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integral de linha e integral de superfície.
O Teorema de Stokes estabelece que
1
1
George Gabriel Stokes (\u22c6 Condando de Sligo, 13/08/1819 \u2212 „ Cambridge, 1/02/1903) matemático
e físico irland\ufffdes que se distinguiu pelas suas contribuições na dinâmica de \ufb02uidos, na Óptica e Física
Matemática.
46 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
\u222cS\u3c3\u27e8rotF\u20d7 , \u3b7\u27e9dS = \u222b\u2202S\u3c3 F\u20d7 (x, y, z)dl.
No membro esquerdo da igualdade está sendo calculado o \ufb02uxo do rotacional do campo
de vetores, rot F\u20d7 , através da superfície compacta com ou sem bordo S\u3c3. No membro
direito temos a integral de linha no bordo da superfície com a parametrização induzida
por \u3c3
Cuidados mínimos devem ser tomado quando da sua aplicação.
1. O domínio K da superfície parametrizada \u3c3 \u2236 K \u2192 R3 é um compacto de Green.
2. Todos os cálculos são feitos utilizando a superfície parametrizada \u3c3.
Exemplo 4.6. Um exemplo para ilustrar o Teorema de Stokes. Sejam\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
F\u20d7 (x, y, z) = (y,0, x + y)
\u3c3(u, v) = (u, v,2 \u2212 u2 \u2212 v2)K \u2236 u2 + v2 \u2264 1 .
s( )u,v
u
v
K
1
2z
y
x
h
Ss
Observe que a superfície S\u3c3 é um segmento de parabolóide, pois\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
x = u
y = v
z = 2 \u2212 u2 \u2212 v2 .
Portanto, \u3c3(u, v) pertence ao parabolóide z = 2 \u2212 x2 \u2212 y2 e z \u2265 1.
\u25cf Calculando o rotacional de F\u20d7 , obtemos rotF\u20d7 (x, y, z) = (1,\u22121,\u22121).
\u25cf Calculando o campo de vetores \u3b7\u20d7 ortogonal à S\u3c3 temos
\u3b7\u20d7 = \u3c3u × \u3c3v = (2u,2v,1)
Ÿ4.4 Teorema de Stokes 47
Com estes dois dados, podemos calcular o \ufb02uxo de F\u20d7 através de S\u3c3.
fluxo (rotF\u20d7 ,S\u3c3) = \u222cS\u3c3\u27e8rot F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS
= \u222cK\u27e8rotF\u20d7 (\u3c3(u, v)), \u3b7\u20d7(\u3c3(u, v))\u27e9dudv
= \u222cK\u27e8(1,\u22121,\u22121), (2u,2v,1)\u27e9dS
= \u222cK(2u \u2212 2v \u2212 1)dudv.
Feito estes cálculos, devemos resolver a última integral. Para isto utilizaremos mudança
de coordenadas polares.
fluxo(rotF\u20d7 ,S\u3c3) = \u222b 2pi
0
\u222b 1
0
(2r2cos \u3b8 \u2212 2r2sen\u3b8 \u2212 r)dr d\u3b8 = \u2212pi.
Examinemos o outro membro da relação de Stokes.
Para calculemos a integral de linha de F\u20d7 sobre o bordo \u2202S\u3c3, precisaremos duma
parametrização deste bordo. Para isto, é su\ufb01ciente considerarmos uma parametrização
para \u2202K, que pode ser \u3b1(t) = (cos t, sen, t), 0 \u2264 t \u2264 2pi, pois o percurso deixa a região
limitada pelo bordo \u2202K do lado esquerdo e avaliar \u3b2(t) = \u3c3(\u3b1(t) = (cos t, sen t,1) com
0 \u2264 t \u2264 2pi.
\u222b
\u2202S\u3c3 F\u20d7 (x, y, z)dl = \u222b\u3b2\u27e8F\u20d7 (\u3b2(t)), \u3b2\u2032(t)\u27e9dt
= \u222b 2pi
0
\u27e8F\u20d7 (cos t, sen t,1), (\u2212sen t, cos t,0)\u27e9dt
= \u222b 2pi
0
\u27e8(sen t,0, cos t + sen t), (\u2212sen t, cos t,0)\u27e9dt
= \u222b 2pi
0
\u2212sen2t dt
= \u222b 2pi
0
\u22121 \u2212 cos2t
2
dt
= \u2212 t
2
]2pi
0
+ sen2t
4
]2pi
0= \u2212pi
Voltemos ao exemplo anterior.
48 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
Exemplo 4.7. Sejam
\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
F\u20d7 (x, y, z) = (y,0, x + y)
\u3c3(u, v) = (u, v,2 \u2212 u2 \u2212 v2)K \u2236 u2 + v2 \u2264 1 .
