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1
Teorema do campo conservativo
e Teorema de Green
Em toda esta seção o espaço considerado será o R2.
1.1 Conjuntos compactos no R2
Antes de tudo, recordamos uma nomenclatura bem utilizda para intervalos dos
números reais R. Um intervalo do tipo (a, b) é chamado de aberto. Se for da forma[a, b] é um compacto (fechado e limitado). Mais ainda, um do tipo (a,+∞) é ilimitado,
etc. Estes conceitos são naturalmente estendido pra subconjuntos de R2. Vejamos.
Um disco aberto em R2 com centro em (x0, y0) e de raio r > 0 é o conjunto
D○ = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 < r}.
Acompanhando a notação, o disco fechado com mesmo centro e mesmo raio é o conjunto
D = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ r}.
(x ,y )
0 0
r
Disco aberto
(x ,y )
0 0
r
Disco fechado
O bordo( ∂) destes dois conjuntos é um círculo (não confundir com discos que são
objetos geométricos bidimensionais). Usualmente, o bordo de uma figura em R2 é
1
2 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
unidimensional, uma linha. Os bordos dos discos acima é o conjunto
∂D = C = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 = r}.
Diz-se que Ω ⊂ R2 é um subconjunto aberto se para qualquer (x, y) ∈ Ω existe um
disco centrado em (x, y) inteiramente contido em Ω.
W
Aberta
W
Fechada
Diz-se que um conjunto Ω ⊂ R2 é fechado se seu conjunto complementar em R2 é
aberto. Intuitivamente falando, um conjunto é fechado quando ele contém os pontos
do seu bordo. Como ilustração, sugerimos graficamente nos desenhos acima, as duas
situações. A região à esquerda é aberta e a região indicada à direita é fechada.
Um conjunto Ω ⊂ R2 é limitado se ele está contido num disco centrado na origem e
de raio R > 0. Ver figuras.
W
R
(0,0)
Limitada
W
(0,0)
Ilimitada
Definição 1.1. Uma região Ω ⊂ R2 é compacta se Ω é fechada limitada.
Ÿ1.2 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R2) 3
W
Compacta
Iremos considerar regiões compactas cujos bordos podem ser parametrizados por
curvas que possuem derivadas (exceto nos pontos de �quina�). Diremos que o bordo
está parametrizado positivamente se no percurso feito a região limitada pelo bordo fica
à esquerda.
W
Compacta
Exercício 1.1. Classifique a região plana comparando-a com cada definição dada
acima (aberta, fechada, limitada, etc). Parametrize o bordo de cada região (se existir)
de modo que a região fique do lado esquerdo do percurso.
¬ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y}.
­ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 < x < y}.
® Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 < x < y < 1}.
¯ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}.
° Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x < y}.
± Ω = R2. ◻
1.2 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R2)
Seja Ω um aberto de R2. Iremos considerar dois conjuntos cujos elementos são
objetos funcionais.
O primeiro deles, denotado por F(Ω,R), é o conjunto constituído por todas funções
f ∶ Ω→ R para as quais podemos calcular todas as derivadas parciais de todas as ordens.
4 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
Observe que as funções de F(Ω,R) são aquelas com mesmo domínio Ω. E mais, os
elementos de F(Ω,R) são as funções com as quais trabalhamos ao longo do curso.
Por exemplo, se Ω = R2 − {(0,0)} (R2 perfurado na origem), a função
f ∶ Ω→ R, f(x, y) = x2ye4x−y − sen(xy),
pertence a F(Ω,R), pois qualquer que seja (x0, y0) ∈ Ω, podemos fazer a avaliação
f(x0, y0). A função
g ∶ Ω→ R, g(x, y) = 1
x2 + y2 ,
também pertence a F(Ω,R), pois, da mesma forma, qualquer que seja (x0, y0) ∈ Ω
podemos avaliar g(x0, y0). Entretanto, a função
h ∶ Ω→ R, h(x, y) = xy(x − 1)3 + y4
não pertence a F(Ω,R) pois (1,0) ∈ Ω mas não podemos fazer a avaliação de h(x, y)
neste ponto. O domínio de h não é Ω.
O conjunto F(Ω,R) tem uma estrutura natural de espaço vetorial. Isto é, podemos
somar duas funções de F(Ω,R) e obter uma terceira função e multiplicar uma função
de F(Ω,R) por um escalar λ ∈ R e obter uma outra função.
Por exemplo, se F(Ω,R) é o conjunto descrito acima e f e g, são as funções já
citadas, nós temos
(f + g)(x, y) =∶ x2ye4x−y − sen(xy) + 1
x2 + y2 .
Claro, (f + g) ∈ F(Ω,R). Agora, se λ = −4, a função
λg(x, y) =∶ −4
x2 + y2
também pertence a F(Ω,R).
Novamente, seja Ω um subconjunto aberto do R2.
O segundo conjunto que iremos considerar, V(Ω,R2), é o conjunto constituído por
todos os campos de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2. Portanto, os elementos de V(Ω,R2) são funções
com duas funções coordenadas, F⃗ (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)).
Exemplifiquemos. Suponha que Ω = R2. Considere o campo de vetores
F⃗ ∶ Ω→ R2, F⃗ (x, y) = (−y, x).
Para vizualizar o campo devemos esboçar em cada ponto (x, y) um segmento orientado
com início neste ponto que represente o vetor F⃗ (x, y) = (−y, x). A seguir um esboço
deste campo de vetores.
Ÿ1.3 Gradiente e rotacional em R2 5
(x,y)
F(x,y)
Da mesma forma, o conjunto dos campo de vetores V(Ω,R2) admite uma estrutura
de espaço vetorial. Basta definir a soma de campo de vetores e o produto de um
campo de vetores por um escalar da seguinte forma. Sejam F⃗ = (F1, F2) e G⃗ = (G1,G2)
campo de vetores de V(Ω,R2) e λ um escalar. Definimos as operações coordenada a
coordenada:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
(F⃗ + G⃗)(x, y) = (F1(x, y) +G1(x, y), F2(x, y) +G2(x, y))
(λ ⋅ F⃗ )(x, y) = (λF1(x, y), λF2(x, y)) .
Exemplo 1.1. Considere
F⃗ (x, y) = (xy, sen(x)) e G⃗(x, y) = (ey, sen(y))
campo de vetores em V(R2,R2) e λ = 3. Então
(F⃗ + G⃗)(x, y) = (xy + ey, sen(x) + sen(y)) e λ F⃗ (x, y) = (3xy, 3sen(x)).
Neste caso, Ω = R2. ◻
1.3 Gradiente e rotacional em R2
Iremos considerar a sequência de operadores de derivação (transformação lineares)
entre os espaços vetoriais definidos acima:
F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)
O operador de derivação ∇ é nosso conhecido, ele é o gradiente: f ↦ ∇f ,
∇f = ( ∂f
∂ x
,
∂f
∂ y
) .
6 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
Por simplicidade e economia de espaço, muitas vezes escrevemos apenas
∇f = (fx, fy).
Como sabemos, este operador de derivação transforma funções f ∈ F(Ω,R) em campo
de vetores de V(Ω,R2). Por exemplo se f(x, y) = x2y − ey, então
∇f(x, y) = ( ∂f
∂ x
(x, y), ∂f
∂ y
(x, y)) = (2xy, x2 − ey).
O segundo operador de derivação, denominado rotacional e indicado por rot, trans-
forma campo de vetores em funções. O cálculo é feito por um algoritmo formal. Se
F⃗ = (F1, F2) é um campo de vetores de V(Ω,R2), então rot(F⃗ ) é a função em F(Ω,R)
definida por
rotF⃗ = det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
∂
∂ x
F1
∂
∂ y
F2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= ∂F2
∂ x
− ∂F1
∂ y
.
Exemplo 1.2. Considere o campo de vetores em R2,
F⃗ (x, y) = (x2y − 3, xey).
Por definição
rotF⃗ (x, y) = det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
∂
∂ x
x2y − 3
∂
∂ y
xey
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= ∂
∂ x
(xey) − ∂
∂ y
(x2y − 3) = ey − 2xy.
Observe que, de fato, o rotacional de um campo de vetores é uma função. ◻
A primeira relação que podemos estabelecer entre o operador gradiente e o operador
rotacional envolve a composta de tais operadores.
Proposição 1.1. Vale a seguinte relação entre os operadores de derivação:
rot∇f ≡ 0,
para toda função f ∈ F (Ω,R).
Ÿ1.3 Gradiente e rotacional em R2 7
Prova Como as derivadas cruzadas de funções que estamos considerando a demons-
tração é uma verificação direta. Vejamos
rot∇f = rot( ∂f
∂ x
,
∂f
∂ y
)
= det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
∂
∂ x
∂f
∂ x
∂
∂ y
∂f
∂ y
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= ∂2f
∂ x∂ y
− ∂2f
∂ y ∂ x= 0.
◻
Vale uma releitura deste fato em termos de Álgebra linear. A imagem do gradiente
é um subespaço de V(Ω,R2), mais precisamente
Im(∇) = {F⃗ ∈ V(Ω,R2); existef ∈ F(Ω,R) tal que F⃗ = ∇f}
Por outro lado, o núcleo de rot é o subespaço
Nuc(rot) = {F⃗ ∈ V(Ω,R2); rotF⃗ = 0}.
O que foi mostrado acima transcreve-se na seguinte proposição.
Proposição 1.2. Im(∇) ⊂ Nuc(rot).
Na Física, um campo vetorial gradiente F⃗ , ou seja F⃗ = ∇f , também é chamado de
campo conservativo e a função f de função potencial de F⃗ .
Um fatorelevante desta teoria, é que, em geral, Im(∇) ⊊ Nuc(rot). Ou seja,
existem campos de vetores cujo rotacional é nulo, mas eles não são campos gradien-
tes! Estudaremos mais tarde, que a igualdade Im(∇) = Nuc(rot) depende do tipo de
domínio Ω!
Exercício 1.2. Calcule os operadores de derivação ∇ ou rot, quando cabível. O do-
mínio considerado é Ω = R2.
1. f(x, y) = xexy.
2. F⃗ (, x, y) = (0, x).
3. F⃗ (x, y) = (x2, y2);
4. f(x, y) = x2 − y2. ◻
8 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
1.4 Integral de linha
Nestas notas utilizaremos a seguinte terminologia.
Ê Ω um aberto do R2;
Ë Uma curva significa uma aplicação α ∶ [a, b] → Ω, α(t) = (α1(t), α2(t)), seccio-
nalmente C1 (α é contínua e existe a derivada α′ exceto num número finito de
pontos).
Ì F ∶ Ω→ R2, F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y) um campo de vetores em V(Ω,R2).
Definiremos uma integral denominada integral de linha de um campo de vetores
F⃗ = (F1, F2) em V (Ω,R2) sobre uma curva α. Esta integral tem várias notações
(depende do livro texto). Aqui, fixaremos a notação
1
∫
α
F⃗ (x, y)dl.
Definimos a integral de linha de F⃗ = (F1, F2) sobre uma curva α ∶ [a, b]→ Ω, integral
esta denotada por
∫α F⃗ (x, y)dl =∶ ∫ ba ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt.
Observe que lançamos mãos do produto interno e da integral definida em Cálculo I para
definir integral de linha. Na Física, esta integral corresponde ao trabalho realizado por
uma força agindo sobre um corpo.
