Sapatas
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Armaduras de flexão: 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 44
26,14
5,435585,0
207084,1AsA =
\u22c5\u22c5
\u22c5
= cm2 
 
13,7100
200
26,14
= cm2/m \u2192 \u3c6 10 mm c/11 cm (7,27 cm2/m) 
43,13
5,435585,0
195124,1AsB =
\u22c5\u22c5
\u22c5
= cm2 
 
60,5100
240
43,13
= cm2/m \u2192 \u3c6 10 mm c/14 cm (5,71 cm2/m) 
 
 Nota-se que: !ok
5
194,0
26,14
43,13
\u2192\u2265= 
 
S 2A
S
2B
p
2A
=
 0
,0203 0,022
0,022
0,0188
(valor médio)
0,0156
0,0156
 
Figura 57 \u2013 Esquema de reações do solo na base da sapata. 
 
 
 Forças cortantes nas seções de referência S2 (Figura 58): 
 
 5,62
2
5560240
2
daA
c
p
A2 =
\u2212\u2212
=
\u2212\u2212
= cm 
 
 5,62
2
5520200
2
dbB
c
p
B2 =
\u2212\u2212
=
\u2212\u2212
= cm 
 
 cm25hadotado
cm20
cm20
3
60
3
h
h 00 =\u2192
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
==
\u2265 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 45
a
60
b 20
B
20
0c
m
A
240cm
0,022 KNcm²
0,0156
d
2 
27,5
b 
 
C 
 
 
62
,
5
b p
ap
h 60 d 5
5
S2A
P2A
d 2 27
,
5
C 2
B
b 2
A
C 
62,5
C2A
S 2
A
S2B
h 25h
0
d 
 
d 2
A
= 0,0203
 
 
Figura 58 \u2013 Seção de referência S2A . 
 
 
 A2
p
0
A2 c5,1
aA
hh1dd \u2264
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212= 
 
cm8,935,625,1c5,1c5,1 B2A2 =\u22c5== 
 
3,44
60240
2560155d A2 =\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212= cm 
 
!okcm8,93cm3,44d A2 \u2192\u2264= 
 
B2
p
0
B2 c5,1bB
hh1dd \u2264
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212= 
 
B2B2 c5,120200
2560155d \u2264\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212= 
 
!okcm8,93cm3,44dd A2B2 \u2192\u2264== 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 46
 Larguras b2A e b2B : 
 
cm755520dbb pA2 =+=+= 
 
cm1155560dab pB2 =+=+= 
 
A2médA cBpV = 4,2645,622002
0203,00220,0
=\u22c5\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb +
= kN 
 
1,3704,2644,1VdA =\u22c5= kN 
 
VB na seção S2B : 
 
B2médB cApV = 0,2825,622402
0156,0022,0
=\u22c5\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb +
= kN 
 
8,3940,2824,1VdB =\u22c5= kN 
 
 Força cortante limite (CEB-70): 
 
ck22
c
,limd fdb
474,0V \u22c5\u3c1\u22c5\u22c5
\u3b3
= 
 
A2
sA
A d100
A
=\u3c1 00164,0
3,44100
27,7
=
\u22c5
= 
 
B2
sB
B d100
A
=\u3c1 00129,0
3,44100
71,5
=
\u22c5
= 
 
9,2272500164,03,4475
4,1
474,0V lim,dA =\u22c5\u22c5\u22c5= kN 
 
kN9,227V1,370V lim,dAdA =>= 
 
kN6,3092500129,03,44115
4,1
474,0V lim,dB =\u22c5\u22c5\u22c5= 
 
kN6,309V1,394V lim,dBdB =>= 
 
 Como as forças cortantes solicitantes são maiores que os valores limites, é necessário 
colocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limites 
sugeridos por Machado (1988) para sapata rígida: 
 
 22
c
ck
lim,d db
f
63,0V
\u3b3
= 
 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 47
kN6,7473,4475
10
25
4,1
63,0V lim,dA =\u22c5\u22c5= 
 
!okkN6,747V1,370V
,limdAdA \u2192=<= 
 
kN3,146.13,44115
10
25
4,1
63,0V lim,dB =\u22c5\u22c5= 
 
!okkN3,146.1V8,394V
,limdBdB \u2192=<= 
 
com esses limites não é necessário colocar armadura transversal. 
 
 Verificação da diagonal comprimida: 
 
 cm160)6020(2uo =+= (Figura 59) 
60
ap
20bp
 
Figura 59 \u2013 Perímetro do pilar \u2013 superfície crítica C. 
 
 
kN148.18204,1NNF fSdSd =\u22c5=\u22c5\u3b3== 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
1305,0
55160
1148
du
F
o
Sd
Sd =
\u22c5
==\u3c4 kN/cm2 = 1,305 MPa 
 
 Tensão de cisalhamento resistente: 
 
43,0
4,1
5,2
250
25127,0f27,0 cdv2,Rd =\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\u3b1=\u3c4 kN/cm2 = 4,3 MPa 
 
MPa3,4MPa305,1 2,RdSd =\u3c4<=\u3c4 
 
 Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas. 
 
Detalhamento (Figura 60) 
 
 As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, pois A \u2245 B. Para a 
armadura de flexão recomenda-se 10 cm \u2264 espaçamento \u2264 20 cm. 
 Comprimento dos ganchos das armaduras de flexão, considerando: \u3c6 10 mm, C25, boa 
aderência, sem gancho: lb = 38 cm. 
 
