lista 11 stokes
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o retângulo
compacto K = [0,1] × [1,2]. Um cálculo simples nos dá rot F\u20d7 (x, y) = y3. Calculemos
\u222cK rot F\u20d7 (x, y)dxdy = \u222b 10 \u222b 21 y3dydx= \u222b 1
0
15
4
dx= 4.
Vejamos o resultado da integral do segundo membro da identidade de Green.
\u222b
\u2202K F\u20d7 (x, y)dl.
(0,1) (1,1)
(1,2)(0,2)
K
Observe que a parametrização do bordo \u2202K deve ter um percurso de modo que a
região considerada permaneça à esquerda. Recordamos uma propriedade que facilita
(e muito) os cálculos envolvidos: não importa qual a parametrização que consideramos
para cada lado do retângulo, o importante é que o ponto inicial e \ufb01nal sejam os mesmos.
Vejamos então parametrizações simples.
\ufffd Parametrização do lado determinado pelos vértices (0,1) e (1,1):
\u3b1(t) = (t,1), onde 0 \u2264 t \u2264 1.
\ufffd Parametrização do lado determinado pelos vértices (1,1) e (1,2):
\u3b2(t) = (1, t + 1), onde 0 \u2264 t \u2264 1.
Ÿ3.1 Visão geral I 27
\ufffd Parametrização do lado determinado pelos vértices (1,2) e (0,2):
\u3b4(t) = (1 \u2212 t,2), onde 0 \u2264 t \u2264 1.
\ufffd Parametrização do lado determinado pelos vértices (0,2) e (0,1):
\u3b3(t) = (0,2 \u2212 t), onde 0 \u2264 t \u2264 1.
Calculemos.
\u222b
\u2202K F\u20d7 (x, y)dl = \u222b\u2202\u3b1\u27e8F\u20d7 (\u3b1(t)), \u3b1\u2032(t)\u27e9dt + \u222b\u2202\u3b2\u27e8F\u20d7 (\u3b2(t)), \u3b2\u2032\u2032(t)\u27e9dt+\u222b
\u2202\u3b4
\u27e8F\u20d7 (\u3b4(t)), \u3b4\u2032\u2032(t)\u27e9dt + \u222b
\u2202\u3b3
\u27e8F\u20d7 (\u3b3(t)), \u3b3\u2032(t)\u27e9dt
\u222b 1
0
t2dt + \u222b 1
0
(t + 1)3dt + \u222b 1
0
\u2212(1 \u2212 t)2dt
= 1
3
+ 4 \u2212 1
4
\u2212 1
3= 15
4
.
\u25fb
Exercício 3.1. Exercício do Livro t,exto Guidorizzi vol. 3, p. 195.
\u2720 Sejam F\u20d7 (x, y) = (0, x) e K um compacto como no Teorema de Green. Mostre
que
área(K) = \u222b
\u2202K
F\u20d7 (x, y)dl
\u2720 Calcule a área da região limitada pela curva x = 1\u2212 sen t, y = 1\u2212 cos t, 0 \u2264 t \u2264 2pi,
e o eixo ox.
\u2720 Sabendo-se que uma região compacta K tem área 3, calcule
\u222b
\u2202K F\u20d7 (x, y)dl,
onde F\u20d7 (x, y) = (2x + y,3x \u2212 y).
\u2720 Calcule \u222b
\u2202K F\u20d7 (x, y)dl,
onde K = [\u22121,1] × [0,1] e F\u20d7 (x, y) = (4x3y3, 3x4y2 + 5x).
28 Uma integral para cada espaço Cap. 3
P
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r
a
d
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x
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F(\u2126,
R
)
\u2207 Ð\u2192
V(\u2126,
R
)
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t Ð\u2192
V(\u2126,
R
)
d
iv Ð\u2192
F(\u2126,
R
)
\u2195
\u2195
\u2195
\u2195
f
(x,y,
z)] {p
1
,p
2
}
\u222b \u3b1F\u20d7(
x
,y
,z
)dl
\u222c S\u27e8F\u20d7
(x,y,
z),\u3b7\u27e9
d
S
\u222d Bf
(x,y,
z)dV
\u2196 TC
C
\u2197
\u2196 St
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k
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\u2197
\u2196 Ga
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Ÿ3.2 Um pouco de Álgebra Linear 29
3.2 Um pouco de Álgebra Linear
Justi\ufb01caremos algumas de\ufb01nições que serão colocadas adiante utilizando conheci-
mentos de Álgebra linear. Considere a transformação linear
T \u2236 R2 \u2192 R3, T (x, y) = (x + 2y, y,2x + y).
Pergunta Qual a área da imagem do quadrado [0,1] × [0,1]?
(1,0)
(0,1)
(0,0)
(1,1)
T(0,0)
T(1,0)
T(0,1)
T(1,1)
T
Não podemos utilizar o mesmo algoritmo para transformaç\ufffdes lineares do R2 para o
R2. Vejamos. Como T (e1) = (1,0,2) e T (e2) = (1,1,1), a matriz de T na base canônica
\ufb01ca sendo
[T ] = [T (e1) T (e2)] = \u23a1\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
1 1
0 1
2 1
\u23a4\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6 .