Exemplo 1.3. Vejamos exemplos ilustrativos para as proposições que seguem.
Consideremos o campo de vetores
F ∶ R2 → R2, F (x, y) = (−y, x)
e a curva
α ∶ [0,1]→ R2, α(t) = (1 − t, t).
Observe que α(0) = (1,0) e α(1) = (0,1). O traço (imagem) de α é uma curva plana
Γ, mais precisamente, seu traço é o segmento de reta compreendido entre os pontos(1,0) e (0,1). Estes pontos constituem o bordo de Γ, ∂Γ = {(1,0), (01)}. Calculemos
a integral de linha de F⃗ sobre α.
1
No livro texto (Guidorizzi) também é utilizado a notação ∫α F1dx + F2dy.
Ÿ1.4 Integral de linha 9
∫
α
F⃗ (x, y)dl = ∫ 1
0
⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨F⃗ (1 − t, t), (−1,1)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨(−t,1 − t), (−1,1)⟩dt
= ∫ 1
0
(t + 1 − t)dt= 1
Um fato relevante que pode ser mostrado, é que a integral de linha de F⃗ só depende
do traço Γ, do ponto inicial e do ponto final, ou seja, da ordem dos pontos do bordo
∂Γ. Exemplifiquemos este fato.
a( )t
b( )s
(0,1)
(1,0)
g( )t
G
P
Considere uma outra curva com o mesmo traço Γ e mesmos pontos iniciais e finais.
Por exemplo,
γ ∶ [1,2]→ R2, γ(t) = (1 − (t − 1)2, (t − 1)2) .
Calculemos a integral de F⃗ sobre γ. Para isto, necessitaremos da velocidade, γ′(t) =(−2(t − 1),2(t − 1)). Agora,
∫
γ
F⃗ (x, y)dl = ∫ 2
1
⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨F⃗ (1 − (t − 1)2, (t − 1)2) , (−2(t − 1),2(t − 1)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨(−(t − 1)2,1 − (t − 1)2), (−2(t − 1),2(t − 1)⟩dt
= ∫ 1
0
2(t − 1)dt
= (t − 1)2]2
1= 1.
10 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
Portanto, parametrizações de Γ com mesmo ponto inicial e mesmo ponto final produzem
o mesmo valor da integral de linha.
Vejamos a mudança que ocorre no valor da integral de linha de F⃗ se a curva tem
outro traço mas os mesmo pontos finais de α. O traço Π da curva
β ∶ [0,1]→ R2, β(t) = (cos(pi
2
t) , sen(pi
2
t)) .
é um arco de círculo com ponto inicial (1,0) e ponto final (0,1). A velocidade é
β′(t) = (−pi
2
sen(pi
2
t) , pi
2
cos(pi
2
t)) .
Vejamos o valor da integral de linha sobre β:
∫
γ
F⃗ (x, y)dl = ∫ 2
1
⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩ dt
= ∫ 1
0
(pi
2
sen2 (pi
2
t) + pi
2
cos2 (pi
2
t)) dt
= ∫ 1
0
pi
2
dt
= pi
2
.
Portanto, o valor é diferente do valor obtido anteriormente.
Finalmente, examinemos a mudança que ocorre no valor integral de linha quando a
curva tem o mesmo traço Γ mas pontos iniciais e finais opostos. A curva a seguir tem
esta propriedade:
α̃ ∶ [0,1]→ R2, α̃(t) = (t,1 − t).
Calculando,
∫
α̃
F⃗ (x, y)dl = ∫ 1
0
⟨F⃗ (α̃(t)), α̃′(t)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨F⃗ (t,1 − t), (1,−1)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨(−1 + t, t), (1,−1)⟩dt
= ∫ 1
0
(−1 + t − t)dt= −1
Portanto, o sinal da integral de linha é oposto ao de α. Resumamos em uma proposição
estas propriedades. ◻
Proposição 1.3. Sejam F⃗ ∶ Ω→ R2 um campo de vetores, α ∶ [a, b]→ Ω, β ∶ [c, d]→ Ω
e α̃ ∶ [a, b]→ Ω curvas em Ω.
Ÿ1.5 Campos de vetores conservativos 11
1. Se α e β têm o mesmo traço e mesmos pontos iniciais e mesmos pontos finais,
então ∫
α
F⃗ (x, y)dl = ∫
β
F⃗ (x, y)dl;
2. Se α e α̃ têm o mesmo traço e pontos iniciais e finais opostos, então
∫
α̃
F⃗ (x, y)dl = −∫
α
F⃗ (x, y)dl.
1.5 Campos de vetores conservativos
Quando o campo é conservativo o Teorema do campo conservativo estabelece que a
integral de linha sobre uma curva α só depende dos pontos iniciais e finais não depende
do traço! Enunciemos o primeiro teorema, relacionando ∇ e integral de linha:
F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
Teo. do campo conservativo
Será conveniente fixara seguinte notação:
f(x, y)]
∂α
=∶ f(α(b)) − f(α(a)).
Esta notação indica a avaliação de f(x, y) no ponto final de α menos a avaliação de
f(x, y) no ponto incial da curva. Não parece, mas o símbolo f(x, y)]α é uma integral,
mais precisamente, �integral por avaliação�.
O seguinte teorema denomina-se Teorema do campo conservativo, uma generaliza-
ção do Teorema Fundamental do Cálculo visto no Cálculo I. Nos capítulo seguintes
esta ideia ficará clara. Em essência, ele afirma que a integral de linha de um campo
conservativo não depende de α, depende apenas dos pontos finais.
Teorema 1.1. Sejam F⃗ ∶ Ω → R2, F⃗ = (F1, F2), um campo de vetores e α ∶ [a, b] → Ω
uma curva. Se F⃗ é um campo conservativo com função potencial f ∶ Ω→ R2, então
∫α F⃗ (x, y)dl = f(x, y)]
∂α
Prova Assuma que F⃗ é um campo conservativo, ou seja, existe f ∶ Ω → R2 tal que∇f = F⃗ . Por definição de integral de linha, regra da cadeia e Teorema Fundamental do
12 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
Cálculo temos:
∫
α
F⃗ (x, y)dl = ∫ b
a
⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt
= ∫ b
a
⟨∇(α(t)), α′(t)⟩ dt
= ∫ b
a
d
dt
f(α(t))dt
= f(α(t))]ba= f(α(b)) − f(α(a)).
Isto termina a demonstração. ◻
Observação 1.1. Este teorema merece alguns comentários.
1. O Teorema do campo conservativo relaciona integral sobre um objeto �unidemen-
dional� (linha) com a integral sobre um objeto �zero dimensional� (ponto). Esta
relação entre integrais que diminui a dimensão de 1 sobre o objetode integração
estará presente em toda estas notas. Estabelecer estas relações são os grande
teoremas do Cálculo e possui inúmeras aplicações na Física e engenharias!!!
2. O campo de vetores examinado no Exemplo 1.3, p. 8, qual seja, F⃗ (x, y) = (−y, x),
não é conservativo, pois α e β são curvas com os mesmos pontos iniciais e os
mesmos pontos finais, mas as integrais de linha são diferentes.
3. Se a curva α é fechada, α(a) = α(b), e o campo de vetores é conservativo a sua
integral de linha sobre α é zero.
4. Como identificar se um campo de vetores é conservativo utilizando o operador
rotacional? A resposta é sofisticada. Vejamos um exemplo.
Exemplo 1.4. Fixemos a região plana Ω = R2−{(0,0)} (a região aberta é R2 perfurado
na origem). Considere o seguinte campo de vetores F⃗ ∈ V(Ω,R2),
F (x, y) = ( −y
x2 + y2 , xx2 + y2) .
Vejamos o seu rotacional.
rot(F⃗ ) = det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
∂
∂ x
−y
x2 + y2
∂
∂ y
x
x2 + y2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= x2 + y2 − 2x2(x2 + y2)2 + x2 + y2 − 2y2(x2 + y2)2= 0.
Ÿ1.5 Campos de vetores conservativos 13
Calculemos duas integrais de linha com as curvas possuindo pontos iniciais e pontos
finais iguais, mas com traços diferentes. Caso a resposta das integrais sejam diferentes
o campo não é conservativo.
(1,0)(-1,0)
a( )t
b( )t
Considere as curvas α, β ∶ [0, pi]→ Ω,
α(t) = (cos(t), sen(t)) e β(t) = (cos(−t), sen(−t)).
Os traços são diferentes e os pontos iniciais e pontos finais são iguais. Calculemos a
integral de linha sobre α:
∫
α
F⃗ (x, y)dl = ∫ pi
0
⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt
= ∫ pi
0
⟨(−sen(t), cos(t)), (−sen(t), cos(t))⟩ dt
= ∫ pi
0
(cos2(t) + sen2(t)) dt= pi.
Agora vejamos a integral de linha sobre β:
∫
β
F⃗ (x, y)dl = ∫ pi
0
⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩ dt
= ∫ pi
0
⟨(−sen(−t), cos(−t)), (sen(−t),−cos(t))⟩ dt
= ∫ pi
0
− (cos2(t) + sen2(t)) dt= −pi.
Como as integrais de linha são diferentes, pelo teorema acima, F⃗ não é campo conser-
vativo, embora seu rotacional seja zero. ◻
Historicamente, este exemplo é importante. Com ele, fica constatado que o domí-
nio de uma função pode modificar as propriedades da função de modo radical. Para
garantir que um campo de vetores cujo rotacional é nulo seja um campo conservativo,
devemos examinar o seu domínio!!
14 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
Um subconjunto Ω de R é simplesmente conexo se toda curva fechada α em Ω pode
ser deformada continuamente em Ω, sem rupturas, a um ponto de Ω.
Intuitivamente falando, simplesmente conexo é um conceito que procura transmitir
a ideia sobre um conjunto Ω não ter �buracos�. Ver figuras a seguir.
x
y
z
x
y
z
simplesmente
conexo
não simplesmente
conexo
a( )t
(1,0)
não simpesmente
conexo
À direita, o domínio é Ω = R2. O traço da curva α é o círculo unitário canônico S1.
Claro, a curva pode ser continuamente deformada, sem rupturas, ao ponto (1,0).
À esquerda, o domínio é Ω = R2 − {(0,0)} (o R2 perfurado na origem). O traço da
curva α é o círculo unitário canônico S1. Para deformar a curva continuamente, sem
rupturas, ao ponto (1,0), em algum instante a curva deve �passar� pelo (0,0) que não
pertence a Ω. A deformação não pode ser realizada inteiramente dentro de Ω. Logo,
ele não é simplesmente conexo.
Teorema 1.2. Seja F⃗ um campo de vetores em V (Ω,R2) tal que rotF⃗ ≡ 0. Se o
domínio Ω é simplesmente conexo, então F⃗ = ∇f , para algum f ∈ F (Ω,R2).
Como R2 é simplesmente conexo, um campo de vetores ser irrotacional e ser campo
conservativo são conceitos equivalentes.
Corolário 1.1. Um campo de vetores F⃗ ∶ R2 → R2 tem rotacional nulo se, e somente
se, F⃗ = ∇f , para alguma função f ∶ R2 → R.
Exemplo 1.5. Considere Ω o subconjunto obtido do R2 menos o semi-eixo não positivo
de ox. Mais precisamente Ω = R2 − {(x,0) ∈ R2; x ≤ 0}. Este conjunto é simplesmente
conexo.