No Exemplo 4.6, p. 46, calculamos
fluxo (rotF\u20d7 ,S\u3c3) =\u222cS\u3c3\u27e8rot F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS = \u2212pi = \u222b\u2202S\u3c3 F\u20d7 (x, y, z)dl.
Podemos simpli\ufb01car o cálculo do \ufb02uxo, considerando uma outra superfície S\u3c4 cujo
bordo seja o mesmo bordo do segmento de parabolóide e com mesma orientação. Uma
superfície com estas condições é o disco
S\u3c4 { 1 = x2 + y2
z = 1 .
onde \u3c4 \u2236 K \u2192 R3, \u3c4(u, v) = (u, v,1).
s( )u,v
u
v
K
1
2z
y
x
h
S
s
t
u
v
K´
t(
)
u,v
S
Sendo assim, valem as igualdades
\u222cS\u3c3\u27e8rot F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS = \u222b\u2202S\u3c3 F\u20d7 (x, y, z)dl = \u222b\u2202S\u3c4 F\u20d7 (x, y, z)dl =\u222cS\u3c4 \u27e8rot F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS
Veri\ufb01quemos a última igualdade. Observe que o vetor ortogonal \u3b7 à superfície S\u3c4 é
calculado por
\u3b7(u, v) = \u3c4u × \u3c4v = (0,0,1).
Ÿ4.4 Teorema de Stokes 49
Vejamos o cálculo.
\u222cS\u3c4 \u27e8rot F\u20d7 , \u3b7\u20d7\u27e9dS = \u222cK\u27e8rot F\u20d7 (\u3c4(u, v)), \u3b7(u, v)\u27e9dudv= \u222cK\u27e8(1,\u22121,\u22121), (0,0,1)\u27e9dudv= \u2212\u222cK dudv= \u2212área(K)= \u2212pi.
Exercício 4.3. Exercícios do livro texto, Guidorizzi, v. 3, p. 261.
1. Utilize o Teorema de Stokes para transformar a integral
\u222cS\u3c3\u27e8F\u20d7 (x, y, z), \u3b7\u20d7\u27e9dS
numa integral de linha e faça o cálculo.
(a) F\u20d7 (x, y, z) = (0,0, y) e \u3b7\u20d7 é o vetor ortogonal a S\u3c3 apontando para cima.
S\u3c3 \u2236 { \u3c3(u, v) = (u, v, u2 + v2)K \u2236 u2 + v2 \u2264 1 .
Resp 0.
(b) F\u20d7 (x, y, z) = (y,\u2212x2,5) e \u3b7\u20d7 é o vetor ortogonal a S\u3c3 apontando para cima.
S\u3c3 \u2236 { \u3c3(u, v) = (u, v,1 \u2212 u2)K \u2236 u \u2265 0, v \u2265 0 e u + v \u2264 1 .
Resp \u221256 .
(c) F\u20d7 (x, y, z) = (y, x2, z) e \u3b7\u20d7 é o vetor ortogonal a S\u3c3 apontando para baixo.
S\u3c3 \u2236 { \u3c3(u, v) = (u, v,2u + v + 1)K \u2236 u \u2265 0, v \u2265 0 e u + v \u2264 2 .
Resp 0.
(d) F\u20d7 (x, y, z) = (y, x2, z) e \u3b7\u20d7 é o vetor ortogonal a S\u3c3 com a segunda coordenada
maior ou igual a zero.
S \u2236 { x2 + y2 = 1
0 \u2264 z \u2264 0 .
Resp 0.
50 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
(e) F\u20d7 (x, y, z) = (0, x,0) e \u3b7\u20d7 é o vetor ortogonal a S\u3c3 com a primeira coordenada
maior que zero.
S \u2236
\u23a7\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23aa\u23a9
x2 + y2 = 1
0 \u2264 z \u2264 0
0 \u2264 x
0 \u2264 y .
Resp 0.
(f) F\u20d7 (x, y, z) = (y,0,0) e \u3b7\u20d7 é o vetor ortogonal a S\u3c3 com a terceira coordenada
maior que zero. S \u2236 { z = x2 + y2
z \u2264 1 .
Resp \u2212pi.
(g) F\u20d7 (x, y, z) = (y,0,0) e \u3b7\u20d7 é o vetor ortogonal a S\u3c3 apontando para cima.
S \u2236 { x2 + y2 + z2 \u2264 2
x2 + y2 \u2264 z .
Resp \u2212pi.