 Comprimento de ancoragem existente na horizontal e na extremidade da barra (ver Figura 
60): 
 2660490 =\u2212\u2212 cm 
 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 48
 Portanto, o comprimento do gancho na vertical deve ser: 
 
 \u2113gancho = 38 \u2013 26 = 12 cm \u2248 15 cm 
 
 Tem-se também os valores: cnom = 4,0 cm, l\u3c6,pilar = 33 cm. 
 
60
25
N
1 
-
 
17
 
c/
11
N2 - 16 c/14
90
54
\u2265
l 
Ø
 
,
 
pi
la
r
l b
Ø
l
ØlØ , pilar
16 Ø10
17 Ø10
c/ 11
h
60
90 - 4 - 60 = 26cm} }
c h
12
N1 - 17 Ø10 C = 260
15 15230
N
2 
-
 
16
 
Ø
10
 
C 
=
 
22
0
19
0
15
15
 
Figura 60 \u2013 Detalhamento das armaduras de flexão da sapata. 
 
 
2.12 EXEMPLO 4 \u2013 SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA 
(Exemplo de Edja L. Silva, Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP) 
 
 Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando: 
 
 - seção do pilar: 40 x 60 cm ; \u3c6l,pilar = 22 \u3c6 20 mm, sendo parte tracionada; 
 - N = 1.040 kN; 
 - concreto C20; aço CA-50; cnom = 4,5 cm 
 - 500solo =\u3c3 kN/m2; 
 - momentos fletores: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m 
 
Resolução 
 
a) Estimativa das dimensões da sapata 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 49
 
2
solo
sap m288,2500
10401,1N1,1S =\u22c5=
\u3c3
= 
 
 Fazendo abas (balanços) iguais: cA = cB = c: 
 
 
( ) ( ) sap2pppp Sab4
1
ab
2
1B +\u2212+\u2212= 
 
 
( ) ( ) m42,1288,26,04,0
4
16,04,0
2
1B 2 =+\u2212+\u2212= 
 
 adotado B = 1,40 m 
 
m60,1Aadotadom63,1
40,1
288,2
B
S
A sap =\u2192=== 
 
b) Verificação das tensões na base da sapata 
 
 Excentricidades da força vertical (Figura 61): 
 
B
14
0c
m
A
160cm
x
y
60
40
N
N
Mx
N
My
 
Figura 61 \u2013 Dimensões e esforços solicitantes na sapata. 
 
 
 N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m 
 
 cm27m270,0
1040
280
ex === 
 
cm3,18m183,0
1040
190
ey === 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 50
 Cálculo da tensão máxima \u3c31 com auxílio do ábaco (ver Figura 53): 
 
 
13,0
140
3,18
B
e
17,0
160
0,27
A
e
y
y
x
x
===\u3b7
===\u3b7
 \u2192 ábaco (Figura 53) \u2192 \u3bb1 = 0,34, zona C 
 
 6505003,13,1
BA
F
solo
1
V
1 =\u22c5\u2264\u3c3\u2264
\u22c5\u22c5\u3bb
=\u3c3 kN/m2 
 
 502.1
4,16,134,0
10401,1
1 =
\u22c5\u22c5
\u22c5
=\u3c3 kN/m2 >> solo3,1 \u3c3 = 650 kN/m
2
 \u2192 não ok! 
 
 As dimensões da sapata devem ser aumentadas! 
 
 Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB = c = 80 cm): 
 
 12,0
220
0,27
x ==\u3b7 
 
09,0
200
3,18
y ==\u3b7 
 
 Verifica-se que: 
 
)basenatraçãohá(
6
121,0
B
e
A
e
yx
yx >=\u3b7+\u3b7=+ 
 
no ábaco (Figura 53): \u3bb1 = 0,44, \u3b1 = 36°, \u3bb4 = 0,10 e zona C. 
 
 Tensões nos vértices da sapata (Figura 62): 
 
 591
0.2.2,2.44,0
1040.1,1
1 ==\u3c3 kN/m2 < solo3,1 \u3c3 = 650 kN/m
2
 \u2192 ok! 
 
 1,59591.10,014 4 \u2212=\u2212=\u3c3\u3bb\u2212=\u3c3 kN/m2 (fictícia) 
 
 
°+°
°
+\u2212=
\u3b1+\u3b1
\u3b1
\u3c3\u2212\u3c3\u2212\u3c3=\u3c3
36cos36sen
36sen)1,59591(591
sensen
sen)( 4112 
 
 \u3c32 = 317,4 kN/m2 
 
 
°+°
°
+\u2212=
\u3b1+\u3b1
\u3b1
\u3c3\u2212\u3c3\u2212\u3c3=\u3c3
36cos36sen
36sen)1,59591(591
sensen
sen)( 4113 
 
 \u3c33 = 214,5 kN/m2 
UNESP \u2013 Bauru/SP \u2013 Sapatas de Fundação 51
215
591
-59
317
LN
 
Figura 62 \u2013 Tensões nos vértices da sapata. 
 
 
c) Verificação do tombamento da sapata 
 
 111,0
9
1
9
1
B
e
A
e 2
y
2
x
2
y
2
x \u2264\u2264\u3b7+\u3b7\u21d2\u2264\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
!ok111,0023,009,012,0 22 \u2192<=+ 
 
 Deve ainda ser verificada a equação: 
 
6
1
B
e
A
e g,yg,x \u2264+ 
 
d) Determinação da altura (sapata rígida) 
 
 Pelo critério do CEB-70: 
 
cm120h405,1
80
h5,05,1tg5,0 \u2264\u2264\u2192\u2264\u2264\u2192\u2264\u3b2\u2264 
 
 Pela NBR 6118/03: 
 
3,53
3
)60220(
3
)aA(h p \u2265\u2212\u2265\u2212\u2265 cm 
 
 Para