Como [T ] não é quadrada, é uma matriz 3 × 2, não podemos calcular determinantes.
Um algoritmo para calcular a área será computar o produto vetorial
\u3b7\u20d7 = T (e1) × T (e2).
Como sabemos, além deste vetor ser ortogonal à T (e1) e T (e2), sua norma é a área
do retângulo imagem do quadrado indicado. Sabendo-se dos valores T (e1) = (1,0,2) e
T (e2) = (1,1,1), então
\u3b7\u20d7 = T (e1) × T (e2) = det\u23a1\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
e1 1 1
e2 0 1
e3 2 1
\u23a4\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6 = (\u22122,1,1).
Como \u2223\u2223\u3b7\u20d7\u2223\u2223 = \u221a6 e o quadrado original [0,1]× [0,1] tem área 1, sua imagem por T é um
paralelogramo de área
\u221a
6.
Mais ainda. Considere o retângulo compacto K = [a, b] × [c, d]. Sua área é A1 =(b\u2212a) \u22c5(d\u2212c). A imagem T (K) é um paralelogramo com área A2 = \u221a6A1. Este número\u221a
6, é o fator que relaciona a área da \ufb01gura original com a área da imagem.
30 Uma integral para cada espaço Cap. 3
Geralmente. A transformação linear T transforma o plano R2 num plano (super-
fície) do R3 (que é um subespaço de dimensão 2). Uma região compacta K do R2 é
transformada numa região compacta do plano imagem de T . Se A1, é a área desta
região em R2, sua imagem tem área A2 e a relação da áreas é A2 = \u221a6A1.
T
A
A
1
2
Uma transformação linear T \u2236 R2 \u2192 R3 transforma o R2 (um espaço de dimensão
2) num plano (subespaço) do R3 de dimensão 2 desde que \u3b7\u20d7 = T (e1) × T (e2) não seja
o vetor nulo.
3.3 Integral de superfície
Passemos à de\ufb01nição de superfície parametrizada e de superfície.
Seja \u2126 um subconjunto do R2.
Uma aplicação \u3c3 \u2236 \u2126 \u2192 R3 será chamada superfície parametrizada. Para evitar
ambiguidades, a partir deste momentos os pares ordenados de R2 serão indicados por(u, v) e os ternos ordenados de R3 por (x, y, z)
O lugar geométrico S\u3c3 constituído pelos pontos da imagem de \u3c3 será denominado
superfície: S\u3c3 = {\u3c3(u, v) \u2208 R3; (u, v) \u2208 \u2126}.
s
u
v
x
y
z
superfície
parametrizada
superfície
Observe que a superfície S\u3c3 em R3, em geral não é um plano, mas, \ufb01sicamente falando,
a dimensão de uma superfície é igual a 2, ela tem \ufffdlargura\ufffd e \ufffdcomprimento\ufffd, mas não
\ufffdespessura\ufffd.
Ÿ3.3 Integral de superfície 31
Exemplo 3.4. Examinemos alguns exemplos.
1. Considere a superfície parametrizada
\u3c3 \u2236 R2 \u2192 R3, \u3c3(u, v) = (u, v, u2 + v2).
Neste caso, podemos facilmente identi\ufb01car a superfície S\u3c3, é o parabolóide z =
x2 + y2. Vejamos. Como x = u, y = v e z = u2 + v2, segue que z = x2 + y2.
2. Considere o grá\ufb01co de f \u2236 R2 \u2192 R, f(x, y) = x2 \u2212 y2. Como sabemos, seu grá\ufb01co
é um subconjunto do R3 que chamamos sela.
Esta sela é uma superfície S\u3c3, pois ela é a imagem da superfície parametrizada
\u3c3 \u2236 R2 \u2192 R3, \u3c3(u, v) = (u, v, u2 \u2212 y2).
3. Em geral, se g \u2236 \u2126 \u2192 R, onde \u2126 é um subconjunto do R2, o grá\ufb01co de g(x, y) é
um superfície S\u3c3, pois basta considerar
\u3c3 \u2236 \u2126\u2192 R3, \u3c3(u, v) = (u, v, g(u, v)).
Esta técnica para construir \u3c3 é usual. No exemplo do item 1., a superfície S\u3c3 é
o grá\ufb01co da função f \u2236 R2 \u2192 R, f(x, y) = x2 + y2.
4. A esfera S2 = {(x, y, z) \u2208 R3; x2 + y2 + z2 = 1} é também uma superfície S\u3c3, é
su\ufb01ciente considerar a parametrização esférica (aqui, \u3b8 = u e \u3c6 = v):
\u3c3 \u2236 R2 \u2192 R3, \u3c3(u, v) = (cosusenv, senusenv, cos v).
Neste caso, a superfície parametrizada \u3c3 \ufffdrecobre\ufffd a esfera um número in\ufb01nito de
vezes.