Sapatas
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a sapata associada. A NBR 6122 chama \u201cviga de fundação\u201d quando os pilares 
têm os centros alinhados. 
 Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais 
pilares, de pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com 
desenho em planta retangular, trapezoidal, etc. 
 Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada 
pode ter uma viga unindo os pilares (viga de rigidez). Essa é a sapata mais comum no Brasil. 
 
8.1 SAPATA RETANGULAR 
 
 O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e deste 
modo a pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme. 
 A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultar 
flexível ou rígida. 
 Os seguintes casos podem ser considerados: 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 96
C1
C2
P1 P2
B
2
B
2
A
B
N1 N2
C1 C2ap2ap1
l1 l2
x
lcc
R
\u3c1 \u2245 \u3c3solo
q1 N1
ap1
= ____ q2 N2
ap2
= ____
\u3c1 = RA.B.
V
M
 
Figura 109 \u2013 Sapata conjunta. 
 
 
a) N1 \u2260 N2 e largura B previamente fixada 
 
 R = (N1 + N2)1,05 (ou 1,1) 
 
 \u2211 M (N1) = 0 
 
 0xRlN cc2 =\u22c5\u2212\u22c5 
 
 cc
2 l
R
N
x = 
 
 
solo
RBA
\u3c3
=\u22c5 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 97
 As dimensões l1 e l2 podem ser deduzidas e: 
 
 cc
2
solo
1 lR
N
B2
Rl \u2212
\u3c3\u22c5
= 
 
 cc
1
solo
2 lR
N
B2
Rl \u2212
\u3c3\u22c5
= 
 
 2cc1 lllA ++= 
 
 Os esforços solicitantes são determinados de maneira semelhante à viga de equilíbrio das 
sapatas com pilar de divisa, como já mostrado. Se o pilar estiver com a largura na direção da 
dimensão A, pode-se simplificar fazendo-o apenas como um apoio pontual (carga N1 no centro 
de ap1 ao invés da carga q1 em ap1). 
 A sapata econômica será obtida fazendo o momento fletor negativo próximo do momento 
fletor positivo. 
 
b) 21 NN \u2260 e comprimento A previamente fixado 
 
 cc
2 l
R
N
x = ; R = 1,05 (N1 + N2) 
 
 x
2
Al1 \u2212= ; )xl(2
Al cc2 \u2212\u2212= 
 
 Largura da sapata: 
soloA
RB
\u3c3\u22c5
= 
 
c) 2121 NNouNN <\u2245 e comprimento l1fixado 
 
 Este caso geralmente ocorre com pilar de divisa. A sapata pode ser retangular quando N1 
não é muito diferente de N2. O comprimento A da sapata deve se estender pelo menos até as 
faces externas dos pilares. 
 
 cc
2 l
R
N
x = 
 
 Comprimento da sapata: ( )xl2A 1 += 
 
Largura da sapata: 
 
soloA
RB
\u3c3\u22c5
= 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 98
P1 P2
A
B
N1 N2
ap2ap1
x R
\u3c1
l1 lcc l2
b p
1
b p
2
di
vis
a
h
 
 
Figura 110 \u2013 Sapata conjunta com pilar de divisa. 
 
 
 No caso de cargas dos pilares iguais ou muito próximas, e pilares não de divisa, o 
dimensionamento econômico é conseguido com os balanços sendo A/5. 
 
A
5
3
5 A A 5
P1 P2
A
B
 
Figura 111 \u2013 Balanço econômico para a sapata conjunta. 
 
 
8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO 
 
 Punção: nas sapatas flexíveis a punção deve ser obrigatoriamente verificada. Nas sapatas 
rígidas deve ser verificada a tensão de compressão diagonal, na superfície crítica c. 
 Força Cortante: as forças cortantes determinadas segundo a direção longitudinal devem 
ser verificadas como laje se B \u2265 5d, e como viga se B < 5d. Estribos com 2, 4, 6, etc. ramos 
podem ser usados. 
 Momentos Fletores - Armaduras de Flexão: na direção longitudinal a armadura de 
flexão deve ser dimensionada conforme os momentos fletores, e posicionadas de acordo com o 
sinal do momento. Na direção transversal pode-se determinar uma viga sob cada pilar, com 
largura d/2 além das faces do pilar. 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 99
P1
P2
B b p
1
b p
2
h
ap1
d
2
d
2ap2
d
2f
AI AIII
I II III IV
d
A
a + 0,5d + fap1 a + dap1
 
 
Figura 112 \u2013 Armaduras de flexão diferentes para as regiões I a IV. 
 
 
obs.: f = distância da face do pilar P1 à divisa. 
 
