Probabilidade e Estatística   Unid II
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Probabilidade e Estatística Unid II


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ou absoluta de uma classe (fi): valores que representam o número real 
de dados da classe (intervalo ou valor). A soma das frequências absolutas é igual ao número 
total de observações f ni =\u2211( ) .
\u2022	 Frequência relativa (fri): é o valor percentual de uma determinada classe em relação ao número 
total de observações, ou seja, é a razão entre as frequências simples e total. 
fr f f ou fr f
i i i i i
n= \u2211 =( ) ( )( )
Sua finalidade é auxiliar na análise das informações e/ou facilitar comparações. 
Assim, temos as observações:
S N N N N N N S S N
N S S N N N N N S N
S S N N N S N N N N
N S S N N N N N S N
Tabela 4 - Comportamento dos alunos de Estatística do professor X com relação ao fumo
Fumante Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 12 30%
Não 28 70%
Total 40 100%
Pela tabela, é possível observar que 70% dos alunos não fumam.
Tabelas de frequências \u2013 variáveis quantitativas (contínuas/discretas)
Para variáveis quantitativas há dois tipos de tabela de frequências. O primeiro é muito parecido 
com a construção de tabelas de frequência para variáveis qualitativas e se adéqua quando a variável 
aleatória é quantitativa discreta com um pequeno número de valores possíveis. Neste caso, a tabela 
de frequência construída é sem intervalo de classe, pois considera-se que cada valor pode ser tomado 
como intervalo de classe, como, por exemplo, o número de irmãos.
Os resultados na pesquisa para esta variável foram:
1 0 1 2 3 3 4 1 2 3
2 1 0 1 3 4 3 1 0 3
2 1 1 1 2 3 1 4 1 4
2 1 0 1 3 4 3 1 0 3
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O primeiro passo para a construção de uma tabela é a ordenação dos dados, criando-se um Rol 
(tabela obtida com a ordenação dos dados).
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
Novas definições de colunas, com o intuito de facilitar a análise, tornam-se necessárias:
\u2022	 Frequência Absoluta Acumulada (faci) \u2013 a frequência absoluta acumulada de certa classe 
k é a soma de sua frequência absoluta com as frequências absolutas de todas as classes 
anteriores a ela. A última classe da tabela contém como frequência acumulada o número 
total dos dados:
 
fack = + + + =
=
\u2211f f f fk i
i
k
1 2
1
..
\u2022	 Frequência Relativa Acumulada (fraci) \u2013 a frequência relativa acumulada de certa classe 
k é a soma de sua frequência relativa com as frequências relativas de todas as classes 
anteriores a ela. A última classe da tabela contém como frequência acumulada o total em 
porcentagem (100%).
Tabela 5 - Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X.
Classe Nº de irmãos fi faci fri fraci
1 0 5 5 12,5% 12,5%
2 1 14 19 35,0% 47,5%
3 2 6 25 15,0% 62,5%
4 3 10 35 25,0% 87,5%
5 4 5 40 12,5% 100%
 
NOTA: fi - Frequência absoluta da classe i
 faci - Frequência acumulada da classe i
 fri - Frequência relativa da classe i 
 fraci - Frequência relativa acumulada da classe i
A linha 3 da tabela anterior pode ser interpretada da seguinte forma: a terceira classe da tabela é 
constituída pelos alunos com 2 irmãos. Há seis alunos nesta classe que correspondem a 15% do total de 
alunos; 25 alunos possuem, no máximo, 2 irmãos, o que corresponde a 62,5% do total. A tabela ainda 
fornece informações como:
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\u2022	 5 alunos não possuem irmãos;
\u2022	 12,5% dos alunos possuem 4 irmãos;
\u2022	 25 alunos possuem, no máximo, 2 irmãos;
\u2022	 37,5% dos alunos possuem, no mínimo, 3 irmãos.
quando a variável é quantitativa discreta com uma grande variação ou é quantitativa contínua 
é necessário trabalhar com tabela de frequência com intervalos de classe, que é uma tabela um pouco 
mais elaborada em sua construção. Como exemplo, citamos a altura dos alunos, cujos resultados 
obtidos na pesquisa foram:
187 189 156 160 178 165 173 172 187 165
178 165 155 170 168 175 163 172 177 175
167 168 176 170 178 165 163 162 177 185
168 175 165 180 158 165 163 172 167 175
Criando o ROL, obtém-se:
155 156 158 160 162 163 163 163 165 165
165 165 165 165 167 167 168 168 168 170
170 172 172 172 173 175 175 175 175 176
177 177 178 178 178 180 185 187 187 189
O número de linhas que constituirão a tabela (intervalos) e a variação de cada intervalo serão obtidos 
nos cálculos que serão apresentados a seguir.
Passo 1: Determinar a amplitude total (At) do conjunto de dados. 
At = XMÁXIMO - XMÍNIMO
No exemplo, 189 - 155 = 34
Passo 2: Determinar o número de classes (K) desta tabela. 
Seja n o número de dados observados (tamanho da amostra), define-se que:
K = 5 para n \u2264	5 e K = n
Caso contrário, no exemplo, como n = 40 então K = 40 = 6,3 \u2245	6 
Assim, a tabela possuirá seis classes (linhas).
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Passo 3: Determinar a amplitude do intervalo (h), que é a diferença entre o limite superior e inferior 
dentro de uma classe. 
h = At/k
No exemplo h = 34/6 = 5,7 \u2245 6
Passo 4: Calculados o número de classes e a amplitude entre elas, é possível determinar as classes, 
com seus respectivos intervalos:
Classes: 155\u251c\u2500 161
 161\u251c\u2500 167
 167\u251c\u2500 173
 173\u251c\u2500 179
 179\u251c\u2500 185
 185\u251c\u2500 191
Com o agrupamento dos valores das variáveis em classes, é possível simplificar a tabela de frequência 
sem perder informações.
Atenção ao significado dos símbolos que representam os intervalos:
\u251c\u2500 fechado à esquerda (inclui o limite inferior) e aberto à direita (não inclui o limite superior).
\u2500\u2524 aberto à esquerda (não inclui o limite inferior) e fechado à direita (inclui o limite superior).
\u2500 aberto à esquerda e à direita (não inclui os limites).
\u251c\u2500\u2524 fechado à esquerda e à direita (inclui os limites).
Antes da construção da tabela de frequência para variáveis quantitativas, é necessário definir alguns 
elementos que fazem parte da mesma:
1. Limites de classe: são os extremos da classe.
Limite Inferior (l
i) e Limite Superior (Li).
Exemplo: 
161\u251c\u2500167 
li = 161 e Li =167
2. Ponto médio de uma classe (PMi): divide uma classe exatamente na metade. É o valor numérico 
que representa esta classe, quando houver necessidade. 
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PMi = (Li + li ) / 2
Exemplo: 
161\u251c\u2500167 
li= 161 e Li=167 \u21d2 PMi = (167+161) / 2 = 164
3. Os outros elementos, amplitude total (At) e amplitude de uma classe (h), já foram discutidos.
Tabela 6 - Altura dos alunos de Estatística do professor X.
i Classe Pmi fi faci fri % fraci %
1 155\u251c\u2500 161 158 4 4 10,0 10,0
2 161\u251c\u2500 167 164 10 14 25,0 35,0
3 167\u251c\u2500 173 170 10 24 25,0 60,0