Probabilidade e Estatística   Unid II
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Probabilidade e Estatística Unid II


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obtido pelo cálculo da média não existe na série que ela representa, diz-se que a 
média não possui existência concreta.
É o valor utilizado quando há necessidade de uma medida de posição que possui maior estabilidade. 
E pode substituir todos os valores da variável, ou seja, é o valor assumido pela variável caso fosse 
necessário como constante.
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moda: é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. É utilizada quando se 
deseja o valor mais típico da distribuição como medida de posição.
mediana: valor que ocupa a posição central dos dados ordenados, ou seja, divide a série de 
valores ordenados exatamente na metade. É utilizada quando se deseja obter o ponto que divide 
a distribuição em partes iguais ou quando há valores extremos que afetam de uma maneira 
acentuada a média.
 Observação
As tabelas de frequência das variáveis obtidas pelo professor de 
Estatística serão utilizadas na definição das fórmulas para obtenção dos 
valores das medidas de tendência central.
7.1.1.1 Variáveis qualitativas
Tabela 16 - Comportamento dos alunos de Estatística do professor X com relação ao fumo.
Fumante Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 12 30%
Não 28 70%
Total 40 100%
média: não há valores que possam ser somados. Portanto, não existe média para valores qualitativos.
moda: Mo = Não.
mediana: não há valores que possam ser ordenados. Portanto, não existe mediana para valores 
qualitativos.
7.1.1.2 Variáveis quantitativas \u2013 dados não agrupados 
A) 3,4,4,4,5,6,6,7,8,9 n=10 (quantidade de elementos) 
média: x =
+ + + +
= =
3 4 4 9
10
56
10
5 6
...
,
moda: Mo=4
mediana: o cálculo da mediana para dados não agrupados é um pouco mais elaborado e definido 
como a seguir.
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Dada uma série ordenada com n elementos, a mediana será:
Se n ímpar: o valor do termo que estiver na posição 
n +1
2
Se n par: a média aritmética dos valores dos termos que ocuparem as posições 
n
e
n
2 2
1+
No exemplo acima, n=10 (par)
Assim 
n
2
10
2
= = 5ª posição e n
2
+ 1 = 5 + 1 = 6ª posição. 
Portanto, a mediana será a média aritmética dos valores que estão na quinta e na sexta posição.
PoSIção: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
VAloR: 3 4 4 4 5 6 6 7 8 9
mediana: Md = 5 6
2
5 5
+
= ,
B) 2,3,4,4,5,6,6,7,8 n=9
média: x =
+ + + +
= =
2 3 4 8
10
45
9
5
...
moda: Mo = 4,6
mediana: 
No exemplo acima n=9 (ímpar) 
Assim 
n +( )
=
+( )
= =
1
2
9 1
2
10
2
5
Portanto, a mediana será o valor que está na quinta posição dos dados ordenados.
PoSIção: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
VAloR: 2 3 4 4 5 6 6 7 8
mediana: Md = 5
C) 3,4,5,6,7,8,9 n = 7
média: x =
+ + + +
= =
3 4 5 9
10
42
7
6
...
moda: Mo = não existe
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mediana: 
No exemplo acima, n = 7 (ímpar) 
Assim n +( ) = +( ) = =1
2
7 1
2
8
2
4
Portanto, a mediana será o valor que está na quinta posição dos dados ordenados.
PoSIção: 1 2 3 4 5 6 7
VAloR: 3 4 5 6 7 8 9
mediana: Md = 6
7.1.1.3 Variáveis quantitativas \u2013 dados agrupados sem intervalos de classe 
Tabela 17 - Número de irmãos dos alunos de Estatística do Professor X.
Classe Nº de irmãos fi faci xi* fi
1 0 5 5 0
2 1 14 19 14
3 2 6 25 12
4 3 10 35 30
5 4 5 40 20
total 40 76
média
Considerando que a frequência indica a quantidade de cada valor da variável, a média ponderada 
para os dados agrupados em tabelas sem intervalos de classe pode ser calculada usando a seguinte 
fórmula:
x
x f
f
x f
n
i i
i
i i
= =
\u2211
\u2211
\u2211
Uma coluna a mais é inserida na tabela com o intuito de facilitar os cálculos, assim, a média fica: 
x=
76
40
=1,9
Sendo x uma variável discreta (número de irmãos) do valor obtido para média, conclui-se que o 
número de irmãos mais frequente (ou em média, ou em sua maioria) é de aproximadamente 2.
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observação: se o resultado obtido fosse x = 3.2, diríamos: o número de irmãos mais frequente (ou 
em média, ou em sua maioria) é de aproximadamente 3, porém, existe uma leve tendência para 4 irmãos.
moda: os dados já estão agrupados, é só considerar o valor com maior frequência. No exemplo, 
Mo = 1
mediana: pela definição, a mediana divide o conjunto de dados exatamente na metade, sendo 
assim o seu cálculo associado com a frequência acumulada: numa tabela de frequência de dados sem 
intervalos de classe, a mediana é o valor da variável que possui frequência acumulada imediatamente 
superior à metade da soma das frequências.
No exemplo n = 40 e n/2 = 20, a 3ª classe é que possui o valor da frequência acumulada 
imediatamente superior a 20 (n/2). Portanto, a mediana é Md = 2.
7.1.1.4 Variáveis quantitativas \u2013 dados agrupados com intervalos de classe
Tabela 18 - Altura dos alunos de Estatística do professor X.
i classe Pmi fi faci xi* fi
1 155\u251c\u2500161 158 4 4 632
2 161\u251c\u2500167 164 10 14 1640
3 167\u251c\u2500173 170 10 24 1700
4 173\u251c\u2500179 176 11 35,0 1936
5 179\u251c\u2500185 182 1 36 182
6 185\u251c\u2500191 188 4 40 752
TOTAL 40 6842
média 
O raciocínio para o cálculo da média na tabela de frequência com intervalo de classe é o mesmo que 
o da tabela de frequência sem intervalo de classe. O ponto médio (PMi) irá representar o valor da variável 
para o intervalo de classe, assim a expressão para o cálculo da média é:
x
x f
f
PM f
f
i i
i
i i
i
= =
\u2211
\u2211
\u2211
\u2211
* *
Uma coluna a mais é inserida na tabela com o intuito de facilitar os cálculos, assim, a média fica:
 x = =
6842
40
171 05,
Portanto, do valor obtido para a média conclui-se que a altura mais frequente (ou em média, ou em 
sua maioria) dos alunos é de aproximadamente de 171 cm, com uma pequena tendência para 172 cm.
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moda: como será calculada para uma tabela de frequência com intervalo, define-se classe modal 
como sendo aquela que apresenta a maior frequência e moda bruta como o ponto médio da classe 
modal.
Portanto, para o exemplo acima: Classe modal 173\u251c\u2500 179 e moda Bruta 176 cm.
Deve-se deixar claro que há para o cálculo da moda outros métodos mais elaborados, que não serão 
discutidos aqui.