Apostila de Estatistica Geral e Aplicada
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Apostila de Estatistica Geral e Aplicada


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f 
 
72 |\uf8e7 81 15 
81 |\uf8e7 90 38 
90 |\uf8e7 99 57 
99 |\uf8e7 108 71 
108 |\uf8e7 117 47 
117 |\uf8e7 126 27 
126 |\uf8e7 135 12 
 
 
 
 
Calcule: 
a) Média aritmética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Desvio médio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Desvio padrão amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Variância amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Coeficiente de variação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) 102,1; b) 10,9; c) 13,5; d) 182,92; e) 13,22% 
 
 
 70
 
 
M E D I D A S D E A S S I M E T R I A E C U R T O S E 
 
 
A S S I M E T R I A 
 
 
As medidas de assimetria e curtose são as que completam o estudo da Estatística Descritiva. 
 
 
A assimetria é o grau de deformação de uma curva de frequências, isto é, o desvio ou afastamento da 
simetria de uma distribuição. 
Uma distribuição é simétrica quando od MMM == . 
 
onde M = média aritmética 
 
Md = mediana 
 
Mo = moda 
e a curva de frequências da distribuição tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
Quando a distribuição não for simétrica, temos dois casos: 
 
a) Assimétrica positiva: é quando a cauda é mais alongada à direita, ou seja, as frequências mais altas se 
encontram no lado esquerdo da média, e isto ocorre quando MMM do << . A curva de frequências da 
distribuição tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
b) Assimétrica negativa: é quando a cauda é mais alongada à esquerda, ou seja, as frequências mais altas 
se encontram no lado direito da média, e isto ocorre quando od MMM << . A curva de frequências da 
distribuição tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
A medida de assimetria sugerida por Karl Pearson (1857\u20131936) é dada por: 
 
 
Assimetria amostral: 
s
MMA oS
\u2212
= ou 
( )
s
MM
A dS
\u2212
=
3
 e assimetria populacional:
( )
\u3c3
d
S
MMA \u2212= 3 
 
 
onde M = média aritmética 
 
Md = mediana 
 
\u3c3 = desvio padrão populacional 
 
s = desvio padrão amostral 
 
 
 71
 
 
C U R T O S E 
 
 
 
 
 
 
A curtose nos dá o grau de achatamento ou alongamento de uma curva de frequências, podendo ser de três 
tipos: 
 
a) Curva ou Distribuição de Frequências MESOCÚRTICA: é a curva de frequências que apresenta um grau de 
achatamento equivalente ao da curva normal, ou seja, 
 
 
 
 
b) Curva ou Distribuição de Frequências PLATICÚRTICA: é a curva que apresenta um alto grau de 
achatamento, superior ao da normal, indicando que os dados estão mais dispersos, ou seja, a distribuição é 
mais heterogênea. A curva é da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
c) Curva ou Distribuição de Frequências LEPTOCÚRTICA: é a curva que apresenta um grau de afilamento, 
superior ao da normal, indicando que os dados estão mais concentrados, ou seja, a distribuição é mais 
homogênea. A curva é da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente de curtose é dado por: ( )19
13
2 DD
QQC
\u2212\u22c5
\u2212
=
 
 
onde, Q1 = 1º quartil 
Q3 = 3º quartil 
D1 = 1º decil 
D9 = 9º decil 
 
 
Se 263,0=C (valor teórico), então a curva ou distribuição é mesocúrtica 
 
 
263,0>C , então a curva ou distribuição é platicúrtica 
 
 
263,0<C , então a curva ou distribuição é leptocúrtica 
 
 
 72
 
 
E X E M P L O (assimetria e curtose) 
 
 
 
 
O setor de manutenção de uma grande empresa de aparelhos eletrônicos registrou, para uma amostra 
aleatória de telefones celulares de determinado modelo, os tempos, em dias, em que esses aparelhos 
apresentaram algum tipo de defeito, conforme mostra a tabela abaixo. Calcular as medidas de assimetria e 
curtose, e construir o gráfico. 
 L f 
 0 |\uf8e7 50 5 
 50 |\uf8e7 100 20 
 100 |\uf8e7 150 34 
 150 |\uf8e7 200 40 
 200 |\uf8e7 250 36 
 250 |\uf8e7 300 30 
 300 |\uf8e7 350 25 
 350 |\uf8e7 400 10 
 400 |\uf8e7 450 5 
 450 |\uf8e7 500 3 
 500 |\uf8e7 550 2 
 
 
 
Solução: 
 
L 
 
f 
 
F 
 
x 
 
f\u2022x 
 
 
 
