Sequências e séries - Sadao Massago
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Sequências e séries - Sadao Massago


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CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 14
\u2022 Se \u2211 bn converge, temos que \u2211 an também converge. Além disso, \u221e\u2211
n=n0
an \u2264
\u221e\u2211
n=n0
bn
Demonstração. Sejam (Sa)N =
N\u2211
n=n0
an e (Sb)N =
N\u2211
n=n0
bn as somas parciais. Como são de termos
positivos, eles são crescentes e (Sa)n \u2264 (Sb)n. Se
\u2211
an divergir, tem-se que lim
N\u2192\u221e
(Sa)N =\u221e e logo,
\u221e = lim
N\u2192\u221e
(Sa)N \u2264 limN\u2192\u221e (Sb)N de modo que
\u2211
bn =\u221e.
Se
\u2211
bn convergir, (Sa)N \u2264 (Sb)N \u2264 limN\u2192\u221e (Sb)N = Sb <\u221e de modo que (Sa)Né uma
sequencia crescente limitada superiormente por Sb. Logo converge. Além disso,
(Sa)N \u2264 (Sb)N =\u21d2 limN\u2192\u221e (Sa)N \u2264 limN\u2192\u221e (Sb)N e consequentemente,
\u221e\u2211
n=n0
an \u2264
\u221e\u2211
n=n0
bn.
Exemplo 3.29.
\u221e\u2211
n=1
1
n(n+ 1)
. Como
1
n(n+1
\u2264 1
n2
e
\u2211 1
n2
converge por ser p-série com p = 2 > 1, a
série converge.
Exemplo 3.30.
\u221e\u2211
n=1
\u2212e\u2212n
n
= \u2212
\u2211 e\u2212n
n
. Como
e\u2212n
n
\u2264 e\u2212n e \u2211 e\u2212n é convergente por ser série
geométrica de razão r = 1
e
< 1, a série converge. além disso,
\u221e\u2211
n=1
e\u2212n
n
\u2264
\u221e\u2211
n=1
e\u2212n =
1
e
1\u2212 1
e
.
Teorema 3.31 (teste de comparação forma limite). Se as séries
\u2211
an e
\u2211
bn são de termos positivos
com lim
n\u2192\u221e
an
bn
= L 6=\u221e. Então temos
\u2022 Se L 6= 0, então as séries \u2211 an e \u2211 bn, ambas convergem ou ambas divergem.
\u2022 Se L = 0 e \u2211 bn converge, então \u2211 an também converge.
\u2022 Se L = 0 e \u2211 an diverge, então \u2211 bn também diverge.
Demonstração. Caso de L 6= 0. Como an e bn são de termos positivos, lim
n\u2192\u221e
an
bn
= L > 0 na condição
do teorema. Assim, para \u3b5 = L
2
, existe N \u2208 N tal que n > N =\u21d2 L \u2212 \u3b5 < an
bn
< L + \u3b5 e
consequentemente, bn(L\u2212 \u3b5) < an < (L+ \u3b5)bn. Se
\u2211
bn convergem,
\u2211
(L+ \u3b5)bn também converge.
Logo,
\u2211
an converge.
Se
\u2211
an for convergente, note que \u3b5 =
L
2
implica em L \u2212 \u3b5 = L
2
> 0 e consequentemente,
bn <
an
(L\u2212\u3b5) . Como
\u2211
an
L\u2212\u3b5 converge,
\u2211
bn também converge pelo teste da comparação.
Caso de L = 0. Se
\u2211
bn convergente então, dado \ufffd = 1, existe N \u2208 N tal que n > N =\u21d2 \u22121 =
L\u2212 \u3b5 < an
bn
< L + \u3b5 = 1 e consequentemente, an < bn. Se
\u2211
bn converge, então
\u2211
an converge pelo
teste da comparação e se
\u2211
an diverge, então
\u2211
bn também diverge pelo teste da comparação.
