Sapatas
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núcleo central de inércia (Figura 46) 
 
 Ocorre quando 
6
A
e < . Tem-se: 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 35
A
B
A
6
B
6
e
N
\u3c3máx
\u3c3mín
Nnúcleo
 
Figura 46 \u2013 Ponto de aplicação da força dentro do 
núcleo central de inércia. 
 
I
yM
BA
N \u22c5±
\u22c5
=\u3c3 
 
)
A
e61(
BA
N
máx +
\u22c5
=\u3c3 
 
)
A
e61(
BA
N
máx \u2212
\u22c5
=\u3c3 
 
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central )
6
A
e( = (Figura 47) 
 
A
A
6
\u3c3máx
N
 
Figura 47 \u2013 Ponto de aplicação da força no 
limite do núcleo central. 
 
BA
N2máx
\u22c5
=\u3c3 
 
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central )
6
A
e( > (Figura 48) 
 
 Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (\u3c3mín < 0). Neste caso, um novo 
diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo 
coincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para: 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 36
A
A
6
\u3c3máx, 1
N
e
B
LN\u3c3mín
 
6
A0
\u3c3máx
LN
3(A/2 - e)
A0
 
Figura 48 \u2013 Ponto de aplicação da força fora 
do núcleo central. 
 
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
=\u3c3
e
2
AB3
N2
máx 
 
 
2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções 
 
A Figura 49 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas 
direções. 
y
xe
B
eA
A
B
N
 
Figura 49 \u2013 Sapata com excentricidade nas duas direções. 
 
 O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da 
sapata, e: 
 
I
xM
I
yM
BA
N AB \u22c5±\u22c5±
\u22c5
=\u3c3 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 37
N
MB
HB
B
N
MA
HA
A
 
Figura 50 \u2013 Forças e momentos fletores atuantes na sapata. 
 
 
 hHMM AAbase'A \u22c5+= , hHMM BBbase'B \u22c5+= 
 
 
N
M
e AA = , N
M
e BB = 
 
a) Quando 
6
1
B
e
A
e BA \u2264+ (Figura 51) 
 
y
xe
B
eA
A
B
N
CG
\u3c3 má
x
\u3c3 mí
n
 
Figura 51 \u2013 Tensões na sapata para 
6
1
B
e
A
e BA \u2264+ . 
 
 \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
++
\u22c5
=\u3c3
B
e6
A
e61
BA
N BA
máx 
 \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u22c5
=\u3c3
B
e6
A
e61
BA
N BA
min 
 (toda seção seta comprimida) 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 38
b) Quando 
6
1
B
e
A
e BA >+ (Figura 52) 
 
y
x
e B
eA
A
B
N
2
1
4
3
\u3c3 má
x
\u3c3 mí
n
\u3b1
seção
comprimida
 
Figura 52 \u2013 Tensões na sapata para
6
1
B
e
A
e BA >+ . 
 
 
BAK
N
1
1máx
\u22c5\u22c5
=\u3c3=\u3c3 
 
 \u3c3mín = \u3c34 = K4 \u3c31 (fictício, não considerado) 
 
 \u3c3mín = \u3c34 < 0 
 
 K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 53. 
 Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é: 
 
( )
\u3b1+
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u3b1+
\u3c3\u2212\u3c3+\u3c3=\u3c3
tg
A
B1
tg
A
B
B
y
A
x
414mín 
 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 39
 
 
Figura 53 \u2013 Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas 
para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973). 
 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 40
Notas: 
- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais 
desfavorável, solomáx 3,1 \u3c3=\u3c3 ; 
- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente 
comprimida, isto é: 
 
 
6
1
B
e
A
e g,Bg,A \u2264+ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 54). 
 
Gs2
Gb2
Gs1
Gb1
 
Figura 54 \u2013 Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. 
 
 
- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo 
menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo: 
 
 
9
1
B
e
A
e
2
B
2
A \u2264\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
2.11 EXEMPLO 3 \u2013 Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor 
(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil, 
UNESP \u2013 Bauru/SP) 
 
 Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e um 
momento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm, 
dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos: 
 
concreto C25, aço CA-50, =\u3c3solo 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar: 10 \u3c6 12,5 mm. 
 