 Nas regiões II e IV deve ser colocada a armadura mínima de viga, por metro: 
 
 AsII = AsIV = \u3c1mín · h (cm2/m) 
 
 
 Região I: 
 
 
B
Nq 11 = 
 
2
 
2
b-B
qM
2
p1
11
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
= 
 
 
yd
1f
s f0,85d
MA
\u22c5
\u3b3
= ; 
 
 As, mín. = \u3c1 mín·(f + ap1 + 0,5d)h ; 0,5d)h a(f
A
p1
s
++
=\u3c1 
 \u3c1 \u2265 \u3c1mín 
 
 Região III: os cálculos são semelhantes à região I, mas com a carga N2, a largura ap2 + d e 
vão B - bp2 . As armaduras das regiões I e III devem ser colocadas nas larguras (f + ap1 + 0,5d) e 
(ap2 + d), respectivamente. 
 
 
 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 100
8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL 
 
 Quando a carga de um pilar é muito maior que a do outro pilar, utiliza-se a sapata com 
forma de trapézio (Figura 113). 
 
P1
ap1C
P2
B 1 B 2
N1 N2
A
lcc
x R
 = . \u3c1\u3c12 B2
 = . \u3c1\u3c11 B1
 
 
Figura 113 \u2013 Sapata conjunta com planta em trapézio. 
 
 
As dimensões A e c são adotadas, e: 
 
 R=(N1 + N2)1,1 (ou 1,05) 
 
 
solo
sap
RS
\u3c3
= 
 
 A
2
BBS 21sap
+
= 
 
 
( ) 0PM 1 =\u2211 
 
 N2 . lcc \u2013 R . x === 000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R
l.N
x cc2=
 
 
 
 
 Coincidindo o centro de gravidade da sapata (trapézio) com o centro de carga (força R), 
tem-se: 
 \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
+
=++
21
211p
BB
B2B
3
A
c
2
a
x 
 
 Com esta equações e a seguinte, determinam-se os lados B1 e B2 . 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 101
 A
2
BBS 21sap
+
= 
P1
ap1C
P2
B 1 B 2
N1 N2
A
lcc
x R
 = . \u3c1\u3c12 B2
 = . \u3c1\u3c11 B1
 
 
Figura 114 \u2013 Sapata conjunta com planta em trapézio. 
 
 
8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ 
 
 Nas sapatas associadas sob pilares com cargas altas é recomendável associar a sapata com 
uma \u201cviga de rigidez\u201d, que aumenta a segurança da sapata, diminui a possibilidade de punção, 
diminui a deformabilidade da sapata, melhora a uniformidade das tensões no solo, enfim, 
aumenta a rigidez da sapata. 
d
2
0,15bw
d
S 1 S 2
bbw
h
CORTE AA
d vh v As
\u3c1
sapata
V.R.
1m
B
A
A
A
 
Figura 115 \u2013 Sapata conjunta com viga de rigidez. 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 102
 
BA
NNp 21
\u22c5
+
= 
 
 Os diagramas de momento fletor e força cortante são como aqueles da sapata associada 
sem viga de rigidez. A viga de rigidez deve ter as armaduras dimensionadas para esses esforços, 
determinados segundo a direção longitudinal da sapata. 
 
 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
+
+
\u2265
cm5b
cm5b
b
2p
1p
w (5 cm = valor mínimo) 
 
 dv \u2265 lb,\u3c6pil ; hv \u2265 h 
 
 A sapata é calculada considerando-se faixa de 1 m de largura, segundo a direção de B. 
Como modelo de cálculo pode ser adotado aquele do CEB-70, ou o \u201cMétodo das Bielas\u201d. No 
caso do CEB-70 devem ser consideradas as seções de referência como indicadas na Figura 115 
(S1 e S2). O dimensionamento da sapata à flexão resultará na armadura As . 
 
8.5 EXEMPLO 9 
 
 Projetar uma sapata associada para dois pilares (Figura 116), sendo: N1 = 900 kN, N2 = 
1.560 kN, C20, \u3b3solo = 1.925 kg/m3, carga do piso de 500 kgf/m2, \u3c6l,pil = 12,5 mm, c = 4,0 cm, 
altura de solo entre a base da sapata e o piso de 2,08 m, 5,191solo =\u3c3 KPa. 
30
45
di
vis
a
P1 P2
40
17,5cm 6.10m
 
Figura 116 \u2013 Medidas para a sapata associada do exemplo. 
 
 
Resolução 
 
 Neste exemplo, as cargas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata serão 
consideradas diminuindo a tensão admissível do solo: