ(1,0) = (1,0,1) é um ponto da superfície σ. Os vetores σu(1,0) = (2,0,1) e σv(1,0) = (−1,1,1) são vetores tangentes à superfície no ponto σ(1,0) = (1,0,1). Para calcular a equação do plano tangente Π à superfície neste ponto, precisamos do vetor normal ao plano, que pode ser obtido por η⃗ = σu(1,0) × σv(1,0) = (−1,−3,2). Com isto, calculamos a equação Π ∶ −x − 3y + 2z = 1 utilizando o produto interno. ◻ 3.3 Integral de superfície 33 Feito todas as considerações, passemos à definição da integral de superfície. Para isto seguiremos uma abordagem de �Analise não standard�. Sejam K uma região de Green R2, σ ∶ K → R3 uma superfície parametrizada. A superfície Sσ também é compacta. O bordo ∂Sσ é a imagem do bordo ∂K e seu percurso é induzido por σ do percurso de ∂K. u v x y z s S K s Seja dS a área infinitesimal da imagem do retângulo infinitesimal dxdy de K. O fator de expansão de área infinitesimal em cada ponto (u, v) ∈ K é ∣∣σu ×σv ∣∣. Portanto, a relação entre as áreas infinitesimais fica sendo dS = ∣∣σu × σv ∣∣dudv du dv dS s Por definição, a integral de f(x, y, z) sobre a superfície Sσ = σ(K) é ∫ ∫Sσ f(x, y, z)dS =∶ ∫ ∫K f(σ(u, v))∣∣σu × σv ∣∣dudv. Exemplo 3.7. Seja K = {(u, v) ∈ R2; u2 + v2 ≤ 4}. Considere a superfície parametrizada σ ∶ K → R3, σ(u, v) = (u, v, uv). Como σu(u, v) = (1,0, v) e σv(u, v) = (0,1, u), então σu(u, v)× σv(u, v) = (−v,−u,1). Sendo assim, o fator de expansão de área infini- tesimal fica sendo ∣∣σu × σv ∣∣ = √1 + u2 + v2. 34 Uma integral para cada espaço Cap. 3 Se desejarmos integrar a função f(x, y, z) = 11+x2+y2 sobre Sσ, realizamos as operações ∬Sσ f(x, y, z)dS = ∬K f(σ(u, v))∣∣σu × σv ∣∣dudv. = ∬K f(u, v, uv)√1 + u2 + v2dudv = ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 √ 1 + r2 1 + r2 r dr dθ = 2pi (√2 − 1) . Utilizamos coordenadas polares na resolução. ◻ Observe que quando f(x, y, z) ≡ 1, a integral de superfície é nos fornece a área deSσ. Portanto, definimos a área da superfície Sσ como sendo a integralização de todos os dS, temos área(Sσ) =∬Sσ dS =∬K ∣∣σu × σv ∣∣dxdy. Exemplo 3.8. Seja K = {(u, v) ∈ R2; u2+v2 ≤ 4}. Considere a superfície parametrizada σ ∶ K → R3, σ(u, v) = (u, v, uv). Como vimos no Exercício 3.7, o fator de expansão de área infinitesimal é ∣∣σu × σv ∣∣ = √1 + u2 + v2. Calculemos a área da superfície. área(σ(K)) = ∬K√1 + u2 + v2dudv = ∫ 2pi 0 ∫ 2 0 √ 1 + r2 r drdθ = ∫ 2pi 0 1 3 (1 + r2) 32 )]2 0 dθ = √500 −√32 3 pi. Na resolução da integral utilizamos a troca de coordenadas polares. ◻ Exercício 3.2. Exercícios do livro texto Guidorizzi, vol. 3. 1. Esboce a superfície Sσ para cada superfície parametrizada indicada (p. 208.) (a) σ(u, v) = (u, v, u2 + v2), onde (u, v) ∈ R2. Calcule a equação cartesiana do plano tangente à superfície Sσ no ponto σ(1,1). 3.4 Fluxo de F⃗ através de Sσ 35 (b) σ(u, v) = (1, u, v), onde 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1. (c) σ(u, v) = (u, v,1 − u − v), onde u ≤ 0, v ≤ 0 e u + v ≤ 1. Calcule a área da superfície Sσ. Descreva a superfície Sσ utilizando as variáveis x, y e z do R3. (d) σ(u, v) = (u,√1 − u2 − v2, v), onde u2 + v2 ≤ 1. (e) σ(u, v) = (vcosu, vsenu, v), onde 0 ≤ u ≤ 2pi, 1 ≤ v ≤ 2. Calcule a área da superfície Sσ e a integral de superfície de f(u, v, z) = z sobre Sσ. (f) σ(u, v) = (u, v,1 − u2), onde u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1. Calcule a equação cartesiana do plano tangente à superfície Sσ no ponto σ(1,1). 