Resolução 
 
1) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor. 
 
 Área do apoio da sapata: 
 
 000.41
022,0
8201,1N1,1S
solo
sap =
\u22c5
=
\u3c3
= cm2 
 
 Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços - c) iguais nas duas direções: 
 
 
( ) ( ) sap2pppp Sab4
1
ab
2
1B +\u2212+\u2212= = ( ) ( ) 5,183410006020
4
16020
2
1 2
=+\u2212+\u2212 cm 
 
adotando um valor múltiplo de 5 cm: B = 185 cm. 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 41
 A \u2013 ap = B \u2013 bp 
 
 A = ap \u2013 bp + B = 60 \u2013 20 + 185 = 225 cm 
 
 Tensões na base da sapata (Figura 55): 
 
 
I
yM
BA
N \u22c5±
\u22c5
=\u3c3 
 
 
2
Ay = ; 
12
ABI
3
\u22c5
= 
 
 9,6
8201,1
6200
N1,1
M
e =
\u22c5
== cm 
 
 5,37
6
225
6
A
== cm 
 
 5,37
6
A9,6e =<= cm \u2192 a força está aplicada dentro do núcleo central de inércia. 
 
 0257,0
225
9,661
185225
8201,1
máx =\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u22c5
+
\u22c5
\u22c5
=\u3c3 kN/cm2 022,0solo =\u3c3> \u2234 não ok! 
 
 Aumentando a seção da base da sapata para: 
 
 A = 240 cm ; B = 200 cm 
 
 Obedecendo: 
 
 pp baBA \u2212=\u2212 \u2192 240 \u2013 200 = 60 \u2013 20 
 
 A tensão máxima passa a ser : \u3c3máx = 0,022 kN/cm2 solo\u3c3= \u2192 ok! 
 
 0156,0)
240
9,661(
200240
8201,1
mín =
\u22c5
\u2212
\u22c5
\u22c5
=\u3c3 kN/cm2 > 0 (como esperado!) 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 42
60
20 18
5
225
N
M
1,1N
A B
M
 M 
 I 
My
0,02200,0156
 
Figura 55 \u2013 Dimensões da sapata e esquema da reação do solo. 
 
 
2) Altura da sapata 
 
 Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70: 
 
 90
2
60240
2
aA
c5,1tg5,0 p =\u2212=
\u2212
=\u2192\u2264\u3b2\u2264 cm 
 
 135h455,1
90
h5,0 \u2264\u2264\u2192\u2264\u2264 cm 
 
 Pelo critério da NBR 6118/03: 
 
 60
3
60240
3
aA
h p \u2265\u2212\u2265
\u2212
\u2265 cm 
 
 É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem 
da armadura longitudinal do pilar (10 \u3c6 12,5 mm): considerando situação de boa aderência, com 
gacho, C25, CA-50 (nervurado): lb = 33 cm. 
 
 Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida) 
 
3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 43
 Verificação: \u22c5\u2264\u2264\u2192\u2264\u2264 2c
2
60h2c
2
h 60 
 
 30 \u2264 c = 90 \u2264 120 cm \u2192 ok! 
 
 Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 56): 
 
a
60
b 20B
20
0c
m
A
240cm
0,022
0,0156
C 
90
C 
90
C 90
C 90
b p
ap
h 60 d 5
5
x
99
xa
0,15 a = 9ap
S1A
P1A
KNcm²
C B
C B
CACA
 
0,022
0,01936
P1A
99
49,5
66 33
49,5
0,
13
1
1,
91
7
 
Figura 56 \u2013 Seção de referência S1A . 
 
 
 Dimensão A: 
 
 
( ) 01936,099
240
0156,0022,0022,0p A1 =
\u2212
\u2212= kN/cm2 (ver Figura 56) 
 
 ( ) 708.2020066132,05,49917,1M A1 =\u22c5+\u22c5= kN.cm 
 
 Dimensão B (considerando a pressão média e diagrama retangular \u2013 ver Figura 57): 
 
 0188,0
2
0156,0022,0pméd =
+
= kN/cm2 
 
 512.19
2
)2015,090(2400188,0
2
xApM
22
B
B1 =
\u22c5+
\u22c5=\u22c5= kN.cm