W
Ÿ1.6 Teorema de Green 15
Considere o campo de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2,
F (x, y) = ( −y
x2 + y2 , xx2 + y2) .
Como vimos anteriormente, rotF⃗ ≡ 0. Logo, neste domínio F⃗ é campo conservativo, isto
é, existe uma função f ∶ Ω→ R tal que F⃗ = ∇f . Pelo Teorema do campo conservativo,
a integral de linha de F⃗ sobre qualquer curva fechada α ∶ [a1, a2] → Ω, isto é, α(a1) =
α(a2) cuja imagem está contida em Ω, tem integral nula. ◻
Exercício 1.3. Guidorizzi, vol. 3.
1. Página 148, números 1, 2, 6, 7 e 8.
2. Página 154, números 1, 2, 3 e 4.
3. Página 169, números 1, 3 e 4. ◻
4. Calcule as integrais de linha de
F (x, y) = ( −y
x2 + y2 , xx2 + y2) .
sobre sa curvas Γ e Π com ponto inicial e final (0,2) e percurso indicado.
1 2
4
-4 -2-7
-5
G
1 2
1
-4 -2-7
-7
P
-2
1.6 Teorema de Green
Nesta seção, apresentaremos o Teorema de Green que relaciona integral de área
(integral sobre um objeto bidimensional) com integral de linha (integral sobre um
objeto unidimensional). Esta relação é via o operador rotacional.
V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
Teo. de Green
16 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
Precisamos de uma terminologia. Diz-se que uma região K num aberto Ω de R2 é
uma região de Green
2
se o seu bordo ∂K está parametrizado de modo que, na direção
do percurso, a região K está do lado esquerdo.
R R
E mais, a parametrização de cada componente do bordo, digamos α ∶ [a1, a2] → Ω, é
tal que α(a1) = α(a2) (curva fechada).
Enunciemos o Teorema de Green.
Teorema 1.3. Seja Ω um aberto de R2. Se F ∈ V (Ω,R2) e K ⊂ Ω uma região de Green
em Ω, então
∫∂K F⃗ dl = ∫ ∫K rotF⃗ dA.
Exemplo 1.6. Considere o campo de vetores F (x, y) = (−y, x) e a região compactaK = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 4}.
Esta região é um disco compacto cujo bordo ∂K é o círculo de raio r = 2 centrado na
origem. Este bordo deve ser orientado no sentido positivo, isto é, devemos considerar
uma parametrização tal que ao fazermos o seu percurso, deixemos a região do lado
esquerdo. Uma tal parametrização pode ser
α ∶ [0,2pi]→ R2, α(t) = (2cos(t),2sen(t)).
Calculemos
∫
∂K F⃗ dl = ∫ 2pi0 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt= ∫ 2pi
0
⟨(−2sen(t),2cos(t)), (−2sen(t),2cos(t))⟩ dt
= = ∫ 2pi
0
4dt= 8pi.
2
George Green Sneinton, (⋆ 14/07/1793 − „ 31/05/1841) foi um matemático e físico inglês.
Ÿ1.6 Teorema de Green 17
Examinemos o outro membro da relação de Green, aplicando a mudança de coor-
denadas polares e sabendo que rotF⃗ (x, y) = 2.
∫ ∫K rotF⃗ dA = ∫ ∫K 2dA= ∫ 2pi
0
∫ 2
0
2r dr dθ
= ∫ 2pi
0
4dθ= 8pi.Assim, fica verificado o teorema de Green. ◻
Exemplo 1.7. Considere o campo de vetores F (x, y) = (−y, x) e a região
K = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
Esta região é um anel compacto cujo bordo ∂K é a união de dois círculo, C1 e C2,
centrados na origem, um de raio r1 = 1 e outro de raio r2 = 2. Este bordo deve ser
orientado no sentido positivo, isto é, devemos considerar uma parametrização de cada
componente conexa do bordo de modo que ao fazermos o seu percurso, deixemos a
região do lado esquerdo. Tais parametrizações podem ser
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
α ∶ [0,2pi]→ R2, α(t) = (2cos(t),2sen(t))
β ∶ [0,2pi]→ R2, β(t) = (cos(−t),2sen(−t)) .
A integral no bordo de raio r1 = 2 já foi calculada, seu valor é 8pi. No bordo de raio
r1 = 1 o valor segue abaixo:
∫
β
F⃗ dl = ∫ 2pi
0
⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩ dt
= ∫ 2pi
0
⟨(−sen(−t), cos(−t)), (sen(−t),−cos(−t))⟩ dt
= = ∫ 2pi
0
−1dt= −2pi.
Sendo assim, ∫
∂K F⃗ dl = ∫C1 F⃗ dl + ∫C2 F⃗ dl = 8pi − 2pi = 6pi.
Vejamos a integral de área. Novamente, aplicando a mudança de coordenadas
18 Teorema do campo conservativoe Teorema de Green Cap. 1
polares e sabendo que rotF⃗ (x, y) = 2 temos
∫ ∫R rotF⃗ dA = ∫ ∫K 2dA= ∫ 2pi
0
∫ 2
1
2r dr dθ
= ∫ 2pi
0
3dθ= 6pi.
Isto ilustra o teorema de Green. ◻
Exercício 1.4. Guidorizzi, vol. 3.
1. Página 194, números 2, 3, 4, 5 e 9.
2. Considere o campo de vetores F⃗ (x, y) = (0, x) e a curva α cujo traço está indicado
na figura. Calcule ∫α F⃗ (x, y)dl.
1 2
1
-4 -2-7
-7
P
-2
a( )t
3. Sejam
F⃗ (x, y) = ( −y
x2 + y2 , xx2 + y2) e K = {(x, y) ∈R2; x2 + y2 ≤ 1}.
Pergunta: porque não podemos utilizar o Teorema de Green neste campo de
vetores e neste compacto? ◻
2
Operadores de derivação
Estudaremos teoremas relacionados com a seguinte sequência de operadores de de-
rivação em espaços vetoriais. Aqui, Ω é um conjunto aberto em R3:
F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R) rotÐ→ V(Ω,R) divÐ→ F(Ω,R).
Os operadores de derivação indicados são, nesta ordem, gradiente (∇), rotacional (rot)
e divergente (div).
2.1 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R3)
Seja Ω um aberto de R3. Iremos considerar dois conjuntos cujos elementos são
objetos funcionais.
O primeiro deles, denotado por F(Ω,R), é o conjunto constituído por todas funções
f ∶ Ω→ R para as quais podemos calcular todas as derivadas parciais de todas as ordens.
Tecnicamente falando, elas são chamadas de funções reais (pois o contra domínio é R)
com três variáveis reais (pois o domínio é Ω, um subconjunto do R3, seus pontos
possuem três coordenadas). Todas estas informações estão sintetizadas na notação: F
vem da palavra função; o primeiro símbolo no parêntese é o domínio; o segundo símbolo
do parêntese é o contradomínio. Portanto, os elementos de F(Ω,R) são funções reais
com mesmo domínio Ω.
Por exemplo, se Ω = R3 − {(0,0,0)} (R3 perfurado na origem), a função
f ∶ Ω→ R, f(x, y, z) = x2ye4x−y+z − zsen(xy),
pertence a F(Ω,R), pois qualquer que seja (x0, y0, z0) ∈ Ω, podemos fazer a avaliação
f(x0, y0, z0). A função
g ∶ Ω→ R, g(x, y, z) = 1
x2 + y2 + z2 ,
19
20 Operadores de derivação Cap. 2
também pertence a F(Ω,R), pois, da mesma forma, qualquer que seja (x0, y0, z0) ∈ Ω
podemos avaliar g(x0, y0, z0). Entretanto, a função
h ∶ Ω→ R, h(x, y, z) = xyz(x − 1)3 + y4
não pertence a F(Ω,R) pois (1,0,0) ∈ Ωmas não podemos fazer a avaliação de h(x, y, z)
neste ponto. O domínio de h não é Ω.
O conjunto F(Ω,R) tem uma estrutura natural de espaço vetorial. Isto é, podemos
somar duas funções de F(Ω,R) e obter uma terceira função e multiplicar uma função deF(Ω,R) por um escalar λ ∈ R e obter uma outra função. No contexto aqui considerado,
tal fato tem pouca relevância. Não nos deteremos neste aspecto.
O segundo conjunto que será considerado será o conjunto constituído pelos campos
de vetores em Ω, conjunto este denotado por V (Ω,R3). Aqui, o termo campo de vetores
será empregado para designar uma função definida (com domínio) em um subconjunto
Ω do R3 com valores em R3 (contradomínio). O símbolo utilizado é sugestivo: V vem
da palavra vetor; Ω é o domínio; R3 o contradomínio. Simbolicamente, um elemento
de V (Ω,R3) é uma aplicação da forma
F⃗ ∶ Ω→ R3, F⃗ (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) .
Não será explorado neste texto, mas, apenas para informação, podemos definir um
estrutura de espaço vetorial em V (Ω,R3) definindo a soma de dois campos de vetores
e a multiplicação de um campo de vetores por um escalar.
2.2 Os operadores de derivação ∇, rot e div
Examinemos a sequência de operadores de derivação entre os espaços considerados
na seção anterior:
F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R) rotÐ→ V(Ω,R) divÐ→ F(Ω,R)
¬ O operador gradiente já é conhecido. Se f(x, y, z) é uma função real então
∇f(x, y, z) = (∂f
∂x
(x, y, z), ∂f
∂y
(x, y, z), ∂f
∂z
(x, y, z))
O operador gradiente transforma funções em campos de vetores. Por economia
de espaço e facilidade de digitação, escreveremos
∇f = (fx, fy, fz)
Ÿ2.2 Os operadores de derivação ∇, rot e div 21
Exemplo 2.1. Se f ∈ F (R3,R), f(x, y, z) = xy + cos z, então
∇f(x, y, z) = (y, x,−senz) ∈ V (R3,R3) .
◻
­ Observe que em R3, o operador de derivação rot, transforma campo de vetores em
campo de vetores. Seu cálculo é feito pelo seguinte algoritmo. Se F⃗ = (F1, F2, F3)
então
rotF⃗ = det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
e1 ∂/∂x F1
e2 ∂/∂y F2
e3 ∂/∂z F3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= (∂F3∂y − ∂F2∂z , −∂F3∂x + ∂F1∂z , ∂F2∂x − ∂F1∂y )
Exemplo 2.2. Considere o campo de vetores F⃗ ∈ V(R3,R3),
F⃗ (x, y, z) = (x2 − y33z, xyz, x − ey).
Calculemos,
rotF⃗ = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
e1
∂
∂x x
2 − y3z
e2
∂
∂y xyz
e3
∂
∂z x − ey
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (−e
y − xy, −y3 − 1, yz − 3y2z) .
® O operador de derivação denominado divergente transforma campos de vetores
em funções reais. Segue sua definição. Se F⃗ = (F1, F2, F3), então
divF⃗ = ∂F1∂x + ∂F2∂y + ∂F3∂z .
Exemplo 2.3. Se F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (x2 − y33z, xyz, x− ey), um cálculo simples
nos dá divF⃗ (x, y, z) = 2x + xz. ◻
Proposição 2.1. Valem as seguintes relações entre os operadores de derivação.
^ rot∇f(x, y, z) ≡ 0⃗, para toda função f ∈ F (Ω,R).