2. Calcule a integral de superfície (p. 219) ∬Sσ f(x, yz)dS. (a) f(x, y, z) = x e σ(u, v) = (u, v, u2 + v), onde 0 ≤ u ≤ 1 e u2 ≤ v ≤ 1. (b) f(x, y, z) = xy e σ(u, v) = (u − v, u + v,2u + v + 1) onde 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ u. (c) f(x, y, z) = x2 + y2 e σ(u, v) = (u, v, u2 + v2), u2 + v2 ≤ 1. (d) f(x, y, z) = y e σ(u, v) = (u, v,1 − u2), onde 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ √u. 3.4 Fluxo de F⃗ através de Sσ Iremos definir uma medida importante para a Física e as engenharias: fluxo de um campo de vetores através de uma superfície. Esta medida reduz-se ao cálculo de uma integral de superfície, mas para justificar a definição, precisamos de um conceito de Álgebra linear. F m < >F ,m Sejam µ⃗ e F⃗ vetores em R3. Vamos supor que µ⃗ seja unitário, ou seja, ∣∣µ⃗∣∣ = 1. O vetor F⃗ tem uma componente horizontal (ortogonal a µ⃗) e outra vertical (na direção de µ⃗). Como µ é unitário, a componente vertical se escreve como λµ⃗, onde λ = ⟨F⃗ , µ⃗⟩. 36 Uma integral para cada espaço Cap. 3 Fixemos K, um compacto de Green em R2, e σ ∶ K → R3 uma superfície parametri- zada. Como sempre, Sσ é a imagem de σ. dS F(u,v) (u,v) m s Seja dS a área da região infinitesimal da superfície em �torno� do ponto σ(u, v) e µ⃗ o vetor unitário ortogonal â superfície no ponto σ(u, v) obtido por µ⃗ = 1∣∣σu × σv ∣∣σu × σv A componente vertical de F⃗ é a única que colabora para o fluxo do campo de vetores através da região. Então, a quantidade de fluxo do campo de vetores pela região é, por definição, ⟨F⃗ , µ⃗⟩dS. A soma de todas estas quantidades de fluxos, é a integral de superfície fluxo (F⃗ ,Sσ) =∶ ∬Sσ⟨F⃗ , µ⃗⟩dS. Vejamos como devemos calcular este fluxo. Como ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ µ⃗ = 1∣∣σu×σv ∣∣ σu × σv´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ η⃗ dS = ∣∣σu × σv ∣∣dudv , o cálculo do fluxo reduz-se à integral ∬Sσ⟨F⃗ , µ⃗⟩dS = ∬K⟨F⃗ (σ(u, v)), η⃗(σ(u, v))⟩dudv. 3.4 Fluxo de F⃗ através de Sσ 37 Exemplo 3.9. Calculemos fluxo (F⃗ ,Sσ), onde⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ F⃗ (x, y, z) = (−y, z, x) σ(u, v) = (u, v, uv) K = {(u, v) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1} . Precisamos calcular o campo normal à superfície: η⃗(σ(u, v)) = σu × σv = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ e1 1 0 e2 0 1 e3 v u ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (−v,−u,1). A função que deve ser integrada sobre K é ⟨F⃗ (σ(u, v)), η⃗(σ(u, v))⟩ = ⟨F⃗ (u, v, uv), η⃗(u, v, uv)⟩= ⟨(−v, uv, u), (−v,−u,1)⟩= v2 − u2v + u. Logo, utilizando mudança de coordenadas polares: fluxo (F⃗ ,Sσ) = ∬K(−v2 − v2u + u)dudv = ∫ 1 0 ∫ 2pi 0 (r3cos2θ −��������:0r4cos2θ senθ +�����:0r2cos θ)dθ dr = ∫ 1 0 (r3)∫ 2pi 0 cos2θdθ dr = 1 4 ∫ 2pi0 1 + cos2θ2 dθ = 1 4 ⎛⎝θ2 + sen2θ2 ] 2pi 0 ⎞⎠= pi 4 . Não trabalhamos com unidades físicas, mas se F⃗ for um campo de velocidade as- sociado a umescoamento de um fluido medido em m/s, então o fluxo de F⃗ através deSσ é de pi4m3/s. ◻ Exercício 3.3. Considere o campo de vetores F⃗ (x, y, z) = (x2,−1,1) e o cubo Q =[0,1] × [0,1] × [0,1]. 38 Uma integral para cada espaço Cap. 3 1. Calcule fluxo (F⃗ ,S), onde S = ∂Q e Q, onde o vetor normal η⃗ ao bordo ∂Q aponta para fora do cubo. Veja Exercício 4, do Livro texto, Guidorizzi, vol. p. 227. 2. Calcule ∭ Q divF⃗ (x, y, z)dxdydz. Exercício 3.4. Exercício do livro texto, Cap. 10 1, p. 230, números 1., 2., 3., 4. e 5. 4 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Continuaremos denotando um aberto em R3 por Ω. 4.1 Revendo o conceito de superfície Intuitivamente falando, uma superfície S é um subconjunto do R3 com �largura� e �comprimento� mas sem �espessura�. Na Matemática existem vários procedimentos para concretizar esta ideia de superfície. Entretanto, no Cálculo Vetorial, elas são estabelecidas de três formas distintas. Vejamos. � Gráfico de função de duas variáveis f(x, y). � Superfície de nível de função de três variáveis g(x, y, z). � Imagem de uma função σ(u, v). Exemplifiquemos. Exemplo 4.1. Seja f ∶ R2 → R, f(x, y) = x2 − y2. O gráfico de f(x, y) é a superfície S denominada sela: S = {(x, y, z) ∈ R3; z = f(x, y)} z x y S Mais ainda, a superfície S pode ser descrita como a curva de nível 0 da função g ∶ R3 → R, g(x, y, z) = z − x2 − y2. 39 40 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4 z x y g(x,y,z) 0 S A mesma superfície S pode ser obtida como a imagem da função σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (u, v, u2 − v2). z x y S u v s( )u,v Neste último caso, para destacar que a superfície é a imagem de σ(u, v) (aplicação denominada superfície parametrizada) indexamos na forma Sσ. ◻ Para os cálculos de integrais em uma superfície S necessitamos que ela seja descrita como imagem de uma função σ(u, v), ou seja, Sσ. Exercício 4.1. Para cada superfície S descreva-a como Sσ, ou seja, determine uma função σ(u, v) cuja imagem seja S. 1. S é gráfico de f(x, y) = x + y. 2. S é o gráfico de f(x, y) = 2 − x2 − y2. 3. S é a curva de nível de g(x, y, z) = z − y3 + x2. 4. S é a curva de nível de g(x, y, z) = x − y2 − z2. 5. S é o gráfico de f(x, y) = x3y + 4ysen(x). 6. S é a curva de nível 1 de g(x, y, z) = x2 + y2. 7. S é a curva de nível de 3 de g(x, y, z) = x2 + y3 + z3. ◻ 4.2 Superfície compacta com ou sem bordo 41 4.2 Superfície compacta com ou sem bordo As integrais sobre superfícies são definidas em superfícies compactas, isto é, em superfícies que são �segmentos� de superfícies como aquelas que foram apresentadas na seção anterior, segmentos estes que estão a uma distância finita da origem e incluem seu bordo, caso exista. Para deixar claro, vejamos exemplos. Exemplo 4.2. Seja S superfície de nivel 0 de g ∶ R3 → R, g(x, y, z) = z − x2 − y2. S é o parabolóide esboçado a seguir. Caso queiramos apresentar a superfície na forma Sσ, ou seja, apresentar como imagem de uma aplicação σ ∶ R2 → R3, é suficiente considerar σ(u, v) = (u, v, u2 + v2). A sua equação cartesiana é S ∶ z = x2 + y2. Ela não é uma superfície compacta, pois podemos escolher pontos da superfície tão longe da origem quanto queiramos. z y x g(x,y,z) 0 Se considerarmos o �segmento� desta superfície definida por S ∶ { z = x2 + y2 z ≤ 1 , obtemos uma superfície com bordo. z y x 1 S bordo de S 42 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4 Esta superfície com bordo também pode ser apresentada como Sσ, para isto, é suficiente considerar o compacto K = {(u, v) ∈ R2; u2+v2 ≤ 1} e σ ∶ K → R3, σ(u, v) = (u, v, u2+v2). z y x 1 S bordo de S K u v s( )u,v bordo de K O bordo de K é aplicado no bordo de Sσ. Box Exemplo 4.3. Existem superfícies compactas sem bordo. Por exemplo, a superfície esférica canônica S2 ∶ x2 + y2 + z2 = 1 não tem bordo. z x y Os pontos de S2 estão a uma distân- cia finita da origem. Da mesma forma, utilizando coordenadas esféricas, podemos apresentá-la como Sσ. Para isto, basta de- finir a aplicação σ ∶ [0,2pi] × [0, pi] → R3, σ(u, v) = (senv cosu, senv senu, cos v) (fize- mos a substituição ρ = 1, u = θ e v = φ, para seguir a notação (u, v)). z x y 1 u v u v 2p p K s( )u,v Vale a observação. A