Apostila de Estatistica Geral e Aplicada
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Apostila de Estatistica Geral e Aplicada


DisciplinaIntrodução à Estatística251 materiais2.032 seguidores
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3 automóveis na garagem. 
 
De fato, representando os três automóveis por A, B e C, eles podem ficar dispostos dos seis seguintes 
modos na garagem: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 
 
 GARAGEM 
 
1º modo: A B C 
 
2º modo: A C B 
 
3º modo: B A C 
 
4º modo: B C A 
 
5º modo: C A B 
 
6º modo: C B A 
 
 
2. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra UNISO? 
 
Solução: P5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120 anagramas 
 
 
3. Deseja-se dispor 5 homens e 4 mulheres em fila, de modo que as mulheres ocupem os lugares pares. 
Quantos são os modos possíveis? 
 
Solução: P = P5·P4 = 5!·4! = 120·24 = 2880 modos diferentes 
 
 
 
 
 
C O M B I N A Ç Ã O S I M P L E S 
 
 
 
Chama-se combinação simples todos os agrupamentos simples de x elementos que podemos formar com 
n elementos distintos, sendo x \u2264 n. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro apenas pela natureza 
de seus elementos. 
A fórmula é: )!(!
!
,
xnx
n
x
n
C xn
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
 
Lê-se: \u201ccombinação simples de n elementos tomados x a x\u201d 
 
 
Obs.: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
x
n
C xn,
 
onde \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
x
n
 
é o número binomial de n sobre x 
 
 
 
 
E X E M P L O S (combinações simples) 
 
 
 
1. Quantas comissões (combinações simples) de dois alunos que podemos formar com três alunos: Antonio, 
Benedito e Carla? 
Solução: 3
2
3
3
112
123
!1!2
!3
)!23(!2
!3
2
3
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u21d2=
\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5
=
\u22c5
=
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 combinações, ou seja, são 3 comissões que podem ser 
 
assim constituídas: 1ª comissão: Antonio e Benedito 
 
2ª comissão: Antonio e Carla 
 
3ª comissão: Benedito e Carla 
 
 
Note que, na 1ª comissão, se trocarmos a ordem dos dois alunos, ela será constituída por Benedito e 
Antonio, mas essa \u201cnova\u201d comissão continuará sendo a mesma, pois em uma combinação, os agrupamentos se 
diferem pela natureza e não pela ordem, como ocorre nos arranjos simples. 
 
 
 98
 
 
 
ATENÇÃO 
 
 
 
 
NÃO representar o número binomial \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
2
3
 por \uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
2
3
: esse traço de fração entre o 3 e o 2 NÃO EXISTE!! 
 
 
 
 
 
2. Uma lanchonete utiliza as seguintes frutas para preparar os sucos para seus clientes: 
A (Abacate), B (Banana), L (Laranja), M (Maçã) e P (Pera). Quantos tipos de sucos com três frutas diferentes 
podem ser preparados nessa lanchonete? 
 
Solução: Como 10)12()123(
12345
!2!3
!5
)!35(!3
!5
3
5
=
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
=
\u22c5
=
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 combinações, então, com essas 5 frutas, a lancho- 
 
nete pode preparar 10 tipos diferentes de sucos utilizando 3 frutas (diferentes) de cada vez. Esses 10 sucos são: 
 1º suco: ABL (Abacate, Banana e Laranja) 
 2º suco: ABM (Abacate, Banana e Maçã) 
 3º suco: ABP (Abacate, Banana e Pera) 
 4º suco: ALM (Abacate, Laranja e Maçã) 
 5º suco: ALP (Abacate, Laranja e Pera) 
 6º suco: AMP (Abacate, Maçã e Pera) 
 7º suco: BLM (Banana, Laranja e Maçã) 
 8º suco: BLP (Banana, Laranja e Pera) 
 9º suco: BMP (Banana, Maçã e Pera) 
 10º suco: LMP (Laranja, Maçã e Pera) 
 
3. Calcule: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
3
8
 
Solução: 
1º modo: 56
720
40320
1206
40320
)12345()123(
12345678
!5!3
!8
)!38(!3
!8
3
8
==
\u22c5
=
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
=
\u22c5
=
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
2º modo: 56
6
336
!5123
!5678
!5!3
!8
)!38(!3
!8
3
8
==
\u22c5\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5\u22c5
=
\u22c5
=
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
3º modo (PRÁTICO): 56
6
336
123
678
3
8
==
\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
ou 56
123
678
3
8
=
\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
Procedimento: Como o valor na parte inferior dos parênteses do número binomial é 3, basta colocar no 
numerador do cálculo da fração 3 fatores em ordem decrescente, começando pelo número 
8, que é o valor que está na parte superior dos parênteses do número binomial, ou seja, 
colocar o produto: 8·7·6 = 336, e no denominador da fração colocar o 3! = 3 · 2 · 1 = 6 
 
4. Calcule: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
4
10
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 210
24
5040
1234
78910
4
10
==
\u22c5\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
5. Calcule: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
2
15
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 105
2
210
12
1415
2
15
==
\u22c5
\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
 
 99
 
 
6. Calcule: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
1
6
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 6
1
6
1
6
==\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
7. Calcule: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
5
5
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 1
12345
12345
5
5
=
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
8. Calcule: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
9
12
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 220
123
101112
123456789
456789101112
9
12
=
\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5
=
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
9. Calcule: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
3
12
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 220
123
101112
3
12
=
\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C O M B I N A Ç Õ E S C O M P L E M E N T A R E S 
 
 
 
Obs.: Note que a coincidência nos resultados acima, dos números binomiais: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
=
9
12
1x
n
 
e \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
=
3
12
2x
n
 
não é por acaso; eles são chamados de combinações (ou números binomiais) complementares, pois a soma 
de x1 e x2 é igual a n, isto é, x1 + x2 = 9 + 3 = 12 = n. 
 
 
A fórmula geral é: Cn,x = Cn, n \u2013 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O S (combinações complementares) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Calcule: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
98
100
 
 
Solução: Como \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
98
100
 e \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
2
100
 
são iguais, pois são números binomiais complementares, 
é bem mais prático calcular o segundo número binomial, ou seja: 4950
12
99100
2
100
98
100
=
\u22c5
\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
 
 
Obs.: Utilizando a fórmula do número binomial de 100 por 98, temos: 
 
 
 
4950
2
9900
!2
99100
!2!89
!8999100
)!98100(!98
!100
98
100
==
\u22c5
=
\u22c5
\u22c5\u22c5
=
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
 100
 
 
2. Calcule: \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
0
5
 
Solução: Pela fórmula do número binomial, temos: 1
!51
!5
)!05(!0
!5
0
5
=
\u22c5
=
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
 
Obs.: Note que \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
5
5
0
5
, pois são números binomiais complementares. 
 
 
 
De um modo geral, temos: 
 
 
a) 1
0
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
n
nn
, para todo número natural. 
 
De fato, 1
!1
!
)!0(!0
!
0
=
\u22c5
=
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
n
n
n
nn
e 1
11
1
!0!
!
)!(!
!
=
\u22c5
=
\u22c5
=
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
n
n
nnn
n
n
n
 
 
 
 
b) nn =\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
1
, para todo número natural. 
 
De fato, n
n
n
nn
n
nn
==
\u2212\u22c5
\u2212\u22c5
=
\u2212\u22c5
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
1)!1(1
)!1(
)!1(!1
!
1
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S (combinações simples) 
 
 
 
 
Resolver: 
1. \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
4
9
 = 8. \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
4
4
 = 
2. \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
2
11
 = 9. \uf8f7\uf8f7
\uf8f8