D div rot F⃗ (x, y, x) ≡ 0 para todo campo de vetores F⃗ ∈ V (Ω,R3).
22 Operadores de derivação Cap. 2
Prova As identidades seguem do fato das funções reais aqui consideradas possuem
�derivadas cruzada� iguais.
Verifiquemos o primeiro item. Seja f ∈ F (Ω,R). Temos
∇f = (fx, fy, fz) .
Calculemos o rotacional deste campo de vetores.
rot∇ f = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
e1
∂
∂x fx
e2
∂
∂y fy
e3
∂
∂z fz
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (fyz − fzy, −fxz + fzx, fxy − fyx) = (0,0,0).
Verifiquemos o segundo item. Como visto acima, se F⃗ = (F1, F2, F3) temos
div rot F⃗ = div ((F3)y − (F2)z, −(F3)x + (F1)z, (F2)x − (F1)y)= ����(F3)xy − (F2)xz −����(F3)yx + (F1)yz + (F2)zx − (F1)zy= 0.
◻
Exercício 2.1. O domínio de todas as funções a seguir são Ω = R3.
1. Aplique, quando cabível, um dos (ou mais) operadores de derivação.
â F⃗ (x, y, z) = (xyz, yx + x2, cos(xz)).
â f(x, y, x) = (ezy2 − 3x + tg(z)) â f(x, y, z) = ln(x
2 + y2 + z2).
â F⃗ (x, y, z) = (xy, yz, zx).
2. Mostre que os seguintes campos de vetores em R3 não são campos gradientes.
! F⃗ (x, y, z) = (y, z, x).
! F⃗ (x, y, z) = (yz, xz, xy). ! F⃗ (x, y, z) = (x
3 + y2 + z, y2 + z, z).
! F⃗ (x, y, z = (0, x,0).)
3. Mostre que os seguintes campos de vetores não são campos rotacionais.
, F⃗ (x, y, z) = (x, y, z).
, F⃗ (x, y, z) = (ex+y, ez, ey). , F⃗ (x, y, z) = (0,2x + 3y + 4z,−2)., F⃗ (x, y, z) = (cos (xy), sen (xy), z).
3
Uma integral para cada espaço
3.1 Visão geral I
Antes de continuarmos, devemos compreender como os teoremas que serão apresen-
tados − Teorema dos campos conservativos, Teorema de Stokes e Teorema de Gauss −
são generalizações do Teorema Fundamental do Cálculo apresentado em Cálculo I. Fa-
remos uma releitura do TFC, agora dentro deste contexto de operadores de derivação.
Seja Ω = (a, b) um intervaloaberto de R.
Denote por F (Ω,R) o conjunto constituído por todas as funções f ∶ Ω → R que
possuem todas as derivadas. São elementos deste espaço vetorial as inúmeras funções
estudadas em Cálculo I: f(x) = x3 − x (polinômios), f(x) = senx, f(x) = ex, etc.
Pela teoria vista em Cálculo I, definimos o seguinte operador de derivação:
F (Ω,R) ddxÐ→ F (Ω,R) .
Como sabemos, esta aplicação é a derivada: f ↦ df
dx
. Portanto, ela transforma funções
em funções.
Fixado um intervalo [a1, a2] ⊂ Ω, denote o bordo deste intervalo por ∂[a, b]. Este
bordo é o conjunto ordenado constituído pelos pontos a1 e a2, ou seja, ∂[a1, a2] ={a1, a2}. Uma observação é crucial para entendermos os futuros teoremas:
1. o intervalo [a1, a2] é unidimensional (somente tem comprimento);
2. o bordo ∂[a1, a2] tem uma dimensão a menos, são dois pontos (zero dimensional).
Não foi dito quando da apresentação de Cálculo I, pois era desnecessário. Mas será
dito agora. No espaço vetorial do lado esquerdo
F (Ω,R) ddxÐ→ F (Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
Teo. Fundamental do Calculo
.
23
24 Uma integral para cada espaço Cap. 3
vamos definir uma �integral� (chamaremos assim), sobre dois pontos,
g(x)]{a1,a2} = g(a2) − g(a1)
No espaço vetorial do lado direito temos a integral usual
∫[a1,a2] h(x)dx = ∫ a2a1 h(x)dx.
A relação entre as duas integrais, o operador de derivação e o operador de bordo é
estabelecida pelo TFC, que segue descrito em duas notações,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
∫[a1,a2] dfdxdx = f(x)]∂[a1,a2]
∫ a2a1 f ′(x)dx = f(a2) − f(a1) .
Observe
d
dx está no integrando e ∂ está no argumento de integração. Uma integral é
sobre um intervalo unidimensional e a outra sobre dois pontos, objeto zero dimensional.
Uma integração envolve funções do espaço vetorial à direita e a outra envolve funções
do espaço vetorial à esquerda.
Exemplo 3.1. Seguindo a notação
∫[0,1] 3x2dx = x3]
∂[0,1] = 1. ◻
Está ideia de reduzir uma integral sobre um objeto de dimensão n para uma integral
sobre um objeto de dimensão n − 1 é uma das mais profícuas quando da aplicação da
Matemática.
Vejamos o que foi apresentado anteriormente quando trabalhamos com duas variá-
veis (x, y). Seja Ω um aberto de R2. Nas aulas anteriores apresentamos os operadores
de derivação F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R) rotÐ→ F(Ω,R).
Destacamos que os Teorema do campo conservativo e o Teorema de Green estão asso-
ciados ao seguintes esquemas.
F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
Teo. campo conservativo
V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
Teo. de Green
Para descrever os dois teoremas, consideramos:
Ÿ3.1 Visão geral I 25
* uma integração definida para elementos do espaço vetorial à esquerda, qual seja,
f(x)](v1,v2) = f(p2) − f(p1),
onde p1 = (x1, y1) e p2 = (x2, y2);
* a integração de linha para elementos do espaço vetorial no centro,
∫
α
F⃗ (x, y)dl;
* a integração usual de área para elementos do espaço vetorial à direita,
∫K f(x, y)dxdy,
onde K é um compacto em R2 e f(x, y) está definida em todos os pontos de K.
¶ O Teorema do campo conservativo estabelece que se α ∶ [a1, a2]→ Ω então
∫α∇f(x, y)dl = f(x, y)]
∂α
.
onde ∂α = {α(a1), α(a2)}.
· O Teorema de Green estabelece que
∫K rot F⃗ (x, y)dxdy = ∫∂K F⃗ (x, y)dl.
onde ∂K está parametrizada de modo que o percurso deixa a região K à esquerda.
Exemplo 3.2. Sejam f(x, y) = x2 − y e α ∶ [0,2] → R2, α(t) = (2 − t, t2). Um cálculo
simples nos dá ∇ f(x, y) = (2x,−1) e α′(t) = (−1,2t). Calculemos a integral de linha
∫
α
∇f(x, y)dl = ∫ 2
0
⟨∇f(α(t)), α′(t)⟩dt
= ∫ 2
0
⟨(2t,−1), (−1,2t)⟩dt
= ∫ 2
0
−4t dt= −8.
26 Uma integral para cada espaço Cap. 3
Por outro lado,
f(x, y)]
∂α
= f(α(2)) − f(α(0))
= f(0,4) − f(2,0)= −8.
Não precisamos realizar os cálculos em ambos membros, o Teorema do campo conser-
vativo nos dá a resposta. ◻
Exemplo 3.3. Sejam F⃗ (x, y) = (x2, xy3), um campo em V (R2,R2), e Ko retângulo
compacto K = [0,1] × [1,2]. Um cálculo simples nos dá rot F⃗ (x, y) = y3. Calculemos
∬K rot F⃗ (x, y)dxdy = ∫ 10 ∫ 21 y3dydx= ∫ 1
0
15
4
dx= 4.
Vejamos o resultado da integral do segundo membro da identidade de Green.
∫
∂K F⃗ (x, y)dl.
(0,1) (1,1)
(1,2)(0,2)
K
Observe que a parametrização do bordo ∂K deve ter um percurso de modo que a
região considerada permaneça à esquerda. Recordamos uma propriedade que facilita
(e muito) os cálculos envolvidos: não importa qual a parametrização que consideramos
para cada lado do retângulo, o importante é que o ponto inicial e final sejam os mesmos.
Vejamos então parametrizações simples.
� Parametrização do lado determinado pelos vértices (0,1) e (1,1):
α(t) = (t,1), onde 0 ≤ t ≤ 1.
� Parametrização do lado determinado pelos vértices (1,1) e (1,2):
β(t) = (1, t + 1), onde 0 ≤ t ≤ 1.
Ÿ3.1 Visão geral I 27
� Parametrização do lado determinado pelos vértices (1,2) e (0,2):
δ(t) = (1 − t,2), onde 0 ≤ t ≤ 1.
� Parametrização do lado determinado pelos vértices (0,2) e (0,1):
γ(t) = (0,2 − t), onde 0 ≤ t ≤ 1.
Calculemos.
∫
∂K F⃗ (x, y)dl = ∫∂α⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt + ∫∂β⟨F⃗ (β(t)), β′′(t)⟩dt+∫
∂δ
⟨F⃗ (δ(t)), δ′′(t)⟩dt + ∫
∂γ
⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩dt
∫ 1
0
t2dt + ∫ 1
0
(t + 1)3dt + ∫ 1
0
−(1 − t)2dt
= 1
3
+ 4 − 1
4
− 1
3= 15
4
.
◻
Exercício 3.1. Exercício do Livro t,exto Guidorizzi vol. 3, p. 195.
✠ Sejam F⃗ (x, y) = (0, x) e K um compacto como no Teorema de Green. Mostre
que
área(K) = ∫
∂K
F⃗ (x, y)dl
✠ Calcule a área da região limitada pela curva x = 1− sen t, y = 1− cos t, 0 ≤ t ≤ 2pi,
e o eixo ox.
✠ Sabendo-se que uma região compacta K tem área 3, calcule
∫
∂K F⃗ (x, y)dl,
onde F⃗ (x, y) = (2x + y,3x − y).
✠ Calcule ∫
∂K F⃗ (x, y)dl,
onde K = [−1,1] × [0,1] e F⃗ (x, y) = (4x3y3, 3x4y2 + 5x).
28 Uma integral para cada espaço Cap. 3
P
a
r
a
d
e
i
x
a
r
c
l
a
r
o
o
s
t
e
o
r
e
m
a
s
q
u
e
s
e
r
ã
o
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p
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n
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−Teo
r
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k
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T
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G
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s
−ant
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c
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.
A
b
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x
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s
n
í
v
e
i
s
d
e
r
e
l
a
ç
ã
o
.
F(Ω,
R
)
∇ Ð→
V(Ω,
R
)
ro
t Ð→
V(Ω,
R
)
d
iv Ð→
F(Ω,
R
)
↕
↕
↕
↕
f
(x,y,
z)] {p
1
,p
2
}
∫ αF⃗(
x
,y
,z
)dl
∬ S⟨F⃗
(x,y,
z),η⟩
d
S
∭ Bf
(x,y,
z)dV
↖ TC
C
↗
↖ St
o
k
e
s
↗
↖ Ga
u
s
s
↗
A
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n
t
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j
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t
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s
:
P
o
n
t
o
{a 1};
L
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n
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a
α
,
(
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j
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i
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n
s
ã
o
a
m
e
n
o
s
.