imagem do bordo ∂K por σ é uma curva no espaço que percorre do polo norte ao polo sul, ida e volta. Portanto, a integral de linha de qualquer campo de vetores F⃗ (x, y, z) sobre uma parametrização de σ(∂K) é zero. 4.2 Superfície compacta com ou sem bordo 43 s( )K K Desta esfera podemos obeter uma superfície com bordo, por exemplo, S ∶ { 1 = x2 + y2 + x2 z ≥ −12 . z -1/2 bordo de S S v u 2p 2p/3 s( )u,v s( )K Neste caso, a superfície com bordo pode ser escrita como Sσ, onde a relação σ(u, v) é a mesma, mas o domínio é K′ = [0,2pi] × [0, 23pi]. ◻ Exercício 4.2. Parametrize as superfícies, isto é, escreva-as como Sσ. 1. S ∶ { 1 = x2 + y2 0 ≤ z ≤ 1 . 2. S ∶ { 1 = x2 + y2 + z2−1 2 ≤ z ≤ 12 . 3. S ∶ { z2 = 1 + x2 + y2 0 ≤ z ≤ 2 . 4. S ∶ { z = xy 1 ≥ x2 + y2 . 5. S é a superfície obtida pela revolução em torno do eixo oz do gráfico de z = (y−1)2, 1 ≤ y ≤ 2 no plano yz. z y 1 2 z=y 2 6. Parametrize as superfícies. (a) S ∶ { z = x2 + y2 1 ≥ (x − 1)2 + (y − 1)2 . (b) S ∶ { 1 = x24 + y29 + z2z ≤ 0 . 44 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4 4.3 Teorema do campo conservativo Apresentaremos o teorema associado ao operador de derivação gradiente, F (Ω,R3) ∇Ð→ V (Ω,R3) . que, em essência, nada difere da apresentação feita para campos de vetores em R2. A integral de linha do campo de vetores F⃗ ∈ V (Ω,R3) sobre a curva α ∶ [a1, a2] → Ω é definida por ∫ α F⃗ (x, y, z)dl =∶ ∫ a2 a1 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt. Exemplo 4.4. Considere:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (z, x2, y); α; [0,1]→ R3, α(t) = (1, t2, t) . A integral de linha reduz-se a uma integral estudada em Cálculo I. Calculemos: ∫ α F⃗ (x, y, z)dl = ∫ a2 a1 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt = ∫ 1 0 ⟨(t,1, t2), (0,2t,1)⟩dt = ∫ 1 0 (2t + t2)dt = t2 + 1 3 t3]1 0= 4 3 . As propriedades de integral de linha são iguais as já listadas para campos de vetores em R2. ◻ Proposição 4.1. Sejam F⃗ ∶ Ω→ R3 um campo de vetores, α ∶ [a1, a2]→ Ω, β ∶ [b1, b2]→ Ω e α̃ ∶ [c1, c2]→ Ω curvas em Ω. 1. Se α e β têm o mesmo traço e mesmos pontos iniciais e mesmos pontos finais, então ∫ α F⃗ (x, y)dl = ∫ β F⃗ (x, y)dl; 2. Se α e α̃ têm o mesmo traço e pontos iniciais e finais opostos, então ∫ α̃ F⃗ (x, y)dl = −∫ α F⃗ (x, y)dl. 4.4 Teorema de Stokes 45 Diz-se que um campo de vetores F⃗ ∈ V (Ω,R3) é um campo de vetores conservativo se F⃗ = ∇f , para alguma função f ∈ F (Ω,R3). A função f é denominada função potencial. O Teorema do campo conservativo é semelhante àquele para o R2. Teorema 4.1. Sejam F⃗ ∶ Ω → R3, um campo de vetores e α ∶ [a1, a2] → Ω uma curva. Se F⃗ é um campo conservativo com função potencial f ∶ Ω→ R2, então ∫ α F⃗ (x, y, z)dl = f(x, y, z)] ∂α Finalmente, existe um critério para identificar quando o campo é conservativo. Teorema 4.2. Sejam Ω um aberto em R3 e F⃗ ∶ Ω → R3 um campo de vetores. Se rotF⃗ = 0⃗ e Ω é simplesmente conexo, então F⃗ é conservativo. Exemplo 4.5. Vejamos exemplos de conjuntos simplesmente conexos em R3. 1. Ω = R3 é simplesmente conexo. 2. Ω = R3 − {(0,0,0)} é simplesmente conexo (R3 perfurado na origem). 3. Ω = R3 − oz não é simplesmente conexo (R3 menos o eixo oz). ◻ x y z x y z simplesmente conexo não simplesmente conexo 4.4 Teorema de Stokes Nesta seção examinaremos a relação entre o operador de derivação rot, V (Ω,R3) rotÐ→ V (Ω,R3) , e as integrais associadas a cada espaço,integral de linha e integral de superfície. O Teorema de Stokes estabelece que 1 1 George Gabriel Stokes (⋆ Condando de Sligo, 13/08/1819 − Cambridge, 1/02/1903) matemático e físico irland�es que se distinguiu pelas suas contribuições na dinâmica de fluidos, na Óptica e Física Matemática. 