Exercício 3.32. Sejam as séries
\u2211
an e
\u2211
bn que são de termos positivos com lim
n\u2192\u221e
an
bn
=\u221e. Mostre
que
\u2022 \u2211 an converge, então \u2211 bn também converge.
\u2022 \u2211 bn diverge, então \u2211 an também diverge.
CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 15
Exercício 3.33. Dica: Imitar a demonstração do caso de lim
n\u2192\u221e
an
bn
= 0 ou observe que lim
n\u2192\u221e
an
bn
=\u221e
então lim
n\u2192\u221e
bn
an
= 0.
O teorema acima simpli\ufb01ca a veri\ufb01cação de convergência da séries de termos no caso de ser quociente
da soma de funções elementares. A simpli\ufb01cação é baseado na \ufffdordem de convergência da função\ufffd
como no caso do teste de comparação das sequências (Veja subseção 2.5 da página 5).
Exemplo 3.34.
\u2211
1
(n+1)2
converge. Simpli\ufb01cando an =
1
(n+1)2
pela ordem da função, obteremos
bn =
1
n2
. Como exercício, veri\ufb01que que lim
n\u2192\u221e
an
bn
= 1 6= 0. Como \u2211 bn = \u2211 1n2 é uma p-séries com
p > 1, é convergente. Logo a séries
\u2211
1
(n+1)2
também é convergente, pelo teste de comparação forma
limite (Teorema 3.31). Note que o procedimento de simpli\ufb01cação pela ordem da função nem sempre
funciona para usar diretamente o teorema de comparação forma limite.
\u221e\u2211
n=0
e\u2212n
2+n
é convergente, mas a simpli\ufb01cação dos termos, seria
\u2211
e\u2212n
2
que é convergente, mas
não serve para teste da comparação por ter lim
n\u2192\u221e
an
bn
=\u221e.
No entanto, é fácil de veri\ufb01car a convergência pelo teste da razão (Toerema 3.40 da página 3.40).
3.6 Séries absolutamente convergentes
De\ufb01nição 3.35. Uma série
\u2211
an é dito absolutamente convergente quando
\u2211 |an| converge. Se\u2211
an converge, mas
\u2211 |an| não converge, é dito condicionalmente convergente.
Temos que
Teorema 3.36 (série absolutamente convergente). A série absolutamente convergente é convergente.
Demonstração. Como 0 \u2264 an + |an| \u2264 2|an| e como 2
\u2211 |an| é convergente, pelo teste da comparação\u2211
(an + |an|) converge por ser séries de termos positivos. Assim,
\u2211
an =
\u2211
(an + |an|)\u2212
\u2211 |an| é a
diferença de séries convergentes, o que implica que é convergente.
Exemplo 3.37.
\u2211
cosn
n2
converge, pois temos que |an| \u2264 1n2 . Como
\u2211
1
n2
é série convergente por ser
p-séries com p > 1,
\u2211 |an| converge pelo teste de comparação acima. Logo a série é absolutamente
convergente, o que implica que ele é convergente.
Uma das características mais importantes da séries absolutamente convergente é ter a mesma
soma, independente de rearranjos dos termos (Veja [3, Teorema do reagrupamento]). No caso das
séries condicionalmente convergentes, o rearranjo pode alterar o valor da soma (Veja o exemplo D.1
da página 32).
É possível provar que, se for dado uma série condicionalmente convergente, consegue obter qual-
quer número real como valor da série obtido pelo rearranjo dos seus termos.
CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 16
3.7 Teste da raiz e da razão
Para veri\ufb01car a convergência das séries sem características especiais, o teste da raiz e da razão são
os mais usados. A seguir, veremos estes testes.
Teorema 3.38 (teste da raiz). Se r = lim n
\u221a
|an| então temos que
\u2022 Se r < 1 a séries \u2211 an converge (série será absolutamente convergente);
\u2022 Se r > 1, então a séries \u2211 an diverge.