Ÿ3.2 Um pouco de Álgebra Linear 29
3.2 Um pouco de Álgebra Linear
Justificaremos algumas definições que serão colocadas adiante utilizando conheci-
mentos de Álgebra linear. Considere a transformação linear
T ∶ R2 → R3, T (x, y) = (x + 2y, y,2x + y).
Pergunta Qual a área da imagem do quadrado [0,1] × [0,1]?
(1,0)
(0,1)
(0,0)
(1,1)
T(0,0)
T(1,0)
T(0,1)
T(1,1)
T
Não podemos utilizar o mesmo algoritmo para transformaç�es lineares do R2 para o
R2. Vejamos. Como T (e1) = (1,0,2) e T (e2) = (1,1,1), a matriz de T na base canônica
fica sendo
[T ] = [T (e1) T (e2)] = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1
0 1
2 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ .
Como [T ] não é quadrada, é uma matriz 3 × 2, não podemos calcular determinantes.
Um algoritmo para calcular a área será computar o produto vetorial
η⃗ = T (e1) × T (e2).
Como sabemos, além deste vetor ser ortogonal à T (e1) e T (e2), sua norma é a área
do retângulo imagem do quadrado indicado. Sabendo-se dos valores T (e1) = (1,0,2) e
T (e2) = (1,1,1), então
η⃗ = T (e1) × T (e2) = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
e1 1 1
e2 0 1
e3 2 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (−2,1,1).
Como ∣∣η⃗∣∣ = √6 e o quadrado original [0,1]× [0,1] tem área 1, sua imagem por T é um
paralelogramo de área
√
6.
Mais ainda. Considere o retângulo compacto K = [a, b] × [c, d]. Sua área é A1 =(b−a) ⋅(d−c). A imagem T (K) é um paralelogramo com área A2 = √6A1. Este número√
6, é o fator que relaciona a área da figura original com a área da imagem.
30 Uma integral para cada espaço Cap. 3
Geralmente. A transformação linear T transforma o plano R2 num plano (super-
fície) do R3 (que é um subespaço de dimensão 2). Uma região compacta K do R2 é
transformada numa região compacta do plano imagem de T . Se A1, é a área desta
região em R2, sua imagem tem área A2 e a relação da áreas é A2 = √6A1.
T
A
A
1
2
Uma transformação linear T ∶ R2 → R3 transforma o R2 (um espaço de dimensão
2) num plano (subespaço) do R3 de dimensão 2 desde que η⃗ = T (e1) × T (e2) não seja
o vetor nulo.
3.3 Integral de superfície
Passemos à definição de superfície parametrizada e de superfície.
Seja Ω um subconjunto do R2.
Uma aplicação σ ∶ Ω → R3 será chamada superfície parametrizada. Para evitar
ambiguidades, a partir deste momentos os pares ordenados de R2 serão indicados por(u, v) e os ternos ordenados de R3 por (x, y, z)
O lugar geométrico Sσ constituído pelos pontos da imagem de σ será denominado
superfície: Sσ = {σ(u, v) ∈ R3; (u, v) ∈ Ω}.
s
u
v
x
y
z
superfície
parametrizada
superfície
Observe que a superfície Sσ em R3, em geral não é um plano, mas, fisicamente falando,
a dimensão de uma superfície é igual a 2, ela tem �largura� e �comprimento�, mas não
�espessura�.
Ÿ3.3 Integral de superfície 31
Exemplo 3.4. Examinemos alguns exemplos.
1. Considere a superfície parametrizada
σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (u, v, u2 + v2).
Neste caso, podemos facilmente identificar a superfície Sσ, é o parabolóide z =
x2 + y2. Vejamos. Como x = u, y = v e z = u2 + v2, segue que z = x2 + y2.
2. Considere o gráfico de f ∶ R2 → R, f(x, y) = x2 − y2. Como sabemos, seu gráfico
é um subconjunto do R3 que chamamos sela.
Esta sela é uma superfície Sσ, pois ela é a imagem da superfície parametrizada
σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (u, v, u2 − y2).
3. Em geral, se g ∶ Ω → R, onde Ω é um subconjunto do R2, o gráfico de g(x, y) é
um superfície Sσ, pois basta considerar
σ ∶ Ω→ R3, σ(u, v) = (u, v, g(u, v)).
Esta técnica para construir σ é usual. No exemplo do item 1., a superfície Sσ é
o gráfico da função f ∶ R2 → R, f(x, y) = x2 + y2.
4. A esfera S2 = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = 1} é também uma superfície Sσ, é
suficiente considerar a parametrização esférica (aqui, θ = u e φ = v):
σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (cosusenv, senusenv, cos v).
Neste caso, a superfície parametrizada σ �recobre� a esfera um número infinito de
vezes.para evitar este inconveniente devemos restringir o domínio. Por exemplo,
σ ∶ [0,2pi] × [0, pi]→ R3, σ(u, v) = (cosusenv, senusenv, cos v).
5. Um plano em R3 também é uma superfície Sσ.
Por exemplo, se Π = {(x, y, z) ∈ R3; 2x − y − 4z = 3}. Neste caso, podemos
considerar
σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (u,2u − 4v − 3, v).
Vejamos. Como x = u, y = 2u − 4v − 3 e z = v, por substituição, recuperamos a
equação de Π ∶ 2x−y−4z = 3. (Você poderia construir muitos outros σ′s diferentes
deste).
6. Algumas superfícies Sσ são de difícil vizualzação, apenas programas computa-
cionais gráficos poderiam dar uma ideia de sua configuração. Por exemplo,
σ ∶ R2 − {(0,0)}→ R3, σ(u, v) = (ln (u2 + v2), eu2+v2 , uv − u5). ◻
32 Uma integral para cada espaço Cap. 3
Terminologia Descrever um subconjunto S de R3 como um subconjunto do tipo Sσ
significa parametrizar S.
Exemplo 3.5. Parametrize o cilindro S = {(x, y, z) ∈ R3. x2 + y2 = 1}. Considere
σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (cosu, senu, v).
Por simplicidade, utilizaremos a seguinte notação em substituição às derivadas par-
ciais,
∂σ
∂u
= σu e ∂σ
∂v
= σv
De fato. Como x = cosu, y = senu e z = v, então x2 + y2 = 1 e z é qualquer real. ◻
s
u
v
x
y
z
superfície
parametrizada
superfície
s
s
u
v
(u ,v )
0 0
dAdx dy
Ressaltamos que a avaliação σu(u0, v0) e σv(u0, v0) nos fornece vetores tangentes à
superfície Sσ no ponto σ(u0, v0).
Exemplo 3.6. Examinemos a superfície parametrizada
σ ∶ R2 → R3, σ(u, v) = (u2 − v, uv, u + v).
As derivadas parciais são
σu(u, v) = (2u, v,1) e σv(u, v) = (−1, u,1).
O ponto σ(1,0) = (1,0,1) é um ponto da superfície σ. Os vetores
σu(1,0) = (2,0,1) e σv(1,0) = (−1,1,1)
são vetores tangentes à superfície no ponto σ(1,0) = (1,0,1). Para calcular a equação
do plano tangente Π à superfície neste ponto, precisamos do vetor normal ao plano,
que pode ser obtido por η⃗ = σu(1,0) × σv(1,0) = (−1,−3,2). Com isto, calculamos a
equação Π ∶ −x − 3y + 2z = 1 utilizando o produto interno. ◻
Ÿ3.3 Integral de superfície 33
Feito todas as considerações, passemos à definição da integral de superfície. Para
isto seguiremos uma abordagem de �Analise não standard�.
Sejam K uma região de Green R2, σ ∶ K → R3 uma superfície parametrizada. A
superfície Sσ também é compacta. O bordo ∂Sσ é a imagem do bordo ∂K e seu percurso
é induzido por σ do percurso de ∂K.
u
v
x
y
z
s
S
K
s
Seja dS a área infinitesimal da imagem do retângulo infinitesimal dxdy de K. O
fator de expansão de área infinitesimal em cada ponto (u, v) ∈ K é ∣∣σu ×σv ∣∣. Portanto,
a relação entre as áreas infinitesimais fica sendo
dS = ∣∣σu × σv ∣∣dudv
du
dv dS
s
Por definição, a integral de f(x, y, z) sobre a superfície Sσ = σ(K) é
∫ ∫Sσ f(x, y, z)dS =∶ ∫ ∫K f(σ(u, v))∣∣σu × σv ∣∣dudv.
Exemplo 3.7. Seja K = {(u, v) ∈ R2; u2 + v2 ≤ 4}.
Considere a superfície parametrizada σ ∶ K → R3, σ(u, v) = (u, v, uv). Como
σu(u, v) = (1,0, v) e σv(u, v) = (0,1, u),
então σu(u, v)× σv(u, v) = (−v,−u,1). Sendo assim, o fator de expansão de área infini-
tesimal fica sendo ∣∣σu × σv ∣∣ = √1 + u2 + v2.
34 Uma integral para cada espaço Cap. 3
Se desejarmos integrar a função f(x, y, z) = 11+x2+y2 sobre Sσ, realizamos as operações
∬Sσ f(x, y, z)dS = ∬K f(σ(u, v))∣∣σu × σv ∣∣dudv.
= ∬K f(u, v, uv)√1 + u2 + v2dudv
= ∫ 2pi
0
∫ 1
0
√
1 + r2
1 + r2 r dr dθ
= 2pi (√2 − 1) .
Utilizamos coordenadas polares na resolução. ◻
Observe que quando f(x, y, z) ≡ 1, a integral de superfície é nos fornece a área deSσ. Portanto, definimos a área da superfície Sσ como sendo a integralização de todos
os dS, temos
área(Sσ) =∬Sσ dS =∬K ∣∣σu × σv ∣∣dxdy.
Exemplo 3.8. Seja K = {(u, v) ∈ R2; u2+v2 ≤ 4}. Considere a superfície parametrizada
σ ∶ K → R3, σ(u, v) = (u, v, uv). Como vimos no Exercício 3.7, o fator de expansão de
área infinitesimal é ∣∣σu × σv ∣∣ = √1 + u2 + v2.
Calculemos a área da superfície.
área(σ(K)) = ∬K√1 + u2 + v2dudv
= ∫ 2pi
0
∫ 2
0
√
1 + r2 r drdθ
= ∫ 2pi
0
1
3
(1 + r2) 32 )]2
0
dθ
= √500 −√32
3
pi.
Na resolução da integral utilizamos a troca de coordenadas polares. ◻
Exercício 3.2. Exercícios do livro texto Guidorizzi, vol. 3.
1. Esboce a superfície Sσ para cada superfície parametrizada indicada (p. 208.)
(a) σ(u, v) = (u, v, u2 + v2), onde (u, v) ∈ R2. Calcule a equação cartesiana do
plano tangente à superfície Sσ no ponto σ(1,1).
Ÿ3.4 Fluxo de F⃗ através de Sσ 35
(b) σ(u, v) = (1, u, v), onde 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1.
(c) σ(u, v) = (u, v,1 − u − v), onde u ≤ 0, v ≤ 0 e u + v ≤ 1. Calcule a área da
superfície Sσ. Descreva a superfície Sσ utilizando as variáveis x, y e z do
R3.
(d) σ(u, v) = (u,√1 − u2 − v2, v), onde u2 + v2 ≤ 1.