46 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4 ∬Sσ⟨rotF⃗ , η⟩dS = ∫∂Sσ F⃗ (x, y, z)dl. No membro esquerdo da igualdade está sendo calculado o fluxo do rotacional do campo de vetores, rot F⃗ , através da superfície compacta com ou sem bordo Sσ. No membro direito temos a integral de linha no bordo da superfície com a parametrização induzida por σ Cuidados mínimos devem ser tomado quando da sua aplicação. 1. O domínio K da superfície parametrizada σ ∶ K → R3 é um compacto de Green. 2. Todos os cálculos são feitos utilizando a superfície parametrizada σ. Exemplo 4.6. Um exemplo para ilustrar o Teorema de Stokes. Sejam⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ F⃗ (x, y, z) = (y,0, x + y) σ(u, v) = (u, v,2 − u2 − v2)K ∶ u2 + v2 ≤ 1 . s( )u,v u v K 1 2z y x h Ss Observe que a superfície Sσ é um segmento de parabolóide, pois⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ x = u y = v z = 2 − u2 − v2 . Portanto, σ(u, v) pertence ao parabolóide z = 2 − x2 − y2 e z ≥ 1. ● Calculando o rotacional de F⃗ , obtemos rotF⃗ (x, y, z) = (1,−1,−1). ● Calculando o campo de vetores η⃗ ortogonal à Sσ temos η⃗ = σu × σv = (2u,2v,1) 4.4 Teorema de Stokes 47 Com estes dois dados, podemos calcular o fluxo de F⃗ através de Sσ. fluxo (rotF⃗ ,Sσ) = ∬Sσ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS = ∬K⟨rotF⃗ (σ(u, v)), η⃗(σ(u, v))⟩dudv = ∬K⟨(1,−1,−1), (2u,2v,1)⟩dS = ∬K(2u − 2v − 1)dudv. Feito estes cálculos, devemos resolver a última integral. Para isto utilizaremos mudança de coordenadas polares. fluxo(rotF⃗ ,Sσ) = ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 (2r2cos θ − 2r2senθ − r)dr dθ = −pi. Examinemos o outro membro da relação de Stokes. Para calculemos a integral de linha de F⃗ sobre o bordo ∂Sσ, precisaremos duma parametrização deste bordo. Para isto, é suficiente considerarmos uma parametrização para ∂K, que pode ser α(t) = (cos t, sen, t), 0 ≤ t ≤ 2pi, pois o percurso deixa a região limitada pelo bordo ∂K do lado esquerdo e avaliar β(t) = σ(α(t) = (cos t, sen t,1) com 0 ≤ t ≤ 2pi. ∫ ∂Sσ F⃗ (x, y, z)dl = ∫β⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩dt = ∫ 2pi 0 ⟨F⃗ (cos t, sen t,1), (−sen t, cos t,0)⟩dt = ∫ 2pi 0 ⟨(sen t,0, cos t + sen t), (−sen t, cos t,0)⟩dt = ∫ 2pi 0 −sen2t dt = ∫ 2pi 0 −1 − cos2t 2 dt = − t 2 ]2pi 0 + sen2t 4 ]2pi 0= −pi Voltemos ao exemplo anterior. 48 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4 Exemplo 4.7. Sejam ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ F⃗ (x, y, z) = (y,0, x + y) σ(u, v) = (u, v,2 − u2 − v2)K ∶ u2 + v2 ≤ 1 . No Exemplo 4.6, p. 46, calculamos fluxo (rotF⃗ ,Sσ) =∬Sσ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS = −pi = ∫∂Sσ F⃗ (x, y, z)dl. Podemos simplificar o cálculo do fluxo, considerando uma outra superfície Sτ cujo bordo seja o mesmo bordo do segmento de parabolóide e com mesma orientação. Uma superfície com estas condições é o disco Sτ { 1 = x2 + y2 z = 1 . onde τ ∶ K → R3, τ(u, v) = (u, v,1). s( )u,v u v K 1 2z y x h S s t u v K´ t( ) u,v S Sendo assim, valem as igualdades ∬Sσ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS = ∫∂Sσ F⃗ (x, y, z)dl = ∫∂Sτ F⃗ (x, y, z)dl =∬Sτ ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS Verifiquemos a última igualdade. Observe que o vetor ortogonal η à superfície Sτ é calculado por η(u, v) = τu × τv = (0,0,1). 