Apostila de Estatistica Geral e Aplicada
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Apostila de Estatistica Geral e Aplicada


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defeito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. Determinado órgão do governo suspeita que algumas indústrias violam as regulamentações federais contra 
poluição, em relação ao despejo de certo tipo de produto. Suponha que, das vinte empresas que estão sob 
suspeita, três delas estejam violando as regulamentações. Selecionando-se aleatoriamente cinco dessas 
vinte indústrias para inspeção, determine a probabilidade de que: 
a) Nenhuma delas esteja violando as regulamentações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Duas delas estejam violando as regulamentações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Um dos jogos disponíveis nas casas lotéricas, é o jogo da MEGA-SENA, que possui 60 números (de 1 a 60). 
Se um apostador fizer um jogo simples, isto é, escolher somente 6 dos 60 números, determine a 
probabilidade dele: 
a) Acertar os 6 números escolhidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Acertar 5 dos 6 números escolhidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Acertar apenas 1 dos 6 números escolhidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. 0,127 (12,7%) 
2. 0,464 (46,4%) 
3. 0,30 (30%) 
4. a) 0,0994 (9,94%); b) 0,60 (60%) 
5. 0,031 (3,1%) 
6. 0,00311 (0,311%) 
7. a) 65/203 = 0,32 (32%); b) 130/203 = 0,64 (64%) 
8. 0,245 (24,5%) 
9. 0,0842 (8,42%) 
10. a) 0,399 (39,9%); b) 0,132 (13,2%) 
11. a) 1/50.063.860 = 0,000000020 (0,0000020%); b) 81/12.515.965 = 0,00000647 (0,000647%); c) 0,379 (37,9%) 
 
 
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D i s t r i b u i ç ã o d e P O I S S O N 
 
 
 
 
 
 
É semelhante à distribuição binomial, diferenciando apenas no fato de que na distribuição binomial os 
eventos ocorrem por tentativas ou observações fixas, enquanto que na distribuição de Poisson (lê-se: 
\u201cpoasson\u201d) os eventos ocorrem continuamente. 
 
 
Exemplos: Acidentes por dia, clientes por hora, chamadas telefônicas por minuto, defeitos por cm2 etc. 
 
A fórmula da distribuição de Poisson é dada por: !
)(
x
me
xP
xm
\u22c5
=
\u2212
 
 
onde 
 
\u2022 x é o número de ocorrências 
 
\u2022 o número e é a base dos logaritmos naturais, isto é, e = 2,71828... (constante) 
 
\u2022 m é a média de ocorrências num certo intervalo 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Um laboratório estuda a emissão de partículas de certo material radioativo. Sabendo que o laboratório 
admite uma taxa média de 6 ocorrências a cada minuto, determine a probabilidade de que ocorrerá a 
seguinte emissão de: 
a) Exatamente 5 partículas em 1 minuto. 
 
Solução: 
 
\u21d2==
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
\u22c5
=
\u22c5
==
\u2212
161,0
120
276704,19
12345
7776002479,0
!5
6)5(
56e
xP P(x = 3) = 0,161 (16,1%) . 
 
 
 
 
 
b) Exatamente 3 partículas em 10 segundos. 
 
Solução: 
 
Como a média é de 6 partículas a cada minuto, então a média de partículas a cada 10 segundos, pela 
REGRA DE TRÊS SIMPLES, é 
 
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
\u2192
=\u2192
segundospartículasx
segundospartículas
10)(
min)1(60)(6
1
60
60
60
106
=\u21d2=
\u22c5
=\u21d2 xx , ou seja, a média é de 1 partícula a 
cada 10 segundos 
 
\u21d2==
\u22c5\u22c5
\u22c5
=
\u22c5
==
\u2212
0613,0
6
367879,0
123
1367879,0
!3
1)3(
31e
xP P(x = 3) = 0,0613 (6,13%) . 
 
 
 
 
2. Determinado tipo de fio condutor de energia apresenta, em média, 3 falhas a cada rolo de 100 m. Qual é a 
probabilidade de que em um rolo de 50 m aleatoriamente escolhido para inspeção contenha 1 falha. 
 