(e) σ(u, v) = (vcosu, vsenu, v), onde 0 ≤ u ≤ 2pi, 1 ≤ v ≤ 2. Calcule a área da
superfície Sσ e a integral de superfície de f(u, v, z) = z sobre Sσ.
(f) σ(u, v) = (u, v,1 − u2), onde u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1. Calcule a equação
cartesiana do plano tangente à superfície Sσ no ponto σ(1,1).
2. Calcule a integral de superfície (p. 219)
∬Sσ f(x, yz)dS.
(a) f(x, y, z) = x e σ(u, v) = (u, v, u2 + v), onde 0 ≤ u ≤ 1 e u2 ≤ v ≤ 1.
(b) f(x, y, z) = xy e σ(u, v) = (u − v, u + v,2u + v + 1) onde 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ u.
(c) f(x, y, z) = x2 + y2 e σ(u, v) = (u, v, u2 + v2), u2 + v2 ≤ 1.
(d) f(x, y, z) = y e σ(u, v) = (u, v,1 − u2), onde 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ √u.
3.4 Fluxo de F⃗ através de Sσ
Iremos definir uma medida importante para a Física e as engenharias: fluxo de um
campo de vetores através de uma superfície. Esta medida reduz-se ao cálculo de uma
integral de superfície, mas para justificar a definição, precisamos de um conceito de
Álgebra linear.
F
m
< >F ,m
Sejam µ⃗ e F⃗ vetores em R3. Vamos supor que µ⃗ seja unitário, ou seja, ∣∣µ⃗∣∣ = 1. O
vetor F⃗ tem uma componente horizontal (ortogonal a µ⃗) e outra vertical (na direção
de µ⃗). Como µ é unitário, a componente vertical se escreve como λµ⃗, onde λ = ⟨F⃗ , µ⃗⟩.
36 Uma integral para cada espaço Cap. 3
Fixemos K, um compacto de Green em R2, e σ ∶ K → R3 uma superfície parametri-
zada. Como sempre, Sσ é a imagem de σ.
dS
F(u,v)
(u,v)
m
s
Seja dS a área da região infinitesimal da superfície em �torno� do ponto σ(u, v) e
µ⃗ o vetor unitário ortogonal â superfície no ponto σ(u, v) obtido por
µ⃗ = 1∣∣σu × σv ∣∣σu × σv
A componente vertical de F⃗ é a única que colabora para o fluxo do campo de vetores
através da região. Então, a quantidade de fluxo do campo de vetores pela região é, por
definição, ⟨F⃗ , µ⃗⟩dS.
A soma de todas estas quantidades de fluxos, é a integral de superfície
fluxo (F⃗ ,Sσ) =∶ ∬Sσ⟨F⃗ , µ⃗⟩dS.
Vejamos como devemos calcular este fluxo. Como
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
µ⃗ = 1∣∣σu×σv ∣∣ σu × σv´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
η⃗
dS = ∣∣σu × σv ∣∣dudv
,
o cálculo do fluxo reduz-se à integral
∬Sσ⟨F⃗ , µ⃗⟩dS = ∬K⟨F⃗ (σ(u, v)), η⃗(σ(u, v))⟩dudv.
Ÿ3.4 Fluxo de F⃗ através de Sσ 37
Exemplo 3.9. Calculemos fluxo (F⃗ ,Sσ), onde⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
F⃗ (x, y, z) = (−y, z, x)
σ(u, v) = (u, v, uv)
K = {(u, v) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1}
.
Precisamos calcular o campo normal à superfície:
η⃗(σ(u, v)) = σu × σv = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
e1 1 0
e2 0 1
e3 v u
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (−v,−u,1).
A função que deve ser integrada sobre K é
⟨F⃗ (σ(u, v)), η⃗(σ(u, v))⟩ = ⟨F⃗ (u, v, uv), η⃗(u, v, uv)⟩= ⟨(−v, uv, u), (−v,−u,1)⟩= v2 − u2v + u.
Logo, utilizando mudança de coordenadas polares:
fluxo (F⃗ ,Sσ) = ∬K(−v2 − v2u + u)dudv
= ∫ 1
0
∫ 2pi
0
(r3cos2θ −��������:0r4cos2θ senθ +�����:0r2cos θ)dθ dr
= ∫ 1
0
(r3)∫ 2pi
0
cos2θdθ dr
= 1
4 ∫ 2pi0 1 + cos2θ2 dθ
= 1
4
⎛⎝θ2 + sen2θ2 ]
2pi
0
⎞⎠= pi
4
.
Não trabalhamos com unidades físicas, mas se F⃗ for um campo de velocidade as-
sociado a umescoamento de um fluido medido em m/s, então o fluxo de F⃗ através deSσ é de pi4m3/s. ◻
Exercício 3.3. Considere o campo de vetores F⃗ (x, y, z) = (x2,−1,1) e o cubo Q =[0,1] × [0,1] × [0,1].
38 Uma integral para cada espaço Cap. 3
1. Calcule fluxo (F⃗ ,S), onde S = ∂Q e Q, onde o vetor normal η⃗ ao bordo ∂Q
aponta para fora do cubo. Veja Exercício 4, do Livro texto, Guidorizzi, vol. p.
227.
2. Calcule ∭
Q
divF⃗ (x, y, z)dxdydz.
Exercício 3.4. Exercício do livro texto, Cap. 10 Ÿ1, p. 230, números 1., 2., 3., 4. e 5.
4
Teoremas dos campos conservativos e
Teorema de Stokes
Continuaremos denotando um aberto em R3 por Ω.
4.1 Revendo o conceito de superfície
Intuitivamente falando, uma superfície S é um subconjunto do R3 com �largura�
e �comprimento� mas sem �espessura�. Na Matemática existem vários procedimentos
para concretizar esta ideia de superfície. Entretanto, no Cálculo Vetorial, elas são
estabelecidas de três formas distintas. Vejamos.
� Gráfico de função de duas variáveis f(x, y).
� Superfície de nível de função de três variáveis g(x, y, z).
� Imagem de uma função σ(u, v).
Exemplifiquemos.
Exemplo 4.1. Seja f ∶ R2 → R, f(x, y) = x2 − y2. O gráfico de f(x, y) é a superfície S
denominada sela: S = {(x, y, z) ∈ R3; z = f(x, y)}
z
x
y
S
Mais ainda, a superfície S pode ser descrita como a curva de nível 0 da função
g ∶ R3 → R, g(x, y, z) = z − x2 − y2.
39
40 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
z
x
y
g(x,y,z)
0
S
A mesma superfície S pode ser obtida como a imagem da função σ ∶ R2 → R3,
σ(u, v) = (u, v, u2 − v2).
z
x
y
S
u
v s( )u,v
Neste último caso, para destacar que a superfície é a imagem de σ(u, v) (aplicação
denominada superfície parametrizada) indexamos na forma Sσ. ◻
Para os cálculos de integrais em uma superfície S necessitamos que ela seja descrita
como imagem de uma função σ(u, v), ou seja, Sσ.
Exercício 4.1. Para cada superfície S descreva-a como Sσ, ou seja, determine uma
função σ(u, v) cuja imagem seja S.
1. S é gráfico de f(x, y) = x + y.
2. S é o gráfico de f(x, y) = 2 − x2 − y2.
3. S é a curva de nível de g(x, y, z) = z − y3 + x2.
4. S é a curva de nível de g(x, y, z) = x − y2 − z2.
5. S é o gráfico de f(x, y) = x3y + 4ysen(x).
6. S é a curva de nível 1 de g(x, y, z) = x2 + y2.
7. S é a curva de nível de 3 de g(x, y, z) = x2 + y3 + z3. ◻
Ÿ4.2 Superfície compacta com ou sem bordo 41
4.2 Superfície compacta com ou sem bordo
As integrais sobre superfícies são definidas em superfícies compactas, isto é, em
superfícies que são �segmentos� de superfícies como aquelas que foram apresentadas na
seção anterior, segmentos estes que estão a uma distância finita da origem e incluem
seu bordo, caso exista. Para deixar claro, vejamos exemplos.
Exemplo 4.2. Seja S superfície de nivel 0 de g ∶ R3 → R, g(x, y, z) = z − x2 − y2. S é
o parabolóide esboçado a seguir. Caso queiramos apresentar a superfície na forma Sσ,
ou seja, apresentar como imagem de uma aplicação σ ∶ R2 → R3, é suficiente considerar
σ(u, v) = (u, v, u2 + v2). A sua equação cartesiana é S ∶ z = x2 + y2. Ela não é uma
superfície compacta, pois podemos escolher pontos da superfície tão longe da origem
quanto queiramos.
z
y
x
g(x,y,z)
0
Se considerarmos o �segmento� desta superfície definida por
S ∶ { z = x2 + y2
z ≤ 1 ,
obtemos uma superfície com bordo.
z
y
x
1
S
bordo
de S
42 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
Esta superfície com bordo também pode ser apresentada como Sσ, para isto, é suficiente
considerar o compacto K = {(u, v) ∈ R2; u2+v2 ≤ 1} e σ ∶ K → R3, σ(u, v) = (u, v, u2+v2).
z
y
x
1
S
bordo
de S
K
u
v
s( )u,v
bordo
de K
O bordo de K é aplicado no bordo de Sσ. Box
Exemplo 4.3. Existem superfícies compactas sem bordo. Por exemplo, a superfície
esférica canônica S2 ∶ x2 + y2 + z2 = 1 não tem bordo.
z
x
y
Os pontos de S2 estão a uma distân-
cia finita da origem. Da mesma forma,
utilizando coordenadas esféricas, podemos
apresentá-la como Sσ. Para isto, basta de-
finir a aplicação σ ∶ [0,2pi] × [0, pi] → R3,
σ(u, v) = (senv cosu, senv senu, cos v) (fize-
mos a substituição ρ = 1, u = θ e v = φ, para
seguir a notação (u, v)).
z
x
y
1
u
v
u
v
2p
p
K
s( )u,v
Vale a observação. A imagem do bordo ∂K por σ é uma curva no espaço que percorre
do polo norte ao polo sul, ida e volta. Portanto, a integral de linha de qualquer campo
de vetores F⃗ (x, y, z) sobre uma parametrização de σ(∂K) é zero.
Ÿ4.2 Superfície compacta com ou sem bordo 43
s( )K
K
Desta esfera podemos obeter uma superfície com bordo, por exemplo,
S ∶ { 1 = x2 + y2 + x2
z ≥ −12 .
z
-1/2
bordo
de S
S
v
u
2p
2p/3
s( )u,v
s( )K
Neste caso, a superfície com bordo pode ser escrita como Sσ, onde a relação σ(u, v)
é a mesma, mas o domínio é K′ = [0,2pi] × [0, 23pi]. ◻
Exercício 4.2. Parametrize as superfícies, isto é, escreva-as como Sσ.
1. S ∶ { 1 = x2 + y2
0 ≤ z ≤ 1 .
2. S ∶ { 1 = x2 + y2 + z2−1
2 ≤ z ≤ 12 .
3. S ∶ { z2 = 1 + x2 + y2
0 ≤ z ≤ 2 .
4. S ∶ { z = xy
1 ≥ x2 + y2 .