4.4 Teorema de Stokes 49 Vejamos o cálculo. ∬Sτ ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS = ∬K⟨rot F⃗ (τ(u, v)), η(u, v)⟩dudv= ∬K⟨(1,−1,−1), (0,0,1)⟩dudv= −∬K dudv= −área(K)= −pi. Exercício 4.3. Exercícios do livro texto, Guidorizzi, v. 3, p. 261. 1. Utilize o Teorema de Stokes para transformar a integral ∬Sσ⟨F⃗ (x, y, z), η⃗⟩dS numa integral de linha e faça o cálculo. (a) F⃗ (x, y, z) = (0,0, y) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ apontando para cima. Sσ ∶ { σ(u, v) = (u, v, u2 + v2)K ∶ u2 + v2 ≤ 1 . Resp 0. (b) F⃗ (x, y, z) = (y,−x2,5) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ apontando para cima. Sσ ∶ { σ(u, v) = (u, v,1 − u2)K ∶ u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1 . Resp −56 . (c) F⃗ (x, y, z) = (y, x2, z) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ apontando para baixo. Sσ ∶ { σ(u, v) = (u, v,2u + v + 1)K ∶ u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 2 . Resp 0. (d) F⃗ (x, y, z) = (y, x2, z) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ com a segunda coordenada maior ou igual a zero. S ∶ { x2 + y2 = 1 0 ≤ z ≤ 0 . Resp 0. 50 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4 (e) F⃗ (x, y, z) = (0, x,0) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ com a primeira coordenada maior que zero. S ∶ ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ x2 + y2 = 1 0 ≤ z ≤ 0 0 ≤ x 0 ≤ y . Resp 0. (f) F⃗ (x, y, z) = (y,0,0) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ com a terceira coordenada maior que zero. S ∶ { z = x2 + y2 z ≤ 1 . Resp −pi. (g) F⃗ (x, y, z) = (y,0,0) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ apontando para cima. S ∶ { x2 + y2 + z2 ≤ 2 x2 + y2 ≤ z . Resp −pi. 2. Considere o campo de vetores F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (x3z, zy5 − x, zy4 − x2y5) e a superfície com bordo (semi-esfera) S ∶ { x2 + y2 + z2 = 1 0 ≤ z . h z Se η⃗ é o campo de vetores ortogonal à superfície (aponta para fora da esfera) mostre que fluxo(rotF⃗ ,S) = −pi 3. Calcule a integral de linha de F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (x3z, zy5 − x, zy4 − x2y5), onde α(t) = (3cos t, sen t,0), 0 ≤ t ≤ 2pi. 4.4 Teorema de Stokes 51 4. Calcule a diferença de fluxo fluxo(rotF⃗ ,S2) − fluxo(rotF⃗ ,S1), onde F⃗ (x, y, z) = (x3z, zy5 − x, zy4 − x2y5) e S2 ∶ { x2 + y2 + z2 = 4 0 ≤ z e S1 ∶ { x2 + y2 + z2 = 10 ≤ z . Os campos de vetores normal às superfícies apontam para fora das esferas. 5. A superfície com bordo ∂S esboçada nas figuras é um toro (tipo câmara de ar) no qual um pequeno disco foi retirado. Em cada figura está indicado o campo de vetores η⃗ normal à superfície (em duas figuras o campo de vetores normal aponta para �fora� do toro e nas outras duas para �dentro� do toro). Está indicado também o percurso do bordo ∂S no qual se fez a integral de linha de um campo de vetores F⃗ (x, y, z) onde obteve-se, na primeira figura o valor ∫ ∂S F⃗ dl = 3. Para cada uma das outras figuras calcule ∬S⟨rotF⃗ (x, y, z), η⃗⟩dS. S h bordo S h bordo S h bordo S h bordo 6. Mostre que o campo de vetores F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (yz, xz, xy) é um campo conservativo. 7. Seja F⃗ (x, y, z) = (xz2, z4, y) e S1 ∶ { x2 + y2 + z2 = 4√ 2 ≤ z ≤ √3 . Calcule fluxo(rotF⃗ ,S) considerando o campo de vetores ortogonal à S apon- tando para cima. Resp 0. 52 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4 8. Seja F⃗ (x, y, z) = (xz2, z4, y) e S1 ∶ { x2 + y2 = 4 0 ≤ z ≤ 4 . Calcule fluxo(rotF⃗ ,S) considerando o campo de vetores ortogonal à S apon- tando para dentro do cilindro. 