2. Considere o campo de vetores F\u20d7 \u2236 R3 \u2192 R3, F\u20d7 (x, y, z) = (x3z, zy5 \u2212 x, zy4 \u2212 x2y5)
e a superfície com bordo (semi-esfera)
S \u2236 { x2 + y2 + z2 = 1
0 \u2264 z .
h
z
Se \u3b7\u20d7 é o campo de vetores ortogonal à superfície (aponta para fora da esfera)
mostre que
fluxo(rotF\u20d7 ,S) = \u2212pi
3. Calcule a integral de linha de F\u20d7 \u2236 R3 \u2192 R3, F\u20d7 (x, y, z) = (x3z, zy5 \u2212 x, zy4 \u2212 x2y5),
onde \u3b1(t) = (3cos t, sen t,0), 0 \u2264 t \u2264 2pi.
Ÿ4.4 Teorema de Stokes 51
4. Calcule a diferença de \ufb02uxo
fluxo(rotF\u20d7 ,S2) \u2212 fluxo(rotF\u20d7 ,S1),
onde F\u20d7 (x, y, z) = (x3z, zy5 \u2212 x, zy4 \u2212 x2y5) e
S2 \u2236 { x2 + y2 + z2 = 4
0 \u2264 z e S1 \u2236 { x2 + y2 + z2 = 10 \u2264 z .
Os campos de vetores normal às superfícies apontam para fora das esferas.
5. A superfície com bordo \u2202S esboçada nas \ufb01guras é um toro (tipo câmara de ar)
no qual um pequeno disco foi retirado. Em cada \ufb01gura está indicado o campo de
vetores \u3b7\u20d7 normal à superfície (em duas \ufb01guras o campo de vetores normal aponta
para \ufffdfora\ufffd do toro e nas outras duas para \ufffddentro\ufffd do toro). Está indicado
também o percurso do bordo \u2202S no qual se fez a integral de linha de um campo
de vetores F\u20d7 (x, y, z) onde obteve-se, na primeira \ufb01gura o valor
\u222b
\u2202S F\u20d7 dl = 3.
Para cada uma das outras \ufb01guras calcule
\u222cS\u27e8rotF\u20d7 (x, y, z), \u3b7\u20d7\u27e9dS.
S
h
bordo
S
h
bordo
S h
bordo
S h
bordo
6. Mostre que o campo de vetores F\u20d7 \u2236 R3 \u2192 R3, F\u20d7 (x, y, z) = (yz, xz, xy) é um campo
conservativo.
7. Seja F\u20d7 (x, y, z) = (xz2, z4, y) e
S1 \u2236 { x2 + y2 + z2 = 4\u221a
2 \u2264 z \u2264 \u221a3 .
Calcule fluxo(rotF\u20d7 ,S) considerando o campo de vetores ortogonal à S apon-
tando para cima.
Resp 0.
52 Teoremas dos campos conservativos e Teorema de Stokes Cap. 4
8. Seja F\u20d7 (x, y, z) = (xz2, z4, y) e
S1 \u2236 { x2 + y2 = 4
0 \u2264 z \u2264 4 .
Calcule fluxo(rotF\u20d7 ,S) considerando o campo de vetores ortogonal à S apon-
tando para dentro do cilindro.
9. \ufffdOriente\ufffd o bordo do trifóide de modo compatível com o Teorema de Stokes,
sabendo-se que o campo de vetores ortogonal a S, aponta para fora do trifóide.
h
S
5
Teorema de Gauss
5.1 Teorema de Gauss
Completaremos o estudo dos teoremas fundamentais do Cálculo, apresentando o
Teorema de Gauss
1
que envolve o divergente div,
V (\u2126,R3) divÐ\u2192 F (\u2126,R3),
e as integrais relacionadas a cada espaço, quais sejam, integral de superfície e de volume,
\u222dB divF\u20d7 (x, y, z)dV =\u222c\u2202B\u27e8F\u20d7 (x, y, z), \u3b7\u20d7\u27e9dS.
No enunciado, duas hipóteses são exigidas.
1. B é um sólido compacto em R3.
2. O campo de vetores \u3b7\u20d7 é ortogonal ao bordo e aponta para o exterior do sólido.
No membro esquerdo da igualdade temos a integral de volume e no lado direito o \ufb02uxo
do campo de vetores F\u20d7 através da superf\ufffdcie \u2202B, ambas já apresentadas anteriormente.
Exemplo 5.1. Ilustremos o Teorema de Gauss considerando como sólido B a esfera
sólida canônica, B \u2236 x2 + y2 + z2 \u2264 1,
e o campo de vetores F\u20d7 (x, y, z) = (1, yz, z). Temos divF\u20d7 (x, y, z) = x + 1. Para calcular
a integral de volume utilizaremos