 \u3b4\u3b4\u3b4\u3b4 \u3b4\u3b4\u3b4\u3b4² f\u2022\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4² 
0 |\uf8e7 50 5 5 25 125 \u2013 192,6 37.094,76 185.473,80 
50 |\uf8e7 100 20 25 75 1.500 
 
\u2013 142,6 20.334,76 406.695,20 
100 |\uf8e7 150 34 59 125 4.250 \u2013 92,6 8.574,76 291.541,84 
150 |\uf8e7 200 40 99 175 7.000 \u2013 42,6 1.814,76 72.590,40 
200 |\uf8e7 250 36 135 225 8.100 7,4 54,76 1.971,36 
250 |\uf8e7 300 30 165 275 8.250 57,4 3.294,76 98.842,80 
300 |\uf8e7 350 25 190 325 8.125 107,4 11.534,76 288.369,00 
350 |\uf8e7 400 10 200 375 3.750 157,4 24.774,76 247.747,60 
400 |\uf8e7 450 5 205 425 2.125 207,4 43.014,76 215.073,80 
450 |\uf8e7 500 3 208 475 1.425 257,4 66.254,76 198.764,28 
500 |\uf8e7 550 2 210 525 1.050 307,4 94.494,76 188.989,52 
N = 210 \u3a3fx = 45.700 \u3a3f\u3b4² = 2.196.059,60 
 
 
 
 
Mediana: 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u22c5+=
med
ant
d
m
FN
ilM 2inf \u21d2+=
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u22c5+=\u21d2 3,8200
36
99
2
210
50200dM
 
 
a) Md = 208,3 dias 
 
 
 
 
Média: 
N
fxM \u3a3= \u21d2=\u21d2
210
700.45M 
 
b) M = 217,6 dias 
 
 
 
 
Desvio padrão amostral: 
1
2
\u2212
\u3a3
=
N
f
s
\u3b4 \u21d2=
\u2212
=\u21d2 46,507.10
1210
60,059.196.2
s 
 
c) s = 102,5 dias 
 
 
 
 
Assimetria: 
s
MM
A dS
)(3 \u2212\u22c5
= \u21d2
\u2212\u22c5
=\u21d2
5,102
)3,2086,217(3
SA 
 
d) AS = + 0,272 
 
 
 
 
 
e) Conclusão: A assimetria é positiva (cauda mais alongada à direita), o que acarreta que os valores estão 
mais concentrados à esquerda, ou seja, grande parte dos defeitos estão ocorrendo com uma quantidade 
relativamente pequena de dias de uso. 
 
 
 73
 
 
 
f) 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5
\u22c5+=
med
ant
f
FN
ilQ 4
1
inf1
 
\u21d2+=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u22c5+=
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5
\u22c5+=\u21d2 44,40100
34
255,5250100
34
25210
4
1
501001Q
 
 
1º Quartil: Q1 = 140,44 dias 
 
 
 
 
 
g) 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5
\u22c5+=
med
ant
f
FN
ilQ 4
3
inf3
 
\u21d2+=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u22c5+=
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5
\u22c5+=\u21d2 50,37250
30
1355,15750250
30
135210
4
3
502503Q
 
 
3º Quartil: Q3 = 287,50 dias 
 
 
 
 
 
h) 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5
\u22c5+=
med
ant
f
FN
ilD 10
1
inf1
 
\u21d2+=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u22c5+=
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5
\u22c5+=\u21d2 00,4050
20
5215050
20
5210
10
1
50501D
 
 
1º Decil: D1 = 90,00 dias 
 
 
 
 
 
 
i) 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5
\u22c5+=
med
ant
f
FN
ilD 10
9
inf9
 
\u21d2+=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u22c5+=
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5
\u22c5+=\u21d2 00,48300
25
16518950300
25
165210
10
9
503009D
 
 
9º Decil: D9 = 348,00 dias 
 
 
 
 
 
j) 
 
Curtose: )(2 19
13
DD
QQC
\u2212\u22c5
\u2212
= \u21d2=
\u2212\u22c5
\u2212
=\u21d2
00,516
06,147
)00,9000,348(2
44,14050,287C C = 0,285 
 
 
 
 
k) Conclusão: Como a curtose é 0,285 > 0,263 (valor teórico), então a curva é platicúrtica (achatada), ou 
seja, a distribuição é mais heterogênea, o que acarreta que certa quantidade de aparelhos está apresentando 
defeito com pouco tempo de uso, outra quantidade está apresentando defeito após algum tempo maior de dias 
de uso, outra quantidade com um tempo bem maior de dias de uso e outra com um tempo muito maior ainda 
de dias de uso.