Solução: 
 
 
Como a média é de 3 falhas a cada 100 m, então a média de falhas a cada 50 m é: 
 
 
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
\u2192
\u2192
mxfalhas
mfalhas
50
1003
5,1
100
150
100
503
=\u21d2=
\u22c5
=\u21d2 xx , ou seja, a média é de 1,5 falha a cada 50 m 
 
 
\u21d2=
\u22c5
=
\u22c5
==
\u2212
335,0
1
5,1223130,0
!1
)5,1()1(
15,1e
xP P(x = 1) = 0,335 (33,5%) . 
 
 
 114
 
 
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
 
 
 
 
É quando uma variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados possíveis. 
 
Destacam-se as seguintes distribuições contínuas de probabilidades: 
 
\u2022 distribuição exponencial 
 
\u2022 distribuição uniforme 
 
\u2022 distribuição normal (ou de GAUSS) 
 
 
 
 
D i s t r i b u i ç ã o E x p o n e n c i a l 
 
 
 
A distribuição exponencial envolve probabilidades ao longo do tempo ou da distância entre ocorrências num 
intervalo contínuo. Tem sido amplamente utilizada nas áreas de física, engenharia, computação e biologia, entre 
outras. 
Como exemplo, destacamos o tempo entre falhas de equipamento elétrico, tempo entre chamadas 
telefônicas, intervalos entre as chegadas de veículos (ônibus, trens ou aviões em um terminal) etc. 
 
A distribuição exponencial é aplicada quando estamos interessados com o tempo (ou espaço) até a 
ocorrência do primeiro evento, quer no tempo entre dois eventos sucessivos, ou quer no decorrido até acontecer 
o primeiro evento após um ponto aleatoriamente selecionado. 
 
Sendo m o número médio de ocorrências no intervalo de interesse, a probabilidade exponencial de que o 
primeiro evento x ocorrerá dentro do intervalo especificado de tempo ou espaço ( t ), sendo m a média de 
ocorrências durante um intervalo, é dado por: 
metxP \u2212\u2212=\u2264 1)(
 
 
E a probabilidade exponencial de que o primeiro evento x não ocorrerá dentro do intervalo especificado de 
tempo ou espaço ( t ), é dado por: metxP \u2212=> )( 
 
 
 
Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial, com vida média de 
100 horas. Determine a probabilidade de um fusível durar: 
a) Menos de 100 horas. 
Solução: \u21d2\u2245=\u2212=\u2212=\u2264 \u2212 632,0632121,0367879,011)100( 1ehxP %)2,63(632,0)100( =\u2264 hxP 
 
 
b) Mais de 100 horas. 
Solução: \u21d2\u2245==> \u2212 368,0367879,0)100( 1ehxP %)8,36(368,0)100( => hxP 
 
 
 
 
D i s t r i b u i ç ã o U n i f o r m e 
 
 
É utilizada quando uma variável aleatória pode assumir qualquer valor de uma escala contínua num intervalo 
de modo que nenhum valor seja mais provável que outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a c d b 
 
Assim, dado um intervalo A = [a, b], a probabilidade de ocorrência de um evento x, em um subintervalo 
 
 
S = ]c, d[ de A, é dada por: 
ab
cddxcP
\u2212
\u2212
=\u2264\u2264 )(
 
 
 
Observações: 
 
a) A probabilidade de qualquer valor particular é zero. 
 
b) )()( bxaPbxaP <<=\u2264\u2264 
 
Exemplo: Se o volume de refrigerante uma lata de alumínio variar uniformemente entre 340 ml e 370 ml, qual a 
probabilidade de uma lata aleatoriamente escolhida conter entre 345 ml e 365 ml? 
Solução: %)7,66(667,0
340370
345365)365345( =
\u2212
\u2212
=\u2264\u2264 xP 
 
 
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D I S T R I B U I Ç Ã O N O R M A L (ou de GAUSS) 
 
 
 
 
 
Um dos mais importantes exemplos de uma distribuição continua de probabilidades é a distribuição normal, 
ou a curva normal, ou a distribuição de Gauss (Karl Friedrich Gauss, 1777\u20131855), que constitui a base teórica 
de toda inferência estatística. A função de densidade de probabilidade de uma variável x com distribuição normal 
é definida pela seguinte equação: 
 
2
2
1
2
1)( \uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u2212
\u22c5==
\u3c3
pi\u3c3
Mx
exfy
, com +\u221e<<\u221e x 
 
 
onde x e y são as variáveis estatísticas 
M = média e \u3c3 = desvio padrão são