5. S é a superfície obtida pela revolução em torno do eixo oz do gráfico de z = (y−1)2,
1 ≤ y ≤ 2 no plano yz.
z
y
1 2
z=y
2
6. Parametrize as superfícies.
(a) S ∶ { z = x2 + y2
1 ≥ (x − 1)2 + (y − 1)2 . (b) S ∶ { 1 = x24 + y29 + z2z ≤ 0 .
44 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
4.3 Teorema do campo conservativo
Apresentaremos o teorema associado ao operador de derivação gradiente,
F (Ω,R3) ∇Ð→ V (Ω,R3) .
que, em essência, nada difere da apresentação feita para campos de vetores em R2. A
integral de linha do campo de vetores F⃗ ∈ V (Ω,R3) sobre a curva α ∶ [a1, a2] → Ω é
definida por
∫
α
F⃗ (x, y, z)dl =∶ ∫ a2
a1
⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt.
Exemplo 4.4. Considere:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (z, x2, y);
α; [0,1]→ R3, α(t) = (1, t2, t) .
A integral de linha reduz-se a uma integral estudada em Cálculo I. Calculemos:
∫
α
F⃗ (x, y, z)dl = ∫ a2
a1
⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt
= ∫ 1
0
⟨(t,1, t2), (0,2t,1)⟩dt
= ∫ 1
0
(2t + t2)dt
= t2 + 1
3
t3]1
0= 4
3
.
As propriedades de integral de linha são iguais as já listadas para campos de vetores
em R2. ◻
Proposição 4.1. Sejam F⃗ ∶ Ω→ R3 um campo de vetores, α ∶ [a1, a2]→ Ω, β ∶ [b1, b2]→
Ω e α̃ ∶ [c1, c2]→ Ω curvas em Ω.
1. Se α e β têm o mesmo traço e mesmos pontos iniciais e mesmos pontos finais,
então ∫
α
F⃗ (x, y)dl = ∫
β
F⃗ (x, y)dl;
2. Se α e α̃ têm o mesmo traço e pontos iniciais e finais opostos, então
∫
α̃
F⃗ (x, y)dl = −∫
α
F⃗ (x, y)dl.
Ÿ4.4 Teorema de Stokes 45
Diz-se que um campo de vetores F⃗ ∈ V (Ω,R3) é um campo de vetores conservativo
se F⃗ = ∇f , para alguma função f ∈ F (Ω,R3). A função f é denominada função
potencial. O Teorema do campo conservativo é semelhante àquele para o R2.
Teorema 4.1. Sejam F⃗ ∶ Ω → R3, um campo de vetores e α ∶ [a1, a2] → Ω uma curva.
Se F⃗ é um campo conservativo com função potencial f ∶ Ω→ R2, então
∫
α
F⃗ (x, y, z)dl = f(x, y, z)]
∂α
Finalmente, existe um critério para identificar quando o campo é conservativo.
Teorema 4.2. Sejam Ω um aberto em R3 e F⃗ ∶ Ω → R3 um campo de vetores. Se
rotF⃗ = 0⃗ e Ω é simplesmente conexo, então F⃗ é conservativo.
Exemplo 4.5. Vejamos exemplos de conjuntos simplesmente conexos em R3.
1. Ω = R3 é simplesmente conexo.
2. Ω = R3 − {(0,0,0)} é simplesmente conexo (R3 perfurado na origem).
3. Ω = R3 − oz não é simplesmente conexo (R3 menos o eixo oz). ◻
x
y
z
x
y
z
simplesmente
conexo
não simplesmente
conexo
4.4 Teorema de Stokes
Nesta seção examinaremos a relação entre o operador de derivação rot,
V (Ω,R3) rotÐ→ V (Ω,R3) ,
e as integrais associadas a cada espaço,integral de linha e integral de superfície.
O Teorema de Stokes estabelece que
1
1
George Gabriel Stokes (⋆ Condando de Sligo, 13/08/1819 − „ Cambridge, 1/02/1903) matemático
e físico irland�es que se distinguiu pelas suas contribuições na dinâmica de fluidos, na Óptica e Física
Matemática.
46 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
∬Sσ⟨rotF⃗ , η⟩dS = ∫∂Sσ F⃗ (x, y, z)dl.
No membro esquerdo da igualdade está sendo calculado o fluxo do rotacional do campo
de vetores, rot F⃗ , através da superfície compacta com ou sem bordo Sσ. No membro
direito temos a integral de linha no bordo da superfície com a parametrização induzida
por σ
Cuidados mínimos devem ser tomado quando da sua aplicação.
1. O domínio K da superfície parametrizada σ ∶ K → R3 é um compacto de Green.
2. Todos os cálculos são feitos utilizando a superfície parametrizada σ.
Exemplo 4.6. Um exemplo para ilustrar o Teorema de Stokes. Sejam⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
F⃗ (x, y, z) = (y,0, x + y)
σ(u, v) = (u, v,2 − u2 − v2)K ∶ u2 + v2 ≤ 1 .
s( )u,v
u
v
K
1
2z
y
x
h
Ss
Observe que a superfície Sσ é um segmento de parabolóide, pois⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = u
y = v
z = 2 − u2 − v2 .
Portanto, σ(u, v) pertence ao parabolóide z = 2 − x2 − y2 e z ≥ 1.
● Calculando o rotacional de F⃗ , obtemos rotF⃗ (x, y, z) = (1,−1,−1).
● Calculando o campo de vetores η⃗ ortogonal à Sσ temos
η⃗ = σu × σv = (2u,2v,1)
Ÿ4.4 Teorema de Stokes 47
Com estes dois dados, podemos calcular o fluxo de F⃗ através de Sσ.
fluxo (rotF⃗ ,Sσ) = ∬Sσ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS
= ∬K⟨rotF⃗ (σ(u, v)), η⃗(σ(u, v))⟩dudv
= ∬K⟨(1,−1,−1), (2u,2v,1)⟩dS
= ∬K(2u − 2v − 1)dudv.
Feito estes cálculos, devemos resolver a última integral. Para isto utilizaremos mudança
de coordenadas polares.
fluxo(rotF⃗ ,Sσ) = ∫ 2pi
0
∫ 1
0
(2r2cos θ − 2r2senθ − r)dr dθ = −pi.
Examinemos o outro membro da relação de Stokes.
Para calculemos a integral de linha de F⃗ sobre o bordo ∂Sσ, precisaremos duma
parametrização deste bordo. Para isto, é suficiente considerarmos uma parametrização
para ∂K, que pode ser α(t) = (cos t, sen, t), 0 ≤ t ≤ 2pi, pois o percurso deixa a região
limitada pelo bordo ∂K do lado esquerdo e avaliar β(t) = σ(α(t) = (cos t, sen t,1) com
0 ≤ t ≤ 2pi.
∫
∂Sσ F⃗ (x, y, z)dl = ∫β⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩dt
= ∫ 2pi
0
⟨F⃗ (cos t, sen t,1), (−sen t, cos t,0)⟩dt
= ∫ 2pi
0
⟨(sen t,0, cos t + sen t), (−sen t, cos t,0)⟩dt
= ∫ 2pi
0
−sen2t dt
= ∫ 2pi
0
−1 − cos2t
2
dt
= − t
2
]2pi
0
+ sen2t
4
]2pi
0= −pi
Voltemos ao exemplo anterior.
48 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
Exemplo 4.7. Sejam
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
F⃗ (x, y, z) = (y,0, x + y)
σ(u, v) = (u, v,2 − u2 − v2)K ∶ u2 + v2 ≤ 1 .
No Exemplo 4.6, p. 46, calculamos
fluxo (rotF⃗ ,Sσ) =∬Sσ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS = −pi = ∫∂Sσ F⃗ (x, y, z)dl.
Podemos simplificar o cálculo do fluxo, considerando uma outra superfície Sτ cujo
bordo seja o mesmo bordo do segmento de parabolóide e com mesma orientação. Uma
superfície com estas condições é o disco
Sτ { 1 = x2 + y2
z = 1 .
onde τ ∶ K → R3, τ(u, v) = (u, v,1).
s( )u,v
u
v
K
1
2z
y
x
h
S
s
t
u
v
K´
t(
)
u,v
S
Sendo assim, valem as igualdades
∬Sσ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS = ∫∂Sσ F⃗ (x, y, z)dl = ∫∂Sτ F⃗ (x, y, z)dl =∬Sτ ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS
Verifiquemos a última igualdade. Observe que o vetor ortogonal η à superfície Sτ é
calculado por
η(u, v) = τu × τv = (0,0,1).
Ÿ4.4 Teorema de Stokes 49
Vejamos o cálculo.
∬Sτ ⟨rot F⃗ , η⃗⟩dS = ∬K⟨rot F⃗ (τ(u, v)), η(u, v)⟩dudv= ∬K⟨(1,−1,−1), (0,0,1)⟩dudv= −∬K dudv= −área(K)= −pi.
Exercício 4.3. Exercícios do livro texto, Guidorizzi, v. 3, p. 261.
1. Utilize o Teorema de Stokes para transformar a integral
∬Sσ⟨F⃗ (x, y, z), η⃗⟩dS
numa integral de linha e faça o cálculo.
(a) F⃗ (x, y, z) = (0,0, y) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ apontando para cima.
Sσ ∶ { σ(u, v) = (u, v, u2 + v2)K ∶ u2 + v2 ≤ 1 .
Resp 0.
(b) F⃗ (x, y, z) = (y,−x2,5) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ apontando para cima.
Sσ ∶ { σ(u, v) = (u, v,1 − u2)K ∶ u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1 .
Resp −56 .
(c) F⃗ (x, y, z) = (y, x2, z) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ apontando para baixo.
Sσ ∶ { σ(u, v) = (u, v,2u + v + 1)K ∶ u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 2 .
Resp 0.
(d) F⃗ (x, y, z) = (y, x2, z) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ com a segunda coordenada
maior ou igual a zero.
S ∶ { x2 + y2 = 1
0 ≤ z ≤ 0 .
Resp 0.
50 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
(e) F⃗ (x, y, z) = (0, x,0) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ com a primeira coordenada
maior que zero.
S ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x2 + y2 = 1
0 ≤ z ≤ 0
0 ≤ x
0 ≤ y .
Resp 0.
(f) F⃗ (x, y, z) = (y,0,0) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ com a terceira coordenada
maior que zero. S ∶ { z = x2 + y2
z ≤ 1 .
Resp −pi.
(g) F⃗ (x, y, z) = (y,0,0) e η⃗ é o vetor ortogonal a Sσ apontando para cima.
S ∶ { x2 + y2 + z2 ≤ 2
x2 + y2 ≤ z .
Resp −pi.
2. Considere o campo de vetores F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (x3z, zy5 − x, zy4 − x2y5)
e a superfície com bordo (semi-esfera)
S ∶ { x2 + y2 + z2 = 1
0 ≤ z .
h
z
Se η⃗ é o campo de vetores ortogonal à superfície (aponta para fora da esfera)
mostre que
fluxo(rotF⃗ ,S) = −pi
3. Calcule a integral de linha de F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (x3z, zy5 − x, zy4 − x2y5),
onde α(t) = (3cos t, sen t,0), 0 ≤ t ≤ 2pi.
Ÿ4.4 Teorema de Stokes 51
4. Calcule a diferença de fluxo
fluxo(rotF⃗ ,S2) − fluxo(rotF⃗ ,S1),
onde F⃗ (x, y, z) = (x3z, zy5 − x, zy4 − x2y5) e
S2 ∶ { x2 + y2 + z2 = 4
0 ≤ z e S1 ∶ { x2 + y2 + z2 = 10 ≤ z .