\u2022 Se r = 1, não se sabe.
Demonstração. A demonstração é feita, comparando com a série geométrica de razão r.
Se r = lim n
\u221a
|an| < 1, considere \u3b5 = 1\u2212r2 . Então existe N \u2208 N tal que \u2200n > N ,
r \u2212 \u3b5 < n
\u221a
|an| < r + \u3b5. Denotando ¯\u2dcr = r + \u3b5, temos que r\u2dc < 1 e |an| < r\u2dcn. Como a série
\u221e\u2211
k=N
r\u2dck é
uma série geométrica com razão |r\u2dc| < 1, ele converge. Pelo teste da comparação, a série \u2211 |an| é
convergente, o que implica que a série
\u2211
an é absolutamente convergente.
Se r = lim n
\u221a
|an| > 1, considere \u3b5 = r\u221212 e r\u2dc = r \u2212 \u3b5. Como no caso acima, teremos r\u2dck < an com
r\u2dc > 1.
Assim, temos que lim
n\u2192\u221e
an =\u221e (prove). Logo, não pode ter lim
n\u2192\u221e
an = 0 (prove), o que signi\ufb01ca
que a série é divergente.
Exemplo 3.39.
\u2211
en
n2
diverge, pois r = lim
n\u2192\u221e
n
\u221a\u2223\u2223\u2223\u2223enn2
\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e en\u221an2 = e > 1. A prova de que
lim
n\u2192\u221e
n
\u221a
n2 = 1 é deixado como exercício.
Teorema 3.40 (teste da razão). Se r = lim
\u2223\u2223\u2223\u2223an+1an
\u2223\u2223\u2223\u2223 então temos que
\u2022 Se r < 1 a séries \u2211 an converge (série será absolutamente convergente);
\u2022 Se r > 1, então a séries \u2211 an diverge.
\u2022 Se r = 1, não se sabe.
Demonstração. A demonstração é análoga do teste da raiz, mas requer mais cuidados.
Se r = lim
\u2223\u2223\u2223\u2223an+1an
\u2223\u2223\u2223\u2223 < 1, considere \u3b5 = 1\u2212r2 . Então existe N \u2208 N tal que \u2200n > N ,
r \u2212 \u3b5 <
\u2223\u2223\u2223\u2223an+1an
\u2223\u2223\u2223\u2223 < r + \u3b5. Denotando r\u2dc = r + \u3b5, temos que r\u2dc < 1 e |an+1| < |an|r\u2dc. Assim, pode-
mos usar a indução \ufb01nita para obter |aN+k| < aN r\u2dck. Como a série
\u2211 |aN |r\u2dck é uma série geométrica
com razão |r\u2dc| < 1, ele converge. Pelo teste da comparação, a série \u2211 |aN+k| é convergente, o que
implica que a série
\u2211
an é absolutamente convergente.
Quando r = lim
\u2223\u2223\u2223\u2223an+1an
\u2223\u2223\u2223\u2223 > 1, considere \u3b5 = r\u221212 e r\u2dc = r\u2212\u3b5 no caso acima, obtendo \u2223\u2223aN r\u2dck\u2223\u2223 < |aN+k|
com r\u2dc > 1.
Assim, temos que lim
k\u2192\u221e
aN+k =\u221e (prove). Logo, não pode ter lim
n\u2192\u221e
an = 0 (prove), o que signi\ufb01ca
que a séries é divergente.
CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 17
Observação 3.41. O critério do teste da razão e da raiz é mesmo, exceto em como determinar o valor
de r.
Observação 3.42. Quado existem os limites considerados, o valor de r obtidos pelo teste da raiz e da
razão são mesmos. Logo, não adianta trocar o teste quando r = 1. No entanto, existem casos que
somente um dos testes consegue determinar o r.
Observação 3.43. Quanto menor o r, mais rápido será a convergência da série. Assim, r