Sequências e séries - Sadao Massago
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Sequências e séries - Sadao Massago


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zk = x4k+2 = (\u22121)4k+2 = 1 na qual lim
k\u2192\u221e
zk = lim
k\u2192\u221e
1 = 1. Como yk e zk
possuem o mesmo limite, podemos dizer que, se xn convergir, o limite será 1. No entanto, a \ufffdunião\ufffd
deles não é exatamente a sequência xn e não podemos a\ufb01rmar se a sequência converge ou não.
De fato, já tínhamos visto que ele diverge (Exercício 2.8 da página 3).
CAPÍTULO 2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 4
Exercício 2.11. Mostre que uma sequência com sinal alternada é convergente se, e somente se o a
sequência dos valores absolutos convergir para zero.
A seguir, alguns teoremas e técnicas para obter limites.
2.3 Sequências de\ufb01nidas pela função contínua
Teorema 2.12. Se xn = f(n) onde f é uma função contínua (para x grande) tal que lim
x\u2192\u221e
f(x)
existe, então lim
n\u2192\u221e
xn = lim
x\u2192\u221e
f(x).
Exemplo 2.13. lim
n\u2192\u221e
en
n2
=
\u221e
\u221e
L\u2032Hopital
= lim
n\u2192\u221e
en
2n
=
\u221e
\u221e
L\u2032Hopital
= lim
n\u2192\u221e
en
2
=
\u221e
2
=\u221e. Note o abuso de
linguagem para considerar n como número real na qual na sequência era números inteiros.
Lembrar que, não ter o limite da função, não signi\ufb01ca que a sequência diverge, como no caso de
xn = sen(npi).
Neste caso, xn = 0 e consequentemente, lim
n\u2192\u221e
xn = 0, mas lim
x\u2192\u221e
sen(xpi) = sen(\u221e) = @.
2.4 Teorema de Sanduíche
Teorema 2.14 (Teorema de Sanduíche). Se an \u2264 bn \u2264 cn e lim
n\u2192\u221e
an = lim
n\u2192\u221e
cn = L então lim
n\u2192\u221e
bn = L.
Demonstração. Apesar da demonstração ser análoga do caso das funções, repetiremos a demons-
tração devido a sua importância. Sendo lim
n\u2192\u221e
an = L, temos que, \u2200\u3b5 > 0, existe Na \u2208 N tal
que, para todo n > Na tem-se L\u2212 \u3b5 \u2264 an \u2264 L+ \u3b5. Analogamente, existe Nc \u2208 N tal que, para
todo n > Nc tem-se L\u2212 \u3b5 \u2264 cn \u2264 L+ \u3b5. Considere N = max{Na, Nc}. Então, para n > N , te-
mos que L\u2212 \u3b5 \u2264 an \u2264 L+ \u3b5. e L\u2212 \u3b5 \u2264 cn \u2264 L+ \u3b5. Logo, L\u2212 \u3b5 < an \u2264 bn \u2264 cn < L+ \u3b5. Assim,
lim
n\u2192\u221e
bn = L.
Exemplo 2.15. xn =
cosn
n
então temos que \u22121 \u2264 cosn \u2264 1 implicando que \u22121
n
\u2264 cosn
n
\u2264 1
n
e
consequentemente, lim
n\u2192\u221e
\u22121
n
\u2264 lim
n\u2192\u221e
cosn
n
\u2264 lim
n\u2192\u221e
1
n
. Assim,
\u22121
\u221e = 0 \u2264 limn\u2192\u221e
cosn
n
\u2264 1\u221e = 0. Logo,
lim
n\u2192\u221e
cosn
n
= 0.
Uma das consequências importantes do Teorema de Sanduíche é
Corolário 2.16. lim
n\u2192\u221e
xn = 0 se, e somente se, lim
n\u2192\u221e
|xn| = 0.
cuja demonstração é deixado como exercício.
Exemplo 2.17. xn =
(\u22121)n
n
então lim
n\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223(\u22121)nn
\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e 1n = 1\u221e = 0+. Logo, limn\u2192\u221e (\u22121)nn = 0.
Outro exemplo do uso do Teorema de Sanduíche.
Exemplo 2.18. Vamos mostrar que lim
n\u2192\u221e
n!
nn
= 0. Observe que n!
nn
= n(n\u22121)(n\u22122)···2×1
nn
\u2264
(n\u22121) vezes\ufe37 \ufe38\ufe38 \ufe37
n× n · · ·n
nn
=
nn\u22121
nn
= 1
n
. Logo, 0 \u2264 n!
nn
\u2264 1
n
, o que implica que 0 \u2264 lim
n\u2192\u221e
n!
nn
\u2264 lim
n\u2192\u221e
1
n
=
1
\u221e = 0. Assim, limn\u2192\u221e
n!
nn
= 0.
CAPÍTULO 2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 5
2.5 Usando a ordem da função
De\ufb01nimos a ordem de convergência da função como segue. Dizemos que yn tem ordem maior que xn
e denotamos por xn = o(yn) quando lim
n\u2192\u221e
xn
yn
= 0.
O estudo da ordem da função não costuma ser tratado no nível de Cálculo, mas ajuda muito
quando precisamos determinar o limite. Dizemos que f = o(g) em a quando lim
x\u2192a
f(x)
g(x)
= 0. Se usar a
lista da ordem de convergência das funções elementares no in\ufb01nito, o cálculo de limites da sequências
\ufb01cará mais simples.
Claro que qualquer função que vai para o in\ufb01nito, tem a ordem maior que a função constante.
Teorema 2.19. Para o limite no in\ufb01nito, temos
\u2022 Se lim
x\u2192\u221e
f(x) =\u221e então c = o(f). Qualquer função que tende a in\ufb01nito tem ordem maior que
a função constante.