Os campos de vetores normal às superfícies apontam para fora das esferas.
5. A superfície com bordo ∂S esboçada nas figuras é um toro (tipo câmara de ar)
no qual um pequeno disco foi retirado. Em cada figura está indicado o campo de
vetores η⃗ normal à superfície (em duas figuras o campo de vetores normal aponta
para �fora� do toro e nas outras duas para �dentro� do toro). Está indicado
também o percurso do bordo ∂S no qual se fez a integral de linha de um campo
de vetores F⃗ (x, y, z) onde obteve-se, na primeira figura o valor
∫
∂S F⃗ dl = 3.
Para cada uma das outras figuras calcule
∬S⟨rotF⃗ (x, y, z), η⃗⟩dS.
S
h
bordo
S
h
bordo
S h
bordo
S h
bordo
6. Mostre que o campo de vetores F⃗ ∶ R3 → R3, F⃗ (x, y, z) = (yz, xz, xy) é um campo
conservativo.
7. Seja F⃗ (x, y, z) = (xz2, z4, y) e
S1 ∶ { x2 + y2 + z2 = 4√
2 ≤ z ≤ √3 .
Calcule fluxo(rotF⃗ ,S) considerando o campo de vetores ortogonal à S apon-
tando para cima.
Resp 0.
52 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
8. Seja F⃗ (x, y, z) = (xz2, z4, y) e
S1 ∶ { x2 + y2 = 4
0 ≤ z ≤ 4 .
Calcule fluxo(rotF⃗ ,S) considerando o campo de vetores ortogonal à S apon-
tando para dentro do cilindro.
9. �Oriente� o bordo do trifóide de modo compatível com o Teorema de Stokes,
sabendo-se que o campo de vetores ortogonal a S, aponta para fora do trifóide.
h
S
5
Teorema de Gauss
5.1 Teorema de Gauss
Completaremos o estudo dos teoremas fundamentais do Cálculo, apresentando o
Teorema de Gauss
1
que envolve o divergente div,
V (Ω,R3) divÐ→ F (Ω,R3),
e as integrais relacionadas a cada espaço, quais sejam, integral de superfície e de volume,
∭B divF⃗ (x, y, z)dV =∬∂B⟨F⃗ (x, y, z), η⃗⟩dS.
No enunciado, duas hipóteses são exigidas.
1. B é um sólido compacto em R3.
2. O campo de vetores η⃗ é ortogonal ao bordo e aponta para o exterior do sólido.
No membro esquerdo da igualdade temos a integral de volume e no lado direito o fluxo
do campo de vetores F⃗ através da superf�cie ∂B, ambas já apresentadas anteriormente.
Exemplo 5.1. Ilustremos o Teorema de Gauss considerando como sólido B a esfera
sólida canônica, B ∶ x2 + y2 + z2 ≤ 1,
e o campo de vetores F⃗ (x, y, z) = (1, yz, z). Temos divF⃗ (x, y, z) = x + 1. Para calcular
a integral de volume utilizaremoscoordenadas esféricas,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
Φ(ρ, θ, φ) = (ρ senφcosθ, ρ senφsenθ, ρ cosφ)
C = [0,1] × [0,2pi] × [0, pi] .
1
Johann Carl Friedrich Gauss, (⋆ Braunschweig, 30/04/1777 − „ Göttingen, 23/02/1855), foi ma-
temático, astrônomo, físico e inventor alemão. Contribuiu em diversas áreas, enre as quais, Teoria dos
números, Estatística, Análise matemática, Geometria diferencial, Geofísica, Eletroestática, Astrono-
mia e Óptica.
53
54 Teorema de Gauss Cap. 5
r
q
j
f
1
p
2p
C
Sabendo-se que a integral de cos θ em [0,2pi] é zero, podemos escrever
∭B divF⃗ (x, y, z)dV = ∭B(z + 1)dxdy dz= ∫ pi
0
∫ 2pi
0
∫ 1
0
(ρ cosφ + 1)ρ2senφdρdθ dφ
= ∫ 1
0
∫ 2pi
0
∫ pi
0
ρ3���
���:
0
cosφsenφ dφdθ dρ
+ ∫ pi
0
∫ 2pi
0
∫ 1
0
ρ2senφdρdθ dφ
= 2
3
pi∫ pi
0
senφdφ
= 4
3
pi.
Agora calculemos o fluxo de F⃗ através da superfície de bordo ∂B. Para parametrizá-
la, é suficiente considerar ρ = 1 nas coordenadas esféricas,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
σ(θ, φ) = (senφcosθ, senφsenθ, cosφ)
K = [0,2pi] × [0, pi] .
O campo de vetores ortonormal obtido por esta parametrização é
σθ × σφ = det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
e1 −senφsenθ cosφ cos θ
e2 senφcos θ cosφsenθ
e3 0 −senφ
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= (−sen2φcos θ,−sen2φsenθ,−senφcosφ).
O campo de vetores σθ × σφ aponta para o interior do sólido (teste em θ = 0 e φ = pi2 ),
portanto η⃗(u, v) = (sen2φcos θ, sen2φsenθ, senφcosφ).
s sq jx
Ÿ5.1 Teorema de Gauss 55
Avaliando ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
F⃗ (σ(u, v)) = (1, senφ cosφsenθ, cosφ)
η⃗(u, v) = (sen2φcos θ, sen2φsenθ, senφcosφ)
⟨F⃗ , η⃗⟩ = sen2φcos θ + sen3φcosφsen2 θ + cos2φsenφ
.
Recordando que
∫ 2pi
0
cos θ dθ = 0 = e ∫ pi
0
sen3φcosφdφ = 0,
a integral de superfície reduz-se a
∬
∂B⟨F⃗ , η⃗⟩ = ∫ pi0 ∫ 2pi0 sen2φ���:0cos θ dθ dφ+ ∫ 2pi
0
∫ pi
0
���
����:
0
sen3φcosφ sen2 θ dφdθ
+ ∫ pi
0
∫ 2pi
0
cos2φsenφdθ dφ
= 2pi∫ pi
0
cos2φsenφdφ
= 2pi ( − 1
3
cos3φ]pi
0
)
= 4
3
pi.
Fica verificado o Teorema de Gauss. ◻
Exemplo 5.2. O Teorema de Gauss
2
pode ser utilizado para calcular o fluxo de um
campo de vetores através de uma superfície com bordo quando tais cálculos são enfa-
donhos. Vejamos um exemplo.
Calculemos o fluxo do campo de vetores F⃗
através da superfície S com vetor η⃗ apon-
tando para fora da superfície, onde
F⃗ (x, y, z) = (x − z4, yx, z)
e S ∶ { x2 + y2 = 1
0 ≤ z ≤ 1 .
h
2
Em alguns textos, denominado Teorema do divergente.
56 Teorema de Gauss Cap. 5
Observe que S é um cilindro sem as tampas
inferior e superior.
O campo de vetores η⃗ induz de modo natu-
ral um percurso no bordo. Mecanicamente
falando, se nos posicionarmos como o campo
de vetores η⃗, o percurso deixa a superfície S
do lado esquerdo.
h
Não podemos aplicar o Teorema de Gauss,
pois S não borda um sólido. Mas se conside-
rarmos a superfície obtida pela união de S, S1
(tampa superior) e S2 (tampa inferior), tere-
mos um sólido B com bordo ∂B = S ∪S1∪S2.
O campo de vetores η⃗ apontando para fora
do cilindro nas duas superfícies (tampas) in-
duz nos seus bordos o percurso inverso, basta
examinar quais os percursos que deixam a su-
perfícies S1 e S2 do lado esquerdo.
h
h
h
S
S
S
1
2
Agora, pelo Teorema de Gauss temos
∭B divF⃗ (x, y, z)dV = ∬∂B⟨F⃗ , η⃗⟩dS= ∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS +∬S1⟨F⃗ , η⃗⟩dS +∬S2⟨F⃗ , η⃗⟩dS.
Portanto, o fluxo que desejamos calcular é
∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS = ∭B divF⃗ (x, y, z)dV −∬S1⟨F⃗ , η⃗⟩dS −∬S2⟨F⃗ , η⃗⟩dS.
Utilaremos as seguintes parametrizações para as integrais no membro esquerdo da
última igualdade.
B ∶ { Ψ(r, θ, z) = (r cos θ, r senθ, z)C ∶ [0,1] × [0,2pi] × [0,1] .
S1 ∶ { σ(u, v) = (ucos v, u senv,1)K1 ∶ [0,1] × [0,2pi] .
S1 ∶ { σ(u, v) = (ucos v, u senv,0)K2 ∶ [0,1] × [0,2pi] .
Ÿ5.1 Teorema de Gauss 57
∭B divF⃗ (x, y, z)dV = ∭B(2 + x)dV= ∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 2pi
0
(2 + r����:0senθ)r dθ dz dr
= ∫ 1
0
∫ 1
0
4pir dz dr= 1.
O fluxo pela tampa superior S1 deve ser calculado utilizando η⃗ = σu × σv = (0,0, u).
De fato, estes campo de vetores aponta para fora do sólido B.
∬S1⟨F⃗ (σ(u, v)), η⃗⟩dS = ∬K1 ududv= ∫ 2pi
0
∫ 1
0
ududv= 2pi.
O campo de vetores η⃗ para o cálculo do fluxo pela tampa inferior S2 deve ser adaptado,
pois σu × σv = (0,0, u) aponta para o interior do sólido B. Logo, devemos tomar
η⃗ = (0,0,−u) no cálculo a seguir.
∬S2⟨F⃗ (σ(u, v)), η⃗⟩dS = ∬K1 0dudv= 0.
Portanto, ∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS = pi.
Apenas para simples verificação, calculemos diretamente o fluxo solicitado,
∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS.
Parametrizemos a superfície S,
S ∶ { σ(u, v) = (cosu, senu, v)K ∶ [0,2pi] × [0,1] .
Calculemos σu × σv = (cosu, senu,0). Este campo de vetores aponta para fora do
cilindro. Logo, podemos considerar η⃗ = (cosu, senu, 0). Sendo assim,
∬S⟨F⃗ , η⃗⟩dS = ∫ 10 ∫ 2pi0 (cos 2u − v4����:0cosu +�������:0sen2ucosu) dudv= ∫ 2pi
0
cos2udu
= ∫ 2pi
0
1 +����: 0cos2u
2
du= pi.
Isto termina a verificação. ◻
58 Teorema de Gauss Cap. 5
Exercício 5.1. Calcule o fluxo ∬
∂B⟨F⃗ , η⃗⟩dS
onde η⃗ aponta para o exterior do sólido B.
1. { F⃗ (x, y, z) = (xy, yz, z2)B ∶ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 4 .
Resp.
38
3 .
2. { F⃗ (x, y, z) = (−2xy, y2,3z)B ∶ x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ x + y .
Resp. 2pi.
3. { F⃗ (x, y, z) = (x, y, z2)B ∶ x2 + y2 + z2 ≤ 1 .
Resp.
8
3pi.
4. { F⃗ (x, y, z) = (3xy,−32y2, z)B ∶ x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ z ≤ 5 − x2 − y2 .
Resp. 4pi.
5. { F⃗ (x, y, z) = (x3, y3, z3)B ∶ [0,1 × [0,1] × [0,1] .

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