9. �Oriente� o bordo do trifóide de modo compatível com o Teorema de Stokes, sabendo-se que o campo de vetores ortogonal a S, aponta para fora do trifóide. h S 5 Teorema de Gauss 5.1 Teorema de Gauss Completaremos o estudo dos teoremas fundamentais do Cálculo, apresentando o Teorema de Gauss 1 que envolve o divergente div, V (Ω,R3) divÐ→ F (Ω,R3), e as integrais relacionadas a cada espaço, quais sejam, integral de superfície e de volume, ∭B divF⃗ (x, y, z)dV =∬∂B⟨F⃗ (x, y, z), η⃗⟩dS. No enunciado, duas hipóteses são exigidas. 1. B é um sólido compacto em R3. 2. O campo de vetores η⃗ é ortogonal ao bordo e aponta para o exterior do sólido. No membro esquerdo da igualdade temos a integral de volume e no lado direito o fluxo do campo de vetores F⃗ através da superf�cie ∂B, ambas já apresentadas anteriormente. Exemplo 5.1. Ilustremos o Teorema de Gauss considerando como sólido B a esfera sólida canônica, B ∶ x2 + y2 + z2 ≤ 1, e o campo de vetores F⃗ (x, y, z) = (1, yz, z). Temos divF⃗ (x, y, z) = x + 1. Para calcular a integral de volume utilizaremoscoordenadas esféricas,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ Φ(ρ, θ, φ) = (ρ senφcosθ, ρ senφsenθ, ρ cosφ) C = [0,1] × [0,2pi] × [0, pi] . 1 Johann Carl Friedrich Gauss, (⋆ Braunschweig, 30/04/1777 − Göttingen, 23/02/1855), foi ma- temático, astrônomo, físico e inventor alemão. Contribuiu em diversas áreas, enre as quais, Teoria dos números, Estatística, Análise matemática, Geometria diferencial, Geofísica, Eletroestática, Astrono- mia e Óptica. 53 54 Teorema de Gauss Cap. 5 r q j f 1 p 2p C Sabendo-se que a integral de cos θ em [0,2pi] é zero, podemos escrever ∭B divF⃗ (x, y, z)dV = ∭B(z + 1)dxdy dz= ∫ pi 0 ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 (ρ cosφ + 1)ρ2senφdρdθ dφ = ∫ 1 0 ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 ρ3��� ���: 0 cosφsenφ dφdθ dρ + ∫ pi 0 ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 ρ2senφdρdθ dφ = 2 3 pi∫ pi 0 senφdφ = 4 3 pi. Agora calculemos o fluxo de F⃗ através da superfície de bordo ∂B. Para parametrizá- la, é suficiente considerar ρ = 1 nas coordenadas esféricas,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ σ(θ, φ) = (senφcosθ, senφsenθ, cosφ) K = [0,2pi] × [0, pi] . O campo de vetores ortonormal obtido por esta parametrização é σθ × σφ = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ e1 −senφsenθ cosφ cos θ e2 senφcos θ cosφsenθ e3 0 −senφ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= (−sen2φcos θ,−sen2φsenθ,−senφcosφ). O campo de vetores σθ × σφ aponta para o interior do sólido (teste em θ = 0 e φ = pi2 ), portanto η⃗(u, v) = (sen2φcos θ, sen2φsenθ, senφcosφ). s sq jx 5.1 Teorema de Gauss 55 Avaliando ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ F⃗ (σ(u, v)) = (1, senφ cosφsenθ, cosφ) η⃗(u, v) = (sen2φcos θ, sen2φsenθ, senφcosφ) ⟨F⃗ , η⃗⟩ = sen2φcos θ + sen3φcosφsen2 θ + cos2φsenφ . Recordando que ∫ 2pi 0 cos θ dθ = 0 = e ∫ pi 0 sen3φcosφdφ = 0, a integral de superfície reduz-se a ∬ ∂B⟨F⃗ , η⃗⟩ = ∫ pi0 ∫ 2pi0 sen2φ���:0cos θ dθ dφ+ ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 ��� ����: 0 sen3φcosφ sen2 θ dφdθ + ∫ pi 0 ∫ 2pi 0 cos2φsenφdθ dφ = 2pi∫ pi 0 cos2φsenφdφ = 2pi ( − 1 3 cos3φ]pi 0 ) = 4 3 pi. Fica verificado o Teorema de Gauss. ◻ Exemplo 5.2. O Teorema de Gauss 2 pode ser utilizado para calcular o fluxo de um campo de vetores através de uma superfície com bordo quando tais cálculos são enfa- donhos. Vejamos um exemplo. Calculemos o fluxo do campo de vetores F⃗ através da superfície S com vetor η⃗ apon- tando para fora da superfície, onde F⃗ (x, y, z) = (x − z4, yx, z) e S ∶ { x2 + y2 = 1 0 ≤ z ≤ 1 . h 2 Em alguns textos, denominado Teorema do divergente. 