\u2022 Para números reais a < b, temos xa = o(xb). Potenciação maior tem ordem maior.
\u2022 Para u > 0 e a > 1, temos que loga x = o(xu) e xu = o(ax). Logaritmo tem (com base maior
que 1) ordem menor que qualquer potenciação (positiva) e exponenciação (com base maior que
1) tem ordem maior que qualquer potenciação (positiva). Em particular, lnx tem ordem menor
que potenciação (positiva) e ex tem ordem maior que potenciação (positiva).
\u2022 Para a > 1, tem-se ax = o(\u393(x)) e \u393(x) = o(xx), onde \u393(n) = (n \u2212 1)! para n inteiro é
denominado de função gamma. No caso de inteiros, é equivalente a an = o(n!) e n! = o(nn).
prova parcial. As demonstrações podem ser feito diretamente com o uso da regra de L'Hopital, exceto
para o caso da ordem de função gamma. Assim, será deixado como exercício.
No caso de envolver a função gamma, vamos provar somente no caso da variável ser inteira. A
propriedade an = o(n!) é a Proposição 3.48 (página 17). O caso de n! = o(nn) é o exemplo 2.18
(página 4). Caso de x ser real, precisaria usar o fato das funções serem contínuas crescente, o que
omitiremos aqui.
Assim, se denotarmos f \u227a g para o caso de f = o(g) em\u221e ( lim
n\u2192\u221e
f(n)
g(n)
= 0), a ordem das funções
poderá ser resumido como c \u227a loga n \u227a xu \u227a an \u227a n! \u227a nn para u > 0 e a > 1 (claro que a pode
ser e que é maior que 1). Aliado ao fato de na \u227a nb e an \u227a bn para números reais a < b, podemos
simpli\ufb01car a obtenção do limite das sequências através do seguinte resultado.
Proposição 2.20. Se f = o(g) em a, então lim
x\u2192a
(f(x) + g(x)) = lim
x\u2192a
g(x)
Demonstração. Como f = o(g) em a, temos que lim
x\u2192a
f(x)
g(x)
= 0 por de\ufb01nição.
lim
x\u2192a
(f(x) + g(x)) = lim
x\u2192\u221e
(
f(x)
g(x)
+ 1
)
g(x) = lim
n\u2192\u221e
(0 + 1) lim
x\u2192\u221e
g(x) = lim
x\u2192a
g(x)
Exemplo 2.21. Obter o limite de lim
n\u2192\u221e
\u221a
1+n2
en + lnn
, caso exista. Como 1 = o(n2) e lnn = o(en), temos
que
CAPÍTULO 2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 6
lim
n\u2192\u221e
\u221a
1+n2
en + lnn
= lim
n\u2192\u221e
\u221a
n2
en
= lim
n\u2192\u221e
n
en
=
\u221e
\u221e
L\u2032Hopital
= lim
n\u2192\u221e
1
en
=
1
e\u221e
=
1
\u221e = 0.
2.6 Sequências monótona
Uma sequência an é dito monótona crescente quando an+1 \u2265 an para todo n. Da forma análoga,
uma sequência an é dito monótona decrescente se an+1 \u2264 an para todo n.
De\ufb01nição 2.22. As sequências crescente ou decrescente são denominados de sequências monótonas.
Caso especial das sequências monótonas são as sequências estritamente monótonas de\ufb01nidos como
segue.
De\ufb01nição 2.23. No caso de ter an+1 > an para todo n, dizemos que a sequencia é estritamente
crescente e caso de ter an+1 < an para todo n, dizemos que a sequência é estritamente decrescente.
Uma sequência é estritamente monótona se for estritamente crescente ou estritamente descres-
cente.
Note que, em vez de dizer crescente, também podemos dizer não decrescente. O mesmo vale
para decrescente que podem ser referenciado como não crescente. No entanto, é recomendado não
abreviar o termo \ufffdestritamente\ufffd quando não ser igual é essencial.
Uma sequência é dita limitada se existe M tal que \u2200n, |xn| \u2264M .
Um dos teoremas mais importantes da sequência monótona é
Teorema 2.24. Toda sequência monótona limitada é convergente.
Para quem interessar, a demonstração está no apêndice (Subseção B, página B).
Exemplo 2.25. xn+1 =
n
n+3
. A sequência é limitada, pois |xn| \u2264 1. Ele é crescente, pois xn+1 \u2265
xn \u21d4 n+1n+2 \u2265 nn+1 \u21d4 (n + 1)2 \u2265 n(n + 2) \u21d4 n2 + 2n + 1 \u2265 n2 + 2n \u21d4 1 \u2265 0 que vale sempre. Logo,
a sequência converge. Note que, é fácil ver que lim
n\u2192\u221e
xn = 1 pela regra de L'Hopital, o que implica
que é convergente. O critério da convergência da sequência monótoma é importante para estudos
teóricos tais como obter critérios de convergência das séries.
2.7 Limite da sequência de\ufb01nida pela recorrência
Quando a sequência é de\ufb01nida pela fórmula de recorrência (tipo xn+1 = f(xn)) e tem a garantia de
convergência (por exemplo, monótona e limitada), aplique o limite em ambos os lados na forma de
recorrência e use L = lim
n\u2192\u221e
xn (assim, \ufb01caria L = f(L)).
Exemplo 2.26. Sabendo que xn+1 =
x2n+2
2xn
converge, encontre o seu limite. Denotando L = lim
n\u2192\u221e
xn,
teremos
lim
n\u2192\u221e
xn+1 = lim
n\u2192\u221e
x2n + 2
2xn