56 Teorema de Gauss Cap. 5 Observe que S é um cilindro sem as tampas inferior e superior. O campo de vetores η⃗ induz de modo natu- ral um percurso no bordo. Mecanicamente falando, se nos posicionarmos como o campo de vetores η⃗, o percurso deixa a superfície S do lado esquerdo. h Não podemos aplicar o Teorema de Gauss, pois S não borda um sólido. Mas se conside- rarmos a superfície obtida pela união de S, S1 (tampa superior) e S2 (tampa inferior), tere- mos um sólido B com bordo ∂B = S ∪S1∪S2. O campo de vetores η⃗ apontando para fora do cilindro nas duas superfícies (tampas) in- duz nos seus bordos o percurso inverso, basta examinar quais os percursos que deixam a su- perfícies S1 e S2 do lado esquerdo. h h h S S S 1 2 Agora, pelo Teorema de Gauss temos ∭B divF⃗ (x, y, z)dV = ∬∂B⟨F⃗ , η⃗⟩dS= ∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS +∬S1⟨F⃗ , η⃗⟩dS +∬S2⟨F⃗ , η⃗⟩dS. Portanto, o fluxo que desejamos calcular é ∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS = ∭B divF⃗ (x, y, z)dV −∬S1⟨F⃗ , η⃗⟩dS −∬S2⟨F⃗ , η⃗⟩dS. Utilaremos as seguintes parametrizações para as integrais no membro esquerdo da última igualdade. B ∶ { Ψ(r, θ, z) = (r cos θ, r senθ, z)C ∶ [0,1] × [0,2pi] × [0,1] . S1 ∶ { σ(u, v) = (ucos v, u senv,1)K1 ∶ [0,1] × [0,2pi] . S1 ∶ { σ(u, v) = (ucos v, u senv,0)K2 ∶ [0,1] × [0,2pi] . 5.1 Teorema de Gauss 57 ∭B divF⃗ (x, y, z)dV = ∭B(2 + x)dV= ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 2pi 0 (2 + r����:0senθ)r dθ dz dr = ∫ 1 0 ∫ 1 0 4pir dz dr= 1. O fluxo pela tampa superior S1 deve ser calculado utilizando η⃗ = σu × σv = (0,0, u). De fato, estes campo de vetores aponta para fora do sólido B. ∬S1⟨F⃗ (σ(u, v)), η⃗⟩dS = ∬K1 ududv= ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 ududv= 2pi. O campo de vetores η⃗ para o cálculo do fluxo pela tampa inferior S2 deve ser adaptado, pois σu × σv = (0,0, u) aponta para o interior do sólido B. Logo, devemos tomar η⃗ = (0,0,−u) no cálculo a seguir. ∬S2⟨F⃗ (σ(u, v)), η⃗⟩dS = ∬K1 0dudv= 0. Portanto, ∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS = pi. Apenas para simples verificação, calculemos diretamente o fluxo solicitado, ∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS. Parametrizemos a superfície S, S ∶ { σ(u, v) = (cosu, senu, v)K ∶ [0,2pi] × [0,1] . Calculemos σu × σv = (cosu, senu,0). Este campo de vetores aponta para fora do cilindro. Logo, podemos considerar η⃗ = (cosu, senu, 0). Sendo assim, ∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS = ∫ 10 ∫ 2pi0 (cos 2u − v4����:0cosu +�������:0sen2ucosu) dudv= ∫ 2pi 0 cos2udu = ∫ 2pi 0 1 +����: 0cos2u 2 du= pi. Isto termina a verificação. ◻ 58 Teorema de Gauss Cap. 5 Exercício 5.1. Calcule o fluxo ∬ ∂B⟨F⃗ , η⃗⟩dS onde η⃗ aponta para o exterior do sólido B. 1. { F⃗ (x, y, z) = (xy, yz, z2)B ∶ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 4 . Resp. 38 3 . 2. { F⃗ (x, y, z) = (−2xy, y2,3z)B ∶ x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ x + y . Resp. 2pi. 3. { F⃗ (x, y, z) = (x, y, z2)B ∶ x2 + y2 + z2 ≤ 1 . Resp. 8 3pi. 4. { F⃗ (x, y, z) = (3xy,−32y2, z)B ∶ x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ z ≤ 5 − x2 − y2 . Resp. 4pi. 5. { F⃗ (x, y, z) = (x3, y3, z3)B ∶ [0,1 × [0,1] × [0,1] .
Compartilhar